二次型和二次型的化简

线性代数 下页 结束 返回 第 3节 二次型与二次型的化简 下页 一、 二次型的定义 二、二次型的化简（矩阵的合同） 线性代数 下页 结束 返回 二次型概念的引入 下页 O x y ax2 + 2bxy + cy2 = 1 a b b c O x y x2 25 + y2 9 = 1 3 5 1/25 0 0 1/9 线性代数 下页 结束 返回 定义 1 含有 n个变量的二次齐次多项式 叫做 n元二次型 ， 当二次型的系数 aij ( i, j=1,2, ,n)都是实数时 , 称为实二次型 . 一、二次型的定义 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 22 n n n nn nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x ax 特别地 , 只含有平方项的 n元二次型称为 n元二次型的标准形 . 2 2 21 2 1 1 2 2( , , , ) .n n nf x x x d x d x d x 下页 线性代数 下页 结束 返回 练习： 下页 221 2 1 2 2 32 4 4f x x x x x x 1 3 1 4 2 3 2 48 2 2 8f x x x x x x x x 2 2 2 21 2 3 4 1 3 1 4 2 3 2 41 4 7 6 4 4 2f x x x x x x x x x x x x 5 2248xx 47x 线性代数 下页 结束 返回 二次型的矩阵形式 令 下页 ),.,2,1.( njiaa jiij 得 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 22 n n n nn nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x ax 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 21 2 1 22 2 23 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) n n n nn n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x 线性代数 下页 结束 返回 下页 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 21 2 1 22 2 23 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) n n n nn n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x x a x 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) ( ) () () n n n nn n n n n n n n f x x x x a x a x a x a x x a x a x a x a x x a x a x a x a x 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) nn nn nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x f x x x x x x a x a x a x a x 线性代数 下页 结束 返回 下页 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 ( , , , ) nn nn nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x f x x x x x x a x a x a x a x 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 12 ( , , , ) n n nn nn n n n a a a x a a a x f x x x x x x xa a a 12( , , , ) Tnf x x x X A X ，其中 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 1 2 ,. n x x X x 线性代数 下页 结束 返回 实对称矩阵称 A为二次型 系数矩阵 , A的秩称为 二次型的秩 . 若二次型 f是 标准形 ,即其系数矩阵是对角矩阵 . 下页 12( , , , ) Tnf x x x X A X nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 1 2 ,. n x x X x ,其中 12( , , , )nd ia g d d d ,其中 2 2 21 2 1 1 2 2( , , , ) ,n n nf x x x d x d x d x 则 f 的矩阵形式为 XXxxxf T n ),( 21 TXX 11 22 12 00 00 00 n nn dx dx x x x dx 1 2 1 1 2 2 . nn n x x d x d x d x x 2 2 21 1 2 2 nnd x d x d x 12( , , , ) .nf x x x 线性代数 下页 结束 返回 例 1. 写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩 . 323121232221321 484363),( xxxxxxxxxxxxf (1) 2322321 4),( yyyyyf (2) 3 2 4 2 6 2 , 4 2 3 A 1 2 3( , , )f y y y (2)二次型 系数矩阵为 0 0 0 0 1 0 , 0 0 4 B 因 r(A)=3, 故二次型的秩等于 3. 因 r(B)=2, 故二次型的秩等于 2. 解 : (1)二次型 下页 系数矩阵为 1 2 3( , , )f x x x 线性代数 下页 结束 返回 二次型的化简 下页 二次曲线 ax2+bxy+cy2 =1 m(x)2 + n(y)2 = 1 O x y y O x x = xcos ysin y = xsin + ycos 线性代数 下页 结束 返回 由变量 y1, y2, yn到 x1, x2, xn的线性 变换 若 |P|0，则上述线性变换称为可逆 (满秩 )线性变换 . 记作 X=PY. 问题 ： 如何找一个可逆线性变换 X=PY， 使得将其代入二次型 后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式 (标准 形 ) . 化二次型为标准形 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 12 n n n n n n n n x p p p y x p p p y x p p p y 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 nn nn n n n n n n x p y p y p y x p y p y p y x p y p y p y 下页 线性代数 下页 结束 返回 现将 X=PY代入二次型，得 ( ) = ( ) ( ) ( ) , X P YT T T Tf X X A X P Y A P Y Y P A P Y 上式右端是关于变量 y1, y2, yn的二次型 . 如果其为标准形为 2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y 下页 11 22 12 00 00 00 n nn dy dy y y y dy ,TYY 比较上式两端得： 所以，寻求满秩线性变换 X=PY， 把二次型 f (X) 化为标准 型，从矩阵的角度讲，就是寻求满秩方阵 P，使得 TP AP TP AP 线性代数 下页 结束 返回 二、矩阵的合同 定义 2 设 A,B为 n阶方阵，若存在 n阶可逆矩阵 P，使 TP AP B 则称 A与 B合同，也称矩阵 A经合同变换化为 B，记做 A B 可逆变换 P称为 合同变换矩阵 。 性质： 1 A A（ ） 自 反 性 ： 2 A B B A（ ） 对 称 性 ： 若 ， 则 3 A B B C A C（ ） 传 递 性 ： 若 ， ， 则 （ 4）合同变换不改变矩阵的秩 （ 5）对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵 下页 线性代数 下页 结束 返回 我们知道，化 二次型 f (X)为标准形的问题，就是寻求可逆方阵 P， 使 A合同于对角矩阵，即 定理 1 任何一个实对称矩阵 A都合同于对角矩阵。 即对于一个 n阶实对称矩阵 A，总存在可逆矩阵 P， 使得 1 2 0 0 T r d d P AP d 12, , 0 .rd d d 12( , , , )T nP AP diag d d d 下页 其中 r是矩阵 A的秩。当 r0时， 线性代数 下页 结束 返回 常用化二次型为标准型的方法有： （ 1）配方法 （ 2）合同变换法 （ 3）正交变换法 结束