【点集拓扑学】§2.7 拓扑空间中的序列

2.7 拓扑空间中的序列拓扑空间中的序列 定义2.7.1设X是一个拓扑空间每一个映射S:X，叫做X中的一个序列我们常将序列S记作 ；或者 ，或者干脆记作 有时我们也将记号 简化为 ，但这时要警惕不要与单点集相混定义2.7.2设 是拓扑空间X中的一个序列，xX如果对于x的每一个邻域U，存在M ,使得当iM时有 U，则称点x是序列 的一个极限点(或极限)，也称为序列收敛于x，记作 lim x或 x(i)如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列定义2.7.3设X是一个拓扑空间，S,：X是X中的两个序列如果存在一个严格递增的映射N：(即对于任意 ，如果 ，则有N()N()，使得 ，则称序列 是序列S的一个子序列定理定理2.7.12.7.1设设 是拓扑空间是拓扑空间X X中的一个序列中的一个序列则则(1)(1)如果如果 是一个常值序列，即对于某是一个常值序列，即对于某一个一个xXxX，有有 =x,i x,i ，则则lim lim =x=x；(2)(2)如果序列如果序列 收敛于收敛于xXxX，则该序列则该序列 的每一个子序列也收敛于的每一个子序列也收敛于x x定理定理2.7.22.7.2设设X X是一个拓扑空间，是一个拓扑空间，A X,A X,x X,x X,如果有一个序列如果有一个序列 在在A-xA-x中中(此此意即，对于每一个意即，对于每一个i i 有有 A-x)A-x)，并并且收敛于且收敛于x x，则则x x是集合是集合A A的一个凝聚点的一个凝聚点例2.7.1定理2.7.2的逆命题不成立 这个例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画凝聚点定理定理2.7.32.7.3设设X X和和Y Y是两个拓扑空间，是两个拓扑空间，f:XYf:XY则则(1)(1)如果如果f f在点在点 X X处连续，则处连续，则X X中的一个序中的一个序列列 收敛于收敛于 蕴涵着蕴涵着Y Y中的序列中的序列 收敛收敛于于f()f()；(2)(2)如果如果f f连续，则连续，则X X中的一个序列中的一个序列 收收敛于敛于xXxX蕴涵着蕴涵着Y Y中的序列中的序列 收敛于收敛于f(x)f(x)例2.7.2定理2.7.3的逆命题不成立 此外，在度量空间中，序列的收敛可以通过度量来加以描述定理2.7.4设(X，)是一个度量空间，是X中的一个序列，xX则以下条件等价：(1)序列 收敛于x；(2)对于任意给定的实数0，存在N 使得当iN 时(,x)；(3)lim(,x)=0(i)作业作业:P88 1,3(记住习题3的结论)本章总结：1本章的研究对象是一个任意的集合，在其上定义了一个“开集”族结构(为了能够运算，所定义的开集必须满足P48定义221)这个集合就成了“拓扑空间”(注意它与通常的实数空间不同)2在拓扑空间中由开集衍生定义出邻域,闭集,闭包,导集,序列等概念(要掌握这些概念的等价命题)3为了进一步研究开集的结构,又引进了基与子基的概念(要掌握基与开集的关系)4此时拓扑空间的序列有哪些性质?与实数空间的序列有哪些不同?5两个空间的关系用一个映射来联系,怎样的映射是连续的?有几种方法可以判断映射是连续的?6为了向实数空间看齐,可以在集合中引进“度量”这个概念度量空间有哪些性质?按以上这些要点复习一遍然后记住以下几个常见的空间的性质:实数空间,平庸空间,离散空间,有限补空间,可数补空间；开集,闭集,邻域是怎样的?