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河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 上 节 课 内 容 回 顾o自 动 控 制 系 统 的 基 本 要 求 ， 如 何 理 解 ？ 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 第 二 章 控 制 系 统 的 数 学 模 型 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 第一讲n本 讲 要 点 介 绍n作 业 和 练 习习 题 ： 2-1、 2-2（ b） 和 2-51、 了 解 微 分 方 程 建 立 的 一 般 方 法 及 小 偏 差 线 性 化 的 方 法 ；2、 掌 握 拉 氏 变 换 法 解 微 分 方 程 ；3、 会 用 Matlab方 法 进 行 部 分 分 式 展 开 ， 对 低 阶 微分 方 程 ， 能 用 部 分 分 式 法 展 开 计 算 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 描 述 系 统 各 变 量 之 间 关 系 的 数 学 表 达 式 ， 叫 做系 统 的 数 学 模 型 ， 分 为 动 态 模 型 与 静 态 模 型 。Part 2.1.1 数 学 模 型 的 定 义Part 2.1 动 态 模 型 ：是 指 描 述 变 量 各 阶 导 数 之 间 关 系 的 微 分 方 程 。 即 线性 定 常 微 分 方 程 ， 可 由 此 分 析 系 统 的 动 态 特 性 。静 态 模 型 ：是 指 在 静 态 条 件 下 （ 即 变 量 的 各 阶 导 数 为 零 ） ，描 述 变 量 之 间 关 系 的 代 数 方 程 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院A 分 析 法 对 系 统 各 部 分 的 运 动 机 理 进 行 分 析 ， 根 据 它 们 所 遵 循 的 物理 或 化 学 规 律 列 写 出 相 应 的 运 动 方 程 。B 实 验 法 人 为 地 对 系 统 施 加 某 种 测 试 信 号 ， 记 录 其 输 出 响 应 ， 并 用适 当 的 数 学 模 型 进 行 逼 近 。 这 种 方 法 也 称 为 系 统 辨 识 。建 立 数 学 模 型 主 要 有 两 个 途 径 ： 建 立 系 统 数 学 模 型 时 ， 必 须 ：1、 全 面 了 解 系 统 特 性 ， 确 定 研 究 目 的 以 及 准 确 性 要 求 ， 决 定是 否 忽 略 一 些 次 要 因 素 而 简 化 数 学 模 型 ；2、 根 据 所 应 用 的 分 析 方 法 ， 建 立 相 应 形 式 的 数 学 模 型 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 数 学 模 型 的 形 式 ：时 间 域 ： 微 分 方 程 (连 续 系 统 )差 分 方 程 （ 离 散 系 统 ）状 态 方 程 （ 多 变 量 系 统 ）复 数 域 ： 传 递 函 数 （ 或 脉 冲 传 递 函 数 （ 离 散 ） ）结 构 图 、 信 号 流 图 （ 图 形 形 式 ）频 率 域 ： 频 率 特 性 （ 或 描 述 函 数 （ 非 线 性 ） ） 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 建 立 数 学 模 型 的 目 的 ：分 析 系 统 的 性 能 。由 数 学 模 型 求 取 系 统 性 能 的 途 径 如 下 ： 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 1 电 气 系 统 三 元 件 -VCR电 学 ： 欧 姆 定 理 、 基 尔 霍 夫 定 律 。 )t(Ri)t(uR )t(iC1)t(uC dt )t(diL)t(u L Part 2.1.2 控 制 系 统 微 分 方 程 的 建 立 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 SM 负 载 mJaE aR )(tm)(tua aL mf)(tia )(tMC例 2-1： 列 写 ： 电 枢 控 制 直 流 电 机 的 微 分 方 程 ，输 入 量 ： 电 枢 电 压 ua(t)， 输 出 量 ： 转 速 m(t)其 中 ： 2） 电 磁 转 矩 方 程 ： )()( tiCtM amm 1） 反 电 势 ： )()( tCtE mea 3） 负 载 转 矩 ： )(tMC 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 2） 电 动 机 轴 上 转 矩 平 衡 方 程 ： )()()()( tMtMtfdt tdJ Cmmmmm 解 ： 1） 电 枢 回 路 电 压 平 衡 方 程 ： )()()()( tutEtiRdt tdiL aaaaaa 3） 消 去 中 间 变 量 ia(t)、 Ea(t)、 Mm(t)得 ：)()()( )()()()()(22 tMRdt tdMLtuC tCCfRdt tdJRfLdt tdJL CaCaam memmammamamma 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 2、 机 械 运 动 系 统 的 三 要 素 -力机 械 运 动 的 实 质 ： 牛 顿 定 理 、 能 量 守 恒 定 理则 质 量 受 力 为 ：设 ： 位 移 ： ， 速 度 ： ， 加 速 度 ：)t(x dt )t(dx 22dt )t(xd则 弹 簧 的 弹 力 为 ：则 阻 尼 器 的 阻 尼 力 为 ： 22dt )t(xdm)t(F )t(Kx)t(F dt )t(dxf)t(F 方 向 与 运 动 方 向 相 同方 向 与 运 动 方 向 相 反方 向 与 运 动 方 向 相 反 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 例 2-2： 机 械 平 移 系 统 ， 要 求 写 出 质 量 m在 外 力 作用 下 ， 位 移 x(t)的 运 动 方 程 。 P22 解 ： 以 静 止 （ 平 衡 ） 工 作 点 作 为 零 点 ，以 消 除 重 力 的 影 响 ， 受 力 如 下 图 所 示 ： )t(F)t(F)t(Ftd )t(xdm 2122 1） 由 牛 顿 第 二 定 律 ， 有 ：td )t(xdf)t(F1 f 阻 尼 系 数 )t(Kx)t(F2 K 弹 性 系 数 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院从 例 2-1、 2-2得 出 结 论 ：1） 微 分 方 程 的 系 数 取 决 于 系 统 的 结 构 参 数2） 阶 次 等 于 独 立 储 能 元 件 的 个 数3） 物 理 系 统 的 相 似 性 ： 不 同 物 理 性 质 元 件 组 成 系统 ， 可 以 具 有 相 同 的 数 学 模 型 ， 即 ： 数 学 模 型 摆 脱了 物 理 原 型 ， 可 以 描 述 这 些 系 统 的 共 同 运 动 规 律 。 )t(F)t(Kxtd )t(xdftd )t(xdm 22 2） 整 理 后 得 到 运 动 方 程 式 ： 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 结 论 ： 建 立 微 分 方 程 的 步 骤 P24 根 据 元 件 的 工 作 原 理 及 其 在 控 制 系 统 中 的 作 用 ，确 定 其 输 入 量 和 输 出 量 ； 分 析 元 件 工 作 中 所 遵 循 的 机 理 ， 列 写 相 应 的 微 分方 程 ； 消 去 中 间 变 量 ， 得 到 输 入 量 与 输 出 量 之 间 的 微 分方 程 ； 写 成 标 准 形 式 。标 准 形 式 ： 将 与 输 入 量 有 关 的 各 项 写 在 方 程 的 右 边 ；与 输 出 量 有 关 的 各 项 写 在 方 程 的 左 边 ， 方 程 两 边 变量 的 各 导 数 项 均 按 降 幂 排 列 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 Part 2.1.3 线 性 定 常 微 分 方 程 的 求 解两 种 方 法 ： 经 典 法 和 拉 氏 变 换 法拉 氏 变 换 法 求 解 微 分 方 程 的 步 骤 ：对 微 分 方 程 进 行 拉 氏 变 换求 系 统 输 出 量 表 达 式将 输 出 量 表 达 式 展 开 为 部 分 分 式查 表 求 各 分 式 的 拉 氏 反 变 换整 理 出 方 程 解简 单 系 统 ： 通 分 法 ； 复 杂 系 统 ： 留 数 法 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 微 分 方 程 初 始 条 件 微 分 方 程 的 解 分 析 系 统运 动 特 征线 性 微 分 方 程 的 求 解 方 法 ： 常 规 求 解 方 法拉 氏 变 换 法1、 常 规 求 解 方 法例 2-5 RLC串 联 电 路 设 L=1H,C=1F,R=1,输 入 ui(t)=1(t)V, 试 分 析 当 突 然 接 通 电 源 时 电 路 的 输 出 uo(t)。Vu o 1.0)0( Ai 1.0)0( )(1)()()(22 ttudttdudt tud ooo RL Ciiu ou 经 典 法 ： 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 方 程 的 解 齐 次 通 解 非 齐 次 特 解特 征 方 程 的 特 征 根决 定 系 统 输 入决 定)(1)()()(22 ttudt tdudt tud ooo 012 2321, 21 j特 征 方 程 ： 特 征 根齐 次 通 解非 齐 次 特 解 1)(2 tuo全 解 teCteCtututu ttooo 866.0cos866.0sin1)()()( 21221121 teCteCtu tto 866.0cos866.0sin)( 2122111 （ 其 中 ， C1和 C2由 初 始 条 件 确 定 ） 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 2、 Laplace变 换 求 解 方 法 （ 仍 以 上 述 RLC串 连 电 路 为 例 ）)()()()(22 tutudt tdudt tud iooo )()()0()()0()0()( 0000002 sUsUussUususUs iVuo 1.0)0( 1.0)0(1)(1)( 00 iCtiCtu tto 2.01.0)()()1( 02 ssUsUss i12.01.0)(11)( 220 ss ssUsssU i)(1)( ttui ssUi 1)( 12.01.011112.01.0)1( 1)( 22220 ss sss ssss sssssU )30866.0sin(2.0)120866.0sin(15.11)( 5.05.0 tetetu tto 暂 态 分 量 （ 齐 次 通 解 ）稳 态 分 量 （ 非 齐 次 特 解 ）零 初 始 条 件 响 应 零 输 入 响 应 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 系 统 的 运 动 构 成 齐 次 解 的 运 动 形 式 取 决 于 特 征 根 ， 由 于 微 分 方 程 的 结 构参 数 只 取 决 于 系 统 本 身 的 结 构 和 参 数 ， 所 以 齐 次 解 的 运 动形 式 只 与 系 统 本 身 有 关 ， 这 些 运 动 形 式 是 系 统 的 固 有 运 动 ，当 初 始 状 态 非 零 或 者 有 输 入 信 号 时 ， 这 些 运 动 形 式 就 会 被激 发 出 来 。 特 解 的 运 动 形 式 与 输 入 量 的 形 式 一 致 ， 它 是 外 界 输 入 作用 于 系 统 引 起 的 受 迫 运 动 。 解（ 系 统 的 运 动 ） 奇 次 解 （ 自 由 /固 有 运 动 ）特 解 （ 受 迫 运 动 ） 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 控制系统的运动模态考 虑 如 下 所 示 的 常 系 数 线 性 微 分 方 程 )()()(.)()( 01111 tftYatYdtdatYdtdatYdtda nnnnnn 此 微 分 方 程 的 特 征 根 是 1， 2,， n 齐 次 微 分 方 程 的 通 解 （ 1） 1,2,n无 重 根 情 况 tntt neCeCeCtY 21 210 )(ttt neee , 21 系 统 的 运 动 模 态 （ 或 振 型 ） ，每 一 种 模 态 代 表 一 种 类 型 的 运 动 形 态 。 （ 2） 1,2,n有 重 根 情 况 （ 设 i为 q重 根 ） ,其 运 动 模 态 中 会具 有 形 如 形 式 的 模 态 tqtt iii ettee 1, （ 3） 特 征 根 中 有 共 轭 复 根 时 土 j ， 其 共 轭 复 模 态 tje )( tete tt cos,sin 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 Part 2.1.4 非 线 性 微 分 方 程 的 线 性 化 （ 了 解 ）方 法 ： 切 线 法 或 小 偏 差 线 性 化 是 在 一 个 很 小 范 围 内 ， 将 非 线 性 特 性 用 一 段 直 线 来代 替 。 特 别 适 用 于 具 有 连 续 变 化 的 非 线 性 特 性 函 数 。饱 和 非 线 性 死 区 非 线 性间 隙 非 线 性 继 电 器 非 线 性常 见 非 线 性 ： 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 1、 单 变 量 函 数 泰 勒 级 数 法 ：函 数 y=f(x)在 其 平 衡 点 （ x0,y0） 附 近 的 泰 勒 级 数 展 开 为 ：略 去 含 有 高 于 一 次 的 增 量 x=x-x0的 项 ， 则 ：注 ： 非 线 性 系 统 的 线性 化 模 型 ， 称 为 增 量方 程 。注 ： y=f(x 0)称 为 系 统的 静 态 方 程 30 xx3320 xx22 0 xx0 )xx(dx )x(fd3!1)xx(dx )x(fd2!1 )xx(dx )x(df)x(f)x(fy 00 0 )xx(dx )x(df)x(fy 0 xx0 0 0 xx0 dx)x(dfK,xKyy-y 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 2、 多 变 量 函 数 泰 勒 级 数 法 ：增 量 方 程静 态 方 程 )x,x(fy 21 )xx(xf)xx(xf)x,x(fy 202xx xx2101xx xx12010 202 101202 101 22110 xKxKyyy )x,x(fy 20100 泰 勒 级 数 展 开 ： 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 例 单 摆 运 动lMgsin Mg单 摆 运 动 示 意 图 根 据 牛 顿 运 动 定 律 可 以 直 接 导 出 此 系 统 的 动 态 方 程 为0sindt 22 MgdtdldMl 非 线 性 项这 是 一 输 入 为 零 ， 输 出 量 为 摆 幅 的 二 阶 非 线 性 微 分 方 程 。当 控 制 系 统 处 在 自 动 调 节 状 态 的 小 摆 幅 下 运 行 时 ， 可 应用 小 偏 差 线 性 化 方 法 将 非 线 性 系 统 线 性 化 。 000 cossin)sin(sin sin平 衡 状 态 为 00 0)()(dt )( 22 MgdtdldMl 0dt 22 MgdtdldMl 线 性 二 阶 微 分 方 程 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 上 节 课 内 容 回 顾o数 学 模 型 ？o微 分 方 程 的 标 准 形 式 ？o用 拉 氏 变 换 求 解 线 性 定 常 微 分 方 程 的 过 程 ？ 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 第二讲n 本 讲 要 点 介 绍n 作 业 和 练 习习 题 ： 2-7、 2-8 预 习 实 验 一1、 正 确 理 解 传 递 函 数 的 定 义 、 性 质 ；2、 熟 练 掌 握 典 型 环 节 的 传 递 函 数 ； 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 2.2 控 制 系 统 的 复 数 域 数 学 模 型 传 递 函 数)(1)()()(22 ttudt tdudt tud ooo 012 2321,21 j特 征 方 程 ： 特 征 根齐 次 通 解非 齐 次 特 解 1)( 2 tuo全 解 teCteCtututu ttooo 866.0cos866.0sin1)()()( 21221121 teCteCtu tto 866.0cos866.0sin)( 2122111 时 域 数 学 模 型 微 分 方 程 方 法 直 观 ， 特 别 是 借 助 计 算 机 可 以 迅 速 、 准 确 的 获 得 结 果 不 能 直 接 反 映 出 系 统 结 构 和 参 数 对 系 统 运 动 特 征 的 影 响 ，特 别 是 当 系 统 的 结 构 和 参 数 变 化 时 系 统 分 析 较 麻 烦 。 )(1)()()(22 ttudt tduRCdt tudLC ooo 复 数 域 数 学 模 型 传 递 函 数 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 一 、 传 递 函 数 的 定 义设 线 性 定 常 系 统 由 下 述 n阶 线 性 常 微 分 方 程 描 述 ：)()()()( )()()()( 01111 01111 trbtrdtdbtrdtdbtrdtdb tcatcdtdatcdtdatcdtda mmmmmm nnnnnn c(t)系 统 输 出 量r(t)系 统 输 入 量零 初 值 条 件 Laplace变 换 )()( 01110111 sRbsbsbsbsCasasasa mmmmnnnn 0111 0111)( )( asasasa bsbsbsbsR sC nnnn mmmm 传 递 函 数 ： 零 初 始 条 件 下 ， 线 性 定 常 系 统 的 系 统 输 出 量 的 拉 氏 变 换与 输 入 量 的 拉 氏 变 换 之 比 。 )( )(sR sC 零 初 始 条 件输 入 信 号 的 拉 氏 变 换输 出 信 号 的 拉 氏 变 换传 递 函 数 )(sG 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 方 法 一 ： 由 前 面 例 题 可 知 描 述 网 络输 入 输 出 关 系 的 微 分 方 程 ： )()()()(22 tutudt tduRCdt tudLC rccc 在 零 初 始 条 件 下 ， 对 上 述 方 程 中 各 项 求 拉 氏 变 换 ， 得)()()1( 2 sUsURCsLCs rc 由 传 递 函 数 定 义 ， 得 11)( )()( 2 RCsLCssU sUsG rc RL Ciru cu 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 方 法 二 ： 引 用 复 数 阻 抗 直 接 列 写 网 络 的 代 数 方 程 ， 然 后 求 其 传递 函 数 。 解 ： 用 复 数 阻 抗 表 示 电 阻 时 仍 为 R，电 容 C的 复 数 阻 抗 为 1/Cs， 电 感 的 复数 阻 抗 为 Ls。 则 由 分 压 定 律 可 得 ： 1111)( )( 2 RCsLsCsRLs CssU sUrc RLs Cs1iru cu 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 二 、 传 递 函 数 的 性 质（ 1） 在 复 数 域 内 系 统 的 输 出 )()()( sRsGsC 代 数 关 系)(sG)(sR )(sC（ 2） 对 于 集 总 参 数 的 控 制 系 统 ， 传 递 函 数 都 是 s的 有 理 函 数 ，即 分 子 和 分 母 都 是 s的 多 项 式 。 0111 0111)( asasasa bsbsbsbsG nnnn mmmm 有 理 分 式 mn 真 有 理 分 式 mn 严 格 真 有 理 分 式一 个 实 际 的 即 物 理 上 可 实 现 的 线 性 系 统 ， 其 传 递 函 数 必 然 是 严 格 真 有 理 函 数（ 在 应 用 控 制 理 论 研 究 诸 如 社 会 问 题 等 “ 广 义 ” 系 统 时 ， 则 不 受 此 条 件 的 限制 ） 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 （ 3） 传 递 函 数 是 在 零 初 始 条 件 下 定 义 的 。 输 入 量 是 在 时 才 作 用 于 系 统 。 因 此 ， 在 时 ， 输 入 量 及 其 各 阶导 数 为 零 ； 输 入 量 加 于 系 统 之 前 ， 系 统 处 于 稳 定 的 工 作 状 态 ， 即 输 出 量 及 其 各 阶 导数 在 时 的 值 也 为 零 ， 现 实 的 工 程 控 制 系 统 多 属 于 此 类 情 况 。0t0t0t（ 4） 传 递 函 数 与 微 分 方 程 是 同 一 个 系 统 两 种 不 同 数 学 描 述 方 式令 传 递 函 数 的 分 母 多 项 式 为 零 ， 即 00111 asasasa nnnn 系 统 的 特 征 方 程0111 0111)( asasasa bsbsbsbsG nnnn mmmm )()(.)()()(.)( 0101 tRbdttdRbdt tRdbtCadttdCadt tCda nnnnnn dtds dtds 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 （ 5） 传 递 函 数 是 由 系 统 本 身 的 结 构 和 参 数 决 定 的 ， 它 反 映 了 系统 本 身 的 内 在 的 运 动 特 征 。 （ 不 提 供 任 何 该 系 统 的 物 理 结 构 ） 因 为 许 多 不 同 的 物 理 系 统 具 有 完 全 相 同 的 传 递 函 数 。（ 6） 传 递 函 数 概 念 只 适 用 于 线 性 定 常 系 统 。 （ Laplace变 换 是线 性 变 换 ） )(sG)(sR )(sC )()()( sRsGsC 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 三 、 系 统 的 脉 冲 响 应 函 数是 指 在 输 入 量 的 作 用 下 ， 系 统 的 输 出 量 的 变 化 函 数 。响 应 零 初 始 条 件 下 ， 在 某 种 典 型 的 输 入 量 的 作 用 下 对 象 的 响 应 。典 型 响 应单 位 脉 冲 函 数 0,0 0,)()( ttttr Laplace变 换 1)()( tLsR )()()()( sGsRsGsC Laplace反 变 换 )()()()( 11 tgsGLsCLtc 系 统 的 脉 冲 响 应 函 数 即 为 系统 传 递 函 数 的 拉 氏 反 变 换 。 在 零 初 始 条 件 下 ， 线 性 定 常 系 统 在 单 位 脉 冲 输 入 信 号 作 用 下的 输 出 响 应 ， 称 为 该 系 统 的 脉 冲 响 应 函 数 。定 义 系 统 的 脉 冲 响 应 函 数 的 拉 氏 变换 像 函 数 即 为 系 统 传 递 函 数 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 四 、 传 递 函 数 的 其 它 标 准 形 式1） 零 极 点 形 式 （ 首 1型 ）将 传 递 函 数 中 分 子 和 分 母 多 项 式 因 式 分 解 ， 传 递 函 数 可 表 示 为 如 下 形 式 ： nj jmi inn mm ps zsKpspspsa zszszsbsG 11*21 21 )( )().()( ).()()(zi分 子 多 项 式 的 零 点Pj分 母 多 项 式 的 零 点nmabK * 系 统 的 根 轨 迹 增 益 传 递 函 数 （ 或 系 统 ） 的 零 点传 递 函 数 （ 或 系 统 ） 的 极 点 实 数 或 共 轭 复 数 ？ 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 2） 典 型 环 节 形 式 （ 尾 1型 ） 1 22 1i1i i 22 1i 1 1i )12()1(s )12()1(K)( )()( i dididiciv bibibii iai sss ssssX sYsG )(lim1 0 sGsKK vi si s se 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 3） 几 何 形 式 零 极 点 分 布 图 将 传 递 函 数 的 零 、 极 点 表 示在 复 平 面 上 的 图 形 称 系 统 的 零 、极 点 分 布 图 。 ReIm-3 -1 12-1-2-2例 ： )52)(3( )1()( )()( 2 sss sKsR sCsG零 点 ： -1极 点 ： -3， -1+2j， -1-2j “ ”表 示 极点 “ O”表 示 零点Matlab命 令 ： 零 极 点 分 布 图num=1 1;den=1 5 11 15;pzmap(num,den) 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 五 、 传 递 函 数 的 极 点 和 零 点 对 输 出 的 影 响 把 对 象 本 身 所 “ 固 有 ” 的 ， 而 输 入 量 中 所 不 存 在 的 某 些 运动 模 态 在 输 出 量 中 生 成 出 来 。 传 递 函 数 的 极 点 在 输 出 中 的 作 用 ：传 递 函 数 的 零 点 在 输 出 中 的 作 用 为 ： 输 入 量 的 运 动 成 分 被 传 递 函 数 的 零 点 所 阻 断 而 不 能 传 递 到输 出 端 u 零 点 距 极 点 的 距 离 越 远 ， 该 极 点 所 产 生 的 模 态 所 占 比 重 越 大u 零 点 距 极 点 的 距 离 越 近 ， 该 极 点 所 产 生 的 模 态 所 占 比 重 越 小u 如 果 零 极 点 重 合 该 极 点 所 产 生 的 模 态 为 零 ， 因 为 分 子 分母 相 互 抵 消 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 由 于 传 递 函 数 的 极 点 就 是 微 分 方 程 的 特 征 根 。 因 此 系 统 的 极 点 决 定 了 所 描述 系 统 自 由 运 动 的 运 动 模 态 。 0-3 -2 -1 ReIm某 系 统 传 递 函 数 为例 )2)(1( )3(6)( )()( ss ssR sCsG11 P 22 P极 点 ： 零 点 ： 31 Z 自 由 运 动 模 态 te te 2设 系 统 的 输 入 为 teaatr 521)( 5)( 21 sasasRLaplace变 换可 求 得 系 统 的 零 初 始 条 件 响 应 为 )5()2)(1( )3(6)()()( 21 sasass ssRsGsC 223112359 211221 s aas aasasa ttt eaaeaaeaatc 22112521 )23()123(9)( 与 输 入 函 数 相 同 的 模 态 系 统 本 身 所 “ 固 有 ” 的 运 动 成 分由 极 点 -1， -2生 成 的 自 由 运 动 模 态 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院2021-5-28 电 子 信 息 工 程 学 院 41 例 某 系 统 传 递 函 数 为 as bssR sCsG )( )()(设 系 统 的 输 入 为 ctetr )( cssR 1)(系 统 的 零 初 始 条 件 响 应 为 atct eca baeca cbcsas bsLtc 1)( 1若 有 cb输 入 量 的 运 动 成 分 被 传 递 函 数 的 零 点 所 阻 断 而 不 能 传 递 到 输 出 端 ateca batc )(如 果 零 极 点 重 合 该 极 点 所 产 生 的 模 态 为 零 ， 因 为 分 子 分 母 相 互 抵 消 。 零 点 距 极 点 的 距 离 越 远 ， 该 极 点 所 产 生 的 模 态 所 占 比 重 越 大 零 点 距 极 点 的 距 离 越 近 ， 该 极 点 所 产 生 的 模 态 所 占 比 重 越 小 输 入模 态 极 点 生成 的 运动 摸 态若 有 ab cteca cbtc )( 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 如 ： 极 点 相 同 ， 零 点 不 同 2t-t1 3e2e1tc )(单 位 阶 跃 响 应 ： 2t-t2 5e00.5e1tc .)( 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 如 ： 极 点 不 同 ， 零 点 相 同 结 论 ：极 点 决 定 稳 定 性零 点 影 响 输 出 所 占 比 重 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院2021-5-28 电 子 信 息 工 程 学 院 44 六 、 函 数 典 型 环 节 及 其 传 递 函 数 任 何 一 个 复 杂 系 统 都 是 由 有 限 个 典 型 环 节 组 合 而 成 的 。 传 递 函 数 的 分 子 多 项式 和 分 母 多 项 式 经 因 式 分 解 后 还 可 表 示 为 如 下 因 子 连 乘 积 的 形 式 )1).(12)(1( )1).(12)(1()( 22221 22221 sTsTsTsT ssssKsG ji 一 次 因 子 对 应 于 实 数 零 极 点 ， 二 次 因 子 对 应 于 共 轭 复 数 零 极 点 。 nj jmi ipzKabK 11*00 )( )( 系 统 的 增 益 系 统 的 传 递 函 数 可 以 表 示 为 一 些 基 本 环 节 的 乘 积 。 事 实 上 ， 这 些 基本 环 节 则 可 对 应 着 组 成 系 统 的 不 同 的 元 部 件 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 1、 放 大 环 节 /比 例 环 节 （ P） ：特 点 ： 输 出 不 失 真 、 不 延 迟 、 成 比 例 地 复 现 输 入 信 号 的 变 化实 例 ： 运 算 放 大 器 、 电 位 器 KRRZZUU 01ioi0 实 验 模 拟 ： 比 例 环 节 KG(s)单 位 阶 跃 响 应 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 例 ： 输 入 ： (t)角 度 E恒 定 电 压输 出 ： u(t)电 压运 动 方 程 ： u(t)=K(t) 传 递 函 数 ： K比 例 系 数 ， 量 纲 为 伏 /弧 度 。 K(s)U(s)G(s) K(s)U(s)G (s) 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 例 ： 输 入 ： n1(t)转 速 Z1主 动 轮 的 齿 数 输 出 ： n2(t)转 速 Z2从 动 轮 的 齿 数运 动 方 程 ：传 递 函 数 ： (t)nzz(t)n 1212 Kzz(s)N (s)NG(s) 2112 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 ( )( ) tU s Ks TGu(t) 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 T 环 节 的 时 间 常 数2、 惯 性 环 节 ：特 点 ： 输 出 量 延 缓 地 反 应 输 入 量 的 变 化 规 律1Ts1G(s) 实 验 模 拟 ： 惯 性 环 节 单 位 阶 跃 响 应 1TsK1Cs1Cs1/ZZ 10101io0 RRRRRUU i 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 3、 积 分 环 节 （ I） ：特 点 ： 理 想 积 分 环 节 其 输 出 量 是 输 入 量 在 时 间 上 的 积 分实 例 ： 电 容 ， 积 分 运 算 放 大 器 s1G(s) Ts1Cs1/1ZZ 00io0 RRCsUUi实 验 模 拟 ： 积 分 环 节 单 位 阶 跃 响 应 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 4、 微 分 环 节 （ D） ：特 点 ： 理 想 微 分 环 节 其 输 出 量 是 输 入 量 对 时 间 的 微 分sG(s)TsCsRCsRZZUU ioi /10理 想 微 分 的 物 理 模 型 ：实 际 微 分 的 物 理 模 型 ： 1sT sT1sCR sCRsC/1R RZZUU 2 1ii ifii fioi0 可 看 作 微 分 环 节 与 惯 性 环 节 串 联 ， 当 T2 非 常 小 时 ， 可 近 似 看 作理 想 微 分 环 节 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 )t(r)t(cdt )t(dcT2dt )t(cdT 2 22 运 动 方 程 式 ： 1Ts2sT 1)s(R )s(C)s(G 22 传 递 函 数 ： 阻 尼 比其 中 ： T 振 荡 时 间 常 数5、 振 荡 环 节 ：特 点 ： 是 二 阶 系 统 的 特 例 ， 含 有 两 个 储 能 元 件 ， 在运 动 过 程 中 能 量 相 互 交 换 ， 使 环 节 的 输 出 带 有 振 荡的 特 性 实 例 ：机 械 平 移 系 统RLC串 联 网 络1Ts2sT 1sG 22 )( 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 )t(rdt )t(dr2dt )t(rd)t(c 222 运 动 方 程 式 ： 1s2s)s(R )s(C)s(G 22 传 递 函 数 ：T 环 节 的 时 间 常 数 ， 环 节 的 阻 尼 比6、 二 阶 微 分 环 节 ： 实 例 ： RLC并 联 网 络7、 延 滞 环 节 ： )()( trtc运 动 方 程 式 ： sesR sCsG )( )()(传 递 函 数 ： 环 节 的 时 间 常 数特 点 ： 输 出 要 隔 一 定 时 间 后 才 复 现 输 入 信 号 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院延 迟 环 节 从 输 入 开 始 之 初 ， 在 0 时 间 内 没 有 输 出 ，但 t=之 后 ， 输 出 完 全 等 于 输 入 。 惯 性 环 节 从 输 入开 始 时 刻 起 就 已 有输 出 ， 仅 由 于 惯 性 ，输 出 要 滞 后 一 段 时间 才 接 近 所 要 求 的输 出 值 。 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 比 例 积 分 环 节 （ PI） ： Ts1KCsR1RRR Cs1RUU 00101i0 实 验 模 拟 ： 比 例 积 分 环 节 Ts1KsG )( 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院比 例 积 分 环 节 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线 单 位 阶 跃 响 应 ： 2t2TtK)t(c 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 U节 点 u：又 电 流 相 等 ： 0RUU1CsR CsR1R1 2o321 1oi RURU 比 例 微 分 环 节 （ PD） ：实 验 模 拟 ： 比 例 微 分 环 节 Ts)1KsG ()( 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 1CsR CsRR RRRRRR1R RRUU 3 21 3132210 21io 213 RRR 、 Cs)RR RR1R RRUU 21 210 21io ( Ts)1KUU io ( 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院比 例 微 分 环 节 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线 单 位 阶 跃 响 应 ： )()()( t502(1tTK(1tc 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 U节 点 u：又 电 流 相 等 ： 0RUU1CsR CsR11CsR Cs 2o321 1)/CsCs(R URU 1oi 比 例 积 分 微 分 （ PID） sTsTKsG dip 1)(实 验 模 拟 ： 比 例 微 分 环 节 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院 321 RRR 、 )1sCR 1sCRCR CRsCR 1R RR()s(U )s(U 23 1110 22100 21i0 sCRRRsCR 1RR)s(U )s(U 20 211001i0 sTsT1K)s(U )s(U dipi0 自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 河 南 理 工 大 学 电 气 工 程 与 自 动 化 学 院比 例 微 分 环 节 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线 单 位 阶 跃 响 应 ： 10tt0101TttTKtc idp )(.)()(