10、运动与振动

10、单自由度系统的振动10.1 内容提要只用一个独立坐标就能完全确定系统几何位置的系统，称为单自由度系统，系统所受 的变力是位移或速度的一次函数，称为线性系统。这里仅研究单自由度线性系统的振动问题 主要包括自由振动、衰减振动和强迫振动。10.1.1 自由振动取系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标轴X,以x为独立参数的振体无阻尼与有阻 尼自由振动的运动微分方程、振动方程、特性参数见表 10-1。表 10-1 单自由度自由振动特性无阻尼自由振动有阻尼自由振动（小阻尼no）运动微分方程X + o 2x 二 0nx + +2nx +o 2x 0、振动方程x 二 C cos o t + C sin o t1n (2、n或x 二 A sin Vo t +07n1nJx Ae-nt sin 帯o2 一 n21 +0 zn积分常数vC = x ， C = o-102On(v + nx 72A x 2 +00飞 0o 2 n 2n一|v 丫振幅A=jx 2 +10 lo 丿nco x初相位 0 = arctan n 0 v0tx Jo 2 n20 arctan nv + nx00周期2兀T 2兀 i o飞kn2兀2兀T , po 2 n2 o *1 g 2频率f - Tfd- Td圆频率（固有频率）o 2吋njo o (1 一匚 2dn振幅减缩率A enTdAi 11对数减缩率A6 ln l nT 2兀匚Ad-i+！10.1.2 强迫振动单自由度系统在简谐激振力F二H sino t作用下，振体无阻尼与有阻尼强迫振动的运动微分方程、振动方程、特性参数见表10-2。其中：H为激振力的力幅，o为激振力频率,H微分方程中h二-0m表 10-2 单自由度的强迫振动特性无阻尼（n = 0丿小阻尼6 o，相位差：兀n2no8 = arctano 2 o 2n10.2 解题要点10.2.1 习题类型 单自由度系统的振动问题，习题类型主要有求振动系统的运动规律和振动系统的各种物 理量，例如振幅、频率、周期、减幅系数等。但以求系统的固有频率或固有周期最为重要。10.2.2 求解振动规律的一般步骤（1）明确研究对象，选取广义坐标。坐标原点宜放在系统的静平衡位置上，坐标轴沿振 动方向，转角沿转动方向。（2）将系统放在广义坐标增大的任意位置处，作受力分析与运动分析。重力与其相平衡 的线性恢复力部分（即k5st）,两者可不予考虑，也不必图示。（3）选择适当的动力学方法，建立系统的运动微分方程，并化为振动微分方程的标准形 式。（4）根据振动类型。由有关公式写出系统的振动方程。10.2.3 计算固有频率的方法1、直接计算法 对质量弹簧系统，无论水平、铅垂或倾斜方向的振动，均按下式计算iTO =：n m对于串、并联弹簧组的相当弹簧刚性系数见表10-3。表10-3串、并联弹簧组的相当弹簧刚性系数并联弹簧组k = k + k + + k = k12nii=1串联弹簧组11 1 1 二 1k k kkk1-2-ni2、静变形法st3、能量法对于保守系统，可由T =V 求出系统的固有频率。max max4、建立运动微分方程法对于一般的振动系统，应用动力学方法（如动力学普遍定理、动静法、拉氏方程等） 建立系统的振动微分方程并化为标准形式。则其运动坐标系数的平方根即为系统的固有圆频 率。10.3 范例分析例10-1图10-1所示系统中，定滑轮对转轴的转动惯量为JC重物M的质量为m,弹簧 AB的刚度为k静平衡时弹簧AB水平、且端点A与转轴C在同一铅垂线上。试求系统在 静平衡位置附近微振动的周期。轴承处的摩擦略去不计。解：解题思路：该系统为单自由度无阻尼振动系统，取重物M的静平衡位置O为坐标原点,建立 x 轴如图示，应用能量法求解。 设重物的微振动方程为x 二 A sin Co t + 0)系统的最大动能为11T = mx 2+ J o 2max 2 max 2 C max式中xmaxmaxxp=maxrA= rnTmaxJ )C r2丿A 2 2n由于坐标原点取在静平衡处，物块重力与弹簧静变形的弹性力相互抵消，故系统的最 大势能为VmaxTmax(Jm + c21r 2 丿=Vmax-A 2 2n-1 k 巴 A 22 r2=nmr 2 + JC系统的周期为2兀 2兀,mr 2 + JT =C an 讨论：本题也可根据动量矩定理，列出运动微分方程求解。设任一瞬时，定滑轮的转 交为（，则系统对C点的动量矩为L = J (p + mrx = (J + mr 2)(pC CC由于物块重力与弹簧静变形的弹性力相互抵消，故有dLc (J + mr2)(p = -ka 2( dtC即(+(0J + mr 2 C:ka 2得 = 1丨厂mr 2 + J*C结果与前面相同。例10-2水平齿条AB重为P,齿轮重Q,齿条左右用两根刚度系数为件及k2的弹簧联 结在固定面上，如图10-2（a）所示，此时弹簧不受力，若使齿条沿水平方向偏移x0，并无 初速地释放，试求系统的运动规律。各处摩擦不计，齿轮可视为均质圆盘。图 10-2解 解题思路：系统中齿轮作定轴转动，齿条作平动，为单自由度系统。作功的力只有弹性 力，系统为保守系统。因而应用机械能守恒定理建立运动微分方程。取齿条水平平动坐标为x,在任意位置处，作功的主动力只有弹性力F及f2如图（b） 所示。系统的动能为T = 1 Px 2 + 1 1 Qr 冷 x )2 g2 12 g=(2 P + Q) x2 4g由于两弹簧为并联，则系统的势能V = kx2 =(k + kr )x22 2 1 2系统的机械能守恒，则T+ V=常量。因而4 (T + V) = 0 dt(2P + Q) - 2xx + (k + k )2xx = 04 g2 12将上式化为自由振动微分方程的标准形式，得a）x + 2(k1+ k2)g x = 02 P + Q微分方程的解为2nx = C cosw t + C sin w t1n利用初始条件 t=0 时，x 二 x ， X 二 X 二 0，00可确定积分常数C1二x0,C2 =0，故齿条的运动规律为x = x cos 0t = x0 Sin(nt + |)其中，固有频率：2(k + k )g1 2 -2 P + Q讨论：本题也可由动能定理建立振动微分方程，作用于系统上主动力的功为由动能定理可得1E W 二 2(ki + k2)x2(2P + Q)X 2 - 0 =(k + k )x 22 1 2上式对时间求导数，化简后即为式（a）。例10-3在图10-3系统中，轮轴A共重Q = 384N,可视为R=20cm的均质圆柱，轮心 用刚度系数k1=147N/cm和k2 =59cm/N的弹簧相联。物块D重P=194N，r=10cm,各接触面 均不滑动，滑轮B及绳质量不计。试求系统的固有圆频率。Tp图 10-3解：解题思路：系统中轮轴A作平面运动，物块D作直线运动，具有一个自由度。系统所 受重力及弹性力均为有势力，为保守系统，可应用能量法求其固有圆频率。以系统为研究对象，系统平衡位置时的轮心C为原点，x坐标向右为正，如图所示。当 轮心C位移x时的速度为X，D块的速度可由轮轴只滚不滑的条件计算，即v =(R + r)D系统的动能为1 f 1 QR 2r J2x丿以系统的平衡位置为势能零点，系统的势能为(k + k)x22 1 2系统作谐振动，x = A sin t + a）可得nmax据V= 1(k1 + k 2) A 2max 2 1 2T= Vmama得代入数据故3 Q+1 P( Rr)24 g 2 g R3 384 1+ 4 980 2194(30)2 W 2 二 1(147 + 59)980 20 n 2二近99 二 10.10 ra ds讨论：有人问势能计算中，物块D的重力势能为何没有计入？这是表面现象，其提法 本身就不正确，予以说明。在任一瞬时，此系统的势能当为重力势能和弹性势能之和。以平衡位置为零势能点，设弹簧的静变形为，则1- PstV = 1(k + k )x + 5 )2 -8 2212st st(k + k )x 2 +12(k + k )5 PR + r x12 stRa)系统处于平衡时，研究轮轴A,所受绳的拉力为P,弹性力为F= (k1+k2) Rco图 10-5解：解题思路：先将题中的电机系统简化为力学模型，然后代入表10-2 中公式进行计算。1、求电机的振动方程将图（a）所示系统简化为土（b）所示的质量弹簧系统，由于四根弹簧并联，等效刚度 系数k=4k0=6kN /cm=600kN/m。以物体的静平衡位置为坐标原点，建立坐标系，如图（c） 所示。转子转动时，离心惯性力为PH = ew 2g离心惯性力H在x轴上的投影就是激振力S的大小，即PS = H sin 0 = ew 2 sin wtg其中n兀=1200兀30 =30=125.6rad/s系统的固有频率为kkg600 x 9.81 I 1.8=57H P ew 22x 0.1x125.62h = o = 1.75m P 1800系统的振动方程为m)sin wt = 0.00014 sin 125.6t=0.14 sin 125.6t(mm)2、计算临界转速当w = w时，发生共振，此时的转速称为临界转速，即 n30wn 二nk兀=545 rpm讨论：本题中所计算出的振动方程为稳态振动时的运动方程，在振动的过度阶段，其运 动规律应由两部分组成，即由自由振动和受迫振动的叠加。10.4课后练习10.4.1 是非题1、固有频率与系统的初始运动情况有关( )。2、机械振动产生的原因是由于系统受到恢复力(矩)的作用和初始扰动的结果。( )3、有阻尼自由振动固有频率大于无阻尼时的固有频率( )。4、单自由度系统有阻尼强迫振动的振幅和位相差都仅与激振力的特性有关，而与系统 本身的结构参数无关( )。5、增大阻尼可以抑制单自由度系统强迫振动的振幅，在共振区更为明显。( )10.4.2填空题1、单自由度系统的无阻尼自由振动微分方程的标准形式为x + w 2x = 0，其中w称为nn，它是系统在内振动的次数，仅与有关。2、系统的运动方程为x二A sin t +0)，设系统的初始条件为：t=0时，x二x，则n0A=， 0 =。2、单自由度系统中有两个刚度系数分别为k1和k2的弹簧，两弹簧并联时的特征是 相等，其等效刚度系数k=;两弹簧串联时的特征是相等，其等效刚度系数k=。4、单自由度系统的有阻尼自由振动微分方程的标准形式为x + +2w x + w 2 x 二 0, nnx=时，称为小阻尼情形。在小阻尼情形下，系统的运动方程为 sin(w t + 0)，其中wdd5、 当激扰力频率等于或接近系统的固有频率时，系统的振幅，这种现象称为。6、图10-6所示摆振系统在水平位置处于平衡，OA杆对O轴的转动惯量为J。，弹簧的刚度系数均为 k。 设系统微振动的摆角为 ， 则系统微振动的微分方程为;固有频率为；10.4.3 选择题1、图 10-6 所示质量弹簧系统 k1=k2=k3=k k3(a) 3k(b) (c) k32弹簧的等效刚度系数为（）2（d） k3图 10-72、图10-7所示弹簧质量系统k=k2=k3=k，物块质量为m,系统的固有圆频率为（）。b)上： 3c)；3k2d)图 10-83、质量 g 的拖车沿路面做匀速运动，路面近似与正弦曲线，波长4，如图 10-8 所示支撑拖车的两根弹簧的刚度均为k,则引起拖车共振的临界车速为（）a)1 .2k冗、m：8k md)10.4.4 计算题10-1质量为m=50kg的小车A从静止开始沿倾角a =30。的光滑斜面下滑，下滑距离 s=2m时与缓冲器B相碰，碰撞后二者不再分离。、如图10-9所示。缓冲器质量不计，弹 簧刚度为k=600N/m试求小车与缓冲器碰撞后的运动规律。答案：x = 1.342 sin(3.46t- 0.0894兀)m10-2套筒M系在图示弹簧上，可沿光滑水平杆滑动，如图10-10所示。已知套筒M的 质量m=2kg，弹簧刚度系数k=1.2kN/m。如将套筒拉开离其平衡位置75mm后无初速度地释 放，试求套筒的最大速度和最大加速度的大小。答案： v =1.837m/s ，a =45.0m/s2maxmax图 10-10图 10-1110-3 质量为 m=25kg 的电动机安装在水平梁的中点，如图 10-11 所示。梁中点的静挠度 为& 0=10mm。在电动机的转子上装一质量为m=2kg的物块，距转轴e= 100mm。试求：(1) 发生共振时电动机的转速；(2)当电动机的转速为n=250r/min时，稳定振动的振幅。答案：(1) n =299r/min ； (2) b=17。23mmK10-4图10-12所示系统中，轮轴的质量为 m=5kg，对质心的回转半径p =125mm, R=200mm, r=100mm，弹簧的刚度系数k=k2=400N/m。处于平衡时，二弹簧均无变形，轮 轴作纯滚动，试求振动的周期。答案： T=0.356s图 10-12 图 10-1310-5质量为m的小球固接于无重杆OA的上端，两弹簧的刚度系数均为k,杆在铅垂 位置时，弹簧无变形，如图10-13所示。不计弹簧的质量和小球的尺寸，试求系统的固有圆 频率。答案：.kl - 2mg w = . -2ml10-6图10-14所示系统中，均质滚轮C及均质定滑轮的质量分别为m1及m2，物块A 的质量为m3,弹簧的刚度系数为k。轮C在水平面上作纯滚动，试求轮心C的运动微分方 程及振动周期。答案：(3m + 4m + 8m )X + 2kx 二 01233m + 4m1 2+ 8m2k3图 10-1410-7 振动系统如图 10-15 所示，设阻尼力与速度成正比。已知 m=20kg， k=6kN/m c=50N s/m。试求阻尼振动的周期。答案： T =0.364sddi图 10-15