大地测量学课件 地球椭球与测量计算

第五章 地球椭球 与测量计算 中国矿业大学环境与测绘学院 应用大地测量学 本章解决的主要问题 1、基础知识 椭球的几何特征；地球 椭球及其定位；椭球面 上的弧长计算。 2、地面观测元素化算 至椭球面 3、椭球面上大地坐标 的计算问题 1 2 3 4 5 A1 N A2 S (B1,L1) 平面坐标计算 球面坐标计算 (x1,y1) 第五章 地球椭球及椭球面上的计算 第一节 地球椭球及其定位（基础） 第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础） 第三节 椭球面上弧长计算（基础） 第四节 地面观测值归算至椭球面（重点） 第五节 椭球面上大地问题解算（重点） 第五章 地球椭球及椭球面上的计算 第一节 地球椭球及其定位（基础） 第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础） 第三节 椭球面上弧长计算（基础） 第四节 地面观测值归算至椭球面（重点） 第五节 椭球面上大地问题解算（重点） 5.1 地球椭球及其定位 应用大地测量学 测量的外业工作主要是在地球表面进行的 ， 或者说 主要是对地球表面进行观测的 ， 由于地球表面不是一个 规则的数学曲面 ， 在其上面无法进行严密的测量计算 。 因此 ， 需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形 体 地球椭球 ， 在其表面完成测量计算工作 。 用椭球 来表示地球必须解决 2个问题： 一是椭球 参数 的选择 (椭球的大小和形状 )； 二是确定椭球与地球的相关位置 ， 即椭球的 定位 (椭球 与大地水准面包围的大地体应当最密合 )。 5.1 地球椭球及其定位 应用大地测量学 具有一定几何参数 ， 经过定位 ， 在 全球范围内 与大 地体最为接近 、 密合最好的椭球称为 地球椭球 。 在 某一地区 与大地水准面密合最好的椭球 ， 称为 参 考椭球 。 5.1 地球椭球及其定位 应用大地测量学 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 5.1.2 垂线偏差及其基本公式 5.1.3 椭球定位 5.1 地球椭球及其定位 应用大地测量学 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 5.1.2 垂线偏差及其基本公式 5.1.3 椭球定位 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 应用大地测量学 应用大地测量学 偏心距： 第一偏心率： （ 5-1） 第二偏心率： 扁率： （ 5-2） 椭球长半径 a， 短半径 b 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 22 ba 应用大地测量学 a、 b、 e、 e之间的关系： （ 5-3） （ 5-4） （ 5-5） 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 2 2 1 1 eba eab 2 2 1 1 eee eee 22 2 ffe 应用大地测量学 克拉索夫斯基椭球 1980国家大地坐标系 WGS-84 a 6378245 6378140 6378137 b 6356863.01877 6356755.28816 6356752.3142 e2 0.00669342162297 0.00669438499959 0.00669437999013 e2 0.0067385254468 0.00673950181947 0.00673949674227 f 1:298.3 1:298.257 1:298.257223563 几种椭球几何参数 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 5.1 地球椭球及其定位 应用大地测量学 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 5.1.2 垂线偏差及其基本公式 5.1.3 椭球定位 5.1.2 垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学 垂线偏差 地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法 线方向之间的夹角 u 。 垂线偏差 u的分量 子午圈分量 和卯酉圈分量 计算公式： （ 5-7） （ 5-8） c o s)( L B s e cL B 5.1.2 垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学 天文方位角与大地方位角之间的关系式： （ 5-14） （ 5-15） 以上公式称为 拉普拉斯方程式 。 s in)( LA t a nA 5.1.2 垂线偏差及其基本公式 应用大地测量学 椭球短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大 地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生 欧拉角 ，设 为 。此时垂线偏差公式（ 5-8）及拉普拉斯方 程式（ 5-15）扩展为： （ 5-16） 上式称为广义垂线偏差和拉普拉斯方程。 ZYX , Z Y X A L 0s e cs i ns e cc o s 1t a ns i nc o s 0c o ss i n t a n s e c B 5.1 地球椭球及其定位 应用大地测量学 5.1.1 椭球的几何参数及其关系 5.1.2 垂线偏差及其基本公式 5.1.3 椭球定位 5.1.3 椭球定位 应用大地测量学 椭球定位 将一定参数的椭球与大地体的相关位置 固定下来 ， 确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起 算数据 。 包括：定位和定向两方面 。 定位是指确定椭球中心的 位置 ， 定向是指确定该椭球坐标轴的指向 。 从数学上讲就 是要确定三个平移参数 和三个旋转角 度 。 椭球定位三个条件： （ 1） 椭球短轴与某一指定历元的地球椭球自转轴平行； （ 2） 起始大地子午面与起始天文子午面相平行； （ 3） 在一定区域范围内 ， 椭球面与大地水准面 （ 或似大 地水准面 ） 最为密合 。 ),( 000 ZYX ),( ZYX 5.1.3 椭球定位 应用大地测量学 椭球定位通过大地原点的天文观测实现 。 对于大地原点： B0= 0- 0 L0= 0- 0sec 0 A0= 0- 0tan 0 H0= H0常 + 0 初期定位时 ， 0， 0， 0未知 ， 可取为 0。 称为 一点定位 。 根据大地测量和天文测量数据 ， 在 条件下 ， 求 出原点的 0， 0， 0值 。 称为 多点定位 。 第五章 地球椭球及椭球面上的计算 第一节 地球椭球及其定位（基础） 第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础） 第三节 椭球面上弧长计算（基础） 第四节 地面观测值归算至椭球面（重点） 第五节 椭球面上大地问题解算（重点） 第二节 椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学 基本概念 法截面 包含曲面一点法线的平面。 法截线 法截面与曲面的截线。 斜截线 不包含法线的平面与椭球面的截线。 子午圈 包含短轴的平面与椭球面的交线。 卯酉圈 与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该 点的卯酉圈。 平行圈 垂直于短轴的平面与椭球面的交线。 应用大地测量学 5.2.1 卯酉圈曲率半径 5.2.2 子午圈曲率半径 5.2.3 任意方向的法截线曲率半径 5.2.4 平均曲率半径 5.2.5 曲率半径的数值计算公式 5.2 椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学 5.2.1 卯酉圈曲率半径 5.2.2 子午圈曲率半径 5.2.3 任意方向的法截线曲率半径 5.2.4 平均曲率半径 5.2.5 曲率半径的数值计算公式 5.2 椭球面上法截线曲率半径 5.2.1 卯酉圈曲率半径 应用大地测量学 T W y C P P E E G Q Q O V O U KK N s s B B B+90 N = b x r x r r a 应用大地测量学 BNr c o s 5.2.1 卯酉圈曲率半径 微分几何中麦尼厄定理： （ 5-19） （ 5-26） （ 5-23） W又称第一基本纬度函数， V称为第二基本维度函数。 V c W aN 222 22 1c o s1 s in1 BeV BeW 应用大地测量学 5.2.1 卯酉圈曲率半径 5.2.2 子午圈曲率半径 5.2.3 任意方向的法截线曲率半径 5.2.4 平均曲率半径 5.2.5 曲率半径的数值计算公式 5.2 椭球面上法截线曲率半径 5.2.2 子午圈曲率半径 应用大地测量学 - dx drE D C K B B M M dB 33 2 )1( V c W eaM （ 5-30） 5.2.2 子午圈曲率半径 应用大地测量学 表 M、 N随 B变化的规律 B N M 说明 B=0 N0=a M0= a(1-e2) 在赤道上， N为赤 道半径 a， M小于 赤道半径 a 0 B90 aNc a(1-e2)M R M 22 21 V c W eaR MNR 应用大地测量学 5.2.1 卯酉圈曲率半径 5.2.2 子午圈曲率半径 5.2.3 任意方向的法截线曲率半径 5.2.4 平均曲率半径 5.2.5 曲率半径的数值计算公式 5.2 椭球面上法截线曲率半径 5.2.5 曲率半径的数值计算公式 应用大地测量学 将 N、 M、 R的计算 公式（ 5-26）、（ 5-30）、 （ 5-36）展开成微小参数的幂级数，取其前几项 数值。 克拉索夫斯基椭球参数代入得到（ 5-38）。 1975年国际椭球参数代入得到（ 5-39）。 第五章 地球椭球及椭球面上的计算 第一节 地球椭球及其定位（基础） 第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础） 第三节 椭球面上弧长计算（基础） 第四节 地面观测值归算至椭球面（重点） 第五节 椭球面上大地问题解算（重点） 应用大地测量学 （用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算） 5.3.1 子午圈弧长计算 5.3.2 平行圈弧长计算 5.3 椭球面上弧长计算 应用大地测量学 5.3.1 子午圈弧长计算 5.3.2 平行圈弧长计算 5.3 椭球面上弧长计算 应用大地测量学 1、计算 B=0到 B的子午圈弧长 X 由 M=dX/dB（ 5-27）得： 将（ 5-37） 代入上式，从 0到 B积分，可得 X。可知， X是 B的函数。见 公式 (5-41)。 注意 ： 将不同的椭球参数代入得相应的子午圈弧长计 算式。 5.3.1 子午圈弧长计算 应用大地测量学 2、计算已知纬度 B1和 B2之间的子午圈弧长 X （ 1）分别计算 0到 B1和 0到 B2之间的子午圈弧长 X1和 X2， 然后求 X=X2-X1； （ 2）用上述积分式求 B1 B2之间的子午圈弧长 X。 5.3.1 子午圈弧长计算 应用大地测量学 5.3.1 子午圈弧长计算 5.3.2 平行圈弧长计算 5.3 椭球面上弧长计算 5.3.2 平行圈弧长计算 应用大地测量学 平行圈是一个半径等于 r=NCOSB的圆，纬度 B处经度 L1 L2之间的平行圈弧长 经度差相同，纬度不同的平行圈，弧长不同。纬度越 高，单位经度差点平行圈弧长越短。 用于计算中、小比例尺地形图中两条子午圈和两条平 行圈所包围的椭球面面积。 第五章 地球椭球及椭球面上的计算 第一节 地球椭球及其定位（基础） 第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础） 第三节 椭球面上弧长计算（基础） 第四节 地面观测值归算至椭球面（重点） 第五节 椭球面上大地问题解算（重点） 应用大地测量学 5.4.1 相对法截线 5.4.2 大地线及其特征 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 5.4 地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学 5.4.1 相对法截线 5.4.2 大地线及其特征 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 5.4 地面观测值归算至椭球面 5.4.1 相对法截线 应用大地测量学 CK=NsinB， （ 5-22）代入（ 5-21）得： 所以： （ 5-43） 上式说点的纬度不同，其法线与短轴的交点到椭球中心 之间的距离不等，纬度越高，交点到椭球中心的距离越长。 T W y C P P E E G Q Q O V O U KK N s s B B B+90 N = b x r x r r a BeNyOC s in)1( 2 BNeBeNBNOK s i ns i n)1(s i n 22 5.4.1 相对法截线 应用大地测量学 设 Q1和 Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午 圈上，它们的法线 Q1n1和 Q2n2不相交。法截线 Q1m1Q2和 Q2m2Q1称为两点间的 相对法截线。 正法截线 与 反法截线。一般不重合。 应用大地测量学 正反法截线之间的夹角近似公式： 令 Bm=45 ， A=45 ，不同距离 S求得的值为： S 100km 0.042 60km 0.015 30km 0.004 在长距离的测量中 ， 对向观测所得 3个内角不能组成 闭合三角形 ， 需在两点间选择一条单一曲线 大地线 。 5.4.1 相对法截线 应用大地测量学 5.4.1 相对法截线 5.4.2 大地线及其特征 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 5.4 地面观测值归算至椭球面 5.4.2 大地线及其特征 应用大地测量学 1、 大地线 曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线 是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包 含曲面在该点的法线。 K dd s s 2 21 1 P P P B A 线 法 曲面 切平面 密切平面 3 1 = B E L D K 5.4.2 大地线及其特征 应用大地测量学 2、 大地线几何特征 （ 1） 一般情况下 ， 曲面上的曲线并不是大地线 （ 如球面 上的小圆 ） 。 大地线相当于椭球面上两点间的最短程曲线 。 （ 2） 大地线与相对法截线间的夹角为 = /3。 （ 3） 大地线与相对法截线间的长度之差甚微 ， 600km时二 者之差仅为 0.007mm。 （ 4） 两点位于同一条子午圈上或赤道上 ， 则大地线与子 午圈 、 赤道重合 。 应用大地测量学 5.4.1 相对法截线 5.4.2 大地线及其特征 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 5.4 地面观测值归算至椭球面 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 应用大地测量学 大地线的解析特性 表述 dB、 dL、 dA与 dS的关系： 大地线的三个微分方程： 2 1 - + cos = r r o 90 K M T N N N L L S P P P P B B B B d d d d d Ad AA A 应用大地测量学 大地线的解析特性 表述 dB、 dL、 dA与 dS的关系： 大地线的 克莱劳方程 ： rsinA=C（ C为常数） 对于椭球面上一大地 线而言，每点处平行圈 半径与该点处大地线方 位角正弦的乘积是一个 常数（ 大地线常数 ）。 克劳莱定理 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 应用大地测量学 5.4.1 相对法截线 5.4.2 大地线及其特征 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 5.4 地面观测值归算至椭球面 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学 将地面观测方向归算至椭球面上，包括三个基本内容： （ 1）将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球 面上以法线为基准的观测方向。 （垂线偏差改正） （ 2）将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两 点间的法截线方向。 （标高差改正） （ 3）将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。 （截 面差改正） 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学 1、垂线偏差改正 1 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面 上以法线为准的观测方向，其改正数 1 为： （ 5-51） 例： A=0 ， tan=0.01 ， =5 ，则 1=0.05 。 垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差 和观测方向的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三 角测量计算中，才规定加入此项改正。 t a n)c oss in( c ot)c oss in(1 AA zAA 应用大地测量学 2、标高差改正 2 椭球上两点不在同一子午面或同一平行圈上，过两点多法线不 共面，照准点 B高出椭球面某一高度 H2，使得在 A点照准 B点的法截 线 Ab 与 Ab之间有一夹角 2 。 （ 5-52） B2 照准点的大地纬度； A1 测站点至照准点的大地方位角； H2 照准点高出椭球面的高程； M1 测站点子午圈曲率半径。 例： A1=45 ， B2=45 ， H2=2000m， 1=0.1 局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学 3、截面差改正 3 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向 所加的为截面差改正数 3 。 例： A1=45 ， Bm=45 ， S=30km 3=0.001 截面差改正主要与测站点至照准点间的距 离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才 进行改正。 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 应用大地测量学 5.4.1 相对法截线 5.4.2 大地线及其特征 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 5.4 地面观测值归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 应用大地测量学 设 A、 B两点的大地高分别为 H1为 H2， h=H2-H1， d为空间直线长。 由三角形 AOB按余弦公式可得： 弦长 （ 5-55） （ 4-28）（ 4-31） 弧长 应用大地测量学 5.4.1 相对法截线 5.4.2 大地线及其特征 5.4.3 大地线微分方程和克莱劳方程 5.4.4 地面观测方向归算至椭球面 5.4.5 地面观测距离归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 5.4 地面观测值归算至椭球面 5.4.6 椭球面上的三角形解算 应用大地测量学 目的 将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解 算未知边长。 方法一：按球面三角形解算公式： 方法二： （勒让德定理） 将球面三角形改化为对应边相等的平面三 角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。 球面三角形球面角超 = （ A0+B0+C0） -180 = /R2 ，为三 角形面积。 A1=A0-/3 ， B1=B0-/3 ， C1=C0-/3 。 第五章 地球椭球及椭球面上的计算 第一节 地球椭球及其定位（基础） 第二节 椭球面上法截线曲率半径（基础） 第三节 椭球面上弧长计算（基础） 第四节 地面观测值归算至椭球面（重点） 第五节 椭球面上大地问题解算（重点） 应用大地测量学 5.5.1 概述 5.5.2 勒让德级数式 5.5.3 高斯平均引数正解公式 5.5.4 高斯平均引数反解公式 5.5 椭球面上大地问题解算 应用大地测量学 5.5.1 概述 5.5.2 勒让德级数式 5.5.3 高斯平均引数正解公式 5.5.4 高斯平均引数反解公式 5.5 椭球面上大地问题解算 5.5.1 概述 应用大地测量学 （一）解算内容 大地问题正解 已知 P1 点大地坐标 （ B1， L1） 、 P1P2 大地线长 S和大地方位角 A1， 推求 P2点大地坐标 （ B2， L2） 和大地方位角 A2。 大地问题反解 已知 P1P2两点的大地坐标 （ B1， L1） 、 （ B2， L2） 反算 P1P2的 大地线长 S和大地方位角 A1、 A2。 应用大地测量学 （二）解算方法 1、 按 解算的距离 分为：短距离 （ 400km)、 中距离 （ 400 1000km)和长距离 （ 1000 2000km)的解算 。 2、 按 解算形式 分为：直接解法和间接解法 直接解法 直接解求点 B、 A和相邻起算点的大 地经差 。 间接解法 先求大地经差 、 纬差和大地方位角 差 ， 再加入到已知点的相应大地数据中 。 主要用于短 距离大地问题的解算 。 5.5.1 概述 应用大地测量学 （二）解算方法 3、 高斯平均引数大地问题解算公式 （ 间接解法 ， 适 用于短距离 ） 。 基本思路： a、 按照平均引数展开的泰勒级数把大地线两端点 的经差 、 纬差和方位角差各表示为大地线长 S的幂级数； b、 利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数 ， 最终得到大地问题解算公式 。 5.5.1 概述 应用大地测量学 5.5.1 概述 5.5.2 勒让德级数式 5.5.3 高斯平均引数正解公式 5.5.4 高斯平均引数反解公式 5.5 椭球面上大地问题解算 应用大地测量学 按照泰勒级数将 P1和 P2两点的纬差 b、经差 l和方位 角差 展开成为大地线长度 S的幂级数，成为 勒让德级 数式 。 公式（ 5-63） 公式（ 5-69） 公式（ 5-70） 公式（ 5-71） 5.5.2 勒让德级数式 应用大地测量学 5.5.1 概述 5.5.2 勒让德级数式 5.5.3 高斯平均引数正解公式 5.5.4 高斯平均引数反解公式 5.5 椭球面上大地问题解算 5.5.3 高斯平均引数正解公式 应用大地测量学 （一）基本思想 首先把勒让德级数在 P1点展开改为在 大地线长度中 点 M展开，以使级数公式项数减少、收敛快、精度高； 其次，考虑到求定中点 M的复杂性，将 M点用大地线 两端的 平均纬度及平均方位角相对应的 m点 来代替，并 借助迭代计算，便可顺利的实现大地问题的正解。 应用大地测量学 （二）高斯平均引数正解公式 推求步骤： 1、经差 l、纬差 b、方位角差 a是 S的函数，故可以将其 展为 S的泰勒级数（按平均引数在 S/2处展为 S的幂级 数）。 2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将 dL/dS以 Bm、 Am按泰勒级数展开。 3、根据大地线微分方程求泰勒级数中的系数。 4、将系数代入平均引数公式。 5、由于 B2、 A2未知， Bm、 Am精确值未知，可通过逐次 趋近法求出。一般三次即可。 5.5.3 高斯平均引数正解公式 应用大地测量学 （三）计算公式 一般公式： 公式（ 5-89） 实用公式： 距离小于 70km时，采用简化公式： 公式（ 5-90） 5.5.3 高斯平均引数正解公式 应用大地测量学 5.5.1 概述 5.5.2 勒让德级数式 5.5.3 高斯平均引数正解公式 5.5.4 高斯平均引数反解公式 5.5 椭球面上大地问题解算 5.5.4 高斯平均引数反解公式 应用大地测量学 高斯平均引数反解公式 推求步骤： 1、已知两点间的纬差 b、经差 l和平均纬度 Bm，导出 SsinAm和 ScosAm，求 a 。 2、由 SsinAm、 ScosAm和 a计算 S和 A1、 A2。 计算公式： 公式 （ 5-93）、（ 5-96） 第五章 复习思考题 1。名词定义：地球椭球、椭球定位、法截线、 子午圈、卯酉圈、相对法截线、大地线、垂线 偏差改正、标高差改正、截面差改正、大地问 题正解、大地问题反解。 2。写出 N、 M、 R及子午圈弧长、平行圈弧长 的计算公式，说明式中符号的意义。 3。大地线微分方程的意义。 4。地面观测值（方向、距离）归算至椭球面 应加哪些改正？ 第五章 习题 1。已知图幅 I-50-67中 A、 B点的大地纬度 B=34 20、 34 ，求相应的 M、 N、 R。 2。计算图幅 I-50-67图廓长度 。 117 00 117 30 34 00 34 20 34 20 117 00 117 30 34 00 I-50-67 A B C D