《自动控制理论教学课件》自动控制理论二(上篇)

Harbin Engineering University主 目 录 返 回 任 课 教 师 :原 新 Email: Harbin Engineering University主 目 录 返 回 教 材 课 程 基 本 信 息 自 动 控 制 原 理 胡 寿 松 科 学 出 版 社 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 参 考 书 课 程 基 本 信 息 计 算 机 控 制 系 统 高 金 源 1 线 性 系 统 理 论 郑 大 钟2 线 性 系 统 理 论 段 广 仁3 清 华 大 学 出 版 社清 华 大 学 出 版 社哈 尔 滨 工 业 大 学 出 版 社 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 学 时 安 排 ：1.数 字 控 制 系 统 （ 20-22学 时 ） （ 古 典 控 制 理 论 ）2. 线 性 系 统 理 论 （ 26-28学 时 ） （ 现 代 控 制 理 论 ） Harbin Engineering University主 目 录 返 回 绪 论一 控 制 理 论 发 展 过 程1研 究 对 象 ：单 变 量 线 性定 常 系 统（ 主 要 ） ； 2研 究 方 法 ：频 率 法 ； 3分 析 手 段 ：复 变 函 数 理论 和 拉 氏 变换 ； 4实 现 工 具 ：各 种 图 表 ， 如Bode图 、 根 轨迹 、 Nyquist曲 线 等 。古 典 控 制 理 论 ： 建 立 在 频 率 法 和 根 轨 迹 法 基 础 上 的 理 论 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 经 典 控 制 理 论 的 局 限 性 ： 1. 它 只 适 用 于 单 输 入 单 输 出 线 性 定 常 系 统 。 不 能描 述 系 统 内 部 的 结 构 及 其 状 态 变 量 ， 对 于 时 变 系 统 、多 输 入 多 输 出 系 统 和 复 杂 的 非 线 性 系 统 则 无 能 为 力 ； 2. 只 能 根 据 超 调 量 、 调 节 时 间 、 幅 值 裕 度 、 相 角裕 度 等 性 能 指 标 来 设 计 校 正 装 置 ， 无 法 确 定 哪 种 系统 最 优 ； 3. 无 法 考 虑 初 始 条 件 对 系 统 的 影 响 ， 并 且 不 便 于在 线 使 用 计 算 机 进 行 分 析 和 设 计 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 现 代 控 制 理 论用 于 系 统 的 整个 描 述 、 分 析和 设 计 过 程 的状 态 空 间 方 法 ； 最 优 控 制 中 的Pontriagin极大 值 原 理 和Bellman动 态规 划 ； 随 机 系 统 理 论中 的 Kalman滤 波 技 术 。现 代 控 制 理 论 起 源 于 60年 代 ， 以 下 述 三 个 方 面 作 为 其形 成 的 标 志 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 卡 尔 曼 ： Rudolf Emil Kalman匈 牙 利 数 学 家 。 1960年 因 提 出 著 名的 卡 尔 曼 滤 波 器 而 闻 名 于 世 。 认 识 他 们 吗 ？ ？ 亚 历 山 大 李 亚 普 诺 夫 俄 罗 斯 应 用 数 学 家 ， 1892年 的 博士 论 文 运 动 稳 定 性 的 一 般 问 题 是 经 典 名 著 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 现 代 控 制 理 论 特 点 ：研 究 对 象 研 究 方 法 分 析 手 段 实 现 工 具多 变 量 线性 系 统 和非 线 性 系统 ； 时 域 法 ，特 别 是 状态 空 间 方法 ； 现 代 数 学 计 算 机 ； Harbin Engineering University主 目 录 返 回 目 前20世 纪 8090年 代20世 纪 6070年 代20世 纪 50年 代 鲁 棒 控 制 、 控 制 等状 态 空 间 法 、 最 优 控 制 等H 目 前 已 形 成 了 多 个 重 要 分 支 ， 包 括 系 统辨 识 、 自 适 应 控 制 、 综 合 自 动 化 、 非 线性 系 统 理 论 、 模 式 识 别 与 人 工 智 能 、 智能 控 制 等 。 经 典 控 制 理 论 现代控制理论讨 论 研 究 的 内 容 ： Harbin Engineering University主 目 录 返 回 二 线 性 系 统 理 论 概 述1 线 性 系 统 理 论 的 研 究 对 象 研 究 对 象 ： 线 性 系 统 （ 线 性 定 常 系 统 和 线 性 时 变 系 统 ） 。线 性 系 统 的 基 本 特 征 是 满 足 叠 加 原 理 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 线 性 系 统 理 论 的 主 要 任 务状 态 空 间 法 和 复 频 域 方 法（ 1） 系 统 数 学 模 型 的 建 立时 间 域 模 型 ： 微 分 方 程 组 或 差 分 方 程 组 。频 率 域 模 型 ： 传 递 函 数 和 频 率 响 应 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 （ 2） 系 统 分 析 线 性 系 统 分 析 包 含 定 量 分 析 和 定 性 分 析 。（ 3） 系 统 设 计 当 一 个 系 统 不 能 满 足 希 望 的 性 能 时 ， 就 需 要 对 系统 进 行 干 预 、 调 节 或 控 制 来 改 变 原 有 系 统 ， 使 改 变 后 的系 统 满 足 性 能 要 求 。 这 样 一 个 完 整 的 过 程 称 为 控 制 系 统设 计 或 控 制 系 统 综 合 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 上 篇 线 性 离 散 系 统 的 分 析 与 校 正Ch1 离 散 系 统 分 析 的 数 学 基 础Ch2 离 散 系 统 的 数 学 描 述Ch3 离 散 系 统 分 析Ch4 离 散 系 统 设 计三 主 要 学 习 内 容 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 下 篇 线 性 系 统 的 状 态 空 间 分 析 与 综 合Ch1 线 性 系 统 的 状 态 空 间 描 述 Ch2 线 性 系 统 的 运 动 分 析Ch3 线 性 系 统 的 可 控 性 与 可 观 测 性Ch4 线 性 定 常 系 统 的 线 性 变 换Ch5 李 雅 普 诺 夫 稳 定 性 分 析Ch6 线 性 定 常 系 统 的 反 馈 结 构 及 状 态 观 测 器 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 四 离 散 系 统 的 基 本 概 念 (一 ). 几 个 基 本 概 念 (二 ). 采 样 控 制 系 统 (三 ). 计 算 机 控 制 系 统 （ 数 字 控 制 系 统 ） (四 ). 连 续 系 统 与 离 散 系 统 比 较 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 (一 )、 几 个 基 本 概 念1. 连 续 信 号 ： 在 时 间 上 连 续 的 信 号 称 为 连 续 信号 。 连 续 信 号 随 时 间 分 段 连 续 变 化 ,幅 值 连 续变 化 。2. 离 散 信 号 (采 样 信 号 )： 只 在 某 些 时 刻 上 有 意义 的 信 号 (如 脉 冲 信 号 )称 为 离 散 信 号 。 离 散 信号 仅 在 离 散 时 间 取 值 ， 幅 值 连 续 变 化 。3. 数 字 信 号 ： 仅 在 离 散 时 间 取 值 ， 幅 值 也 取 离散 值 的 信 号 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 图 1-1 连 续 信 号 图 1-2 离 散 信 号 图 1-3 数 字 信 号 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 4 连 续 系 统 ： 系 统 中 的 所 有 信 号 都 是 时 间 变 量 的 连 续 函 数 。5 离 散 系 统 ： 系 统 中 有 一 处 或 几 处 信 号 是 一 串 脉 冲 或 数 码 。离 散 系 统 包 括 ： 采 样 控 制 系 统 （ 脉 冲 控 制 系 统 ） ： 系 统 中 的 离 散 信 号 是 脉 冲 序 列 形 式 。 数 字 控 制 系 统 （ 计 算 机 控 制 系 统 ） ： 系 统 中 的 离 散 信 号 是 数 字 序 列 形 式 的 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 周 期 采 样 ： 信 息 之 间 的 间 隔 是 有 规 律 的 。随 机 采 样 ： 信 息 之 间 的 间 隔 是 随 机 的 。本 书 讨 论 的 离 散 系 统 有 以 下 限 制 ：1 等 周 期 采 样2 所 有 采 样 开 关 同 步 工 作 。(二 ) 采 样 控 制 系 统 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 被 控 参 数给 定 值 控 制 器 执 行 机 构 被 控 对 象检 测 装 置+ -图 1-4(a) 连 续 控 制 系 统 的 典 型 结 构r(t) e(t) c(t)-+ G0(s)H(s)Gc(s) u(t)图 1-4(b)典 型 连 续 控 制 系 统 的 结 构 图图 中 ： G c(s)是 控 制 器 的 传 递 函 数 ； G0(s)是 被 控 对 象 的 传 递 函 数 ； H(s)是 测 量 变 送 反 馈 原 件 的 传 递 函 数 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 r(t) e(t) c(t)-+ Gh(s) G0(s)H(s) Gc(s)e*(t) u(t)eh(t)图 1-5 典 型 采 样 控 制 系 统 的 结 构 图图 中 ： Gh(s)是 保 持 器 的 传 递 函 数 采 样 控 制 系 统 在 连 续 系 统 的 闭 环 框 图 中 增 加 了 一 个采 样 开 关 和 一 个 保 持 器 。 除 了 采 样 环 节 和 保 持 环 节 外 ，其 余 所 有 环 节 仍 然 为 模 拟 器 件 ， G c(s)仍 然 按 连 续 系 统 的校 正 方 法 设 计 。 在 采 样 控 制 系 统 中 ， 采 样 开 关 和 保 持 器实 现 了 信 号 采 样 和 信 号 复 现 两 个 过 程 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 数 字 控 制 系 统 ： 以 数 字 计 算 机 为 控 制 器 去 控制 具 有 连 续 工 作 状 态 的 被 控 对 象 的 闭 环 控 制 系 统 .又 称 为 计 算 机 控 制 系 统 。 (三 ) 数 字 控 制 系 统数 字 计 算 机A/D D/AG(z) G0(s)H(s)图 1-6 典 型 计 算 机 控 制 系 统r(t) e(t) uh(t) c(t) Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 A/D转 换 器 （ 模 /数 转 换 器 ） A/D转 换 器 ： 将 连 续 的 模 拟 信 号 转 换 成 离 散 的 数 字信 号 的 装 置 。 包 括 采 样 过 程 和 量 化 过 程 。e(t) t 0e*(t)2T 4T 6T2q4q6qe*(t) t0 2T 4TA/D转 换 过 程 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 D/A转 换 器 （ 数 /模 转 换 器 ） D/A转 换 器 ： 将 离 散 数 字 信 号 转 换 成 连 续 模 拟 信号 的 装 置 。 包 括 解 码 过 程 和 复 现 过 程 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 3 数 字 控 制 系 统 的 典 型 结 构 图图 1-7 典 型 数 字 控 制 系 统r(t) e(t) e*(t) uh(t)u*(t) c(t)-+ Gh(s)Gc(s) G0(s)H(s) Harbin Engineering University主 目 录 返 回 4 数 字 控 制 系 统 的 特 点1） 系 统 中 含 有 离 散 数 字 信 号 ；2） 易 于 修 改 控 制 规 律 (控 制 算 法 ， 计 算 程 序 )；3） 具 有 逻 辑 判 断 功 能 ， 能 够 实 现 复 杂 控 制 规 律 ；4） 一 个 计 算 机 (微 型 机 、 单 片 机 )可 控 制 多 个 回 路 ；5） 易 于 实 现 大 系 统 协 调 控 制 、 多 系 统 联 网 工 作 ； Harbin Engineering University主 目 录 返 回 (四 )、 连 续 系 统 与 离 散 系 统 比 较连 续 系 统 离 散 系 统信 号 均 为 时 间 连 续 信 号 含 有 时 间 离 散 信 号 时 域 模 型 微 分 方 程 差 分 方 程复 域 模 型 传 递 函 数 脉 冲 传 递 函 数复 变 量 s (拉 氏 变 换 ) z (Z变 换 )算 子 p (微 分 算 子 ) q (时 间 移 动 算 子 ) Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1.1 采 样 过 程 及 采 样 定 理第 1章 离 散 系 统 分 析 的 数 学 基 础1.2 采 样 信 号 的 恢 复1.3 Z变 换 理 论 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 采 样 过 程 ： 就 是 把 连 续 信 号 变 成 离 散 信 号 的 过 程 ， 简 称 采 样 。1.1 采 样 过 程 及 采 样 定 理1 采 样 过 程采 样 周 期 ： 采 样 开 关 两 次 闭 合 的 时 间 间 隔 T。采 样 角 频 率 : ；Ts /2 采 样 频 率 ： Tf s 1 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 图 1-1 采 样 过 程 采 样 过 程 分 析 ： Harbin Engineering University主 目 录 返 回 图 1-2理 想 采 样 过 程 二 采 样 过 程 的 数 学 表 示理 想 采 样 ： 采 样 开 关 闭 合 时 间 = 0； Harbin Engineering University主 目 录 返 回 经 过 理 想 采 样 后 的 信 号 为 一 系 列 有 高 度 无 宽度 的 脉 冲 序 列 ， 它 们 准 确 地 出 现 在 采 样 瞬 间 ，它 的 幅 度 则 准 确 地 等 于 输 入 信 号 在 采 样 瞬 间的 幅 度 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 上 式 表 明 ： 由 一 系 列 脉 冲 构 成 ，仅 表 示 采 样 发 生 的 时 刻 ， 而 e(nT)则 表 示 在 nT采 样 时 刻 所 得 到 的 离 散 信 号 值 。)t(e* )nT-t( nnT nTtnTenTttettete )()()()()()()(* )0(0)( tte 0* )()()( n nTtnTete Harbin Engineering University主 目 录 返 回 三 香 侬 采 样 定 理如 果 连 续 信 号 e(t)具 有 有 限 频 谱 ,)( hh 当 采 样 频 率 s 2 h 时 ,可 以 从 离 散 信 号 e(nT ) 无 失 真 地 (香 侬 重 构 )恢 复 原 连 续 信 号 e(t)。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 采 样 信 号 的 频 域 描 述 （ 即 采 样 信 号 的 频 谱 ） ： 设 连 续 信 号 e(t)的 傅 立 叶 变 换 为 ， 则可 以 证 明 离 散 信 号 的 傅 立 叶 变 换 为 :)( jE n sn s njETjnjETjE )(1)(1)(* )(* te说 明 ： 是 以 采 样 角 频 率 为 周 期 的 函 数 ， 它建 立 了 连 续 信 号 频 谱 和 相 应 的 采 样 信 号 频 谱 之 间 的关 系 。 )(* jE s Harbin Engineering University主 目 录 返 回 h-h 0 ( )E j h-h 0 s 2s 3s-3s -2s -s*( )E j 1T h-h 0*( )E j 1T s-s 1 图 1-4 采 样 信 号 频 谱 （ ）hs 2*( )E j图 1-3 连 续 信 号 频 谱 h-h 0 s 2s 3s-3s -2s -s 1T图 1-5 采 样 信 号 频 谱 （ ）图 1-6 采 样 信 号 频 谱 （ ）h ( )E j :连 续 频 谱 中 的 最 高 角 频 率 ； hs 2 hs 2hs 2 :奈 奎 斯 特 频 率2sN Harbin Engineering University主 目 录 返 回 当 时 ， 离 散 信 号 的 频 谱 是 由 无 穷 多 个 形 状 与原 连 续 信 号 频 谱 相 同 的 孤 立 频 谱 构 成 。hs 2 当 时 ， 离 散 信 号 的 频 谱 是 由 无 穷 多 个 形 状 与原 连 续 信 号 频 谱 相 同 的 孤 立 频 谱 构 成 。hs 2 当 时 ， 离 散 信 号 的 频 谱 不 再 由 孤 立 谱 构 成 ，而 是 采 样 频 谱 中 的 各 分 量 相 互 交 叠 ， 这 种 现 象 称 为 频谱 混 叠 ， 它 致 使 采 样 器 的 输 出 信 号 发 生 畸 变 。 hs 2 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 信 号 保 持 的 定 义 ： 把 离 散 信 号 转 换 为 连 续 信 号的 过 程 称 为 信 号 保 持 或 信 号 的 恢 复 ， 它 是 采 样的 逆 过 程 。 信 号 保 持 的 实 现 ： 实 现 信 号 保 持 的 最 好 装 置 是具 有 理 想 滤 波 特 性 的 滤 波 器 ， 但 在 工 程 上 难 以实 现 。 实 际 上 实 现 信 号 保 持 的 装 置 是 保 持 器 。 1.2 采 样 信 号 的 恢 复 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 保 持 器 的 数 学 描 述 保 持 器 是 一 种 时 域 外 推 装 置 。 将 输 入 脉 冲在 采 样 间 隔 时 间 内 按 某 种 规 律 保 持 到 下 一 个 采样 时 刻 ， 并 由 下 一 个 采 样 时 刻 的 采 样 值 所 取 代 。 mm2210 )t(a)t(ataa)tnT(e 采 用 如 下 外 推 公 式 描 述 保 持 器 ： t是 以 nT时 刻 为 原 点 的 坐 标 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 数 学 表 达 式 ： TtnTetnTe 0)()( te(t) e(t-T/2)eh(t)图 1-7 零 阶 保 持 器 的 输 出 特 性 二 零 阶 保 持 器表 明 :零 阶 保 持 器 是 一 种 按 常 值 规 律 外 推 的 装 置 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 零 阶 保 持 器 的 特 性 如 果 把 一 个 理 想 单 位 脉 冲 作 为 零阶 保 持 器 的 输 入 ， 则 其 脉 冲 响 应 是幅 值 为 1， 持 续 时 间 为 T的 矩 形 脉 冲 。( )t )(tgh 其 表 达 式 可 分 解 为 两 个 单 位 阶 跃 函数 的 和 ， 即 ： 1-1 T t( ) 1( ) 1( ) hg t t t T sesessG TsTsh 11)( 取 拉 氏 变 换零 阶 保 持 器的 传 递 函 数 )(tgh1 T0 t（ a） （ b）图 1-8 零 阶 保 持 器 的 时 域 特 性 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 js 2/2/2/2/ )2/( )2/sin(2 )(21)( TjTjTjTjTjh eTTTj eeejejG 2 sT )/()( )(sin2)( sjs ssh ejG sesessG TsTsh 11)( shsh jGjG )(;)/sin(2|)(| 零 阶 保 持 器的 相 频 特 性 零 阶 保 持 器的 幅 频 特 性 零 阶 保 持 器的 频 率 特 性 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 图 1-9 零 阶 保 持 器 的 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 零 阶 保 持 器 的 特 性 ：1） 低 通 特 性 ；2） 相 角 滞 后 特 性 ；3） 时 间 滞 后 特 性 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1.3 Z变 换 理 论1 Z变 换 的 定 义 ： 0* )()()()( n nznTeteZteZzE2. 几 点 说 明 ：u连 续 信 号 和 它 的 采 样 信 号 具 有 相 同 的 Z变 换 ；u若 两 个 信 号 在 所 有 采 样 时 刻 上 值 相 同 ， 它 们 的 Z 变 换 相 同 ；u Z变 换 定 义 式 常 用 于 证 明 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 级 数 求 和 法部 分 分 式 法留 数 计 算 法 （ 补 充 ）1. 级 数 求 和 法主 要 思 想 是 ： 根 据 Z变 换 定 义 式 写 出 级 数 形 式 的 Z变 换再 作 级 数 求 和 ， 得 到 闭 合 形 式 的 Z变 换 表 达 式 。 nn n znTezTeeznTezE )()()0()()( 10 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 例 : 求 指 数 函 数 的 Z变 换 。0e)( atx ta，解 ： 由 于 ， 则 ：TnanTx e)( 2210 ee1e)( zzzzX aTaTn nnTa若 公 比 ， 则 有 ：11 ze aT ,ee1 1)( 1 aTaT z zzzX 11 ze aT Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2. 部 分 分 式 法 主 要 步 骤 ：1） 先 求 出 已 知 连 续 时 间 函 数 e(t)的 拉 氏 变 换 E(s)；2） 将 E(s)展 成 部 分 分 式 之 和 的 形 式 ； 3） 对 每 一 部 分 分 式 分 别 求 取 Z变 换 ， 则 可 得 到 E(Z)。注 意 ： 常 用 时 间 函 数 的 Z变 换 表 参 见 教 材 表 7-2， 可 挑 重 要 的 重 点 记 忆 一 下 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 3 留 数 计 算 法 （ 补 充 的 内 容 ） 已 知 连 续 时 间 函 数 e(t)的 拉 氏 变 换 E(s)及 全 部 极点 ， 则 e(t)的 Z变 换 可 由 下 面 留 数 计 算 求 得 。),2,1( nisi Ki ssTsrirriKi Tsss iiiii z zsEsssddrz zsEszE 1 111 e)()()!1( 1e)(Re)(式 中 ： KE(s)的 不 相 同 极 点 的 个 数 ； ri 极 点 si的 阶 数 ； T 采 样 周 期 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 例 ： 用 留 数 法 求 单 位 斜 坡 函 数 e(t) = t 的 Z变 换 。解 ： e(t)的 拉 氏 变 换 式 为21)( ssE 显 然 ， 只 有 一 个 二 重 极 点 ， 即 s = 0 ， r =2， K=1。 故 ： 022 e1)!12( 1)()( sTsz zsssddtZzE 2)1( z zT Ki ssTsrirri iiii z zsEsssddrzE 1 11 e)()()!1( 1)( Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 线 性 定 理 若 ， ， ， a为常 数 ， 则 ： )()( 11 teZzE )()( 22 teZzE )()( teZzE )()()()( 2121 zEzEteteZ )()( zaEteaZ 说 明 ： Z变 换 过 程 满 足 齐 次 性 与 均 匀 性 ， 表 明 Z变 换 是 一 种 线 性 变 换 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 实 数 位 移 定 理 （ 平 移 定 理 ） （ ）1） 实 数 位 移 的 含 意 ： 指 整 个 采 样 序 列 在 时 间 轴 上 左 右 平 移若 干 采 样 周 期 ， 其 中 向 左 平 移 为 超 前 ， 向 右 平 移 为 滞 后 。2） 实 数 位 移 定 理 ： 如 果 函 数 e(t)是 可 拉 氏 变 换 的 ， 其 Z变换 为 E(z) ， 则 有滞 后 定 理 （ 负 偏 移 定 理 ） ： )()( zEzkTteZ k超 前 定 理 （ 正 偏 移 定 理 ） ： )()()( 10 kn nk znTezEzkTteZ其 中 ： k为 正 整 数 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 说 明 ： 实 数 位 移 定 理 的 作 用 相 当 于 拉 氏 变 换 中 的 微 分 和 积 分 定 理 。 算 子 有 明 确 的 物 理 意 义 ： z-k 代 表 时 域 中 的 滞 后 环 节 ， 它 将 采 样 信 号 滞 后 k个 采 样 周 期 ； zk 代 表 超 前 环 节 ， 它 将 采 样 信 号 超 前 k个 采 样 周 期 ， 表 征 了 对 脉 冲 序 列 的 kT时 刻 脉 冲 的 预 报 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 （ a） z-k 环 节 的 延 迟 作 用（ b） zk 环 节 的 超 前 作 用 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 3 复 数 位 移 定 理如 果 函 数 e(t)是 可 拉 氏 变 换 的 ， 其 Z变 换 为 E(z) ， 则 有)e()(e aTta zEteZ 含 义 ： 函 数 e(t)乘 以 指 数 序 列 的 Z变 换 就 等 于 在 e(t)的 Z变换 表 达 式 中 ， 以 取 代 原 算 子 z。 anTeaTze Harbin Engineering University主 目 录 返 回 例 ： 计 算 的 Z变 换 。)2sin1()( tetx t 解 ： 计 算 (查 表 )得 到 1)2cos(2 )2sin(2sin 2 zTz zTtZ 1)(1 z ztZ所 以 ： )2sin1()( teZzX t 1)e)(2cos(2)e( )e)(2sin(1ee 2 TT TT T zTz zTz z TTTT zTz zTz z 22 e)2cos(e2 )2sin(ee TTT TTTT zTzTz zTTzTz 3223 22 e)2cos21(e)2cos21(e e)2cos22sine(e)2sine(1 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 4 终 值 定 理 （ ） 如 果 函 数 e(t)的 Z变 换 为 E(z)， 函 数 序 列 e(nT)(n=0,1,2,)为 有 限 值 ， 且 极 限 存 在 ， 则 函 数 序 列 的 终 值)()1(lim)()1(lim)(lim)( 111 zEzzEznTee zzn )(lim nTen 例 ： 设 Z变 换 函 数 为 )208.0416.0)(1( 792.0)( 2 2 zzz zzE试 用 终 值 定 理 计 算 e(nT)的 终 值 。解 ： 的 2个 极 点 为 ， 则 在 单 位 圆 内 ， 则 由 终 值 定 理 得 ：)()1( zEz 406.0208.02,1 jz 1456.02,1 z 1208.0416.0 792.0lim)208.0416.0)(1( 792.0)1(lim)( 2 212 21 zz zzzz zze zz Harbin Engineering University主 目 录 返 回 5 卷 积 定 理设 x(nT)和 y(nT)为 两 个 采 样 函 数 ， 其 离 散 卷 积 定 义 为 ：0( ) ( ) ( ) ( ) kx nT y nT x kT y n k T 则 卷 积 定 理 ： 若 ,必 有 ( ) ( ) ( )W z X z Y z 说 明 ： 卷 积 定 理 指 出 ， 两 个 采 样 函 数 卷 积 的 Z变 换 ， 就等 于 这 两 个 采 样 函 数 相 应 Z变 换 的 乘 积 。 这 说 明 时 域 上的 卷 积 关 系 对 应 着 频 域 上 的 乘 积 关 系 。( ) ( )* ( )wnT xnT y nT Harbin Engineering University主 目 录 返 回 Z反 变 换 ： 已 知 信 号 的 Z 变 换 表 达 式 E(z) ， 求 相 应的 离 散 序 列 e(nT)的 过 程 。 记 为)()( 1 zEZnTe 注 意 ： 进 行 反 变 换 时 ， 信 号 序 列 仍 是 单 边 的 ， 即当 n 0时 ， e(nT)=0 .Z反 变 换 法 幂 级 数 法部 分 分 式 法反 演 积 分 法 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 幂 级 数 法 （ 多 项 式 除 法 、 长 除 法 、 综 合 除 法 ）主 要 思 想 :将 E(z)表 示 为 按 z-1升 幂 排 列 的 两 个 多 项 式 之 比 ： nn mmzazaza zbzbzbbzE 2211 221101)(对 上 式 直 接 作 综 合 除 法 ， 得 到 按 升 幂 排 列 的 幂 级 数 展 开 式 ： 1 20 1 2 0( ) n nn nnE z c c z c z c z c z 如 果 所 得 到 的 无 穷 幂 级 数 是 收 敛 的 ， 则 按 Z变 换 定 义 可知 ： 。 故 的 脉 冲 序 列 表 达 式 为 ： ncnTe )( )(* te 0* )()( n n nTtcte Harbin Engineering University主 目 录 返 回 例 用 幂 级 数 法 求 下 列 函 数 的 Z反 变 换 。解 ： 将 给 定 的 E(z)表 示 为 : 21 31 5.05.11 21)( zz zzzE利 用 综 合 除 法 得 ： 32 321 321 21 32121 321 750.075.4 750.125.55.3) 000.150.05.3 50.05.11) 000.100.00.215.05.11 375.675.45.31 zz zzz zzz zz zzzzz zzz所 以 321 375.675.45.31)( zzzzE采 样 函 数 )3(375.6)2(75.4)(5.3)()(* TtTtTttte Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 部 分 分 式 法 （ 查 表 法 ）具 体 实 现 步 骤 如 下 ：1） 设 已 知 的 E(z) 无 重 极 点 ， 先 将 E(z)/z展 开 成 部 分 分 式 之 和 ： ki iizz AzzE 1)(式 中 ： 是 E(z)的 极 点 ； 是),2,1( kizi ),2,1()()( kizzEzzA izzii 是 E(z)/z在 极 点 zi处 的 留 数 。 2） 由 上 式 E(z)写 出 的 部 分 分 式 之 和 ： ki ii zz zAzE 1)(3） 逐 项 查 Z变 换 表 ， 得 到 ： kizz zAZnTe iii ,2,1)( 1 4） 写 出 已 知 E(z)对 应 的 采 样 函 数 ： 0 1* )()()( n ki i nTtnTete Harbin Engineering University主 目 录 返 回 ；aTzz e111例 7-13 用 部 分 分 式 求 )e)(1( )e1(z) aTaTzz zX 下 列 函 数 的 Z反 变 换 。,2,1,0,1)( nenTx nTa ；aTz zz zX e1(z)或 表 示 为 0 )()1()( n nTa nTtetx 即 、 、 、 0)0( x TaeTx 1)( aTeTx 21)2( 解 ： )e)(1( )e1(z) aTaTzzzX ；解 ： Harbin Engineering University主 目 录 返 回 如 果 部 分 分 式 法 使 用 不 当 ， 计 算 很 困 难 。如 上 例 采 用 如 下 计 算 步 骤 就 很 麻 烦 ,aTaTzzzX ee11)( ,2,1,)1(1e1)( nTnnTx nTa即 、 、 、 0)0( x TaeTx 1)( aTeTx 21)2( ；aTaT z zzz zz ee1 11 aTaTz zz zzzX e )e(z1)1()( aTz zz z e1 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 3 反 演 积 分 法 （ 留 数 法 ） 已 知 连 续 时 间 函 数 e(t)的 Z变 换 式 为 E(z)， 可 证 明 连 续 时 间函 数 e(t)在 t=nT时 刻 的 采 样 值 e(nT)可 由 下 面 的 反 演 积 分 计 算 :1 111 1 111( ) ( ) Re ( ) 2 1 ( ) ( ) ( 1)! ii ii ikn n z z irk r niri i z ze nT E z z dz s E z zj d z z E z zr dz 式 中 ： kE(z)的 不 相 同 极 点 的 个 数 ； zi E(z)zn-1的 极 点 (i =1,2,k)； ri 极 点 zi的 阶 数 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 2( ) ( 1)( 0.8)zE z z z 例 用 留 数 计 算 法 求 下 列 函 数 的 Z反 变 换 。解 ： E(z)有 两 个 极 点 ： 。 其 阶 数 分 别 为 ： ， 极 点 处 的 留 数 分 别 为 ： 8.01 21 zz ，21 21 rr ， 1 2 11 2 1 1Re ( ) ( 1) 25( 1)( 0.8) 0.04nn z z zz zs E z z z z z 2 2 11 2 2 0.81Re ( ) ( 0.8)(2 1)! ( 1)( 0.8)nn z z zd z zs E z z zdz z z 8.02)1( )1( znz znzn nn 8.004.0 12.0 nn 8.0)2.01(25 ( ) 251 (1 0.2 ) 0.8ne nT n 0* )(8.0)2.01(125)( n n nTtnte Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2.1 线 性 差 分 方 程 第 2章 离 散 系 统 的 数 学 模 型2.2 脉 冲 传 递 函 数 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 离 散 系 统 的 数 学 定 义2.1 线 性 差 分 方 程 1 离 散 系 统 ： 将 输 入 序 列 r(n)（ n=0, ） ， 变 换 为输 出 序 列 c(n)的 一 种 变 换 关 系 ， 称 为 离 散 系 统 。记 作 1, 2, ( ) ( )c n F r n 注 意 ： 讨 论 离 散 系 统 时 ， 仅 关 注 采 样 时 刻 上 的 各信 号 间 的 关 系 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 线 性 离 散 系 统 ： 如 果 离 散 系 统 满 足 叠 加 原 理 ， 则 称 为 线 性 离 散 系 统 。 3 线 性 定 常 离 散 系 统 ： 输 入 与 输 出 关 系 不 随 时 间 而 改 变 的 线 性 离 散 系 统 ，称 为 线 性 定 常 离 散 系 统 ， 也 称 作 线 性 时 不 变 离 散 系 统 。 本 章 所 研 究 的 离 散 系 统 为 线 性 定 常 离 散 系 统 ， 可以 用 线 性 常 系 数 差 分 方 程 描 述 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 二 线 性 常 系 数 差 分 方 程 及 其 解 法 1 线 性 常 系 数 差 分 方 程n阶 后 向 差 分 方 程 ： mj jni i jkrbikcakc 01 )()()(n阶 前 向 差 分 方 程 ： mj jni i jmkrbinkcankc 01 )()()(后 向 差 分 方 程 ： 时 间 概 念 清 楚 ， 便 于 编 制 程 序 ；前 向 差 分 方 程 ： 便 于 讨 论 系 统 阶 次 、 使 用 Z变 换 法 计 算 初 始 条 件 不 为 零 的 解 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 线 性 差 分 方 程 的 解（ 1） 迭 代 法 （ 了 解 ） ： 利 用 递 推 关 系 求 解 。（ 2） Z变 换 法 （ ） ： 利 用 Z变 换 求 解 。具 体 步 骤 ： 根 据 Z变 换 实 数 位 移 定 理 对 差 分 方 程 逐 项 取 Z变 换 ； 求 差 分 方 程 解 的 Z变 换 表 达 式 C(z)； 通 过 Z反 变 换 求 差 分 方 程 的 时 域 解 c(k)。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 ；)65)(1( )1()( 2 zzz zzzzC 已 知 系 统 差 分 方 程 、 初 始 状 态 和 r(k)如 下例 ：试 用 Z 变 换 法 计 算 输 出 序 列 c(k)， k 0。)( 12 zzCz ； 1)( z zzR ；)()2(6)1(5)( krkckckc 。； 1)1(,0)0()(1)( cckkr解 ： 超 前 差 分 方 程 c(k+2)-5c(k+1) + 6c(k)= r(k)(5 zCz )(6 zC ；)(zR Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 1 )3)(2()( zk zz zkTc 与 迭 代 法 比 较 ， Z变 换 法 得 到 通 项 式 。；， 035.025.0 11 kkk ；)3)(2)(1()( 2 zzz zzC 21 )3)(1( zk zz z 31 )2)(1( zk zz z ；25)3( c；6)2( c ；86526)10( c Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 脉 冲 传 递 函 数 的 定 义 2.2 脉 冲 传 递 函 数在 零 初 始 条 件 下 ， 系 统 输 出 采 样 信 号 的 Z 变 换与 输 入 采 样 信 号 的 Z变 换 之 比 。注 意 ： 在 输 入 端 必 须 有 采 样 开 关 。；)( )()( zR zCzG Harbin Engineering University主 目 录 返 回 实 际 开 环 离 散 系 统 系 统 的 输 出 往 往 是 连 续 信 号 而 不 是 采 样 信 号 ， 此 时 ，可 在 系 统 输 出 端 虚 设 一 个 理 想 采 样 开 关 。 虚 设 的 采 样开 关 与 输 入 采 样 开 关 同 步 工 作 ， 并 具 有 相 同 的 采 样 周期 。 虚 设 的 采 样 开 关 是 不 存 在 的 ， 它 只 表 明 了 脉 冲 传 递函 数 所 能 描 述 的 只 是 输 出 连 续 函 数 在 采 样 时 刻 上 的 离散 值 . Harbin Engineering University主 目 录 返 回 二 脉 冲 传 递 函 数 的 物 理 意 义 脉 冲 传 递 函 数 的 含 义 是 ： 系 统 脉 冲 传 递函 数 G(z)， 就 等 于 单 位 脉 冲 响 应 序 列 K(nT)的 Z变 换 。 0 )()()( n nznTKzKzG Harbin Engineering University主 目 录 返 回 三 、 脉 冲 传 递 函 数 求 法 连 续 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 G(z)， 可 以 通 过 其 传递 函 数 G(s)来 求 取 ， 具 体 处 理 为 ： 根 据 Z变 换 表 ，可 以 直 接 从 G(s)得 到 G(z) ， 而 不 必 逐 步 推 导 ， 即定 义 G(s)的 Z变 换 ： *( ) ( ) ( )G z Z G s Z G s Harbin Engineering University主 目 录 返 回 四 、 开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数1 采 样 拉 氏 变 换 的 重 要 性 质 若 采 样 函 数 的 拉 氏 变 换 E*(s)与 连 续 函 数 的 拉 氏变 换 G(s)相 乘 后 再 离 散 化 ， 则 E*(s)可 以 从 离 散 符 号中 提 出 来 ， 即 * * *( ) ( ) ( ) ( )G s E s G s E s 采 样 函 数 的 拉 氏 变 换 具 有 周 期 性 ， 即)jks(G)s(G s* Harbin Engineering University主 目 录 返 回 （ 1） 串 联 环 节 之 间 有 采 样 开 关开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数 ： 1 2( )( ) ( ) ( )( )C zG z G z G zR z 2 有 串 联 环 节 时 的 开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 （ 2） 串 联 环 节 之 间 无 采 样 开 关开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数 为 ： 1 2 1 2( )( ) ( ) ( ) ( )( )C zG z GG z Z G s G sR z Harbin Engineering University主 目 录 返 回 3 有 零 阶 保 持 器 时 的 开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数 （ ） 零 阶 保 持 器 的 开 环 离 散 系 统上 图 的 等 效 开 环 系 统 1 ( )( ) 1( ) ( ) (1 )( ) sT pp G sC z eG z Z G s z ZR z s s （ ） Harbin Engineering University主 目 录 返 回 4 有 并 联 环 节 时 的 开 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数并 联 环 节 的 开 环 系 统 脉 冲 传 函 数 为 : )()()( )()( 21 zGzGzR zCzG Harbin Engineering University主 目 录 返 回 五 、 闭 环 系 统 脉 冲 传 递 函 数 （ ） 注 意 ： 在 求 离 散 控 制 系 统 的 闭 环 脉 冲 传 递 函 数时 ， 要 根 据 采 样 开 关 的 实 际 情 况 进 行 具 体 分 析 。 对 偏 差 信 号 进 行 采 样 的 系 统 ： 可 求 得 系 统 的闭 环 脉 冲 传 递 函 数 和 误 差 脉 冲 传递 函 数不 对 偏 差 信 号 进 行 采 样 的 系 统 ： 只 能 求 出 系统 输 出 采 样 信 号 的 Z变 换 函 数 C(z)( )( ) ( )C zz R z ( )( ) ( ) e E zz R z Harbin Engineering University主 目 录 返 回 1 对 偏 差 信 号 进 行 采 样 的 系 统对 偏 差 进 行 采 样 的 闭 环 离 散 系 统 结 构 图 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 （ 1） 闭 环 离 散 系 统 对 于 输 入 量 的 误 差 脉 冲 传 递 函 数( ) 1( ) ( ) 1 ( )e E zz R z HG z （ 2） 闭 环 离 散 系 统 对 于 输 入 量 的 脉 冲 传 递 函 数( ) ( )( ) ( ) 1 ( )C z G zz R z HG z Harbin Engineering University主 目 录 返 回 （ 3） 闭 环 离 散 系 统 的 特 征 方 程( ) 1 ( ) 0D z GH z 结 论 ： 对 偏 差 信 号 进 行 采 样 的 离 散 系 统 其 闭 环 脉 冲 传 递 函 数 与 连 续 系 统 的 闭 环 传 递 函 数 形 式 上 很 相 似 。 注 意 ： ( ) ( )z Z s ( ) ( ) e ez Z s Harbin Engineering University主 目 录 返 回 2 不 对 偏 差 信 号 进 行 采 样 的 系 统不 对 偏 差 进 行 采 样 的 闭 环 离 散 系 统 结 构 图 Y(s)R(s) C(s)X*(s)- G1(s) G2(s)H(s)E(s) C*(s)结 论 ： 不 对 偏 差 信 号 进 行 采 样 的 离 散 系 统 不 能 求 出脉 冲 传 递 函 数 ， 只 能 求 出 系 统 输 出 采 样 信 号 的 Z变 换函 数 C(z)。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 3. 闭 环 系 统 的 脉 冲 传 递 函 数 计 算注 意 采 样 开 关 位 置 ， 列 写 出 方 框 图 中 信 号 间 ；)(1 )()( zGHzGz Y(s)-R(s) C(s)E(s) E*(s) G(s)H(s)Y(z)=GH(z)E(z)；C(z)=G(z)E(z)； E(z)=R(z)-Y(z)；Y(z) -R(z) C(z)E(z) G(z)GH(z) 图 7-26的 关 系 式 ， 绘 制 出 离 散 系 统 方 框 图 或 信 号 流 图 。 Harbin Engineering University主 目 录 返 回 Y(z)=H(z)C(z)；C(z)=G(z)E(z)； E(z)=R(z)-Y(z)；Y(s) -R(s) C(s)E(s) E*(s) G(s)H(s) C*(s)表 7-