卢正新《随机过程》第五章布朗运动与鞅-全

1 第 五 章 ： 布 朗 运 动 与 鞅v布 朗 运 动 的 定 义 与 基 本 性 质v鞅 的 定 义 与 例 2 随 机 游 动 与 布 朗 运 动考 虑 在 直 线 上 的 无 限 随 机 游 动 ： 质 点 每 经 过 t时 间 ， 随 机 地 以 概率 p=0.5向 右 移 动 x0； 以 概 率 q=0.5向 左 移 动 x， 且 每 次 移 动 相互 独 立 。 令 1-1i iX i ， 第 次 质 点 向 右 移 动， 第 次 质 点 向 左 移 动 1 2( ) , ttX t x X X X ： 向 下 取 整 运 算则 质 点 在 时 刻 t的 位 置 X(t)可 表 示 为 ：其 均 值 和 方 差 为 ： 2 20 1 ( ) 0 ( ) ( )i i i tEX DX EX EX t DX T x t ， ； ， 3 t和 x的 取 值 ： 使 得 DX(t)在 t和 x趋 于 零 时 ， 极 限 有 意 义 。如 ： t = x， 当 t-0， DX(t)-0， 则 X(t)=0， a.s.若 取 t = x3 ， 当 t-0， DX(t)-， 不 合 理 。一 般 情 况 下 ， 有 此 时 ：x t 2 2 2 0 0 0lim ( ) lim( ) limt t tt tDX t x t tt t 4 X(t)为 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 之 和 ， 由 中 心 极 限 定 理 ， 可 得 ：1） X(t)N(0, 2t); 随 机 游 动 的 值 在 不 相 重 叠 的 时 间 区 段 内 相 互 独 立 ， 得2） X(t)是 独 立 增 量 过 程 ； 在 任 一 时 间 区 间 随 机 游 动 的 值 仅 与 时 长 有 关 ， 得3） X(t)是 平 稳 增 量 过 程 5 布 朗 运 动 定 义 1： 随 机 过 程 W(t)， t0， 如 果 满 足 ： 1） W(0)=0； 2） W(t)是 独 立 、 平 稳 增 量 过 程 ； 3） 对 任 意 t0， W(t)服 从 正 态 分 布 N(0, 2t)。则 称 W(t)， t0为 维 纳 过 程 ， 或 称 为 布 朗 运 动 （ B(t)， t0 ） 。如 果 =1， 称 为 标 准 布 朗 运 动 。一 般 布 朗 运 动 可 用 W(t)/， t0变 换 成 标 准 布 朗 运 动 ， 后 面 我 们假 定 都 是 标 准 布 朗 运 动 。 6 布 朗 运 动 定 义 2： 随 机 过 程 B(t)， t0为 布 朗 运 动 ， 如 果 满 足 ： 1） （ 正 态 增 量 ） B(t)-B(s)N(0,t-s) ； 2） （ 独 立 增 量 ） B(t)-B(s)独 立 于 过 去 的 状 态 B(v)， 0v s； 3） （ 轨 道 连 续 ） B(t)， t0的 轨 道 是 t的 连 续 函 数 。注 ： 并 未 强 调 B(0)=0， 如 果 B(0)=x， 可 用 B(t)-x进 行 变 换 。定 理 ： 设 B(t)， t0是 正 态 过 程 ， 轨 道 连 续 ， B(0)=0， 对 任 意 的 s，t0， 有 EB(t)=0， EB(s)B(t)=min(s,t)， 则 B(t)， t0为 布 朗 运 动 ，反 之 亦 然 。 1 ( ), 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B t ts tE B s B t E B s B t B s B sE B s B t B s E B s B s s 证 ： ） 充 分 性 若 是 布 朗 运 动 ， 则 其 为 正 态 过 程 。 设 ， 则 ： 2 2 22 ( ), 0( ) ( ) min( , ) , 0 ( ) ( ) 0; ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) min( , )B t tE B s B t s t s tE B t B sE B t B s EB t EB s E B t B st s s t t s ） 必 要 性 ， 当 为 正 态 过 程 ， 且 ， 则 多 ， 有 ( ) ( ) (0, )B t B s N t s 即 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 11 1 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )s t s tE B t B s B t B s t t s sB t B s B t B sB t B s B t B s B tB t 而 对 ， 有即 与 ；由 正 态 过 程 性 质 （ 独 立 即 相 关 ） 知 ：与 独 立 ， 即 为 正 交 增 量 过 程 ；故 为 布 朗 运 动 。 9 推 论 ： 设 B(t)， t0 为 布 朗 运 动 ， 则 ： 00 0 0 01 ( ) ( ), 0 , 0;1 ( ), 0 , 0;1 1( ), 0 ( ) 0;( ) ( ),0 , 0tB t B tB t ttB t tBt tB t s B t s t t ）2）3） ， 其 中4） 1 ( ) ( ), 0 , 0;( ) ( ) ( ) (0 ) ( )=00 ( ) ( ) 0, 0( ) ( ) ( ) ( )min( , ) min( , )B t B tB t B t BB Bt E B t Bs tE B t B B s Bt s t s ）证 ： 为 正 态 过 程 ， 则 为 正 态 过 程 ， 且对 ，对 ， 有 例 ： 设 B(t)， t0 为 标 准 布 朗 运 动 ， 计 算 PB(2) 0及 PB(t) 0，t=1,2 。 0(2) (0,2) (2) 0 0.5 ( ) 0, 1,2 (1) 0, (2) 0 (1) 0, (1) (2) (1) 0 (1) 0, (2) (1) (1) (2) (1) ( ) (1) (0,1)B N P BP B t t P B BP B B B BP B B B BP B B x f x dx B N 解 ： ， 则0 00 ( ) ( ) (2) (1) (0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x dx B B Nx f x dx x xx f x dx 110 2 ( ( ) ( )3 ( ) ( ) 8 f x f xx d x ydy 多 维 随 机 变 量 函 数 的 概 率 密 度 ： 1 2 1 21 21 2 1 21 2 1 21 2 , ( )( ) ( 1,2 )( ) ,( ) ( 1,2 )( ) 0 n ni i ni i n i i nn n inX X X X n f x x xY g x x x i n Xx h y y y g h Y Y Y Yf x x x J y y y g i ng y y y 设 为 维 随 机 向 量 ， 为 其 概 率 密 度 ，设 是 的 函 数 ， 且 存 在 唯 一 的 反 函 数， 如 果 、 有 连 续 偏 导 数 ， 则 的概 率 密 度 函 数 为 ： 若 是 的 值 域 1 21 1 11 21 2 ( ) i i nnn n nnx h y y yx x xy y yJ x x xy y y 13 0 00 1 1 21 2 1 2 1 112( ), 0 0 0(0) 0 0 ( ), ( ), ( ) ( , , ; , , ) ( ; )1 ( ; ) exp 22 n nnn n i i i iiB t t x tB t t t B t B t B tg x x x t t t p x x t txp x t tt 定 理 ： 设 为 标 准 布 朗 运 动 ， 令 ， ， 则当 时 ， 对 ， 的联 合 概 率 密 度 为 ：其 中 1 1 11 1 2 121 2 1 111 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) , (0, )1( , ) exp 2( )2 ( )( , ; , ) ( , )1 01 11 1 i i iii kk n i i in in i i ii in n nY B t Y B t B t i nB t Y Y Y Y Y N t tyf y y y t tt tg x x x t t t f y y y JJ 证 明 ： 令 ， ， 1 ， 则由 布 朗 运 动 性 质 ， 相 互 独 立 ， ， 则由 随 机 变 量 函 数 的 概 率 密 度 公 式 ， 得 ： 11 01 1 J 15 布 朗 运 动 的 轨 道从 时 刻 0到 时 刻 T对 布 朗 运 动 的 一 次 观 察 称 为 布 朗 运 动 在 区 间 0,T上 的 一 条 轨道 或 路 径 。 0 0 1 1210 1 0 0 =max lim ( ) ( ) . .n k kk nn k kk t t t t t tB t B t t a s 定 理 ： 固 定 ， 设 ， ( - ),则 有 210 1 2210 1 1 lim ( ) ( ) 2 lim ( ) ( ) 0n k kk n k kkE B t B t tE B t B t t 思 路 ： ） ） 1） 是 t的 连 续 函 数 ；2） 在 任 何 点 都 不 可 微轨 道 的 基 本 性 质 16 鞅 的 定 义 与 例博 弈 问 题 ： 博 弈 者 进 行 一 序 列 博 弈 （ 轮 盘 赌 ） ， 每 次 博 弈 输 和 赢 的 概 率 相 同 ，每 次 的 下 注 额 自 定 。 问 博 弈 者 采 用 何 种 下 注 方 式 赢 面 大 ？定 义 ： 随 机 过 程 Xn， n0称 为 关 于 Yn， n0的 下 鞅 ， 如 果 对 n0， Xn是Y0, ,Yn的 函 数 ， EXn， 且 EXn+1| Y0, ,Yn Xn。定 义 ： 随 机 过 程 Xn， n0称 为 关 于 Yn， n0的 上 鞅 ， 如 果 对 n0， Xn是Y0, ,Yn的 函 数 ， EXn， 且 EXn+1| Y0, ,Yn Xn。若 X n， n0同 时 是 关 于 Yn， n0的 上 鞅 和 下 鞅 ， 则 称 之 为 关 于 Yn的 鞅 。鞅 描 述 的 是 “ 公 平 ” 的 博 弈 ， 下 鞅 和 上 鞅 则 是 “ 有 利 ” 和 “ 无 利 ” 的 博 弈 。 博 弈 问 题 解 答 ： 1 10 , 1 1 1 0.5 1 -1( ) 2 n nn n n nn n nn n nY n YP Y P Y Y Yb b Y Y nb n b bX nX 解 ： 用 表 示 每 次 博 弈 的 输 赢 ， 则 为 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 ， 。 表 示 赢 ， 为 输 。 博 弈 者 的 下 注 策 略 依 赖 于 前 面 的 博 弈 结 果 ， 可 用 ， 来 描 述为 第 次 的 赌 注 ， 若 赢 则 获 利 ， 输 则 输 掉设 为 博 弈 者 的 起 始 赌 资 ， 则 第 次 博 弈 后 的 赌 资 为 ： 0 1 11 1 0 111 1 11 1=1 | | | |nn i ii nn n i i nin n n nn n nX bYn E X Y Y E X b y Y YE X b Y Y YE X Y Y b 则 第 次 博 弈 后 ， 其 平 均 赌 资 为 ： 1 11 1 | n nn n n nE Y Y YX b E Y X 18 定 理 ： 设 Xn， n0是 关 于 Yn， n0的 鞅 ， 则 1） 对 任 意 的 0mn， 有 EXn| Ym, ,Y0 =Xm ； 2） 对 任 意 n， EXn=EX0 1 0 1 0 0 00 0- 1 = +1- | | | 2 ( | )m k m m k m k mm k m mn nn m n mn m kE X Y Y E E X Y Y Y YE X Y Y XEX E E X Y EX 证 ： 1） 用 归 纳 法 ， 当 时 ， 即 时 ， 显 然 成 立 。 设 时 成 立 ， 则 ） 例 ： 独 立 随 机 变 量 之 和 与 积 1） 设 Y0=0， Yn， n0是 独 立 的 中 心 化 随 机 变 量 序 列 ， E|Yn|， 定 义X0=0， 则 Xn =Y1+Yn是 鞅 ； 2） 设 Y0=0， Yn， n0是 随 机 变 量 序 列 ， E|Yn|， EYn= n0， n1，定 义 X0=0， 则 Xn =Y1Y2Yn/ 1 2 n是 鞅 。 1+1 0 +1 0 +1 0 +11 +1+1 0 0| | | | 1,2 | | | | | | 1,2 | | nn kkn n n n nn n n n n nnn kk nn n n nnnnE X Y nE X Y Y E X Y Y YX E Y Y Y X E Y XE X Y nYE X Y Y E X Y YYX E 解 ： 1) ， 2) ，+1 +10| nn n nn nYY Y X E X