2021年北京市海淀区高考数学三模试卷【含答案】

2021年北京市海淀区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（4分）已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，B2，3，4，5，则U（AB）（）A6B1，6C2，3D1，4，5，6【分析】由并集运算求得AB，再由补集运算得答案【解答】解：A1，2，3，B2，3，4，5，AB1，2，3，4，5，又U1，2，3，4，5，6，U（AB）6故选：A【点评】本题考查并集、补集及其运算，是基础题2（4分）若z为纯虚数，且满足（z+m）i2i（mR），则m（）A2B1C1D2【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出m的值【解答】解：（z+m）i2i（mR），zm1m2i，z为纯虚数，1m0m1，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（4分）若ba0，则下列不等式正确的是（）ABaba2C|a|b|D【分析】可举例，令b2、a1，可判断ABC；利用基本不等式可判断D【解答】解：根据题意可令b2、a1，则，aba2，|a|b|，ABC 错；ba0，0且，+22，D对故选：D【点评】本题考查不等式基本性质，考查数学运算能力及推理能力4（4分）若函数f（x）lg（x+a）的图象经过抛物线y28x的焦点，则a（）A1B0C1D2【分析】求得抛物线的焦点坐标，代入函数f（x）lg（x+a）即可【解答】解：抛物线的焦点为（2，0），则f（2）lg（2+a）0，解得a1故选：C【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题5（4分）已知双曲线的焦距为10，则双曲线C的渐近线方程为（）ABCD【分析】由已知求得a与c的值，再由隐含条件求得b，则双曲线的渐近线方程可求【解答】解：由题意，2c10，得c5，又由双曲线方程可得a4，则b，双曲线C的渐近线方程为y故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，是基础题6（4分）已知m，n是空间中两条不同的直线，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）A若m，则mB若m，n，则mnC若m，m，则mD若m，nm，则n【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质和判定定理进行判断或举反例说明【解答】解：不妨设l，对于A，若m且ml，则m，故A错误；对于B，若m，n与l相交且不垂直，交点分别为M，N，显然m与n不一定垂直，故B错误；对于C，若m，则m或m，又m，故m，故C正确；对于D，由面面垂直的性质可知当n时才有n，故D错误故选：C【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题7（4分）已知圆C的方程为（x1）2+（y1）22，点P在直线yx+3上，线段AB为圆C的直径，则的最小值为（）ABCD3【分析】将转化为，再由圆心到直线的距离求解【解答】解：线段AB为圆C的直径，C为AB的中点，则，从而|，|的最小值为圆心C到直线yx+3的距离，等于的最小值为2故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查平面向量的应用，考查运算求解能力，是中档题8（4分）等差数列an的前n项和为Sn，若nN*，SnS7，则数列an的通项公式可能是（）Aan3n15Ban173nCann7Dan152n【分析】由题意得,然后结合选项即可判断【解答】解：因为nN*，SnS7，所以,A:an3n15,a80不符合题意；B：an173n,a70不符合题意；C:ann7,a80不符合题意；D:an152n,a80,a70符合题意；故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题9（4分）“0m1”是函数f（x）满足：对任意的x1x2，都有f（x1）f（x2）”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据分段函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：当0m1时，g（x）1在（1，+）上递减，h（x）x+1在（，1递减，且g（1）h（1），f（x）在（，+）上递减，任意x1x2，都有f（x1）f（x2）”充分性成立；若m0，g（x）在（1，+）上递增，h（x）在（，1上递减，g（x）0，h（x）0，任意x1x2，都有f（x1）f（x2）”，必要性不成立，0m1”是函数f（x）满足：对任意的x1x2，都有f（x1）f（x2）”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及分段函数的性质是解决本题的关键10（4分）已知函数f（x）sinx+sin（x），现给出如下结论：f（x）是奇函数；f（x）是周期函数；f（x）在区间（0，）上有三个零点；f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号为（）ABCD【分析】根据题意，依次分析4个结论是否正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析4个结论：对于，因为f（x）sin（x）+sin（x）sinxsin（x）f（x），所以f（x）是奇函数，正确对于，假设存在周期T，则sin（x+T）+sin（x+T）sinx+sinx，sin（x+T）sinxsin（x+T）sinx，所以sincossincos，存在x0R，使得cos0，而cos0，将x0R，sincos0，由于cos0，故sin0，所以sin0，sin0，k，m，k，mZ，所以km，矛盾，所以函数f（x）sinx+sin（x），没有周期，错误对于，f（x）sinx+sin（x）2sincos，函数的零点为方程2sincos0，x或xx（0，）x，所以f（x）在区间（0，）上有三个零点；故正确对于，f（x）sinx+sin（x），若sinx1，则x2k+，kZ，若sin（x）1，则x2k+，kZ，x2k+，kZ和x2k+，kZ两者不会同时成立，即ysinx和ysin（x）不可能同时成立，故f（x）的最大值不是2，错误；则四个命题中正确的为；故选：A【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及命题真假的判断，属于中档题二、填空题共5小题，每小题5分，共30分。11（5分）已知直线l1：mx+y+10，l2：mxy+10，mR，若l1l2，则m1【分析】利用向量垂直的性质直接求解【解答】解：直线l1：mx+y+10，l2：mxy+10，mR，l1l2，m210，解得m1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题12（5分）二项式（x2+）6展开式中含x3项的系数为540【分析】求出展开式的通项公式令x的指数为3，进而可以求解【解答】解：展开式的通项公式为TC，令123r3，解得r3，则展开式中含x3项的系数为C2027540，故答案为：540【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题13（5分）九章算术中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为8【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，其中底面三角形BCD为直角三角形，BCCD，BC4，CD3，AB底面BCD，AB4，再由棱锥体积公式求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，其中底面三角形BCD为直角三角形，BCCD，BC4，CD3，AB底面BCD，AB4，则该“鳖臑”的体积为V故答案为：8【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题14（5分）如图，以Ox为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点P（x1，y1），将角的终边顺时针旋转得到角角的终边与单位圆相交于点Q（x2，y2），则x2x1的取值范围为（，1【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得x2x1sin（），再利用正弦函数的定义域和值域，求出x2x1的取值范围【解答】解：由已知得，x2x1的取值范围为，故答案为：（，1【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题15（5分）如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现中国文化阴阳转化、对立统一的哲学理念定义：图象能将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列命题正确的是 函数f（x）tanx可以同时是无数个圆的“太极函数”；函数f（x）ln（|x|）可以是某个圆的“太极函数”；若函数f（x）是某个圆的“太极函数”，则函数f（x）的图象一定是中心对称图形；对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个【分析】根据所给定义，对各项逐个分析判断，即可得解【解答】解：对于，以f（x）tanx的零点为圆心，半径小于的圆，周长和面积都被f（x）tanx平分，故正确；对于，由f（x）ln（|x|）为偶函数，如图所示：由于其图像向上凸起，故而不可能平分圆的周长，故错误；对于，取圆x2+y242，被函数平分周长和面积，而g（x）非对称，故错误；对于，对于任意一个圆，过圆心的直线平分周长和面积，故正确；故答案为：【点评】本题考查了三角函数，对数函数的图像和性质，考查了在分段函数的图像和性质三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16（14分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为长方形，AA11，ABBC2，ABC120，AMCM（）求证：平面AA1C1C平面C1MB；（）求直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值【分析】（）由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理可得MB平面AA1C1C，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（）设A1到平面MBC1的距离为h，由等积法和棱锥的体积公式，以及直线和平面所成角的定义和直角三角形的正弦函数的定义，可得所求值【解答】解：（）证明：在ABC中，ABBC，M为BC的中点，可得MBAC，又AA1平面ABC，BM平面ABC，可得AA1BM，而AA1ACA，所以MB平面AA1C1C，又BM平面BMC1，所以平面AA1C1C平面C1MB；（）设A1到平面MBC1的距离为h，连接A1M，由ABBC2，ABC120，可得BM2cos601，CM2sin60，C1M2，可得C1BM的面积为121，A1C1M的面积为S12，由VV，可得ShSBM，即为h11，可得h，则直线A1B和平面C1MB所成角的正弦值为【点评】本题考查面面垂直的判定定理和直线和平面所成角的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题17（14分）在ABC中，cosC，c8，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（）b的值；（）角A的大小和ABC的面积条件：a7；条件：cosB【分析】选条件：（）利用余弦定理的应用求出结果；（）利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果；选条件时，（）利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；（）利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果【解答】解：选条件：（）a7时，cosC，c8，利用c2a2+b22abcosC，整理得b22b150，解得b5或3（负值舍去），故：b5（）由于cosC，0C，所以sinC，利用正弦定理，所以，解得sinA，由于ca，所以A，则选条件时，（）cosB，所以，cosC，所以sinC，由正弦定理，整理得，解得b5，（）cosB，所以，cosC，所以sinC，所以cosAcos（B+C），由于A（0，），所以A所以【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题18（14分）某超市从2020年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按0，10，（10，20，（20，30，（30，40，（40，50分组，得到频率分布直方图如图：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立，（）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于40箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的数学期望；（）记甲种酸奶与乙种酸奶口销售量（单位：箱）的方差分别为s12，s22，试比较s12与s22的大小（只需写出结论）【分析】（）根据频率和为1可计算a值，再由独立事件概率求法即可得解；（）X的可能取值为0，1，2，3，求出概率，得到分布列，然后求解期望；（）由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，由此能比s12，s22的大小【解答】解：（）由直方图可知：（0.02+0.01+0.03+a+0.025）101，解得a0.015，甲种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.015+0.025）100.7，乙种酸奶销售量高于20箱的概率为：（0.03+0.025+0.015）100.7，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率为：0.70.3+0.30.70.42（）甲种酸奶的日销售量不高于40箱的概率为：10.025100.75，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，P（X0）C30（）0（）3，P（X1）C31（）1（）2，P（X2）C32（）2（）1，P（X3）C33（）3（）0所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望EX0+1+2+3（）s12s22【点评】本题考查频率分布直方图，离散型随机变量期望的求法，独立事件概率的求法，考查计算能力，属于中档题19（15分）已知函数（）求曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求yf（x）的单调区间和极值；（）直接写出不等式的解集【分析】（）根据导数的几何意义，先求斜率f（1）0，f（1）1，利用点斜式即可得解；（）先求导函数，再求二阶导函数，利用导函数的性质，即可得到原函数的单调性和极值；（）f（x）minf（1）1，直接可得的解集为1【解答】解：（）由，得，f（1）36+630，又f（1）13+31，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y1；（）（x0），f（x）为增函数，且f（1）36+630，当x（0，1）时，f（x）0，当（1，+）时，f（x）0，得f（x）递减区间为（0，1），递增区间为（1，+），极小值为f（1）13+0+31；（）由（）知f（x）minf（1）1，的解集为1【点评】本题考查导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，有一定的计算量，属于中档题20（14分）已知椭圆的两焦点F1，F2分别为（1，0），椭圆上的动点M满足|MF1|+|MF2|2|F1F2|，A，B分别为椭圆的左、右顶点，O为坐标原点（）求椭圆的方程及离心率；（）若直线l：x6与AM交于点P，l与x轴交于点H，OP与BM的交点为S，求证：B，S，P，H四点共圆【分析】（）利用椭圆的定义求出a的值，结合c的值，即可求出b的值，从而得到椭圆的标准方程，利用离心率的定义即可求出椭圆的离心率；（）设点点M（x0，y0），由两点间斜率公式结合点M在椭圆上，计算kAMkBM为定值，设直线AM的方程为yk（x+2）（k0），求出点P的坐标，从而求出直线OP的斜率，得到OPBM，从而可得BHP90，即可证明B，S，P，H四点共圆【解答】（）解：由椭圆的定义可知，2a|MF1|+|MF2|2|F1F2|4c4，所以a2，c1，b，故椭圆的方程为；椭圆的离心率为；（）证明：设点M（x0，y0），则，又，所以，设直线AM的方程为yk（x+2）（k0），联立方程组，解得，所以P（6，8k），故，又，所以kOPkBM1，故BSP90，所以BHP90，故B，S，P，H四点共圆【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题21（14分）已知函数f（x）x2+m，其中mR，定义数列an如下：a10，an+1f（an），nN*（）当m1时，求a2，a3，a4的值：（）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由；（）求证：当时，总能找到kN*，使得ak2021【分析】（）利用题中给出的f（x）的解析式，以及an+1f（an），依次赋值求解即可；（）利用a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，得到a3+a210，代入后可得关于m的方程，求解m的值并验证即可；（）利用an+1f（an），得到an+1an，令0，然后利用叠加法求出an(n1)t，取正整数k，即可证明不等式【解答】（）解：因为m1，故f（x）x2+1，又a10，an+1f（an），所以a2f（a1）f（0）1，a3f（a2）f（1）2，a4f（a3）f（2）5；（）解：因为a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列，所以a3a2a4a3，即，所以，则（a3a2）(a3+a21)0，因为公差d0，故a3a20，所以a3+a210，因为a2f（a1）f（0）m，a3f（a2）m2+m，故(m2+m)+m10,解得，经检验，此时a2，a3，a4的公差不为0，所以存在，使得a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列；（）证明：因为，又，所以令0，因为anan1t，an1an2t，,a2a1t，将上述不等式全部相加可得，ana1(n1)t，即an(n1)t，因此要使得ak2021，只需（k1）t2021，故只要取正整数k，就有，综上所述，当时，总能找到kN*，使得ak2021【点评】本题考查了数列与函数、数列与不等式的综合应用，解题的关键是运用方程的思想，通过建立方程求解m，运用同向不等式的可加性，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题