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第第十十章章排排列列、组组合合、二二项项式式定定理理和和概概率率110.5 等可能事件和互斥等可能事件和互斥 事件的概率事件的概率第二课时第二课时题型题型4 求互斥事件的概率求互斥事件的概率 1.已知在已知在6个电子元件中有个电子元件中有2个次品，个次品，4个个正品，每次任取正品，每次任取1个进行测试，测试后不再放个进行测试，测试后不再放回，直到回，直到2个次品都找到为止，求经过个次品都找到为止，求经过4次测试次测试恰好将恰好将2个次品都找到的概率个次品都找到的概率.2 解解:设设A表示事件表示事件“前前3次测试仅有一次次测试仅有一次取到次品取到次品,第第4次测试恰好取到次品次测试恰好取到次品”;B表示表示事件事件“前前4次测试都取到正品次测试都取到正品”.则则 ，.因为因为A、B互斥互斥,所以所以 P(A+B)=P(A)+P(B)=.故经过故经过4次测试恰好将次测试恰好将2个次品都找到的个次品都找到的概率是概率是 .3 点评：点评：解决有关互斥事件的概率，解决有关互斥事件的概率，关键是先将事件划分为几个互斥事件，关键是先将事件划分为几个互斥事件，然后求得各互斥事件的概率，最后求然后求得各互斥事件的概率，最后求得各互斥事件的概率之和即为所求得各互斥事件的概率之和即为所求.4 袋中有红、黄、白袋中有红、黄、白3种颜色种颜色的球各的球各1只，从中每次任取只，从中每次任取1只，有放回地只，有放回地抽取抽取3次，求次，求3只颜色全相同的概率只颜色全相同的概率.解：解：“3只颜色全相同只颜色全相同”只可能是这只可能是这样三种情况：样三种情况：“3只全是红球只全是红球”(设为事件设为事件A)；“3只全是黄球只全是黄球”(设为事件设为事件B)；“3只全是白球只全是白球”(设为事件设为事件C).故故“3只颜色全相同只颜色全相同”这个事件为这个事件为A+B+C.5 由于事件由于事件A、B、C不可能同时发生，因不可能同时发生，因此它们是互斥事件此它们是互斥事件.从袋中有放回地抽取从袋中有放回地抽取3次，每次取次，每次取1只，只，共会出现共会出现333=27种等可能的结果，其中种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件只全是红球的结果只有一种，故事件A的概的概率为率为P(A)=.再由于红、黄、白球个数一样，再由于红、黄、白球个数一样，故不难得故不难得P(B)=P(C)=P(A)=.所以所以P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=.所以所以3只球的颜色全相同的概率为只球的颜色全相同的概率为 .6 2.甲、乙两名跳高运动员一次试跳甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高米高度成功的概率分别是度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳一次不成功的概率；甲试跳一次不成功的概率；(2)甲、乙两人在一次试跳中至少有一人甲、乙两人在一次试跳中至少有一人成功的概率成功的概率.解：解：记记“甲试跳一次成功甲试跳一次成功”为事件为事件A，“乙试跳一次成功乙试跳一次成功”为事件为事件B，依题意得，依题意得P(A)=0.7，P(B)=0.6，且，且A、B相互独立相互独立.题型题型5 求对立事件的概率求对立事件的概率7 (1)“甲试跳一次不成功甲试跳一次不成功”的事件为的事件为 ，则则P()=1-P(A)=1-0.7=0.3.答：答：甲试跳一次不成功的概率是甲试跳一次不成功的概率是0.3.(2)“甲、乙两人在一次试跳中至少有一人甲、乙两人在一次试跳中至少有一人成功成功”为事件为事件C，则，则“甲、乙两人在一次试跳甲、乙两人在一次试跳中两人都不成功中两人都不成功”为事件为事件 ，则则 =0.30.4=0.12，所以所以P(C)=1-0.12=0.88.答：答：甲、乙两人在一次试跳中至少有一人甲、乙两人在一次试跳中至少有一人成功的概率为成功的概率为0.88.8 点评：点评：互为对立的两个事件的概互为对立的两个事件的概率之和为率之和为1，这是求对立事件的概率，这是求对立事件的概率的基础的基础.从集合的观点来看，对立事件从集合的观点来看，对立事件之间互为补集，利用对立事件求概率之间互为补集，利用对立事件求概率体现了体现了“正难则反正难则反”的解题思路的解题思路.9 有三个人，每个人都以相同有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的每一间，求：的可能性被分配到四个房间中的每一间，求：(1)三个人都分配到同一个房间的概率三个人都分配到同一个房间的概率;(2)至少两个人分配到同一房间的概率至少两个人分配到同一房间的概率.拓展练习拓展练习10 解：解：(1)因为三个人以同样的可能性被因为三个人以同样的可能性被分配到每个房间，而三个人中每个人都可以分配到每个房间，而三个人中每个人都可以分配到四个房间中的每一间，共有分配到四个房间中的每一间，共有43种方法，种方法，又三个人分配到同一房间有又三个人分配到同一房间有4种分法，种分法，故所求概率为故所求概率为 .(2)设设“至少有两个人分配到同一房间至少有两个人分配到同一房间”为事件为事件A，则，则“三个人分配到三个不同房三个人分配到三个不同房间间”为事件为事件 .而而 ，所以，所以 .11 3.在在1，2，3，4，5五条线路的公交车五条线路的公交车都停靠的车站上，张先生等候都停靠的车站上，张先生等候1，3，4路车，路车，已知每天已知每天2，3，4，5路车经过该站的平均次路车经过该站的平均次数是相等的，数是相等的，1路车经过该站的次数是其他路车经过该站的次数是其他四路车经过该站的次数之和，若任意两路车四路车经过该站的次数之和，若任意两路车不同时到站，求首先到站的公交车是张先生不同时到站，求首先到站的公交车是张先生所等候的车的概率所等候的车的概率.题型题型6 用间接法求组合问题的方法数用间接法求组合问题的方法数12 解：解：(1)设设Ai表示事件表示事件“第第i路车首先到站路车首先到站”(i=1，2，3，4，5).由题设可知由题设可知P(A1)=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)，P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A5)，P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=1.联立联立解得，解得，P(A1)=，P(A3)=P(A4)=.13 因为因为A1，A3，A4彼此互斥，彼此互斥，所以所以P(A1+A3+A4)=P(A1)+P(A3)+P(A4)=，故所求的概率为故所求的概率为 .点评：点评：利用互斥事件中的基本事件的利用互斥事件中的基本事件的概率之间的计算公式，通过方程思想反求概率之间的计算公式，通过方程思想反求基本事件的概率，这体现了知识与方法上基本事件的概率，这体现了知识与方法上的纵横交汇的纵横交汇.14 甲、乙两袋装有大小相同的红甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有球和白球，甲袋装有2个红球，个红球，2个白球；乙个白球；乙袋装有袋装有2个红球，个红球，n个白球，现从甲、乙两袋个白球，现从甲、乙两袋中各任取中各任取2个球个球.(1)若若n=3，求取到的，求取到的4个球全是红球的概个球全是红球的概率；率；(2)若取到的若取到的4个球中至少有个球中至少有2个红球的概个红球的概率为率为 ，求，求n的值的值.解：解：(1)记记“取到的取到的4个球全是红球个球全是红球”为为事件事件A，则，则 .15 (2)记记“取到的取到的4个球中至多有个球中至多有1个红球个红球”为为事件事件B，“取到的取到的4个球中只有个球中只有1个红球个红球”为事件为事件C，“取到的取到的4个球全是白球个球全是白球”为事件为事件D，则，则 ，因为因为P(B)=P(C)+P(D)，所以所以 ,即即7n2-11n-6=0，所以所以n=2或或n=(舍去舍去)，故，故n=2.16 1.若把一次试验中所有可能的结果组若把一次试验中所有可能的结果组成集合成集合I，事件，事件A，B包含的结果分别为集合包含的结果分别为集合A，B，则事件，则事件A的概率就是的概率就是 ；事件；事件A与与B互斥就是互斥就是AB=，A与与B对立对立就是就是 A=IB，即，即A=B.17 2.求复杂的互斥事件的概率求复杂的互斥事件的概率,一般有两种方一般有两种方法：法：(1)直接求解法直接求解法.将所求事件的概率分解成一将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事些彼此互斥的事件的概率的和，分解后的每个事件的概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，件的概率的计算通常为等可能性事件的概率计算，求求m与与n时要正确应用排列、组合公式，其关键时要正确应用排列、组合公式，其关键在于确定事件是否互斥，是否完备在于确定事件是否互斥，是否完备.(2)间接求解法间接求解法.先求出此事件的对立事件的先求出此事件的对立事件的概率，再用公式概率，再用公式P(A)=1-P(A)，即运用逆向思维，即运用逆向思维法法(正难则反正难则反).特别是解决特别是解决“至多至多”“至少至少”型的题目，型的题目，用此方法就显得比较方便用此方法就显得比较方便.18 3.两个互斥事件不一定是对立事件，两个互斥事件不一定是对立事件，但两个对立事件必为互斥事件但两个对立事件必为互斥事件.在一次试在一次试验中，两个互斥事件可能都不发生，而验中，两个互斥事件可能都不发生，而两个对立事件则必有一个发生两个对立事件则必有一个发生.19
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