汽车结构有限元分析-第二讲-有限元基础理论

课 件 仅 作 为 学 习 交 流 之 用 ， 不 能 用于 商 业 用 途 第 二 讲 有 限 元 基 础 理 论 及 平 面 问 题 有 限 元 方 法 讲 述 以 下 问 题 -1.有 限 元 与 力 学 关 系2.回 顾 -材 料 力 学 研 究 对 象 与 研 究 方 法3.强 度 问 题 、 刚 度 问 题 、 稳 定 性 问 题4.点 的 应 力 状 态 -空 间 问 题5.广 义 Hooke定 律6.弹 性 力 学 的 基 本 方 程7.弹 性 力 学 问 题 分 类8.三 大 方 程 、 三 类 问 题 、 三 种 解 法9.平 面 问 题10.平 面 问 题 的 有 限 元 方 法 1.有 限 元 与 力 学 关 系弹 性 力 学 与 理 论 力 学 区 别 ： 理 论 力 学 研 究 对 象 是 质 点 、 质点 系 与 刚 体 （ 质 点 系 力 学 与 刚 体 力 学 ） 。材 料 力 学 与 弹 性 力 学 研 究 变 形 体 。 力 学 分 支 众 多 ： 材 料 力 学 、 结 构 力 学 、 弹 性 力 学 、 板 壳 力学 、 塑 性 力 学 、 断 裂 力 学 、 损 伤 力 学 、 复 合 材 料 力 学 、 结构 稳 定 性 理 论 、 振 动 理 论 、 流 体 力 学 、 结 构 动 力 学 等 ; 有 限 元 方 法 是 以 力 学 理 论 为 基 础 ， 是 一 种 现 代 数 值 计 算 方法 ， 是 一 种 解 决 工 程 实 际 问 题 的 数 值 计 算 工 具 ， 是 现 代 设计 与 分 析 方 法 的 支 柱 ！ 2.回 顾 -材 料 力 学 研 究 对 象 与 研 究 方 法研 究 各 种 工 程 结 构 ： 常 见 的 如 下 结 构 元 件 （ 构 件 ） : （ 1） 杆 、 杆 系 、 梁 、 柱 ， （ 长 宽 和 高 ） -材 料 力 学（ 2） 板 (中 厚 板 )、 壳 ， （ 厚 长 与 宽 ） -扳 壳 力 学（ 3） 三 维 体 ， -弹 性 力 学截 面 法 是 处 理 固 体 力 学 问 题 的 最 基 本 的 方 法 ：通 过 外 力 （ 作 用 力 和 约 束 力 ） 与 内 力 （ 应 力 ） 平 衡 求 构 件 的 响 应 ，通 过 本 构 （ 物 理 ） 关 系 求 变 形 （ 位 移 与 应 变 ） ， 最 重 要 的 是 材 料 力 学 中 的 平 截 面 法 ， 其 中 尤 以 梁 的 平 截 面 假 设 最为 重 要 。 -简 化 计 算 ！ 平 截 面 假 设初 始 与 梁 的 中 性 轴 垂 直 的 平 面 ,在 变 形 后 仍 垂 直 于轴 线 , 并 且 在 垂 直 轴 线 方 向 上 无 变 形 ；梁 的 基 本 方 程 ：22dxwdEIM 1 22 dxwd 2m ax 6bhM )4(2 22 ayhIQ bhQ23m ax max m axI yM 3.研 究 工 程 结 构 在 使 用 状 态 下 的 安全 性 、 可 靠 性 、 使 用 性 等 ， 实 现结 构 的 功 能 与 性 能 。强 度 问 题 (应 力 值 不 超 过 许 用 值 ) ；刚 度 问 题 (变 形 不 太 大 )；稳 定 性 问 题 （ 不 失 稳 ） ；振 动 问 题 （ 量 值 在 限 制 范 围 ） ；碰 撞 问 题 （ 安 全 生 存 空 间 ） ； 4 .点 的 应 力 状 态 -空 间 问 题 x yz yyzyx zyzx xyxzyz yxx zx z 弹 性 问 题 应 力 只 取 决 于 应 变 状 态 ， 与 达 到 该 状 态 的 过 程 无 关 。九 个 应 力 分 量 ， 九 个 应 变 分 量 （ 独 立 变 量 各 六 个 ） 。单 元 体 研 究 方 法 。 zzyzx yzyyx xzxyx zzyzx yzyyx xzxyx 2121 2121 2121 6.弹 性 力 学 的 基 本 方 程 -三 大 方 程物 理 方 程 x=2Gx + xy = Gxy y=2Gy + yz = Gyz z=2Gz + zx = Gzx 0 Xzyx zxyxx 0 Yzyx zyyxy 0 Zzyx zyzxz 平 衡 方 程 xux xvyuxy yvy ywzvyz zwz zuxwzx 几 何 方 程 5.各 向 同 性 弹 性 体广 义 Hooke定 律 EE zyx x xyxy E 12 EE xzy y yzyz E 12 EE yxzz zxzx E 12 弹 性 力 学 有 15个 基 本 方 程 ： 3个 平 衡 方 程 ； 6个 几 何 方 程 ； 6个 本 构 方 程 ；15个 基 本 未 知 量 ： 3个 位 移 分 量 ； 6个 应 力 分 量 ； 6个 应 变 分 量 ；* 加 适 当 边 界 条 件 。 弹 性 力 学 问 题 解 法 -三 种 解 法 （ 位 移 法 、 应 力 法 、 混 合 法 ）物 理 方 程 应 力w 平 衡 微 分 方 程w 静 力 边 界 条 件 变 形 (位 移 与 应 变 ) 变 形 协 调 方 程 (或 位 移 单 值 连 续 ) 位 移 边 界 条 件以 位 移 作 为 未 知 数 几 何 方 程 求 应 变物 理 方 程 求 应 力位 移 解 法 联 立 求 解 弹 性 力 学 问 题 分 类 -三 类 边 界 问 题静 力 边 界 问 题 位 移 边 界 问 题混 合 边 界 问 题 S u S (X,Y,Z)(X,Y,Z) 由 位 移 表 示 的 平 衡 微 分 方 程其 中 是 Lplace算 子静 力 边 界 条 件 使 用 位 移 表 示 位 移 边 界 条 件 0)( XxGuG 2 0)( YyGvG 2 0)( ZGwG 2 z2222222 zyx 9. 平 面 问 题平 面 应 变 物 体 是 一 柱 体 ， 轴 向 方 向 很 长 所 有 外 力 （ 体 积 力 和 面 力 ） 都 平 行于 横 截 面 作 用 ， 且 沿 轴 线 大 小 不 变平 面 应 力 沿 z方 向 的 厚 度 t均 匀 且 很 小所 有 外 力 均 作 用 在 板 的 周 边 和 板 内 ，平 行 于 板 面 作 用 ， 且 沿 厚 度 不 变 x y z y t/2t/2 z x y 平 面 应 变 特 点 （ 1） 位 移 u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0 （ 2） 应 变 平 面 内 ， x、 y、 xy 0， 均 为 x、 y的 函 数 ； 平 面 外 ， z=xz=yz =0； （ 3） 应 力 z=(x+y)平 面 问 题 的 协 调 方 程 01 )( yxzz E yxrxy xyyx 222222 平 面 应 力 特 点 （ 1） 应 力 在 z = 的 面 上 各 点 没 有 任 何 应 力 z=zx =zy =0 在 面 内 ： x、 y、 xy 0 （ 2） 应 变 2t xyxyyxyyxx E EE EE 12 yxz E xz=yz=0 （ 3) 位 移 u=u(x,y) v=v(x,y) w 0平 面 问 题 平 衡 微 分 方 程 0 Xyx yxx 0 Yyx yxy 平 面 问 题 几 何 方 程 yv y xvyuxy xux 10.有限元方法概念 平 面 问 题 的 有 限 元 法 用 弹 性 力 学 经 典 解 法 解 决 实 际 问 题 的 主 要 困 难 在 于 求 解 偏 微 分 方 程的 复 杂 性 ， 而 有 限 元 方 法 则 将 原 来 连 续 的 弹 性 体 离 散 化 ， 其 中 最 简单 的 就 是 采 用 三 角 形 单 元 对 弹 性 体 进 行 划 分 。 把 整 个 求 解 区 域 分 成 许 多 个 有 限 小 区 域 ， 这 些 小 区 域 称 之 为 单 元 。 在 每 个 单 元 上 构 造 近 似 位 移 函 数 ， 即 进 行 所 谓 的 分 片 插 值 。 在 每 一 个 单 元 上 求 势 能 。 将 所 有 单 元 上 的 势 能 加 起 来 得 弹 性 体 的 总 势 能 。 最 后 应 用 最 小 势 能 原 理 求 解 单 元 节 点 位 移 。 对 每 个 三 角 形 单 元 选 择 最 简 单 的 线 性 函 数 为 位 移 模 式 ，单 元 中 任 一 点 的 位 移 可 以 通 过 3个 结 点 的 位 移 进 行 插 值 运算 ， 这 样 整 个 区 域 中 无 限 多 个 未 知 位 移 量 就 可 以 用 有 限个 节 点 来 表 示 ， 从 而 避 免 了 求 解 覆 盖 整 个 区 域 的 位 移 函数 的 困 难 。 平 面 问 题 的 有 限 元 法 ， 不 仅 可 用 来 解 决 实 际问 题 ， 而 且 通 过 其 相 对 简 单 的 概 念 ， 可 以 详 细 了 解 用 有限 元 法 对 一 般 弹 性 体 进 行 应 力 分 析 的 基 本 原 理 和 方 法 步骤 ， 了 解 有 限 元 法 的 性 能 特 点 ， 使 用 中 应 注 意 的 问 题 ，从 而 为 学 习 后 续 各 章 节 打 下 基 础 。 i j m x y (x, y) uv下 面 就 以 平 面 三 角 形 单 元 阐 明 有 限 元 的 基 本 概 念 单 元 位 移 模 式 每 个 节 点 在 单 元 平 面 内 有 两 个 位 移 分 量 ， 相 应 有 两 个 自 由 度 ： 一 个 三 角 形 单 元 有 三 个 节 点 ， 共 6个 节 点 位 移 分 量 ， 其 单 元 节 点 位 移列 阵 可 表 示 为 ：位 移 模 式 可 取 为 最 简 单 的 线 性 函 数 ， 包 含 6个 待 定 常 数 、 。 Tiii vu ),( mji TmmjjiiTTmTjTie vuvuvu 1 63321 321 321 yxu yxu yxu mm jjj iii 3654 654 654 yxv yxv yxv mm jjj iii 一 种 简 单 的 线 性 位 移 函 数 为 ：式 中 、 、 为 6个 待 定 常 数 ， 可 以 由 单 元 的 节 点 位 移 确 定 。设 节 点 的 坐 标 分 别 为 ( ， )、 （ ， ） 、 （ ， ） ， 其 节 点 位 移 为 ， ， 将 它 们 代 入 上 式 得 ：联 立 求 解 上 述 公 式 左 边 的 6个 方 程 ， 可 以 求 出 待 定 常 数 : 整 理 后 得 ： yxv yxu 654 321 1 6 ix iy jx jy mx my),(),(),( mmjjii vuvuvu 、 3321 321 321 yxu yxu yxu mm jjj iii 3654 654 654 yxv yxv yxv mm jjj iii )()()(21 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu )()()(21 mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv 单 元 形 函 数函 数 表 示 单 元 内 部 的 位 移 分 布 形 态 ， 故 可 称 为 单 元 的 形 态 函 数 ， 简 称 为 形 函 数 。 得 到 由 节 点 位 移 表 达 单 元 内 任 一 点 位 移 的 插 值 公 式 ， 即 位 移 模 式 的 另 一 形 式 。 )()()(21 mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu )()()(21 mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv ),()(21 mjiycxbaAN iiii ),( mjivNvNvNv uNuNuNu mmjjii mmjjii iN iNjN mN 单 元 应 变 和 应 力 mmjjiimmjjii mji mjixyyx vuvuvubcbcbc ccc bbbA 000 00021 eB mji BBBB ee SBD mji SSSBDS ),(2/)1(2/)1()1(2 2 mjibc cb cbAEBDS ii ii iiii 单 元 平 衡 方 程 整 个 结 构 处 于 平 衡 状 态 ， 所 划 分 出 的一 个 小 单 元 体 同 样 处 于 平 衡 状 态 ， 而 结 构的 平 衡 条 件 可 通 过 节 点 的 平 衡 条 件 表 示 。有 限 元 的 任 务 就 是 要 建 立 和 求 解 整 个 弹 性体 的 节 点 位 移 和 节 点 力 之 间 关 系 的 平 衡 方程 。 为 此 首 先 要 建 立 每 一 个 单 元 的 节 点 位移 和 节 点 力 之 间 关 系 的 平 衡 方 程 。 单 元 平衡 方 程 可 以 利 用 最 小 势 能 原 理 建 立 ， 也 可以 利 用 虚 功 原 理 求 解 。 单 元 节 点 力 列 阵 ：单 元 节 点 虚 位 移 列 阵 ：单 元 内 部 引 起 的 虚 应 变 ： 根 据 虚 功 原 理 ： 外 力 虚 功 等 于 内 力 虚 功 。 所 以 节 点 力在 节 点 的 虚 位 移 上 所 作 的 虚 功 应 等 于 单 元 内 部 应 力 在 虚 应变 上 所 作 的 虚 功 。 这 就 是 单 元 保 持 平 衡 状 态 所 必 须 满 足 的条 件 ， 即 单 元 的 平 衡 条 件 。 Tmmjjiie YXYXYXF Tmmjjii vuvuvu * Tzyx * tdxdyF TeeT * eTe tdxdyBDBF eee kF tdxdyBDBk Te e mmmjmi jmjjji imijiimjiTmTjTie kkk kkk kkkAtBBBDBBBk 单 元 刚 度 矩 阵 利 用 虚 功 方 程 来 建 立 刚 度 方 程 ， 其 实 质 就 是 单 元 的 平 衡 方 程 。单 元 刚 度 矩 阵 具 有 以 下 性 质 ： (1) 单 元 刚 度 矩 阵 中 每 个 元 素 有 明 确 的 物 理 意 义 。 其 物 理 意义 是 单 位 节 点 位 移 分 量 所 引 起 的 节 点 力 。 例 如 ， 是 表 示当 单 元 第 n个 自 由 度 产 生 单 位 位 移 而 其 它 自 由 度 固 定 时 ，在 第 m个 自 由 度 产 生 的 节 点 力 。 (2) 是 对 称 矩 阵 。 其 元 素 之 间 有 如 下 关 系 ： ， 这 个 特性 是 由 弹 性 力 学 中 功 的 互 等 定 理 所 决 定 的 。（ 3） 是 奇 异 矩 阵 。 其 每 一 行 每 一 列 元 素 之 和 均 为 零 ， 物理 意 义 就 是 ： 在 无 约 束 的 条 件 下 ， 单 元 可 作 刚 体 运 动 。根 据 行 列 式 性 质 ， 可 知 值 也 为 零 。 mnk srrs kk ek ek 单 元 等 效 节 点 载 荷 外 载 荷 必 须 作 用 在 节 点 上 ， 而 实 际 的外 载 荷 又 往 住 并 不 是 通 过 节 点 作 用 的 。因 此 ， 必 须 将 这 些 非 节 点 载 荷 按 一 定 原则 移 置 到 节 点 上 ， 即 所 谓 等 效 节 点 载 荷处 理 。 这 种 移 置 必 须 满 足 静 力 等 效 原 则 。 处 理 单 元 内 的 集 中 力 、 体 力 和 单 元 边 界 上的 分 布 力 ， 惯 性 力 则 作 用 在 整 个 结 构 上 。 总 刚 度 矩 阵 当 以 有 限 个 单 元 通 过 有 限 个 节 点 连 接 而 成 的 组合 体 来 代 替 实 际 的 连 续 体 结 构 而 受 力 变 形 时 ， 显 然它 们 必 须 满 足 整 个 结 构 的 变 形 连 续 条 件 和 平 衡 条 件 。 在 整 体 分 析 中 ， 利 用 节 点 为 分 析 对 象 ， 根 据 各节 点 的 静 力 平 衡 条 件 ， 即 可 建 立 起 组 合 体 所 有 节 点的 静 力 平 衡 方 程 式 。 把 它 们 汇 集 在 一 起 ， 得 到 的 平衡 方 程 组 就 代 表 了 整 个 结 构 的 平 衡 条 件 。 进 行 整 体分 析 ， 即 是 将 各 个 单 元 的 平 衡 方 程 集 合 在 一 起 ， 得到 结 构 的 整 体 平 衡 方 程 。 K为 结 构 的 整 体 刚 度 矩 阵 ， 一 般 称 为 总 刚 度 矩 阵 ，其 维 数 为 2n 2n。 可 写 成 分 块 形 式 。 RK TTnTTT 321 TTnTTT RRRRR 321 解 题 步 骤 与 算 例 (1)首 先 绘 出 结 构 几 何 简 图 ， 在 此 基 础 上 将 结 构 离 散 化 。 平 面 问 题采 用 三 角 形 单 元 (其 他 形 状 单 元 以 后 讲 述 )， 所 以 其 离 散 就 是 将计 算 对 象 划 分 成 许 多 三 角 形 单 元 。 包 括 ： 进 行 节 点 编 号 、 单 元编 号 ， 任 选 一 直 角 坐 标 系 ， 定 出 所 有 节 点 的 坐 标 值 等 等 。 确 定载 荷 和 边 界 约 束 条 件 ， 将 各 单 元 所 受 的 非 节 点 载 荷 ， 包 括 体 力 、面 力 以 及 可 能 有 的 集 中 力 按 虚 功 等 效 原 则 移 置 到 节 点 上 ， 并 将各 节 点 上 的 这 些 载 荷 （ 包 括 直 接 作 用 在 节 点 上 的 集 中 载 荷 ） 分别 按 相 同 方 向 叠 加 等 。 (2)其 次 进 行 单 元 分 析 、 组 集 总 刚 度 矩 阵 、 求 单 元 应 力 和 节 点 应 力 。 前 处 理 计 算 后 处 理 nnnnn nn RRRnKKK KKK KKK 212121 22221 11211 平 面 问 题 的 离 散 化 v单 元 类 型 的 选 择 v单 元 的 大 小 v单 元 有 密 有 疏 v不 同 厚 度 或 不 同 材 料 处 ， 应 取 作 为 单 元 的 边 界 线 平 面 问 题 的 有 限 元 法 ， 不 仅 有 实 际 意 义 ，而 且 通 过 其 相 对 简 单 的 概 念 ， 可 以 详 细 了 解 用有 限 元 法 对 一 般 弹 性 体 进 行 应 力 分 析 的 基 本 原理 和 方 法 步 骤 ， 了 解 有 限 元 法 的 性 能 特 点 ， 使用 中 应 注 意 的 问 题 ， 从 而 为 学 习 以 后 各 章 打 下基 础 。 有 限 元 解 法 的 三 个 主 要 步 骤 就 是 ： 离 散 化 、 单 元 分 析 、 整 体 分 析 。 平 面 高 阶 单 元 四 节 点 矩 形 单 元 ： 为 了 提 高 有 限 单 元 法 计 算 结 果 的 精度 ， 除 了 增 加 单 元 数 目 外 ， 还 常 采 用 具 有 较 高 次 位 移 函 数 的 单 元 。 等 参 数 单 元 ： 三 角 形 单 元 和 矩 形 单 元 的 位 移 模 式 和 坐 换变 换 式 都 采 用 了 相 同 的 形 函 数 。 例 平 面 四 节 点 任 意 四 边 形 等 参 单元 。 xyyxyxv xyyxyxu 8765 4321)( )( ， ii i uNu 41 )()( ， ii i vNv 41 )()( ， 合 肥 工 业 大 学 车 辆 工 程 系 第 二 讲 结 束 语温 故 而 知 新