同济大学测量学课件第06章测量误差基本知识

(同济大学测量学课件同济大学测量学课件)第第0606章章-测量误差基本知识测量误差基本知识第六章第六章 测量误差基础知识266-1 测量误差的概念测量误差的概念一、测量误差的来源一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性、观测者感官的局限性3、外界环境的影响、外界环境的影响3一一.产生产生测测量量误差的原误差的原因因一一.产生产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限仪器精度的局限,轴系残余误差轴系残余误差,等。等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制判断力和分辨率的限制,经验经验,等。等。外界影响外界影响 气象因素气象因素(温度变化温度变化,风风,大气折光大气折光)结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外)有关名词有关名词：观测条件观测条件:上述三大因素总称为上述三大因素总称为观测条件观测条件等精度观测等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为次观测，称为等精度观测。等精度观测。4二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类（一）分类系统误差系统误差在相同的观测条件下，误差在相同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按出现在符号和数值相同，或按一定的规律一定的规律变化。变化。例：例：误差误差 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 D Dk k 钢尺温度误差钢尺温度误差 D Dt t 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差i i 经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C C 处理方法处理方法计算改正计算改正计算改正计算改正 操作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)5二、测量误差的分类与对策二、测量误差的分类与对策（一）分类一）分类偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，误在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差表面看没有任何规律性，但大量的误差有有“统计规律统计规律”粗差粗差特别大的误差（错误）例例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差导致观测值产生误差 。6（二）处理原则二）处理原则粗差粗差细心，多余观测细心，多余观测系统误差系统误差找出规律，加以改正找出规律，加以改正偶然误差偶然误差多余观测，制定限差多余观测，制定限差7如何处理含有偶然误差的数据？如何处理含有偶然误差的数据？n n例如：n n对同一量观测了n次n n观测值为 l1,l2,l3,.lnn n如何取值取值？如何评价数据的精度？8三三.偶然误差的特性偶然误差的特性 1.1.偶然误差的定义：偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：(6-1-1)(6-1-1)真误差真值观测值9n n例如：n n对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180(i+i+I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。10误差区间误差区间 负误差负误差 正误差正误差 误差绝对值误差绝对值d d K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 450.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.05944440.1230.123 1215 1215 17 170.0470.047 16 0.045 16 0.04533330.0920.092 1518 1518 13 130.0360.036 13 13 0.036 0.03626260.0730.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.0310.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.0170.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000181 0.505 177 0.495 358 1.000 表表表表6-1 6-1 6-1 6-1 偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计偶然误差的统计 11-24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X=k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。12偶然误差偶然误差的特性的特性n n有限性有限性：在有限次观测：在有限次观测中，偶然误差应小于限中，偶然误差应小于限值。值。n n渐降性渐降性：误差小的出现：误差小的出现的概率大的概率大n n对称性对称性：绝对值相等的：绝对值相等的正负误差概率相等正负误差概率相等n n抵偿性抵偿性：当观测次数无：当观测次数无限增大时，偶然误差的限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。平均数趋近于零。136-2评定精度的标准评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差146-2评定精度的标准评定精度的标准二、相对中误差二、相对中误差平均误差一、中误差一、中误差15按观测值的真误差计算中误差按观测值的真误差计算中误差16n n如果函数是连续型如果函数是连续型随机变量随机变量X X的分布密度函数的分布密度函数概率概率17正态分布正态分布18m m1 1较小较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；误差分布比较集中，观测值精度较高；m m2 2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较两组观测值中误差图形的比较：m m1 1=2.72.7 m m2 2=3.63.6 19正态分布的特征正态分布的特征n n正态分布密度以 为对称轴,并在 处达到最大。n n当 时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。n n用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐点。n n对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率2021区别错误与误差的阀值区别错误与误差的阀值n n随机变量随机变量X X在区间（在区间（x x1 1x x2 2）之之间的间的概率概率为为n n则函数是连续型随则函数是连续型随机变量机变量X X的的分布密度函数分布密度函数n n如果如果n n就得就得正态分布正态分布22三、极限误差2324n n但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：=？m=？寻找最接近真值的值x66-3观测值的算术平均值及改正值 25集中趋势的测度（最优值）集中趋势的测度（最优值）n n中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。n n众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。n n切尾平均数：去掉 lmax,lmin以后的平均数。算术平均数：满足最小二乘原则的最优解26一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解27证明（证明（x是最或然值）是最或然值）n n n n将上列等式相加，并除以n,得到n n 28二、观测值的改正值二、观测值的改正值n n若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解x改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘296-4观测值的精度评定观测值的精度评定n n标准差可按下式计算中误差30证明证明n n将上列左右两式相减，得将上列左右两式相减，得31分别取平方分别取平方分别取平方分别取平方32取和取和取和取和对代入前式代入前式33计算标准差例子计算标准差例子 34小结小结n n一、已知真值一、已知真值X X，则，则真误差真误差n n一、真值不知，则一、真值不知，则二、中误差二、中误差356-5误差传播定律误差传播定律n n已知：mx1,mx2,mxnn n求：my=?y=?36观测值函数的中误差 误差传播定律一一.观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数37二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和(差差)函数函数已知：mx,my,求：mz=?38二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和（一）和(差差)函数函数已知：mx,my,求：mz=?和和39二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数已知：mx,my,求：mz=?和和40二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数已知：mx,my,求：mz=?41二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数（一）和差函数已知：mx,my,求：mz=?和和42二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方43二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?44解：解：例例 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式45二、几种常用函数的中误差二、几种常用函数的中误差 （三）线性函数三）线性函数已知：mxi,求：mz=?46（三）线性函数三）线性函数特殊xi为独立独立观测值47例例6 6距离误差距离误差例：例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ；观测值的中误差 ；算术平均值的中误 差 ；算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。48二二二二.误差传播误差传播误差传播误差传播定律定律定律定律(四四)一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数xi为独立独立观测值对上式上式线性化49中误差关系式中误差关系式：n n小结n n第一步：写出函数式n n第二步：写出全微分式(线性化)n n第三步：写出中误差关系式n n注意：注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式一步写出中误差关系式。50观测值函数中误观测值函数中误差公式汇总差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 51例例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差三、几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。52例题例题已知 有求：错误53例题例题已知 有；求：54观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D66-6 误差传布定律应用举例556-6 误差传播定律应用观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h56误差传播定律误差传播定律应用举例应用举例应用举例应用举例算术平均值算术平均值 已知：已知：mm1 1=m=m2 2=.=m=.=mn n=m =m 求：求：mx57算例：用三角形闭合差求测角中误差算例：用三角形闭合差求测角中误差58误差传播定律的应用误差传播定律的应用解：解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例：例：要求三角形最大闭合差 ，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。59DMPxyXYO由误差传播定律：解：解：P点的点位中误差：例例9：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ，求由此引起的P点的坐标中误差 、，以及P点的点位中误差 。606-7加权平均数及其中误差加权平均数及其中误差n n现有三组观测值，计算其最或然值现有三组观测值，计算其最或然值A A组：组：123.34,123.39,123.35 123.34,123.39,123.35B B组：组：123.31,123.30,123.39,123.32 123.31,123.30,123.39,123.32C C组：组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32 123.34,123.38,123.35,123.39,123.32n n各组的平均值各组的平均值 A A组：组：123.360 123.360 B B组：组：123.333123.333 C C组：组：123.356123.356 =?61加权平均数加权平均数 n n各组的平均及其权各组的平均及其权 A A组：组：123.360 123.360 权权P PA A=3=3 B B组：组：123.333 P 123.333 PB B=4=4 C C组：组：123.356 P 123.356 PC C=5=5 ()()()62一、权与中误差一、权与中误差n n平均数的权平均数的权p pA A=3=3n n平均数的中误差平均数的中误差n nmm单位权中误差单位权中误差n n权与误差的平方成反比权与误差的平方成反比63二、加权平均数二、加权平均数64三、加权平均值的中误差三、加权平均值的中误差 65四、单位权中误差的计算四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则66加权平均值标准差的算例加权平均值标准差的算例67例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值：1 2 402014 4 1 42 4 40 20 17 7 2 143 6 40 20 20 10 3 30 L0=40 20 10 6 48v vpvvpvv+4+41616+1+12 2-2-21212303068例：例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号 测回数各组平均值L权 P LP L表5-5加权平均值：1 2 40 2014“4 2 82 4 40 2017“7 4 283 6 40 2020“10 6 60 L0=40 2010 12 96v vpvvpvv+4+43232+1+14 4-2-22424606069五、权倒数传播定律五、权倒数传播定律有；权倒数传播定律 m2 m2 m2 m270例题例题有；已知 求：71结束结束