结构力学位移法

位位移移法法学习内容学习内容1.位移法的基本概念位移法的基本概念2.等截面杆件的刚度方程等截面杆件的刚度方程3.无侧移刚架的内力计算无侧移刚架的内力计算4.有侧移刚架的内力计算有侧移刚架的内力计算5.位移法的基本体系位移法的基本体系6.对称结构的计算对称结构的计算要求要求：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。弯矩图的绘制。熟记一些常用的形常数和载常数。熟记一些常用的形常数和载常数。掌握利用对称性简化计算。掌握利用对称性简化计算。掌握荷载作用下超静定结构的计算，掌握荷载作用下超静定结构的计算，位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直接平衡方程法。接平衡方程法。满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条件；位移满足协调条件。件；位移满足协调条件。件；位移满足协调条件。件；位移满足协调条件。当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量作为突破口时采取的方法就是位移法。作为突破口时采取的方法就是位移法。作为突破口时采取的方法就是位移法。作为突破口时采取的方法就是位移法。超静定结构计算的总原则：超静定结构计算的总原则：欲求超静定结构先取一个欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。原结构完全一样。超静定结构计算超静定结构计算 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：第一种：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移后计算位移力法。力法。第二种：第二种：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力计算内力位移法。位移法。结构结构在外因作用下在外因作用下产生产生内力变形内力与变形间存在关系内力与变形间存在关系第一节第一节 位移法的基本概念位移法的基本概念位移法是以结点的位移作为的未知量的位移法是以结点的位移作为的未知量的。位移法是以力法作为基础的。位移法是以力法作为基础的。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。结点位移与杆端位移分析结点位移与杆端位移分析 BD伸长：DA伸长：DC伸长：杆杆端端位位移移分分析析由材料力学可知：杆端力与杆端杆端力与杆端位移的关系位移的关系 D D结点有结点有一向下的一向下的位移位移FPABCD45o45o建立力的建立力的平衡方程平衡方程由方程解得：位移法方程位移法方程把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：由结点平衡：由结点平衡或截面平衡，建立方程；由结点平衡或截面平衡，建立方程；结点位移回代，得到杆端力。结点位移回代，得到杆端力。总结一下位移法解题的步骤：总结一下位移法解题的步骤：确定结点位移的数量；确定结点位移的数量；写出杆端力与杆端位移的关系式；写出杆端力与杆端位移的关系式；解方程，得到结点位移；解方程，得到结点位移；位移法未知量的确定位移法未知量的确定 位移法是以结点的位移作为的未知量的位移法是以结点的位移作为的未知量的。结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=。只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有B结点有一个转角和水平位移ABCABC例1：例2：例3：有四个刚结点有四个刚结点E E、F F、D D、C C，由于忽，由于忽略轴向变形，此四点的竖向位移均零，略轴向变形，此四点的竖向位移均零，因此该结构的未知量为：因此该结构的未知量为：例4：有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于忽略轴向，由于忽略轴向变形，变形，B B、C C点的竖向位移为零，点的竖向位移为零，B B、C C点的水平位移相等，因此该结构的未点的水平位移相等，因此该结构的未知量为知量为：结论：刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于，由于忽略轴向变形及忽略轴向变形及B B、C C点的约点的约束，束，B B、C C点的竖向、水平位点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未移均为零，因此该结构的未知量为知量为：桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：结点有两个线位移。该结构的未知量为：ABCD例5：ABCD例6：排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：EA=ABCD例7：EA=ABCDEFG例8：该题的未知量为 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE例9：刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。第二节第二节 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 刚结点B处：两杆杆端都发生了角位移 ；杆长为：杆长为：L L未知量为未知量为：qABCEIEIqBCEI对于BC杆：其变形及受力情况与：一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载 q以及在固定端B处有一角位移 作用下的情况相同，其杆端力可以用力法求解。BC杆 对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在B端发生了角位移 的结果,其杆端力也可以用力法求解。结论：在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。BABA杆为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。剪力与轴力的规定没变剪力与轴力的规定没变。正弯矩：对杆端是顺时针转的，对结点是逆时针转的。下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。弯矩的正负规定弯矩的正负规定：绕杆端顺时针旋转为正，逆时：绕杆端顺时针旋转为正，逆时针旋转为负，但对结点与支座，逆时针旋转为正。针旋转为负，但对结点与支座，逆时针旋转为正。转角和侧移都是以顺时针为正转角和侧移都是以顺时针为正。如下图所示，两端固定的杆如下图所示，两端固定的杆AB,发生如图所示的支座发生如图所示的支座位移，求杆位移，求杆AB的杆端弯矩的杆端弯矩。MBAMABBA杆端力和杆端位移的正杆端力和杆端位移的正负规定负规定：杆端转角杆端转角A A 、B B位移位移，都以顺时针为正。，都以顺时针为正。杆端弯矩都以顺时针杆端弯矩都以顺时针为正。为正。三次超静定结构，只能用力法求解，需解除三个约束三次超静定结构，只能用力法求解，需解除三个约束。1、确定基本体系、确定基本体系2、确定基本方程、确定基本方程3、确定系数与自由项、确定系数与自由项4、解方程，求杆端弯矩、解方程，求杆端弯矩几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程（1）远端为固定支座）远端为固定支座由于由于B=0带入方程带入方程(a)中中得得(a)（2）远端为活动支座）远端为活动支座(a)由于由于MBA=0带入方程带入方程(a)中得中得（3）远端为滑动支座）远端为滑动支座(a)由于由于,带入方程带入方程(b)中得中得(b)由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2i=1ABAB1AB10AB=13i0AB=1i i0由荷载求固端反力由荷载求固端反力固端弯矩与固端剪力：不同杆件在荷载作用下的杆端固端弯矩与固端剪力：不同杆件在荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力。因为它们是只与荷载形式有关的常弯矩和杆端剪力。因为它们是只与荷载形式有关的常数，故又称为载常数数，故又称为载常数注：注：1）可在载常数表中查到，（此表由力法计算得到）可在载常数表中查到，（此表由力法计算得到）2）三类杆件：两端固定的梁）三类杆件：两端固定的梁一端固定、另一端简支的梁一端固定、另一端简支的梁一端固定、另一端滑动支撑的梁一端固定、另一端滑动支撑的梁3）固端弯矩与固端剪力均以顺时针为正。）固端弯矩与固端剪力均以顺时针为正。单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图ABq qP Pa ab b b bABq qABq qa ab bABP PABP Pa ab b由外荷载单独作用引起的杆端力称为载常数由外荷载单独作用引起的杆端力称为载常数。在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：两端固定单元杆端弯矩表达式：两端固定单元杆端弯矩表达式：此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有已知支座转角的固定端。已知支座转角的固定端。一端固定一端铰结单元杆端弯矩表达式：一端固定一端铰结单元杆端弯矩表达式：此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有已知支座转角的固定端。已知支座转角的固定端。此铰接一般指结构内部杆与杆之间的铰结和与基此铰接一般指结构内部杆与杆之间的铰结和与基础连接的铰支端。础连接的铰支端。一端固定一端滑动单元杆端弯矩表达式：一端固定一端滑动单元杆端弯矩表达式：此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有已知支座转角的固定端。已知支座转角的固定端。此滑动端一般指结构内部杆与杆之间的滑动连接此滑动端一般指结构内部杆与杆之间的滑动连接和与基础连接的滑动端。和与基础连接的滑动端。杆长为：杆长为：L L BABA杆杆BCBC杆杆1.确定未知量确定未知量未知量为未知量为:2.写出杆端力的表达式写出杆端力的表达式3.建立位移法方程建立位移法方程取取B B结点，由结点，由 ,得得:AEIBCEIq4.解方程，得解方程，得:5.把结点位移回代，得杆端弯矩把结点位移回代，得杆端弯矩6.画弯矩图画弯矩图qL28qL214qL228ABCM图图先化整为零，再集零为整先化整为零，再集零为整通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系；端位移和杆端力的关系；通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程;解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。ll qEI=常数ABCAAF1F1=0F1Pql2/12ql2/12ABCAF11ql2/12F1P施加约束锁住结点，将结构变为两根超静定杆，求荷载作用的弯矩图。人为施加力偶，使结点产生角位移，求单杆弯矩图。qABC qABC 位移法计算思路的引入位移法计算思路的引入ABCql2/245ql2/48ql2/48qABCR1Pql2/12ql2/12ABCF11因此，位移法分析因此，位移法分析中应解决的问题是中应解决的问题是:确定单跨梁在各确定单跨梁在各种因素作用下的种因素作用下的杆端力。杆端力。确定结构独立的确定结构独立的结点位移。结点位移。建立求解结点位建立求解结点位移的位移法方程移的位移法方程.第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移结构的结点位移结构的结点位移独立结点线位移独立结点线位移独立结点角位移独立结点角位移 确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约束，确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。未知量个数要最少。未知量个数要最少。独立角位移个数等于位移未知的刚结点个数；独立结点独立角位移个数等于位移未知的刚结点个数；独立结点线位移个数等于结构铰化后为使铰结体系几何不变所要线位移个数等于结构铰化后为使铰结体系几何不变所要加的最少链杆数。加的最少链杆数。在结点上施加附加约束以消除独立位移即得位移法的基在结点上施加附加约束以消除独立位移即得位移法的基本结构，对应独立角位移处施加限制转动的刚臂；对应本结构，对应独立角位移处施加限制转动的刚臂；对应独立线位移处施加限制平移的链杆支座。独立线位移处施加限制平移的链杆支座。第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移刚架在荷载作用下结构发生了变形，结点刚架在荷载作用下结构发生了变形，结点C、D发生了转发生了转动和移动。为了阻止结点移动，在结点动和移动。为了阻止结点移动，在结点D(或结点或结点C)上加上加一附加链杆一附加链杆(其作用是阻止结点线位移而不限制结点转动其作用是阻止结点线位移而不限制结点转动)。在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点。在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点(包括组合结包括组合结点点)，都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚臂，都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚臂，故只需清点刚结点的数目。故只需清点刚结点的数目。位移法的基本结构是单跨梁系位移法的基本结构是单跨梁系第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 刚架铰化以判断加附加链杆的个数刚架铰化以判断加附加链杆的个数刚架变成铰结体系，该体系需增加两根链杆才能组成几何刚架变成铰结体系，该体系需增加两根链杆才能组成几何不变体系。原结构加上这两个链杆后各结点就不能移动了不变体系。原结构加上这两个链杆后各结点就不能移动了.第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数在结点线位移固定的情况下，刚架各刚结点上附加在结点线位移固定的情况下，刚架各刚结点上附加刚臂后就形成单跨梁系的基本结构了。刚臂后就形成单跨梁系的基本结构了。第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结点都变成为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结点都变成不动结点。如不动结点。如图图(a)(a)所示结构中，对联结所示结构中，对联结CDCD与与DEDE杆而言，结杆而言，结点点D D为刚结点，也有转角位移。又如为刚结点，也有转角位移。又如图图(b)(b)所示结构中，所示结构中，EFEF附属部分为一静定简支梁。附属部分为一静定简支梁。第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移【例题例题】确定所示结构的位移法基本结构。确定所示结构的位移法基本结构。【解解】在结点在结点F加一个附加链杆，这时结点加一个附加链杆，这时结点F不能移动。不能移动。F、B二结点不移动，结点二结点不移动，结点E也就不移动了。也就不移动了。E、A二结点不移动，结二结点不移动，结点点D也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不移动了，不管梁是水平的，还是斜的。移动了，不管梁是水平的，还是斜的。在刚结点在刚结点D、E处加入二个附加刚臂。处加入二个附加刚臂。位移法基本结构如图示。位移法基本结构如图示。第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移【例题例题】确定所示结构的位移法基本结构。确定所示结构的位移法基本结构。【解解】化为铰结体系化为铰结体系(未画出未画出)不难看出，需加入两根附加支杆不难看出，需加入两根附加支杆才能使其形成几何不变体系。才能使其形成几何不变体系。在刚结点在刚结点B B、C C、D D处加入三个附加刚臂。处加入三个附加刚臂。位移法基本结构如图示。位移法基本结构如图示。第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移【例题例题】确定所示结构的位移法基本结构。确定所示结构的位移法基本结构。【解解】该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取为一个结点。铰结体系如为一个结点。铰结体系如图图(b)(b)所示，容易看出结点所示，容易看出结点C C能上下移能上下移动，需加入一附加支杆动，需加入一附加支杆(图图(c)(c)。此外，还应在结点此外，还应在结点C C处加入一附加刚臂。处加入一附加刚臂。位移法基本结构如位移法基本结构如图图(d)(d)所示。所示。第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程用位移法计算用位移法计算图图(a)(a)所示刚架时，首先要将其变为位移所示刚架时，首先要将其变为位移法基本结构。法基本结构。1.典型方程法典型方程法由于原结构只有结点由于原结构只有结点B B能转动，故需在结点能转动，故需在结点B B上加一刚臂上加一刚臂1 1，以阻止其转动，以阻止其转动。第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程修改的结构变成了两个两端固定梁修改的结构变成了两个两端固定梁BABA和和BCBC组成的位移组成的位移法基本结构。法基本结构。1.典型方程法典型方程法基本结构与原结构的差别基本结构与原结构的差别表现为：无转角，给结点表现为：无转角，给结点施加了一个反力矩。施加了一个反力矩。欲消除其差别，需将刚臂欲消除其差别，需将刚臂1 1即结点即结点B B转动一个应有的转动一个应有的即实际的角度即实际的角度Z Z。第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程刚臂转到应有角度时，结构恢复了附加刚臂前的自然状态，刚臂转到应有角度时，结构恢复了附加刚臂前的自然状态，去掉刚臂，也会停留在原处，而不会再转动，即使不去掉刚去掉刚臂，也会停留在原处，而不会再转动，即使不去掉刚臂，刚臂也不会起作用，即此时刚臂的反力矩臂，刚臂也不会起作用，即此时刚臂的反力矩 R1=0由原结构变为基本结构，再由基本结构恢复为原结构的由原结构变为基本结构，再由基本结构恢复为原结构的过程为：先加刚臂，固定结点后，加上荷载，此时刚臂产生过程为：先加刚臂，固定结点后，加上荷载，此时刚臂产生反力矩。然后，转动刚臂，放松结点。转动一点，刚臂的反反力矩。然后，转动刚臂，放松结点。转动一点，刚臂的反力矩就减少一点，转动到应有位置时，刚臂的反力矩就变为力矩就减少一点，转动到应有位置时，刚臂的反力矩就变为零了。零了。1.典型方程法典型方程法 结构受两种作用，由叠加原理可分解为结点位移和杆结构受两种作用，由叠加原理可分解为结点位移和杆中荷载两种情况。只有外力作用而无转角中荷载两种情况。只有外力作用而无转角Z1 1的影响的杆和的影响的杆和只有杆端位移影响的杆。可用形常数和载常数求得。只有杆端位移影响的杆。可用形常数和载常数求得。1.典型方程法典型方程法FPEI=常数常数ABCFP基本体系基本体系基本方程基本方程基本未知量基本未知量基本结构与原结构有两点区别基本结构与原结构有两点区别：消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结点位移的；点位移的；原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程1.典型方程法典型方程法FPEI=常数常数ABCFP基本体系基本体系基本方程基本方程基本未知量基本未知量 R1是基本体系在结点位移是基本体系在结点位移Z Z1 1和荷载共同作用下产生的附加约和荷载共同作用下产生的附加约束中的反力（矩），按叠加原理束中的反力（矩），按叠加原理 R1等于各个因素分别作用等于各个因素分别作用时产生的附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典时产生的附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典型方程：型方程：第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程1.典型方程法典型方程法根据线弹性体系的叠加原理可知：约束位移和外因共同根据线弹性体系的叠加原理可知：约束位移和外因共同作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零。作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零。以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得。以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得。kij 是与外因无关的反力影响系数，是基本结构的特性。是与外因无关的反力影响系数，是基本结构的特性。RiP是与基本结构的广义荷载反力。是与基本结构的广义荷载反力。第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程1.典型方程法典型方程法注意：注意：位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。实质上是原结构应满足的平衡条件。位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩）。其中：反力（矩）。其中：RiP表示基本体系在荷载作用下产生的第表示基本体系在荷载作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）个附加约束中的反力（矩）,称为自由项。称为自由项。kijZj 表示基本体表示基本体系在系在Zj作用下产生的第作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；个附加约束中的反力（矩）；第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程1.典型方程法典型方程法 主系数主系数kii表示基本体系在表示基本体系在Zi=1=1作用下产生的第作用下产生的第i个附加个附加约束中的反力（矩）约束中的反力（矩）,kii恒大于零；恒大于零；付系数付系数kij表示基本体系在表示基本体系在Zj=1=1作用下产生的第作用下产生的第i个附加个附加约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有kij=kji ，付系数，付系数可大于零、等于零或小于零。可大于零、等于零或小于零。由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程：各种因素共同作用下杆各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。端弯矩的表达式称为转角位移方程。两端固定梁转角位移方程：两端固定梁转角位移方程：q2.直接平衡法直接平衡法 一端固定一端铰支梁转角位移方程：一端固定一端铰支梁转角位移方程：两端固定梁转角位移方程：两端固定梁转角位移方程：2.直接平衡法直接平衡法第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程q54/98 一端固定一端铰支梁转角位移方程：一端固定一端铰支梁转角位移方程：一端固定一端定向支承梁转角位移方程：一端固定一端定向支承梁转角位移方程：q 已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力：已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力：2.直接平衡法直接平衡法 两端固定梁转角位移方程：两端固定梁转角位移方程：第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程直接列平衡方程法：直接列平衡方程法：位移法方程实质上是静力平衡方程。位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。直接由转结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程就是位移法的基本建立截面的投影平衡方程。这些方程就是位移法的基本方程。方程。2.直接平衡法直接平衡法以结点以结点B B的转角位移为的转角位移为基本未知量基本未知量Z。写出相应的杆端刚。写出相应的杆端刚度方程。利用结点平衡列出方程，进而求杆件内力。度方程。利用结点平衡列出方程，进而求杆件内力。2.直接平衡法直接平衡法FPEI=常数常数ABC1.典型方程法求解步骤典型方程法求解步骤 确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。本体系。令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力约束中的总反力(矩矩)=0)=0，列位移法典型方程。，列位移法典型方程。绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。和自由项。解方程，求出结点位移。解方程，求出结点位移。用公式叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。用公式叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。根据根据M M图由杆件平衡求图由杆件平衡求FQ ，绘，绘FQ图，再根据图，再根据FQ图由结图由结点投影平衡求点投影平衡求FN ，绘，绘FN图。图。第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 20kN ABC3m3m6mii2kN/m1 1）确定基本未知）确定基本未知量量Z Z1 1=B B ；2 2）确定位移法基）确定位移法基本体系；本体系；3 3）建立位移法典）建立位移法典型方程；型方程；4 4）画）画M、MP;由平由平衡求系数和自由衡求系数和自由项；项；例题：例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。用位移法解图示连续梁作弯矩图。Z1=12i4i ABC3ik114i 3i k11=4i+3i=7iM1第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 20kN ABCii2kN/m1 1）确定基本未知）确定基本未知量量Z Z1 1=B B ；2 2）确定位移法基）确定位移法基本体系；本体系；3 3）建立位移法典）建立位移法典型方程；型方程；4 4）画）画M、MP;由平由平衡求系数和自由衡求系数和自由项；项；例题：例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。用位移法解图示连续梁作弯矩图。k11=4i+3i=7i2kN/m20kN ABC15159R1P15 9 R1P=159=6MP2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例3m3m6m第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 20kN ABCii2kN/mABC16.7211.5795 5）解方程，求基）解方程，求基本未知量；本未知量；6 6）按）按 M=MiZi+MP 叠加最后弯矩图叠加最后弯矩图30M图图 (kN.m)11.57 11.577 7）校核平衡条件）校核平衡条件MB=0例题：例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。用位移法解图示连续梁作弯矩图。2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 例题：例题：用位移法解图示无侧用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。移刚架，作内力图。15kN/m48kN4m4m2miii 15kN/m48kN基本体系基本体系Z12.典型方程法分析举例典型方程法分析举例2m第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 15kN/m48kN202036MP20360F1P=16F1P+15kN/m48kN基本体系基本体系Z1M12i4i3ii4i3iik11=8ik11解之：Z1=F1P/k11=2/i 叠加弯矩图 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例例题：例题：用位移法解图示无侧用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。移刚架，作内力图。第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 15kN/m48kN4m4m2m2miii1628 3030482M图(kN.m)3327+31.5+16.5FS图(kN)2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例例题：例题：用位移法解图示无侧用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。移刚架，作内力图。ll/2l2EIEIABDC2EIqq基本体系基本体系例题：例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 基本方程基本方程q第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 例题：例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。4I4I5I3I3Iiii0.75 i0.5 iiii0.75 i0.5 iABCDEF5m4m4m4m2m20kN/m1 1、基本未知量、基本未知量2 2、基本体系、基本体系3 3、典型方程、典型方程20kN/mABCDEF基本体系基本体系例题：例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。1 1、基本未知量、基本未知量2 2、基本体系、基本体系3 3、典型方程、典型方程M1ABCDEF3i4i2i3i1.5iM2ABCDEF3i4i2i2ii4 4、求系数和自由项、求系数和自由项1 1、基本未知量、基本未知量2 2、基本体系、基本体系3 3、典型方程、典型方程ABCDEF20kN/m4041.741.7MPR1P=4041.7=1.7R2P=41.75 5、解方程，求基本未知量；、解方程，求基本未知量；4 4、求系数和自由项、求系数和自由项1 1、基本未知量、基本未知量2 2、基本体系、基本体系3 3、典型方程、典型方程5 5、解方程，求基、解方程，求基本未知量；本未知量；4 4、求系数和自由项、求系数和自由项6 6、叠加绘制内力图、叠加绘制内力图ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)【例例】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设EI=常数。常数。解：解：(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的可以利用对称性取结构的1/4部分进行计算，其基本未知量只有部分进行计算，其基本未知量只有结点结点A的转角的转角Z1。(2)选择基本体系选择基本体系 c)基本体系基本体系d)M1图图e)MP图图(kNm)(3)建立典型方程建立典型方程(4)求系数和自由项求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量(6)作最后弯矩图作最后弯矩图【例例6.4】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，EI为常数。为常数。【解解】(1)(1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目 此此刚刚架的基本未知量架的基本未知量为结为结点点B B和和C C的角位移的角位移Z Z1 1和和Z Z2 2，即，即n n=2=2。(2)(2)确定基本体系，如确定基本体系，如图图所示。所示。(3)建立典型方程建立典型方程根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方程如下：程如下：(4)求系数和自由项求系数和自由项k11=4.848=16.8k k2121 =4 4k12=4k22=8+4=12F1P=5060=10kNmF2P=60 kNm(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得Z Z1 1 =1.941.94，Z Z2 2 =5.655.65(6)作最后弯矩图作最后弯矩图 力法与位移法比较力法与位移法比较 欲求解超静定结构，先选取基本体系，然后让基本欲求解超静定结构，先选取基本体系，然后让基本体系与原结构受力一致（或变形一致），由此建立体系与原结构受力一致（或变形一致），由此建立求解基本未知量的基本方程。由于求解过程中所选求解基本未知量的基本方程。由于求解过程中所选的基本未知量和基本体系不同，超静定结构的计算的基本未知量和基本体系不同，超静定结构的计算有两大基本方法有两大基本方法力法和位移法。所以力法和位力法和位移法。所以力法和位移法有相同之处也有不同之处。移法有相同之处也有不同之处。力法与位移法比较力法与位移法比较 位移法位移法力法力法求解依据求解依据综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三方面的综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三方面的条件，使基本体系与原结构的变形和受力情况一致，条件，使基本体系与原结构的变形和受力情况一致，从而利用基本体系建立典型方程求解原结构。从而利用基本体系建立典型方程求解原结构。基本未知量基本未知量独立的结点位移，基本未独立的结点位移，基本未知量与结构的超静定次数知量与结构的超静定次数无关。无关。多余未知力，基本未知量多余未知力，基本未知量的数目等于结构的超静定的数目等于结构的超静定次数次数基本体系基本体系加入附加约束后得到的一加入附加约束后得到的一组单跨超静定梁作为基本组单跨超静定梁作为基本体系。对同一结构，位移体系。对同一结构，位移法基本体系是唯一的法基本体系是唯一的去掉多余约束后得到的静去掉多余约束后得到的静定结构作为基本体系，同定结构作为基本体系，同一结构可选取多个不同的一结构可选取多个不同的基本体系基本体系第七节第七节 力法与位移法比较力法与位移法比较 位移法位移法力法力法典型方程典型方程基本体系在外因和各结基本体系在外因和各结点位移共同作用下产生点位移共同作用下产生的附加约束反力（矩）的附加约束反力（矩）等于零。实质上是原结等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。构应满足的平衡条件。方程右端项总为零。方程右端项总为零。基本体系在外因和多余未基本体系在外因和多余未知力共同作用下产生多余知力共同作用下产生多余未知力方向的位移等于原未知力方向的位移等于原结构相应的位移。实质上结构相应的位移。实质上是位移条件。方程右端项是位移条件。方程右端项也可能不为零。也可能不为零。系数系数kij表示基本体系在表示基本体系在Zj=1作作用下产生的第用下产生的第i个附加约个附加约束中的反力（矩）；束中的反力（矩）；ij表示基本体系在表示基本体系在Xj=1作用作用下产生的第下产生的第i个多余未知力个多余未知力方向的位移；方向的位移；自由项自由项RiP表示基本体系在荷载表示基本体系在荷载作用下产生的第作用下产生的第i个附加个附加约束中的反力（矩）；约束中的反力（矩）；iP表示基本体系在荷载作表示基本体系在荷载作用下产生的第用下产生的第i个多余未知个多余未知力方向的位移；力方向的位移；第七节第七节 力法与位移法比较力法与位移法比较 位移法位移法力法力法方法的方法的应用范围应用范围只要有结点位移，就有只要有结点位移，就有位移法基本未知量，所位移法基本未知量，所以位移法既可求解超静以位移法既可求解超静定结构，也可求解静定定结构，也可求解静定结构。结构。只有超静定结构才有多余只有超静定结构才有多余未知力，才有力法基本未未知力，才有力法基本未知量，所以力法只适用于知量，所以力法只适用于求解超静定结构求解超静定结构 方法的方法的选用选用对结点位移数比较少的对结点位移数比较少的结构选用。结构选用。对超静定次数较少的结构对超静定次数较少的结构选用。选用。