《经济数学基础》考试要点分析

经济数学基础考试要点分析 到现在为止，同学们已经把微积分这部分知识学完了。大家在复习这部分知识的同时，可能也想知道历届考核这部分知识的要点和题型。下面按各章顺序对前几届考题进行分析，同时也提出一些思路，希望能对同学们有所帮助。 第一章 函数 历届考题要点：定义域、函数值、已知复合函数求原来函数、判断函数异同、函数的奇偶性、平均成本 1、定义域 求定义域时主要围绕以下几个方面考虑：有分式时，其分母不能为零；有对数时，其真数大于零；偶次方根内的式子非负。如（1）若函数 的定义域为（0，1），则 的定义域为（ ) 分析：由 得)(ufy )(ln xfy 1ln0 x ex1 (2)由解得定义域为（-2，-1） (-1, + ),)2ln( 1 xy 0)2ln(,02 xx (3)若函数 与 表示同一函数，则它们的定义域为（ ）分析：从函数的两要素去考虑：这两个函数的对应法则已相同，现在要寻找使这两个函数定义域相同的x的取值范围。 答案是： ,11)( xxxf 1)( 2 xxg ,1 2、求函数值 包括初等函数和分段函数的函数值。如（1）则不要写成 32)( 2 xxxf 0312132)1( 22 xxf 03121)1( 2 f 32)5()2( fff (2)函数 求分析：看清自变量的取值在哪个区间。 则 （ ）=3 xx xe xxf x 1,4 10, 0,1)( 2)1(f 214_)1( f 函数的复合也可理解为函数值的推广，如1、设函数 则分析：xxf 1 1)( _)( xff xx21 )(1 1)( f 2、设函数则分析：1)(,11)( 2 xxgxxxf _)( xfg 22)1( )1(2 xx 1)11()( 2xxxfg 3由复合函数求原来函数，如（1）若 则分析：若把 求出来，那麽 也就得到了。为此，设 则 由 得故)(uf )(xfxxf )1( _)( xf ux 1xu 1 xxf )1( uuf 1)( xxf 1)( x1 （2）若函数则分析：方法1同前 方法2：特殊解法)1()1( xxxf_)( xf )1( 1)1)(1(1)1( xx xxxf )1( xx 4判断函数异同当函数定义域及对应法则都相同时它们才是相同的。如下列各函数中（ ）中的两个函数相同1g(x)x,cosxsinD.f(x) 2lnxg(x),lnxC.y 1xg(x),1x 1xB.f(x) xg(x),)x(A.f(x) 222 2 2 D 5、函数的奇偶性 首先要记住定义，并能用它来证明一些简单的结论；其次是记住一些常见的奇、偶函数，并利用奇、偶函数的四则运算来判断函数的奇偶。如 （1）下列函数中，（ ）是奇函数xxyD eeyC xxyB xxyA xx cossin. )1ln(. 1sin. 23 分析：用定义判断A、C、D较容易判断，且都不是，那麽B是吗？)()1ln( )1ln(1 1ln 1 )1)(1(ln )1ln()1ln()( 2 122 2 22 22 xfxx xxxx xx xxxx xxxxxf （2）函数 是（ ）A.偶函数 B. 奇函数 C.非奇非偶函数D.既是奇函数 又是偶函数分析：利用奇偶函数的四则运算法则来判断。21cosxxxy B 常见的奇函数； 常见的偶函数)1ln(, ,cot,tan,sin, 233 xxaa xxxxxx xx )(,cos, 22 xfaaxxc xx 6、经济函数中的成本函数、收入函数、利润函数、需求函数、平均成本函数等是本课程的重点内容，基本初等函数、复合函数分解等内容也是本课程的重点内容，必须切实掌握，只是它们较少单独命题。 第二章 一元函数微分学 历届考试要点：极限计算，复合函数求微分，隐函数求微分，切线方程，切线斜率，导数定义，无穷小量，导数值，可导与连续等。1、极限的计算 每次考试均有一道极限计算题。极限计算首先要考虑极限四则运算的条件，其次要考虑两个重要极限及其变形，再次要考虑无穷小量的概念及其性质，最后要考虑极限存在的充要条件及左、右极限。 A、 类型：通常是化为无穷小量来计算，既有分式时，可考虑分子分母同时除仪以最高幂次；没有分式时，可通过有理化为分式。如 40 1030 )32( )43()12(lim x xxx 40 1030 )32( )43()12(lim x xxx 1040 1030 )23(2 32 x 22321)231( )211(lim 231 211lim32 12lim)2( eeexx xxxx xxx xxxx )12(lim)3( 22 xxxxx 4232 22 2 22 22 1121 12lim 122lim 12 )1()2(lim xxxx xxxx xx xxx xxxx xxx B、 类型： 当没有分母或分母的极限不为零时，可利用连续性，直接将 代入；当分母的极限为零，而分子的极限不为零时，直接得出结果 ；当分子、分母的极限均为零时，可考虑利用因式分解、有理化或重要极限来计算；当出现 的情形时应先通分。如0 xx 0 x 223lim)1( 221 xx xxx 3122lim )2)(1( )2)(1(lim 11 xx xx xxxx 2111lim 1 )1(2lim)1112(lim)3( 41)11(2 12sin2lim 2sin)11( 1)1(lim2sin 11lim)2( 1 21210 00 x x xxx xxx xx xxxx xxx xx 3、利用无穷小量性质极限4、下列极限计算正确的是_21sinlim0 xxx 0 11sinlim. 11sinlim. )1(lim. )11(lim. 0 10 xxD xxC exB exA xx xx xx D 1sinlim11sinlim1sinlim 0 uuxxxx uxx 5、连续、切线方面：如（1）设 则下列结论正确的是A . 在 处连续B. 在 有极限，不连续C. 在 无极限D. 在 连续，无极限,02 01)( xx xexf x)(xf 0 x)(xf )(xf )(xf 0 x 0 x 0 x C （2）曲线 在点（1，1）处的切线方程是 2321. 2321. 2321. 2321. xyc xyC xyB xyA xy 1C 分析：只需把该点处切线的斜率求出， 代入点斜式公式即可。由 得把点和斜率代入点公式斜率即可。21)1( 21)1()( 23 f xxxf 21k （3）无穷小量 要注意与重要极限的区别，以下几个结论要特别注意：,11sinlim,01sinlim 0sinlim,1sinlim 00 xxxx x xx x xx xx 2、复合函数（或隐函数）的导数（或微分）： 计算这部分内容是微积分最重要的内容，首先要记熟导数公式与法则，其次是对简单函数要会求导数值、微分及二阶导数。这部分内容很重要教材中有大量的例题与习题，这里只举几个历届考题的例子： （1）设函数求解：,sin1 xey dy xxx xxxeee eeey sin12 cos sin12 )sin1()sin1( dxeeedy xxx sin12 cos （2）设隐函数 由方程 确定，求 解：)(xfy xyyx ln2 y12 21)1( 12 2 22 2 yx xyyy xyyyx yyyxxy （3）设 是由方程确定的隐函数，求解：)(xyy 0sin yxey 00yxdxdy1011cos 0cos 00 yx yy yydxdy xeyedxdy eyxeyy 第2章在历届考试中所占比例较重，说明这一章很重要，且这一章中导数与微分的内容是后面第35章的基础。 第3章导数与应用 历届考题要点有：求最值；如求最大利润时的产量及最大利润、求最大收入时的产量及最大收入、求最小成本时的产量及最小成本；需求弹性；单调区间、单调性等。 1、求最值（1）某厂生产某中产品q件时的总成本函数 (元）问产量为多少时可使平均成本达到最小？此时的成本是多少？解：平均成本函数为201.020400)( qqqC qooqq qqqC 1.20400001.020400)( 2 01.0400)( 2 qqC 令得到唯一驻点 舍去），因为平均成本存在最小值，所以当产量为200件时可使平均成本达最小.此时的成本是 （元） 001.0400)( 2 qqC 200(200 qq 4800 20001.020020400)200( 2 C （2）设某厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元。又已知需求函数q=2000-4p,其中p为价格，q为产量，问价格为多少时利润最大？并求最大利润解： ,25000042400)()()( 42000)42000()( 400250000 )42000(10050000 10050000)( 2 2 pppCpRpL pppppqpR p pqpC 令 L(p)=0 得 p=300该问题确实存在最大值，所以，当价格为300元时，利润最大。最大利润 （元）ppL 82400)( 110000 25000030043002400)300( 2 L （3）已知某商品的需求量q=1200-100p(件），其中 p是价格（元/件），求使收入最大的销售量和相应的最大收入，分析：由 q=1200-100p 得p=(12-0.01q收入函数 212)( qqpqqR qqR 02.012)( 求最大利润（最大收入、最小平均成本）时的产量（或小量）是第3章的重点，要求熟练掌握。2、求单调区间或给定某区间时判断该区间内函数的单调性。应侧重于较简单的问题。要会用单调性作简单的证明。如（1）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）),( 分析：正确答案是B（2）函数 的单调下降区间 是分析：正确答案是另外，在切线方面的应用如曲线 在 出的切线方程是分析：正确答案是xDxCeBxA x 3.,.,.,sin. 21)( 2 xxf )0,(2)( xxf 2x 2341 xy 3、需求弹性 主要是记住公式后套用。如（1）若需求函数q=q(p)（q是需求量，p是弹性），则需求弹性分析：答案_pE )( )(.,)( )(.,)( )(.),( )(. pq pqpDpq pqpCpqp pqBppq pqA C （2）若需求函数 ，当p=5时，需求弹性为（ ）分析：ppq 2100)( 2ln5.,2ln500. ,2ln5.,2ln5. DC BA A2ln5 2ln)2ln2100(2100)()( 2ln2100)( 5 PP ppp pE pppqpq pE pq 4、函数极值 应侧重驻点、极值点等概念。 要明确经济上的“边际”就是数学上的“导数”，如边际成本函数就是成本函数导数。 第4章一元函数积分学 历届考试要点：用凑微分法计算积分、抽象函数的不定积分、广义积分、原函数概念、不定积分性质、分部积分计算、变上限定积分的导数或微分、限定积分的导数等。1、凑微分法（第一换元法）（包括不定积分与定积分）是第4章的重点，要熟练掌握，但不必考虑过难题目。如 求解：dxex 101 1 ee eeddxeedxe x xxxxx 12ln11ln( 1 )1(11 1 10) 101010 ceed e dxeedxedxe xxx x xxx )1ln()1(11 111 11 1 2、 分部积分法如 （1） 计算积分解：原式dxxx20 2sin xxxx 2sin 410 2cos211 2sin4 2sin4142cos212cos21 202020 xxdxxx )2cos21(20 xxd + （2） 求解：原式dxxexx x)( 210 42013 412152 2 1021021025 10 210 23 10 210 e exex dxxedxx dxxedxxx xxx x 分部积分法应围绕两种类型考虑：一是形如二是形如基础差 的学生可用列表法（第一类可将幂函数求导至0，第二类只能分部一次），而基础较好的学生最好两种方法都掌握。axdxxaxdxxdxex nnaxn cos,sin, );2,1()(ln ndxxx na 3、广义积分 思路：先求定积分再取极限。如若广义积分则 k=( )分析：210 dxe kx 21.;21.;2.;2. DCBA kek kxdexdedxe kbb bo kxbb kxbkx 1)1(lim1 )(lim)(lim 00 A 4、不定积分的性质。如（1）若 则分析：Cxdxxf 2sin)( _)( xf2cos21.;2cos21. ;2sin41.;2sin41. xDxC xBxA B)(cos 21)2(sin xfxcx （2）已知则分析： cxFdxxf )()( _)(cossin dxxxf cxxFDcxFC cxFBxFA )(cossin.;)(cos. )(cos.);(cos. cxFxdxf dxxxf )(cos)(cos)(cos )(cossin C 5、求原函数，如函数 的一个原函数是（ ）分析：这是求谁的导数等于它。xxf 3)( 3ln3x 6、定积分是一个数，其导数必为0；而变上限定积分的导数等于将上限变量代入被积函数中的t而得到。如_1110 2 dxxdxd o x tfxfdttfdxd 0 )()()( 第5章 积分应用 历届考题 要点：微分方程的求解、可分离变量线性微分方程、线性微分方程的概念、已知边际函数求原函数、齐偶函数在对称区间的积分等。1、微分方程的求解是第5章 的一个重点。对微分方程的阶、通解、特解及可分离变量微分方程与线性微分方程等概念要理解其含义。 （1）求微分方程 的通解。解：此方程 为可分离变量的微分方程 ，将方程变量分离两边分别积分通解为整理得xx eyye 1dxe edyy x x 11 dxe edyy x x 11 cey x ln)1ln(ln ce yx 1 （2）求微分方程 满足初始条件 的特解解；因为用公式12 xxyy 47)1( y 1)(,1)( 2 xxQxxp xcxxcxxx cdxexe cdxexey xx dxxdxx 24241 )1( )1( 324 ln2ln 121 由 得所以特解为4712141)1( 3 cy 1cxxxy 1243 2、设边际收入函数为则平均收入函数为分析：先求总收入函数，再求平均收入函数。qqR 32)( 2 00 20232 )232()32( )()( qq qqdqq dqqRqR qq q qq qqqqRqR 232232)()( 2 3、求平面图形如 由连续曲线与直线围成的求平面图形为（ ）.)()(. ;)()(, ;)()(. ;)()(. dxxfxgD dxxfxgC dxxgxfB dxxgxfA babababa D