《数字电路与数字逻辑》第二章

1 三 、 卡 诺 图 化 简 法 ： 1.逻 辑 函 数 的 卡 诺 图 表 示 (1) 卡 诺 图 的 构 成 格 图 形 式 的 真 值 表 A B F0 0 00 1 11 0 01 1 1 000 10 11 1AB 2 最 小 项 （ 或 最 大 项 ） 的 方 块 图m6m7m5m41 m2m3m1m00 10110100A BC注 意 ： 最 小 （ 大 ） 项 的 序 号 为 该 小 格 对 应 的 取 值 组 合组 成 的 二 进 制 数 的 十 进 制 值 图 上 几 何 相 邻 和 对 称 相 邻 的 小 方 格 所 代 表 的 最小 （ 大 ） 项 逻 辑 相 邻 。 3 卡 诺 图 中 0和 1的 含 义 从 真 值 表 的 观 点 ： 函 数 取 值 0或 1； 从 最 小 （ 或 大 ） 项 方 块 图 观 点 ： 在 函 数 的 标 准 表 达 式 中 ， 不 包 含 （ 为 0） 或 包 含 （ 为 1） 最 小 项 ； 不 包 含 （ 为 1） 或 包 含 （ 为 0） 最 大 项 。 411 1 01 0 10 1 00 0 FA B( a ) 000 10 11 1AB ( b ) )3,1(mF )3,1(mF )2,0(MF )2,0(MF 5 例 2.6.11 将 图 2.6.4所 示 卡 诺 图 分 别 用 最 小 项 表 达式 和 最 大 项 表 达 式 表 示 。641),( mmmCBAF 解 ： = A B C + A B C + A B C 75320),( MMMMMCBAF 10011 00100 10110100A BC 图 2.6.4=( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) ( A + B + C )( A + B + C ) 6 (2) 逻 辑 函 数 的 几 种 移 植 方 法 按 真 值 表 直 接 填 先 把 一 般 表 达 式 转 换 为 标 准 表 达 式 ， 然 后 再 填 观 察 法 a. 一 般 与 或 式 的 观 察 法 移 植 方 法 ： 在 包 含 乘 积 项 中 全 部 变 量 的 小 格 中 填 1 7 例 2.6.12 试 将 F(A,B,C,D) = ABCD + ABD + AC 用 卡 诺 图 表 示 。解 ： 1110 11111 110100 10110100ABCD图 2.6.5 8 b. 一 般 或 与 式 的 观 察 法 移 植 方 法 ： 在 包 含 和 项 中 全 部 变 量 的 小 格 中 填 0 例 2.6.13 试 将 F(A,B,C,D) = (A+B+C+D)(A+B+D) 用 卡 诺 图 表 示 。 10 001101 000 10110100ABCD解 ： 图 2.6.6 9 2.卡 诺 图 的 运 算 (1) 相 加 00101 00100 10110100A BC 00001 01100 10110100A BC00101 01100 10110100A BC 10 (2) 相 乘 00101 00100 10110100A BC 00001 01100 10110100A BC00001 00100 10110100A BC 11 (3) 异 或 00101 00100 10110100A BC 00101 01000 10110100A BC A 00001 01100 10110100BC 12 (4) 反 演 00101 00100 10110100A BC 11011 11010 10110100A BC )5,1(mF )7,6,4,3,2,0(mF 13 例 ： 已 知 F1(A,B,C,D) = A B + C D F2(A,B,C,D) = B C + A D。试 求 )?(21 mFFF 解 ： 用 卡 诺 图 分 别 表 示 函 数 F1 ， F2 ， F ， 如 下 图所 示 。 14 AB CD AB CD 00 01 11 1000 0 0 1 001 1 1 1 011 1 1 0 010 1 0 0 1AB CD 00 01 11 1000 101 111 110 1 1 1 1 00 01 11 100001 1 111 1 1 110 1 1F1 F2 F 15 。所 以 )13,12,10,8,7,5,4,3(mF3. 卡 诺 图 化 简 法 (1) 化 简 原 理 卡 诺 图 上 几 何 相 邻 和 对 称 相 邻 的 小 方 格 所 代 表 的最 小 项 逻 辑 相 邻 ， 可 以 利 用 合 并 相 邻 项 公式 : A B + A B = A 化 简 。 16 (2) 合 并 的 对 象 卡 诺 图 上 几 何 相 邻 和 对 称 相 邻 的 、 并 构 成 矩 形 框的 、 填 “ 1”的 、 2n 个 小 方 格 所 代 表 的 最 小 项。(3) 合 并 项 的 写 法 一 个 卡 诺 圈 对 应 一 个 乘 积 项 ， 该 乘 积 项 由 卡 诺 圈内 各 小 方 格 对 应 的 取 值 相 同 的 变 量 组 成 ， 其中 ， “ 1”对 应 原 变 量 ， “ 0”对 应 反 变 量 。 17 圈 2格 ， 可 消 去 1个 变 量 ； (4) 合 并 的 规 律 00001 00110 10110100A BC F = A B 00001 10010 10110100 A BC F = A C 18 圈 4格 ， 可 消 去 2个 变 量 ； 00111 00110 10110100 A BC F = B 00001 11110 10110100 A BC F = A 10011 10010 10110100A BC F = C 19100110 011011 011001 100100 10110100AB CD 011010 100111 100101 011000 10110100AB CD F = B D + B D F = B D + B D 20011010 011011 011001 011000 10110100 AB CD 100110 100111 100101 100100 10110100 AB CD 圈 8格 ， 可 消 去 3个 变 量 ； F = D F = D 21 (5) 化 简 的 原 则 、 步 骤 名 词 解 释结 论 ： 圈 2i 个 相 邻 最 小 项 ， 可 消 去 i 个 变 量 (i = 0,1,2)a.主 要 项 必 要 项多 余 项 ： 主 要 项 圈 中 含 有 独 立 的 “ 1”格： 主 要 项 圈 中 无 独 立 的 “ 1”格b.实 质 小 项 22 00111 00110 10110100 A BC 01101 00110 10110100A BC B C 不 是 主 要 项B 是 主 要 项B C 是 多 余 项A C、 A B 是 必 要 项ABC、 A B C是 实 质 小项 23 圈 卡 诺 圈 的 原 则 a. 排 斥 原 则b. 闭 合 原 则c. 最 小 原 则 化 简 的 步 骤 a. 先 圈 孤 立 的 “ 1格 ” ； b. 再 圈 只 有 一 个 合 并 方 向 的 “ 1格 ” ；c. 圈 剩 下 的 “ 1格 ” 。 24 注 意 ： a. 圈 中 “ 1”格 的 数 目 只 能 为 2 i ( i = 0,1,2)， 且是 相 邻 的 。b. 同 一 个 “ 1” 格 可 被 圈 多 次 ( A + A = A )。c.每 个 圈 中 必 须 有 该 圈 独 有 的 “ 1”格 。d. 首 先 考 虑 圈 数 最 少 ， 其 次 考 虑 圈 尽 可 能 大 。e. 圈 法 不 是 唯 一 的 。 25 (6) 化 简 举 例例 2.6.14 化 简 函 数 )15,14,10,9,7,6,5,2,0(),( mDCBAF为 最 简 与 或 式 。 101010 110011 111001 100100 10110100AB CD F(A,B,C,D) = A B D + A B D + A B C D + B C + C D图 2.6.13 26 例 2.6.16 化 简 函 数为 最 简 与 或 式 。 )15,14,11,10,9,8,7,6,5,2,0(),( mDCBAF 111110 110011 111001 100100 10110100 AB CD F(A,B,C,D) = A B D + B D + A B + B C图 2.6.15 27 (7) 由 最 大 项 表 达 式 求 最 简 与 或 式例 2.6.18 已 知 函 数 )15,13,7,5(),( MDCBAF求 最 简 与 或 式 。111110 100111 100101 111100 10110100AB CD F(A,B,C,D) = B + D 图 2.6.18 28 (8) 由 最 小 项 表 达 式 求 最 简 或 与 式例 2.6.19 已 知 函 数 )7,5,2,1,0(),( mCBAF求 最 简 或 与 式 。 01101 10110 10110100A BC F(A,B,C,D) = ( A + C ) ( A+ B + C )图 2.6.19 29 四 、 非 完 全 描 述 逻 辑 函 数 的 化 简 1. 约 束 项 、 任 意 项 、 无 关 项 及 非 完 全 描 述 逻 辑 函数 (1) 无 关 项 约 束 项 任 意 项 ： 不 可 能 出 现 的 取 值 组 合所 对 应 的 最 小 项 。 ： 出 现 以 后 函 数 的 值 可 任意 规 定 的 取 值 组 合 所 对 应的 最 小 项 。 30 (2) 非 完 全 描 述 逻 辑 函 数 )7,3()5,2,1,0(),( mCBAF例 ： 一 自 动 供 水 系 统 原 理 示 意 图 如 下 所 示 ， 其 中 F1为 大 功 率 供 水 机 ， F2为 小 功 率 供 水 机 ， 自 动 控 制 过程 为 ： 当 水 位 在 A线 以 下 时 ， F1和 F2同 时 启 动 ； 当 水位 在 A线 和 B线 之 间 时 ， 只 有 F1启 动 ； 当 水 位 在 B线和 C线 之 间 时 ， 只 有 F2启 动 ； 当 水 位 在 C线 以 上 时 ，F 1和 F2停 机 。 试 用 真 值 表 和 逻 31AB C F2F1辑 表 达 式 描 述 该 系 统 的 控 制 功 能 。 32 解 ：(1) 列 真 值 表 。 由 题 意 知 A、 B、 C为 输 入 变 量 ，F1和 F2为 函 数 。 设 水 位 在 刻 度 线 以 上 ， 相 应 的 输入 变 量 取 1； 反 之 ， 取 0。 供 水 机 启 动 ， 相 应 的 函数 取 1， 反 之 ， 取 0。 33 C B A F1 F20 0 0 1 10 0 1 1 00 1 0 0 1 1 0 1(2) 逻 辑 函 数 表 达 式 )6,5,4,2()1,0(),(1 mABCF )6,5,4,2()3,0(),(2 mABCF C B A F1 F21 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 34 2. 非 完 全 描 述 逻 辑 函 数 的 化 简无 关 项 小 格 既 可 作 为 “ 0”格 处 理 ， 也 可 作 为 “ 1”格 处 理 ， 以 使 化 简 结 果 最 简 为 准 。注 意 ： (1) 卡 诺 圈 中 不 可 全 是 无 关 项 ； (2) 不 可 把 无 关 项 作 为 实 质 小 项 。 35 例 2.6.22 用 卡 诺 图 化 简 逻 辑 函 数 )15,14,13,6,5,4(),( mDCBAF 0BA 10 111011 101101 000000 10110100AB CD F(A,B,C,D) = A B C + A D + B C D 图 2.6.22 36 3. 无 关 项 的 运 算 规 则+ 0 1 1 0 1 0 0 1 = 表 2.6.1 37 五 、 最 简 与 或 式 的 转 换 1. 转 换 成 两 级 与 非 式F(A,B,C) = A C +A B = A C + A B = AC AB2. 转 换 成 两 级 或 非 式F(A,B,C) = A C +A B 01101 11000 10110100A BCF(A,B,C) = (A+B)(A+C) F(A,B,C) = A+B+A+C 图 2.6.23 38 3. 转 换 成 与 或 非 式 01101 11000 10110100 A BCF(A,B,C) = A C +A BF(A,B,C) = F(A,B,C) = A C +A B图 2.6.23 39 作 业 题2.12 (1) (3) (4)2.13 (1)2.14