《稳恒磁场》PPT课件.ppt

第三篇 电 磁 学 10.1 稳恒电流 正电荷移动的方向定义为电流的方向 。电流的方向与 自由电子移动的方向是相反的，它们产生的 宏观 电磁 效应是相同的。 1 载流子 大量电荷定向移动会形成电流。在物体内能够自由移动 的带电粒子称为 载流子 。 在金属中是电子；在半导体中是电子或空穴；在电解质 溶液中是正负离子； 2 电流的方向 一、电流、电流密度 3 电流强度 dt dqI 单位：安培 (A)，库仑 /秒 单位时间内通过导体某一截面的电量 ，叫做电流强度。 它是表示电流强弱的物理量 (标量 )，用 I 表示。电流强 度也是国际单位制的基本量。 第三篇 电 磁 学 在导体某一截面上各点可以定义 电流密度矢量 j，它的方向为该 点处电流的方向 , 它的大小等于单位时间内该点附近垂直与电荷运动 方向的单位截面上所通过的电量。 4 电流密度 S 1和 S2的电流强度一样吗？ 电荷流动的情况一样吗？ I nedS dIj 与电场类似，电流密度在电流区域形成分布，可以用电流线描 述，某点电流线的方向为电流方向，疏密程度表示电流大小。 比 I更精确描述电流的分布。 S1和 S2的电流密度一样吗？ 第三篇 电 磁 学 5 电流强度与电流密度 SdjdI c o sj d SdSjdI nedSSd 已知电流密度 j， 求过某面积元 dS的电流 dI怎么解？ 知道了导体截面每一点上的电流密度 j， 也就知道了通过截面的总电流 积分得到： SI j dS 即某一曲面的电流强度等于对该曲面的电流密 度通量。 第三篇 电 磁 学 二、电流密度与载流子漂移速度的关系 漂移速度 是指载流子平均的定向移动速度。它是无规则热运动与 定向电场驱动与固体晶格阻碍的平衡效果。可以简单认为电子做 匀速 运动 。 假定导体中载流子的数密度 n ;每个载流子的电量为 q，漂移速度为 v。 考虑 dt时间间隔内， P点附近的电流 q dS vdt P vjqn v dS dt dSv dtqn dt dQdI qnvdSdIj 电流密度为 vqnj 写成矢量式子 即 电流密度等于该点电荷密度、运动 速度的积 。此式具有更直观而广泛物 理意义，可作为电流密度的定义式。 第三篇 电 磁 学 三、电流连续性方程 电流场的一个重要性质就是其 连续性 ，其实质是电荷守恒定律。在电流场 内任取闭合曲面 S，则其电流密度通量应等于曲面内电荷的变化率，即： 单位时间内通过闭合 曲面向外流出的电荷 等于此时间内闭合曲 面里电荷的减少。 稳恒电流 指各处电流密度不随时间发生变化的的电流称为稳恒电流， 均 匀电流 是指电流密度处处相同电流，二者是不同的两个概念。对于稳恒 电流，电流场不随时间变化的，意味着空间各处没有电荷增减，即： 0dqdt dt dqSdj S 0S Sdj 第三篇 电 磁 学 四、欧姆定律的微分形式 显然，电流场中任意电流元的运动速度应当与该处电场强度成正比。 即电流密度 j 应随电场强度 E 的增强而变大。 dUdI R 在导线内选取长为 dl， 截面积为 dS的柱体 ， j与 dS 垂直。导线的电导率为 ， 电阻为 R。由欧姆定律 ： 若考虑方向，则有： 这就是欧姆定律的微分形式。 dS dU dl dS dl dS dlRE d ldU E dSdI EdSdIj Ej jE 第三篇 电 磁 学 10.2 磁场 磁感应强度 历史上人们很早就发现天然磁石能够吸引铁、钴 和镍等金属。 1820年丹麦物理学家奥斯特 (Osterd)在 实验中最早发现了电流的磁效应：通电导线附近的小 磁针会发生偏转。随着后续试验的发展，电流和磁场 的关系得到了阐明。 一、磁场 电 流 磁 场 电 流 磁 铁 磁 铁 运动电荷 运动电荷 运动电荷在周围空间将同时产生 电场 与 磁场 ，电场、 磁场统称为 电磁场 。 第三篇 电 磁 学 二、磁感应强度 与电场强度 E 的引入类似，对于磁场，采用磁感应强度 B 来描述。 一个试验电荷 q 以速率 v 通过磁场中某点 时，受到的磁力与速度（方向、大小）有 关：磁力总与速度垂直，且当速度方向变 化时，磁力大小变化，有最大、最小磁力 对应的特定方向。 磁感应强度： 描述磁场中某点磁场性质的基本物理量，称为磁感应强度。 大小由下式给出。方向为磁力为零时的速度方向。 mF q v B m axFB qv 单位：特斯拉 Tesla 高斯 Gauss = 10-4 T 地球表面磁场 0.6高斯 显然磁感应强度在空间构成 矢量场 。 第三篇 电 磁 学 三、运动电荷的磁场 v B 静电场理论告诉我们，一个电荷电量为 q 的点电荷在空间中某一点 P 所 激发的电场强度 E 为 rer qr r qE 2 0 3 0 4 1 4 1 q r E P 理论和实验均可以证明，一个电荷电量为 q，以速度 v 运动的点电荷在 空间中某一点 P所激发的磁感应强度 B 为 2 0 3 0 44 r evq r rvqB r 270 104 AN 真空磁导率 第三篇 电 磁 学 注意： 与 、 都垂直，磁感应线为以 为轴的同心圆环。 r dq v B r dq v B 1 运动电荷激发磁场的大小不是球对称分布的，与电场不同。 在 r为半径的球面上磁场存在一个 极小值和极大值 ！在什么位置？ 2 讨论磁场方向。 2 0 3 0 44 r evq r rvqB r 第三篇 电 磁 学 四、毕奥 -萨伐尔定律 1、电流元的引入 在静电学中求电场强度的思路是： q dq dE E 。为了计算一 根通电导线产生的磁场，我们遵循类似思路： I I dl d B B 。 Idl I 电流与线元之积称为 电流元 ， 这是一个 矢量 ；电流元的方向 电流的方向。大小为 Idl。 2、定律内容 毕奥萨伐尔 (Biot-Savart)根据电流磁作用的实验 结果分析得出， 电流元产生磁场的规律称为毕奥 萨伐尔定律。 拉普拉斯后来用解析运算推导出 了我们现在看到的公式。 2 0 4 r elIdBd r 第三篇 电 磁 学 真空中电流元 Idl 在某点产生的磁场强度的大小，与电流元的大小成正 比，与电流元到 P点的距离平方成反比，且与电流元和（电流元到 P点的） 矢径间的夹角的正弦成正比 2 0 4 r elIdBd r 2 0 4 r evqB r q 推导过程如下： 一个运动电荷的磁场为 电流元中载流子数目 nSdl 2 0 2 0 4 )( 4 r eI dl r eSdlvnqBnSdlBd rr q 电流元产生磁场 请注意方向 问题 r指 ? 第三篇 电 磁 学 3、说明 1 B-S定律是在实验的基础上抽象出来的，不能由实验直接证明（电 流元无法单独存在），但是由该定律出发得出的一些结果能很好地与 实验符合。 2 dB的方向由 Idl 与位移矢量确定，即用 右手螺旋 法则确定； 3 B-S定律是求解电流磁场的基本公式，利用该定律与 磁场叠加原理 ， 原则上可以求解任何稳恒载流导线产生的磁感应强度。 2 0 4 r elIdBd r 204 r elIdBdB r 第三篇 电 磁 学 五、毕奥 -萨伐尔定律的应用 解题步骤 1. 选取合适的电流元 根据已知电流的分布与待求场点的位置； 2. 选取合适的坐标系 要根据电流的分布与磁场分布的的特点来 选取坐标系，其目的是要使数学运算简单； 3. 写出电流元产生的磁感应强度 根据毕奥萨伐尔定律； 4. 计算磁感应强度的分布 叠加原理； 5. 一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并选取 合适的积分变量，来统一积分变量。 第三篇 电 磁 学 解： 取图示电流元 Idl，以过场点 P、且垂直于导线水平向右为 x轴，沿 导线竖直向上为 y轴。由 B S定律有 2 0 s in 4 r IdldB 由于所有电流元和相应的位矢总是在 xoy平面内，所以，所有电流元激发 的磁场方向相同，垂直屏面向里。总 磁场的大小为 L rIdlB 20 s in4 统一积分变量为 a o P 2 1 例 1 求有限长载流直导线激发的磁场。电流为 I,场点到 P点的距离为 a。 第三篇 电 磁 学 210 c osc os4 aI daIB s in4 02 1 -a)( al c o tc o t dadl 2c s c c scar 无限长载流直导线的磁场： 21 ;0 a IB 2 0 B的方向由右手法则确定 讨论 a o P 2 1 第三篇 电 磁 学 半无限长载流直导线端面上一点的磁场： 21 ,2 210 c osc os4 aIB a IB 4 0 半无限长载流直导线的磁场： 12; )1( c os4 0 aIB a I a P I P 长载流直导线延长线上某点的磁场 第三篇 电 磁 学 例 2： 有一半径为 R的 载流圆环，通有电流为 I，求圆环轴线上一点 P 的磁 感应强度 B。 解： 建立图示坐标系，将圆环 分割为无限多个电流元，任意 两个关于 x轴对称的电流元在轴 线上一点产生的磁感应强度关 于 x轴对称，且大小相等，因此 整个载流圆环在轴线上一点的 磁场沿 x轴方向 。 90s in 4 2 0 r IdldB 00 22sin44x IIdl dl RdB r r r 第三篇 电 磁 学 RL x dlrRIdBB 20 304 22 00 33 22 22 2 I R I RB r xR 载流圆环对圆心处 某段圆弧对圆心产生磁场？ R IB 2 0 轴上一点磁场公式可改写 3 0 3 0 3 2 0 222 r m r IS r IRB m为线圈磁矩。 讨论 SIeISm n I S n 右手螺旋 定则 第三篇 电 磁 学 例 3： 计算图示载流导体在 O点的磁感应强度。 o R a b c d 解： o 点磁场 B 由三段载流导体产生 ，其中 cd 段的延长线过场点 o，无 磁场，所以 cdbcabo BBBB 规定向里为正向， bcabo BBB R I R I 44 00 114 0RI 第三篇 电 磁 学 2 3 22 22 o nR I dldB Rl 长度为 dl 内的各匝圆 线圈的总效果，是一匝圆 电流线圈的 n dl 倍。 例 4 求半径为 R，总长度为 L，单位长度上的匝数为 n 的 密绕 螺线管在其 轴线上一点 P 的磁场。 2 1 2 3 22 22 L o L n R I d lB Rl 2L 1L R 第三篇 电 磁 学 l R c tg 2c s cd l R d 2 1 sin 2 o nIBd 2 2 2 2c s cR l R 12( c o s c o s )2 o nI B 5R 5R x 0.439 2L 1L R 第三篇 电 磁 学 nIB 0 21 ,0 在管端口处，磁场等于中心处的一半。 120, 2 nIB 021 无限长直螺线管（或长直螺线管中部附近）的磁场 半无限长直螺线管端口处的磁场 讨论 第三篇 电 磁 学 一、磁通量 磁场的高斯定理 同电场中引入电场线来形象地描述电场一 样，可以引入 磁感应线 来形象地描述磁场的分 布及其特点。 我们规定磁感应线上任意一点的切线方向表示 该点磁场 方向 ；磁感应线的疏密程度表示磁场 大小 。 观察磁感应线，总结特点如下： 10.3 安培环路定理 磁感应线是环绕电流的无头尾的 闭合曲线 ， 无起点无终点； 磁感应线不相交。 磁感应线与电流方向有 右手螺旋定则 关系 第三篇 电 磁 学 磁通量 类似电场强度通量，我们亦可引入 磁感应强度通量 的概念，简称 磁通 量 。它描述了通过磁场中某一曲面的磁感线数目。 (magnetic flux) 穿过某一曲面的磁通量 SSS mm SdBdSBd c o s S md dS B 单位：韦伯， Wb m为标量，只有大小正负之分。正负决定于 B与曲面法向夹角。 对 于任意曲面，应先选择曲面正法向，通量才有确定的意义 。 穿过闭合曲面的磁通量 Smm SdBd 对 闭合曲面 Gauss面规定 外法向为正。 第三篇 电 磁 学 对于闭合曲面，由于 磁感应线是无头无尾 的闭合曲线，所以穿入、穿出的磁感应线条数 相等，则 对任意闭合曲面的磁通量为零。 3. 磁场的高斯定理 0S SdB 讨论 静电场是有源、保守场，而磁场是无源、非保守场 ; 如果有磁单极子存在，磁场的 Gauss定理要修改； 成立条件：稳恒电流。 可以由高斯定理计算 磁感应强度吗 ? 第三篇 电 磁 学 S SdB 0 ?L ldB 0L ldE S to ta lQSdE 0 稳恒磁场与静 电场规律对比 二、安培环路定理 Amperes Law 1. 表述 在稳恒电流的磁场中，磁感应强度 B 沿任何形状闭 合回路 L的线积分（环流），等于穿过以该回路为 边界的任意曲面的电流代数和之 0倍 i iL IldB 0法国物理学家安培在电磁学领域贡献 卓越，成为电动力 学的创始人。 l I 第三篇 电 磁 学 1I 2I 3I 4I L n 1 符号规定：电流方向与 L的环绕方向服从 右手关系 的 I为正，否则为 负。 如图所示，求环路 L的环流 )( 32100 IIIIldBL 说明： 2 安培定理直接反映了磁场线的闭合性质，说明磁场 不是保守场 ，不 能引入标量势。 3 重要说明：虽然回路外的电流对环流无贡献，但是，它要影响磁场， 即空间各点的磁场仍由所有电流共同激发。 讨论 I4对环流积分和某点上磁场的影响？ 第三篇 电 磁 学 2. 验证 我们用无限长直通电导线产生的磁场来验证安培 定理。在垂直于导线的平面内任取一包围导线的 圆形回路。 L B I r选取积分方向与 B 绕行方向相同： rrIdlBldB LL 22 0 IldBL 0 B ld d 推广到任意形状的回路： 包围电流 I I ld 不包围电流 第三篇 电 磁 学 二、用 Ampere环路定理求磁场 要求磁场具有高度的对称性，如 无限长直载流直导线（圆柱体或面）； 无限大载流平面； 无限长直密绕螺线管；密绕螺线环。 有限电流的磁场不能有 mpere环流定理计算 必须选择与磁场对称性相应的回路，使得回路上各点磁场大小相等， 方向与回路方向一致或成常数夹角，或磁场在回路上分段为常矢量或 零，从而可以完成环流积分。 解题步骤 分析电流的分布和场的对称性； 选取具有相应对称性的回路；并规定绕行方向； 确定穿过以闭合回路为边界的电流的代数和； 应用环路定理求磁感应强度。 i iL IldB 0 第三篇 电 磁 学 例 1： 求无限长载流圆柱体内、外的磁感应强度的分布。圆柱体半径为 R ，电流在导体横载面上均匀分布。 解： 由于无限长载流圆柱体可分为无限多个无 限长载流直导线，因此其磁场分布与长直载流 导线的磁场相同，即： 与圆柱体共轴的圆柱面 上各点磁场大小相等，方向与电流流向成右手 螺旋关系（垂直与圆柱体表面） 。因此，过柱 体内、外场点选择共轴圆环回路，回路方向与 电流流向成右手关系 。 .圆柱体内各点（ r R 区域） 环路内电流代数和为： II r IB 2 0 r 1 可见，圆柱体外的磁场分布等效于将全 部电流集中于轴线上的无限长载流导线 的激发的磁场。表面磁场是连续的。 B o r R I 2 0 rB R rB 1 IrBB dl 02 第三篇 电 磁 学 例 2： 无限大载流平板的磁场分布；已知电流均匀流过无限大平面导体薄 板，电流面密度为 j（即通过与电流方向垂直的单位长度的电流），求磁 场分布。 解： 根据右手螺旋法则判断磁场的分布， 在上板磁场水平向左，下板磁场水平向 右，且大小关于导体板对称。 i I jab 作闭合环路 abcda， ab平行于平 板。环路内的电流代数和为： 环流为： 2 o jB 表明无穷大平板两侧 分别是均匀磁场。 abBldB 2 第三篇 电 磁 学 例 3： 无限长直密绕载流螺线管（理想密绕螺线管）的磁场。电流为 I，线 圈密度为 n。 解： 理想密绕螺线管，管内的磁 场是均匀的，管外的磁场为 0， 方向由右手螺旋法则确定。 作闭合环路 abcda， ab平行于轴 线。环路内的电流代数和为： IabnI a b d c 环流为： nIB 0 其方向与电流满足右手螺旋关系。 表明无限长螺线管内部是均匀磁场，外部磁场为零。能量 集中在螺线管内部。 思考 IabnabBldB 0 第三篇 电 磁 学 o 1Rr 2R 在管内作半径 为 r 的环路： 例 4： 求载流密绕螺绕环内的磁场。匝数为 N ，内径为 R1 ，外径为 R2 ，通有电流 I 。 理想螺绕环： 环的半径远大于环的粗 细（ R2 R1）。 解： 当螺绕环的半径很大时，相当于 一长直螺线管。显然，螺绕环的半径 大小与其磁场的分布无关，因此，可 以断言螺绕环的磁场分布与无限长直 螺线管类似，即管内各点磁场大小相 等，方向与电流成右手螺旋关系。 nIB 0 与直螺管的结论一致。 若 n为沿轴向线圈密度， NIrBB dl 02 NIIi i r NIB 2 0 第三篇 电 磁 学 11.4 洛沦兹力 一、磁场对运动电荷的作用力 1. 带电粒子在磁场中所受的力 在磁场 B中的一点，带电量为 q的粒子 以速度 v运动时所受磁场力为（由磁场 定义导出）： Lorentz力 磁场对运动电荷的作用力 力的方向依靠右手螺旋定则，由三者决定； 洛伦兹力总是垂直与速度方向，所以不对电荷 做功，只改变速度方向，不改变速度大小。 2. 在电场和磁场中运动电荷所受的力 电磁力。 mF BvqF m BvqEqF em 第三篇 电 磁 学 二、带电粒子在均匀磁场中的运动 带电粒子在均匀磁场中的运动轨迹与运动方向有关。 R vmqv B 2 2. 速度垂直于磁场方向 带电粒子所受洛仑兹力总是与运动速度 方向垂直，所以带电粒子做 圆周运动 ， 洛伦兹力提供向心力。 1. 速度平行磁场方向 带电粒子不受 Lorentz力，作 匀速直线运动 。 / / , 0 0mv B F 第三篇 电 磁 学 上述公式表明， 周期 T（或频率）与粒子运动速度无关 ，速度大的粒子 轨道半径大，走的路程长，速度小的粒子轨道半径小走的路程短，但周 期都是相同的 回旋加速器的原理。 回转半径： qB mvR 回转周期： 2 mT qB 回旋频率： m qB T 2 1 (gyro-radius) (gyro-period) (gyro-frequency) 第三篇 电 磁 学 将速度分解为平行于磁场和垂直于磁场的分量。粒子以平行于磁场的 速度分量沿磁场方向做匀速直线运动；以垂直于磁场的速度做圆周运动。 所以，其 合运动为螺旋线运动 。 螺旋线的半径 qB mv qB mvR s in 3. 速度方向与磁场方向有夹角 第三篇 电 磁 学 回旋周期 qB m v R v RT 2 s in 22 螺距 在一个周期内沿磁场方向 行进的距离或相邻螺线间的距离 qB mVTVh 2c o s / h 带电粒子在电场和磁场中的运动举例 带电粒子在电场和磁场中的运动有很多应用，如磁聚焦、电子 荷质比（比荷）的测定、质谱仪、回旋加速器等。 第三篇 电 磁 学 1. 质谱仪 用物理方法分析同位素的仪器。 同位素 有相同的质子数和电子数，但中子数不同的元素（即原子 序数相同但质量数不同的元素）。 它们的化学性质相同，无法用化学的方向将它们分离开。 质谱仪由英国化学家和物理学家 F.W.Aston (1877 1945）于 1919年发明， 1922年获得 Nobel奖。 以速度 v置入一带电量为 q的粒子， 粒子受到电场和磁场的共同作用。 + + + - - - 速 度 选 择 器 (mass spectrometer) (isotope) 当粒子速度满足电场力等于洛伦 兹力时，保持直线运动 qvBqE BEv / 粒子竖直向下运动穿过狭缝进入下方磁场；通过调整 E 和 B 可选 择粒子速度。 第三篇 电 磁 学 R qB mvR 可见，质量大的同位素粒子，轨道半 径大，质量小的同位素粒子，轨道半 径小。不同质量的粒子在胶片屏上留 下不同的质谱线。 质 谱 线 在 中作圆周运动，轨道半径为 根据质谱线的位置，可 推出同位素的质量。 第三篇 电 磁 学 2. 回旋加速器 为了获得 106（百万） 1011（千亿） eV的带电粒子，使其 足以破坏原子和原子核，从而研 究原子核的结构，简单的方法是 使用电场和磁场来实现对带电粒 子的多次反复加速。 用于产生高能粒子的装置， 其结构为金属双 D 形盒，在其上 加有磁场和交变的电场。将一带 电粒子置于双 D形盒的缝隙处， 在电场的作用下，进入左半盒， 由于金属具有静电屏蔽作用，带 电粒子在磁场的作用下作圆周运 动，进入缝隙后，电场极性变换， 粒子被再次加速。 进入右半盒，由于速度增加，轨道半 径也增加。然后又穿过缝隙，电场极 性又变换，粒子不断地被加速。 能量不断增大，成为高能粒子后引出 轰击靶。 (cyclotron) 第三篇 电 磁 学 第三篇 电 磁 学 美国费米国家加速器实验室 的俯视图。芝加哥附近，世 界第二大， 6.3公里周长，质 子被加速到 8GeV。 欧洲大型强子对撞机 LHC分布在 法国和瑞士两国的边界。 27公里 周长、 175米地下。使用两束 7TeV质子或 574Tev铅原子核对撞 第三篇 电 磁 学 大型强子对撞机 LHC图片 第三篇 电 磁 学 三、经典霍尔效应 Hall Effect 1.原因 : 是由于运动电荷在 磁场中受 Lorentz力的结果。 设载流导体的宽为 b，厚为 d， 通有电流 I 。 1879年霍耳发现，如果给磁场中 的导体（半导体）沿纵向通以电 流，则在导体（半导体）横向两 侧面出现一定的电势差，这种现 象就叫 霍尔效应 ，所产生的电势 差称为 霍尔电压 。 载流导体（半导体）中的运动电荷在洛伦兹力的作用下，向上偏转， 在导体的上表面积累了正电荷，下表面出现负电荷，在上下两面间形成电 场 E，出现 Hall电压 VH 。带电粒子将受到向下的电场力 Fe的作用。 HU 第三篇 电 磁 学 当电场力与 Lorentz力平衡时，上下表面出现稳定电荷分布， UH 稳定。 qvBqE qv BbUq H bvBU H SqnvI 由 有 d IB nqn S q b IBU H 1 Hall系数 nqRH 1 d IBRU HH HU 第三篇 电 磁 学 由于导体内有大量的自由电荷， n 较大， RH 较小，故导体的霍尔效应 较弱。 而半导体界于导体与绝缘体之间，其内的自由电荷较少， n 较小， RH 较大，故半导体的霍尔效应显著。 讨论 3. Hall效应的应用 测量半导体的性质 半导体根据掺杂不同，有空穴型（ p型）半导体，和电子型（ n型）半 导体。 P型半导体的主要载流子为正电荷， n型为负电荷； P 型半导体： VH0 N型半导体： VH0 由 VH 的正负就可知道 半导体的类型。 第三篇 电 磁 学 测量磁场 d IBRV HH BVH 利用此原理制成高斯计测量外 界磁场。探头用 Hall元件制成，通 过测量 VH，折算成 B 。 探头 高 斯 计 测量大电流 几万安培 由 d IBRV HH 用霍 Hall元件测量大电流周围 的磁场，可推算出动力线中流过的 电流 I。 可知 B，再由无限电流 I 与 B 之间的关系可知 I 。 第三篇 电 磁 学 磁流体发电 把燃料（油、煤气 和原子能反应堆）加热 而产生的高温（约 3000K）气体，以高速 v（约 1000 m/s）通过 用耐高温材料制成的导 电管，气体在高温情况 下，原子中的一部分电 子克服了原子核引力的 束缚而变成自由电子， 同时原子则因失去了电 子而变成带正电的离子， 电极 发电通道 导电气体 N S 第三篇 电 磁 学 再在这种高温气流中加入少量 容易电离的物质（如钾和铯）， 更能促进气体的电离，从而提 高气体的导电率，使气体差不 多达到等离子状态，如在垂直 于气体运动的方向加上磁场， 则气流中的正、负离子由于受 洛伦兹力的作用，将分别向垂 直于 v 和 B 的两个相反方向 偏转 结果在导电管两个电极上 产生电势差。如果不断提 供高温、高速的等离子气 体，便能在电极上连续产 生电能。 电极 电极 导电气体 发电通道 +q -q 第三篇 电 磁 学 一、安培力 放置于磁场中的载流导线将会受到磁场的作用力，通常称为 安培力 。 安培力本质上是导线中的载流子受到的洛伦兹力。 电流元中共有载流子数为 电流元中所有载流子洛伦兹合力为 nSdldN 11.5 安培力 BlIdFd 如图所示，电流元 Idl处于磁场 B 中，设载流子数密度为 n，电流 元的横截面为 S，则电流元中任 一载流子所受洛伦兹力为 BvqF q Bvqn S d lFdNFd q 前面五项恰好是电流元 电流元所受安培力公式为： 第三篇 电 磁 学 有限长载流导体所受安培力 L BlIdF 计算一段电流在磁场中受到的 安培力时，应先将其分割成无限多 电流元，将所有电流元受到的安培 力求矢量和 矢量积分。 式中积分方向为电流流向，积分遍及电流所在空间。 注意： Ampere力的方向：由右手螺旋 法则确定。 Ampere力移动载流导线要作功， 而 Lorentz力永不作功。 第三篇 电 磁 学 例 1： 在无限长载流直导线 I1 旁，垂直放置另一长为 L 的载流直导线 I2 , I2 导线左端距 I1 为 a，求导线 I2 所受到的安培力。 解： 建立图示坐标系。距柱标原点 x处 选择电流元 I2dx。 I1 电流在其左侧产生的磁场方向垂直屏 幕向里，电流元受力方向竖直向上。电 流元所受安培力大小为： 90s in12 d x BIdF x IB 2 10 1 Laa xdxIIF 2 102 0 1 2 ln2II aLa 方向垂直于 L2， 竖直向上。 第三篇 电 磁 学 例 2： 在无限长载流直导线旁，距离 a 处放置一半径为 R 、通有电流 为 I 的圆环，求载流圆环受到的安培力。 解： 分析： I2 电流上各点距 I1 的 距离不同，各点的电流方向不同， 所以各点受力大小和方向也不同。 1I a R 2I 第三篇 电 磁 学 建立图示坐标系， 在 I1电流激发 的 磁场中 ，任一关于 x轴对称的 电流元 Idl 和 Idl 所受力 dF 和 dF必然关于 x轴对称。 因此 ， 圆环电流 I2所受 Ampere力沿 x轴 正向。 22 yx FFF xF x dlIIdlBIdF 2 210 12 21 0 1 2 c o s c o s 2 xd F I B d l II dl x 第三篇 电 磁 学 dl Rd c o sx a R 0 1 2 c os 2 c osx II RdF d aR i Ra IIF 11 22210 2 0 1 2 0 c os 2 c os xF dF I I R d aR 第三篇 电 磁 学 例题 2、 有一段弯曲导线 ab 通有电流 I ，求此导线在如图所示均匀磁 场中受的力？ BldIF ba )( s inIlBF l ld B a b ba BlIdF l 与磁感应强度 B在同一平面内，所以，该力方向垂直于纸面向外。 BlIF 均匀磁场中载流曲线导线所受的力 结论 1： 均匀磁场中载流曲线导线所受的安培力，等于电流从起点流 到终点的直线导线所受的安培力。 结论 2： 均匀磁场中任意闭合载流导线所受安培力的合力为零。 第三篇 电 磁 学 例 3： 在均匀磁场中，放置一半径为 R、所通电流为 I的半圆形导线，求 载流导线所受的 Ampere力。 解： 由均匀磁场中曲线电流受力的 结论：半圆形电流受到的 Ampere力 相当于沿直径电流受到的安培力。 IBRF 2 第三篇 电 磁 学 电流 I1在电流 I2处所产生的磁场为： 问题：两平行长直载流导线，相距为 d 求：每 单位长度线段所受的作用力。 2 21 2212 2 dld IIdlIBdF o 导线 2上 dl2长度受力为 d IIIB dl dF o 2 21 21 2 2 1B2Fd 1I 1Fd2B d I2 二、平行载流直导线间的相互作用 d IB 2 10 1 受力方向 第三篇 电 磁 学 电流强度的单位： 在其空中有两根平行的长直线，它们之间相距 1m，两导线上电流流向 相同，大小相等，调节它们的电流，使得两导线每单位长度上的吸引 力为 2 10-7N m-1，我们就规定这个电流为 1A。 d IB o 2 2 2 1 12 1121 2 dld IIdlIBdF o 电流 I2 在电流 I1 处所产生的磁场为： d IIIB dl dF o 2 12 12 1 1 1B2Fd 1I 1Fd2B d I2 受力方向 第三篇 电 磁 学 11.6 载流导线在磁场中受到的磁力矩 一、定轴转动磁力矩的一般计算 电流元对转轴的力矩 /FdrMd 根据叠加原理，一根导线 载磁场中对转轴的力矩可 以表示成为 s in/r d FdM s in/r d FdMM 载流导线如果可以转动，我们就要考虑安培力的力矩， 即 磁力矩 的计算，为了简单起见，下面我们只考虑定轴转动 的情况。 O z Idl B r /F 第三篇 电 磁 学 例题 1、 有一半园形导线 ab置于均匀磁场 B中， B与导线平面平 行，设转轴 cc 距离导线圆心的距离为 d，试求出导线所受 到的对转轴力矩。 MM d 解： 在导线上任取一电流元 Idl，则受到的安培力大小为 s ins in BI R dI d lBdF 对转轴的力矩可以表示为： )s i n(s i n )s i n( RdBI R ddM RddFdM 考虑到力矩的方向后，整个导线对 转轴的力矩为： d R B Idl a b c c 第三篇 电 磁 学 MM d 力矩的方向为：沿着转轴的方向向上。 0 dRdI R B )s in(s in )s i ns i n( 0 2 0 dRddI RB )( RdI R B 22 d R B Idl a b c c 第三篇 电 磁 学 平面载流线圈在均匀磁场中，因 受 Ampere力的作用要发生转动。 磁电式系列电表指针转动：在永 久磁铁的两极之间的空气隙内放一个 可绕固定轴转动的线圈，载流线圈在 磁场中受力矩的结果。 二、载流线圈在磁场中受的力矩 第三篇 电 磁 学 1. 载流线圈受力分析 c os)2s i n ( 22 BIlBIlF da c os)2s i n ( 22 BIlBIlF bc 可见， Fda 与 Fbc大小相等方向相反， 作用在一条直线上，相互抵消，对线 圈运动无影响。 da和 bc边 所 受的 Ampere力 第三篇 电 磁 学 ab和 cd边 所 受的 Ampere力 : BIlBIlF ab 11 90s in 可见， Fab 与 Fcd大小相等方向 相反，但不在一条直线上，成 为一对力偶，要产生力矩。 BIlBIlF cd 11 90s in 力偶 大小相等、方向相反，但作用线不共线的一对力。 第三篇 电 磁 学 2. 磁力偶矩 s in22 2lFM ab s in22 21 lBIl 12 s i nIl l B 作用在线圈 ab和 cd边的力的力矩为 从上向下看 如果为 N 匝相同平面线圈： s in21 BlN IlM 力矩方向竖直向上。 第三篇 电 磁 学 引入 线圈磁矩 s in21 BlIlM m IS nllS 21 方向与电流流向成右 手螺旋关系 线圈所受磁力矩可表示为 s i nM m B M m B 可以证明，力偶的力矩与转轴的 位置无关。 第三篇 电 磁 学 3. 讨论 1) 当 = 0 ，即线圈平面与磁场垂 直时， M=0。线圈处于 稳定平衡状 态 使线圈转过一微小角度能自 动回到初试状态。 o M m B 第三篇 电 磁 学 o 2) 当 = 900 ，即线圈平面 与磁场平行时， M = Mmax。 M m B 第三篇 电 磁 学 o 3) 当 = 1800 ，即线圈平面与 磁场垂直时， M=0。线圈处于 非稳定平衡状态 如 使线圈 转过一微小角度，将远离初 始状态。 M m B 第三篇 电 磁 学 例 1： 在均匀磁场 B 中，一半径为 R、通有电流为 I 的环形 载流线圈可绕直径轴 O O 自由转动 ,求：环形载流线圈受到 的力矩。 解： 在图示位置中，线圈的磁矩 方向垂直向外，所以磁力矩竖直 向上。 o o 02 sin 9 0M m B R I B 第三篇 电 磁 学 例题 2 均匀磁场中有如图形状的载流导线，其中 ab为半径为 R的 1/4圆弧，导线上电流如图所示。若 abc可绕 ac轴转动， 则该导线在转动过程中受到的对 ac轴的最大力矩为多少？ a b c o I045 B 方向沿轴线向上或向下 ) 2 1 4 1( 22 m a x RRBIM