《正态分布详解》PPT课件

正 态 分 布 是 应 用 最广 泛 的 一 种 连 续 型 分 布 . 正 态 分 布 在 十 九 世 纪 前 叶 由高 斯 加 以 推 广 ， 所 以 通 常 称 为 高斯 分 布 . 德 莫 佛 德 莫 佛 最 早 发 现 了 二 项 概率 的 一 个 近 似 公 式 ， 这 一 公 式被 认 为 是 正 态 分 布 的 首 次 露 面 . 不 知 你 们 是 否 注 意 到 街 头 的 一 种 赌 博活 动 ? 用 一 个 钉 板 作 赌 具 。 街 头请 看 也 许 很 多 人 不 相 信 ， 玩 这 种 赌 博 游戏 十 有 八 九 是 要 输 掉 的 ， 不 少 人 总想 碰 碰 运 气 ， 然 而 中 大 奖 的 概 率 实在 是 太 低 了 。 下 面 我 们 在 计 算 机 上 模 拟 这 个 游 戏 ：街 头 赌 博高 尔 顿 钉 板 试 验 平 时 ， 我 们 很 少 有 人 会 去 关 心 小 球下 落 位 置 的 规 律 性 ， 人 们 可 能 不 相 信它 是 有 规 律 的 。 一 旦 试 验 次 数 增 多 并且 注 意 观 察 的 话 ， 你 就 会 发 现 ， 最 后得 出 的 竟 是 一 条 优 美 的 曲 线 。 高尔顿钉板试验这 条 曲 线 就 近 似 我 们 将 要 介绍 的 正 态 分 布 的 密 度 曲 线 。 正 态 分 布 的 定 义 是 什 么 呢 ？对 于 连 续 型 随 机 变 量 ， 一 般 是 给 出它 的 概 率 密 度 函 数 。 一 、 正 态 分 布 的 定 义 若 r.v X的 概 率 密 度 为 ),( 2NX记 作 f (x)所 确 定 的 曲 线 叫 作 正 态 曲 线 . xexf x ,)( )( 2 2221 其 中 和 都 是 常 数 ， 任 意 ， 0，则 称 X服 从 参 数 为 和 的 正 态 分 布 . 2 2 正 态 分 布 有 些 什 么 性 质 呢 ？ 由 于 连 续 型 随 机 变 量 唯 一 地 由 它的 密 度 函 数 所 描 述 ， 我 们 来 看 看 正 态分 布 的 密 度 函 数 有 什 么 特 点 。 正 态 分 布请 看 演 示 二 、 正 态 分 布 的 图 形 特 点),( 2N 正 态 分 布 的 密 度 曲 线 是 一 条 关 于 对称 的 钟 形 曲 线 . 特 点 是 “ 两 头 小 ， 中 间 大 ， 左 右 对 称 ” . 决 定 了 图 形 的 中 心 位 置 ， 决 定 了 图 形中 峰 的 陡 峭 程 度 . 正 态 分 布 的 图 形 特 点),( 2N 能 不 能 根 据 密 度 函 数 的 表 达 式 ，得 出 正 态 分 布 的 图 形 特 点 呢 ？ xexf x ,)( )( 2 2221 容 易 看 到 ， f(x)0即 整 个 概 率 密 度 曲 线 都 在 x轴 的 上 方 ; 故 f(x)以 为 对 称 轴 ， 并 在 x=处 达 到 最 大值 : xexf x ,)( )( 2 2221 令 x=+c, x=-c (c0), 分 别 代 入 f (x), 可得 f (+c)=f (-c)且 f (+c) f (), f (-c)f () 21)(f 这 说 明 曲 线 f(x)向 左 右 伸 展 时 ， 越 来 越贴 近 x轴 。 即 f (x)以 x轴 为 渐 近 线 。 xexf x ,)( )( 2 2221 当 x 时 ， f(x) 0, 用 求 导 的 方 法 可 以 证 明 ， xexf x ,)( )( 2 2221 为 f (x)的 两 个 拐 点 的 横 坐 标 。x = 这 是 高 等 数 学 的 内 容 ， 如 果 忘 记 了 ， 课 下再 复 习 一 下 。 根 据 对 密 度 函 数 的 分 析 ， 也 可 初 步 画 出 正态 分 布 的 概 率 密 度 曲 线 图 。 回 忆 我 们 在 本 章 第 三 讲 中 遇 到 过 的年 降 雨 量 问 题 ， 我 们 用 上 海 99年 年 降 雨量 的 数 据 画 出 了 频 率 直 方 图 。从 直 方 图 ， 我 们 可 以 初 步 看 出 ， 年 降雨 量 近 似 服 从 正 态 分 布 。 下 面 是 我 们 用 某 大 学 男 大 学 生 的 身 高的 数 据 画 出 的 频 率 直 方 图 。 红 线 是 拟合 的 正 态密 度 曲 线可 见 ， 某 大 学 男 大 学 生 的 身 高应 服 从 正 态 分 布 。 人 的 身 高 高 低 不 等 ， 但 中 等 身 材 的 占 大多 数 ， 特 高 和 特 矮 的 只 是 少 数 ， 而 且 较高 和 较 矮 的 人 数 大 致 相 近 ， 这 从 一 个 方面 反 映 了 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 的 特点 。 请 同 学 们 想 一 想 ， 实 际 生 活 中 具 有 这种 特 点 的 随 机 变 量 还 有 那 些 呢 ？ 除 了 我 们 在 前 面 遇 到 过 的 年 降 雨 量 和身 高 外 ,在 正 常 条 件 下 各 种 产 品 的 质 量 指 标 ，如 零 件 的 尺 寸 ； 纤 维 的 强 度 和 张 力 ； 农 作物 的 产 量 ， 小 麦 的 穗 长 、 株 高 ； 测 量 误 差 ，射 击 目 标 的 水 平 或 垂 直 偏 差 ； 信 号 噪 声 等等 ， 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 . xexf x ,)( )( 2 2221 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量X的 概 率 密 度 是 ),( 2NX的 分 布 函 数 P(Xx)是 怎 样 的 呢 ？ 设 X ,),( 2N X的 分 布 函 数 是 xdtexF x t ,)( )( 2 2221 正 态 分 布 由 它 的 两 个 参 数 和 唯一 确 定 ， 当 和 不 同 时 ， 是 不 同 的 正态 分 布 。 标 准 正 态 分 布下 面 我 们 介 绍 一 种 最 重 要 的 正 态 分 布 dtex x t 2221)( 三 、 标 准 正 态 分 布1,0 的 正 态 分 布 称 为 标 准 正 态 分 布 . xex x ,21)( 22其 密 度 函 数 和 分 布 函 数 常 用 和 表 示 ：)(x )(x )(x)(x 它 的 依 据 是 下 面 的 定 理 ： 标 准 正 态 分 布 的 重 要 性 在 于 ， 任 何 一 个一 般 的 正 态 分 布 都 可 以 通 过 线 性 变 换 转 化 为标 准 正 态 分 布 . 根 据 定 理 1,只 要 将 标 准 正 态 分 布 的 分 布函 数 制 成 表 ， 就 可 以 解 决 一 般 正 态 分 布 的 概率 计 算 问 题 . ),( 2NX XY,则 N(0,1) 设定 理 1 书 末 附 有 标 准 正 态 分 布 函 数 数 值 表 ， 有 了它 ， 可 以 解 决 一 般 正 态 分 布 的 概 率 计 算 查 表 .四 、 正 态 分 布 表 )(1)( xx dtex x t 2221)( 表 中 给 的 是 x0时 , (x)的 值 .当 -x0时x x ),( 2NX若 XY N(0,1) 若 X N(0,1), )( bYaP)( bXaP )()()( abbXaP )()( ab 由 标 准 正 态 分 布 的 查 表 计 算 可 以 求 得 ，这 说 明 ， X的 取 值 几 乎 全 部 集 中 在 -3,3区 间内 ， 超 出 这 个 范 围 的 可 能 性 仅 占 不 到 0.3%.当 X N(0,1)时 ，P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974五 、 3 准 则 将 上 述 结 论 推 广 到 一 般 的 正 态 分 布 , ),( 2NY 时 ， 6826.0)|(| YP 9544.0)2|(| YP 9974.0)3|(| YP可 以 认 为 ， Y 的 取 值 几 乎 全 部 集 中 在3,3 区 间 内 . 这 在 统 计 学 上 称 作 “ 3 准 则 ” （ 三 倍 标 准 差 原 则 ） . 上 一 讲 我 们 已 经 看 到 ， 当 n很 大 ， p接近 0或 1时 ， 二 项 分 布 近 似 泊 松 分 布 ; 如 果n很 大 ， 而 p不 接 近 于 0或 1， 那 么 可 以 证 明 ，二 项 分 布 近 似 于 正 态 分 布 . 下 面 我 们 不 加 证 明 地 介 绍 有 关 二 项 分布 近 似 于 正 态 分 布 的 一 个 定 理 ， 称 为 棣 莫佛 拉 普 拉 斯 定 理 . 它 是 第 五 章 要 介 绍 的中 心 极 限 定 理 的 一 个 最 重 要 的 特 殊 情 况 . 六 、 二 项 分 布 的 正 态 近 似定 理 (棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理 ）)1(lim xpnp npYP n n 设 随 机 变 量 服 从 参 数 n, p(0p1)的二 项 分 布 ， 则 对 任 意 x， 有nY dtex t 2221 定 理 表 明 ， 当 n很 大 ， 0p1是 一 个 定 值时 （ 或 者 说 ， np(1-p)也 不 太 小 时 ） ， 二 项 变量 的 分 布 近 似 正 态 分 布 N(np,np(1-p).nY 二 项 分 布 的 正 态 近 似 实 用 中 ， n 30， np 10时 正 态 近似 的 效 果 较 好 . 见 教 学 软 件 中 的 计 算 机 演 示 例 1 将 一 枚 硬 币 抛 掷 10000次 ， 出 现 正 面 5800次 ， 认 为 这 枚 硬 币 不 均 匀 是 否 合 理 ? 试 说 明 理 由 .解 : 设 X为 10000次 试 验 中 出 现 正 面 的 次 数 ，采 用 正 态 近 似 , np=5000, np(1-p)=2500,若 硬 币 是 均 匀 的 ， XB(10000， 0.5),505000)1( Xpnp npX近 似 正 态 分 布 N(0,1).即 =1-(16) )5050005800(1 0此 概 率 接 近 于 0， 故 认 为 这 枚 硬 币 不 均 匀是 合 理 的 .P(X5800) =1-P(X5800)505000)1( Xpnp npX 近 似 正 态 分 布 N(0,1). 例 2 公 共 汽 车 车 门 的 高 度 是 按 男 子 与 车 门顶 头 碰 头 机 会 在 0.01以 下 来 设 计 的 .设 男 子身 高 X N(170,62),问 车 门 高 度 应 如 何 确 定 ? 解 : 设 车 门 高 度 为 h cm,按 设 计 要 求P(X h)0.01或 P(X h) 0.99，下 面 我 们 来 求 满 足 上 式 的 最 小 的 h.再 看 一 个 应 用 正 态 分 布 的 例 子 : 因 为 X N(170,62), )1,0(6170 NX )6170( h 故 P(X0.996170h所 以 =2.33,即 h=170+13.98 184 设 计 车 门 高 度 为184厘 米 时 ， 可 使男 子 与 车 门 碰 头机 会 不 超 过 0.01.P(X h ) 0.99求 满 足 的 最 小 的 h . 这 一 讲 ， 我 们 介 绍 了 正 态 分 布 ， 它 的应 用 极 为 广 泛 ， 在 本 课 程 中 我 们 一 直 要 和它 打 交 道 . 后 面 第 五 章 中 ， 我 们 还 将 介 绍 为 什 么这 么 多 随 机 现 象 都 近 似 服 从 正 态 分 布 .