2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】

2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（4分）已知集合A1，0，1，2，3，Bx|x10，则AB（）A0，1，2，3B1，2，3C2，3D3【分析】利用集合交集的定义求解即可【解答】解：因为集合A1，0，1，2，3，Bx|x10x|x1，所以AB1，2，3故选：B【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题2（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b（）A2B1C2D4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值【解答】解：的实部与虚部相等，b2故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3（4分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a31，S918，则a1（）A0B1C2D3【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果【解答】解：S9189a5，a52，又a31，由等差数列的性质可得：a1+a5a1+22a32，a10，故选：A【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题4（4分）已知圆x2+y24截直线ykx+2所得弦的长度为，则实数k（）ABCD【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：圆x2+y24截直线ykx+2所得弦的长度为，可得弦心距为：1，所以：，解得k故选：D【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题5（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCDy2x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e2可得c2a，由双曲线的几何性质可得ba，由此求解双曲线的渐近线方程【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在x轴上，其渐近线方程为yx，又由其离心率e2，则c2a，则ba，即，则其渐近线方程yx；故选：A【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题6（4分）在ABC中，若a2b2+c2+ac0，则B（）ABCD【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果【解答】解：若a2b2+c2+ac0，所以，由于B（0，），所以B故选：D【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题7（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A2BCD【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥ABCD；如图所示：所以：ABBC，CDBD1，AD，AC，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题8（4分）在ABC中，“tanAtanB1”是“ABC为钝角三角形”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论解法二：tanAtanB110cosAcosBcosC0ABC为钝角三角形，即可判断出结论【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，tanCtan（A+B）0，解得tanAtanB1若A或B为钝角，则tanAtanB1成立（2）若tanAtanB1成立，假设A或B为钝角，则ABC为钝角三角形假设A，都B为锐角，tanCtan（A+B）0，解得C为钝角，则ABC为钝角三角形综上可得：在ABC中，“tanAtanB1”是“ABC为钝角三角形”的充要条件解法二：tanAtanB1100cosAcosBcosC0ABC为钝角三角形在ABC中，“tanAtanB1”是“ABC为钝角三角形”的充要条件故选：C【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9（4分）已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点若点A在抛物线C上，且|AF|5，则|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（）A8BCD6【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|a+15，解得A点的坐标，设点A关于直线x1的对称点为A（6，4），由对称性可得|PA|+|PO|PA|+|PO|AO|，即可得出答案【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）由抛物线的方程可得焦点F（1，0），则|AF|a+15，解得a4，所以A（4，4），所以点A关于直线x1的对称点为A（6，4），故|PA|+|PO|PA|+|PO|AO|2，当且仅当A，P，O三点共线时，等号成立，即|PA|+|PO|的最小值为2故选：B【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题10（4分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面与直线PD垂直当P在线段BC1上运动时，平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积的最小值是（）A1BCD【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可【解答】解：当P在B点时，BD平面ACC1A1，平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积：1是最大值；当P与C1重合时，DC1平面A1D1CB，平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积：1是最大值当P由B向C1移动时，平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时ECDH，可得DPEC，同理可得DPCF，可证明DP平面A1ECF），A1ECE，AC，EF，四边形A1ECF是菱形，所以平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积：故选：C【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）在（x+）8的展开式中，x4的系数为28（用数字作答）【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为2，求出r的值，由此即可求解【解答】解：展开式的通项为T，令82r4，解得r2，所以x4的系数为C，故答案为：28【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题12（5分）已知函数则f（0）1；f（x）的值域为 （，2）【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出f（0），利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可【解答】解：f（0）201，当x1时，02x2，此时0f（x）2，当x1时，log2x0，则log2x0，即此时f（x）0，综上f（x）2，即函数f（x）的值域为（，2），故答案为：1，（，2）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题13（5分）已知向量（，1），（x，y）（xy0），且|1，0，则向量的坐标可以是 （，）（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果【解答】解：向量（，1），（x，y）（xy0），且|1，0，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题14（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元【分析】由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，可得售出m万件A商品的总获利为24，设f（x）24（x0），利用导数求最值得答案【解答】解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，售出m万件A商品的总获利为：8mx8（3）x24，设f（x）24（x0），则f（x）（x0），令f（x）0，即0（x0），解得0x3，当0x3时，f（x）0，函数f（x）在0，3）单调递增，当x3时，f（x）0，函数f（x）在（3，+）上单调递减，则当x3时，函数f（x）取得极大值，即最大值，要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元故答案为3【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题15（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f（x）是定义在R上的函数，对于x0R，令xnf（xn1）（n1，2，3，），若存在正整数k使得xkx0，且当0jk时，xjx0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点给出下列四个结论：若f（x）ex1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点；若f（x）2（1x），则f（x）存在周期为2的周期点；若f（x）则f（x）不存在周期为3的周期点；若f（x）x（1x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点其中所有正确结论的序号是【分析】由周期点的定义，可得直线yx与yf（x）存在交点分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论【解答】解：对于x0R，令xnf（xn1）（n1，2，3，），若存在正整数k使得xkx0，且当0jk时，xjx0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点对于f（x）ex1，当k1时，x1f（x0）ex01，因为直线yx与yf（x）只有一个交点（1，1），故正确；对于，f（x）2（1x），k2时，x2f（x1）2（1x1）21f（x0）4x02，由x2x0，可得x0，x1，xn，不满足当0jk时，xjx0，所以f（x）不存在周期为2的周期点，故不正确；对于，当，满足题意，故存在周期为3的周期点，故错误，对于，f（x）x（1x）（x）2+，所以f（x），即f（x），所以不是周期点，故正确故答案为：【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：最小正周期为；最大值为2；f（0）2（）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（）求f（x）的单调递增区间【分析】（）若函数f（x）满足条件，则由f（0）Asin2，推出与A0，0矛盾，可得函数f（x）不能满足条件，由条件，利用周期公式可求2，由条件，可得A2，由条件，可得f（）0，结合范围0，可求，可得函数解析式（）利用正弦函数的单调性即可求解【解答】解：（）若函数f（x）满足条件，则f（0）Asin2，这与A0，0矛盾，故函数f（x）不能满足条件，所以函数f（x）只能满足条件，由条件，可得，又因为0，可得2，由条件，可得A2，f（x）2sin（2x+）由条件，可得f（）2sin（+）0，sin（+）0，+k，kZ，+k，kZ，又因为0，所以，所以f（x）2sin（2x+）（） 令+2k2x+2k，kZ，+kx+k，f（x）的单调递增区间为+k，+k，（kZ）【点评】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题17（13分）如图，在四棱锥PABCD中，O是AD边的中点，PO底面ABCD，PO1在底面ABCD中，BCAD，CDAD，BCCD1，AD2（）求证：AB平面POC；（）求二面角BAPD的余弦值【分析】（）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到ABOC，由线面平行的判定定理证明即可；（）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可【解答】（）证明：在四边形ABCD中，因为BCAD，O是AD的中点，则BCAO，BCAO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以ABOC，又因为AB平面POC，CO平面POC，所以AB平面POC；（）连结OB，因为PO平面ABCD，所以POOB，POOD，又因为点O时AD的中点，且，所以BCOD，因为BCAD，CDAD，BCCD，所以四边形OBCD是正方形，所以BOAD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y1，则xz1，故，因为OB平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，所以，由图可知，二面角BAPD为锐角，所以二面角BAPD的余弦值为【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题18（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：A地区B地区2019年人均年纯收入超过10000元100户150户2019年人均年纯收入未超过10000元200户50户假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立（）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；（）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由【分析】（）利用概率公式求解即可；（）确定X的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可；（）先通过2019年的样本数据可得0.012，然后据此说明理由即可【解答】解：（）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C）可以估计为；（）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，所以X的分布列为：X012 P 所以X的数学期望为E（X）；（）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得0.012答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题19（15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，1），离心率为（）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y3交于点P，直线MB与直线y3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由【分析】（）由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（）设直线MA的方程，由题意可得直线OP的方程，与y3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，可得数量积0，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标【解答】解（）由题意可得b1，e，c2a2b2，解得a23，所以椭圆的方程为：+y21，且焦点坐标（，0）；（） 设直线MA的方程为：ykx+1，（k0）则过原点的直线且与直线MA平行的直线为ykx，因为P是直线ykx，y3的交点，所以P（，3），因为直线AM的方程与椭圆方程+y21联立：，整理可得：（1+3k2）x2+6kx0，可得xM，yM+1，即M（，），因为B（0，1），直线MB的方程为：y1，联立，解得：y3，x12k，由题意可得Q（12k，3），设T（x0，y0），所以（x0，y03），（x0+12k，y03），由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以0，所以（x0，y03）（x0+12k，y03）0，可得x02+12kx0x036+y026y0+90，要使成立，解得：x00，y03，或x00，y09，所以T的坐标（0，3）或（0，9）【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题20（15分）已知函数f（x）（ax1）ex（aR）（）求f（x）的单调区间；（）若直线yax+a与曲线yf（x）相切，求证：a（1，）【分析】（）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（）求出函数的导数，根据直线和f（x）相切，得到a，结合y的单调性证明结论成立即可【解答】解：（）f（x）（ax+a1）ex，令f（x）0，得ax1a，当a0时，f（x）ex0，yf（x）在R单调递减，当a0时，x，f（x），f（x）的变化如下：x（，）（，+）f（x）0+f（x）递减极小值递增当a0时，x，f（x），f（x）的变化如下：x（，）（，+）f（x）+0f（x）递增极大值递减综上：当a0时，yf（x）在R单调递减，当a0时，yf（x）的单调递增区间是（，），单调递减区间是（，+），当a0时，yf（x）的单调递增区间是（，），单调递减区间是（，+）；（）证明：由题意得f（x）（ax+a1）ex，设直线yax+a与曲线yf（x）相切于点（x0，y0），则，由得aax0，即a（+x0）0，若a0，则f（x）ex，ax+a0，直线y0与曲线yf（x）不相切，不符合题意，所以a0，所以+x00，令（x）ex+x，则（x）ex+10，故（x）单调递增，（）0，（1）e110，故存在唯一x0（1，）使得+x00，将代入得a+ax0x0+a0，故a，易知在（1，）内yx+1单调递减，且x+10，故y在（1，）内单调递增，x0（1，），1a，故a（1，）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题21（15分）设数列Am：a1，a2，am（m2），若存在公比为q的等比数列Bm+1：b1，b2，bm+1，使得bkakbk+1，其中k1，2，m，则称数列Bm+1为数列Am的“等比分割数列”（）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（）若数列A10的通项公式为an2n（n1，2，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围；（）若数列Am的通项公式为ann2（n1，2，m），且数列Am存在“等比分割数列”，求m的最大值【分析】（）根据“等比分割数列”的定义即可求解；（）根据定义可得qn12nqn（n1，2，3，10），从而求得q2，且qn12n（n1，2，3，10），n1时显然成立，当n2，3，10时，将qn12n转化为q，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围；（）设Bm+1是数列Am的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1qn1n2b1qn（n1，2，m），设m6，解不等式可推出矛盾，可得m5，当m5时，取b10.99，q2.09，满足定义，从而得解【解答】解：（）根据定义可得数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5：2，4，8，16，32（答案不唯一）（）由题意可得，qn12nqn（n1，2，3，10），所以q2，且qn12n（n1，2，3，10），当n1时，12成立；当n2，3，10时，应有q成立，因为y2x在R上单调递增，所以随着n的增大而减小，故q，综上，q的取值范围是（2，）（）设Bm+1是数列Am的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由题意，应有b1qn1n2b1qn（n1，2，m），显然b10，q0，设m6，此时有b11b1q4b1q29b1q316b1q425b1q536b1q6所以，可得q39，所以q2，又b1q39，所以b1q592236，与b1q536b1q6矛盾，故m5，又当m5时，取b10.99，q2.09，可得0.9910.992.0940.992.09290.992.093160.992.094250.992.095，所以m5时成立，综上，m的最大值为5【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题