《机械工程测试技术》绪言第一章

1 机 械 工 程 测 试 技 术Mechanical Engineering Measurement and Test Technology 2 教 材 ： 机 械 工 程 测 试 技 术 基 础 熊 诗 波 黄 长 艺 主 编 机 械 工 业 出 版 社参 考 书 ： 机 械 工 程 测 量 与 试 验 技 术 黄 长 艺 卢 文 祥 主 编 机 械 工 业 出 版 社 总 学 时 ： 40= 授 课 34 + 实 验 6成 绩 ： 平 时 （ 出 勤 ， 作 业 ） 20%， 考 试 80%，实 验 （ 出 勤 ， 报 告 ） 一 票 否 决授 课 教 师 ： 吉 野 辰 萌 ， y_教 室 ： 第 1-9周 ， 周 一 5,6节 ， 一 教 #222 周 四 3,4节 ， 逸 夫 楼 #A206 3 绪 言 （ 教 材 1-9页 ） 一 、 测 试 技 术 的 重 要 性 测 量 以 确 定 被 测 物 属 性 量 值 为 目 的 的 全 部 操 作 。测 试 是 具 有 试 验 性 质 的 测 量 ， 可 理 解 为 测 量 与 试 验 的 结 合 。测 试 基 本 任 务 获 取 有 用 信 号 。 4 二 、 测 试 过 程 和 测 试 系 统 的 一 般 组 成 传感器 信号调理 传输 信号处理 显示记录 激 励 装 置 反 馈 、 控 制 观 察 者被 测对 象传 感 器 直 接 作 用 于 被 测 量 ， 按 一 定 规 律 将 被 测 量 转 换 成 同样 或 别 种 量 输 出 （ 通 常 是 电 信 号 ） 的 器 件 。信 号 调 理 把 来 自 传 感 器 的 信 号 进 一 步 转 换 成 更 适 合 传 输 和 处理 的 形 式 。 如 幅 值 放 大 、 阻 抗 转 换 成 电 压 、 频 率 等 。信 号 处 理 进 行 各 种 运 算 、 滤 波 分 析 、 结 果 输 出 、 记 录 和 控 制系 统 。 5 激 励 装 置 有 些 信 息 来 自 可 检 测 信 号 ， 用 激 励 装 置 使 其 处 于 充 分显 示 这 些 参 量 特 性 的 状 态 中 ， 以 有 效 检 测 载 有 这 些 消息 的 信 号 。消 息 隐 含 于 按 一 定 规 则 组 织 起 来 的 约 定 “ 符 号 ” 中 的 信 息 。信 号 把 消 息 转 换 成 更 便 于 传 输 和 处 理 的 信 息 。 信 号 是 消 息的 载 体 ， 是 消 息 的 一 种 表 现 形 式 。信 号 分 类 电 信 号 、 光 信 号 、 力 信 号 、 磁 信 号 等 。传感器 信号调理 传输 信号处理 显示记录 激 励 装 置 反 馈 、 控 制 观 察 者被 测对 象 6 三 、 课 程 研 究 内 容 和 性 质教 学 目 的 ：对 现 代 动 态 测 试 工 作 有 一 个 较 完 整 的 概念 ， 并 运 用 于 机 械 工 程 中 某 些 参 数的 测 试 。 能 够 确 定 检 测 机 械 工 程 中各 种 物 理 量 的 测 试 方 法 ， 设 计 合 理的 测 试 系 统 ， 初 步 掌 握 测 试 信 号 的分 析 与 处 理 方 法 。 7 学 习 内 容 ：（ 1） 信 号 时 域 和 频 域 描 述 方 法 ， 建 立 信 号 频谱 结 构 的 概 念 ， 掌 握 频 谱 分 析 和 相 关 分 析的 基 本 原 理 和 方 法 。（ 2） 掌 握 测 量 装 置 基 本 特 性 的 评 价 方 法 和 不失 真 测 试 条 件 ， 掌 握 一 阶 、 二 阶 线 性 系 统动 态 特 性 及 其 测 定 方 法 。（ 3） 了 解 常 用 传 感 器 ， 常 用 信 号 调 理 工 作 原理 和 性 能 ， 较 合 理 运 用 。 数 字 信 号 处 理 初步 。 8 四 、 测 试 技 术 的 概 况 与 发 展 （ 自 学 第 一 节 ）1、 电 路 改 进 采 用 放 大 电 路 和 集 成 电 路 ， 提 高 其 性 能 。 2、 新 型 传 感 器 应 用 （ 1） 物 性 型 传 感 器 开 发 （ 2） 集 成 、 智 能 化 传 感 器 的 开 发 （ a） 变 参 量 测 量 化 传 感 器 （ b） 传 感 器 与 放 大 、 运 算 、 补 偿 电 路 一 体 化 。 （ 3） 化 学 传 感 器 开 发3、 广 泛 应 用 信 息 技 术4、 多 变 量 测 量 系 统 的 开 发 9 1 0 1 1 五 、 测 量 的 基 础 知 识 （ 自 学 第 二 节 一 至 八 ） 一 、 量 与 量 纲量 值 ： 用 数 值 和 计 量 单 位 的 乘 积 来 表 示 ， 用 于 定 量 地表 达 被 测 对 象 相 应 属 性 的 大 小 (如 3.4m； 15kg；40 ) 量 纲 ： 代 表 一 个 实 体 （ 被 测 量 ） 的 确 定 特 征 ， 而 量 纲单 位 则 是 该 实 体 的 量 化 基 础 。如 长 度 是 一 个 量 纲 ， 而 厘 米 则 是 长 度 的 一 个 单位 。 一 个 量 纲 是 惟 一 的 ， 然 而 一 种 特 定 的 量 纲则 可 用 不 同 的 单 位 来 测 量 。 1 2 二 、 法 定 计 量 单 位1） 基 本 单 位 和 单 位 代 码 ： 国 际 单 位 制 (SI) 长 度 米 (Metre) 米 (m) 质 量 千 克 (Kilogram) 千 克 (kg) 时 间 秒 (Second) 秒 (s) 温 度 开 尔 文 (Kelvn) 开 (K) 电 流 安 培 (Ampere) 安 (A) 发 光 强 度 坎 德 拉 (Candela) 坎 (cd) 物 质 的 量 摩 尔 (Mol) 摩 (mol) 1 3 2） 辅 助 单 位 弧 度 （ rad） ： 是 一 个 圆 内 两 条 半 径 在 圆 周 上 所 截 取 的 弧 长 与 半 径 相 等 时 ， 它 们 所 夹 的 平 面 角的 大 小 。球 面 度 （ sr） ： 是 一 个 立 体 角 ， 其 顶 点 位 于球 心 ， 而 它 在 球 面 上 所 截 取 的 面 积 等 于 以 球半 径 为 边 长 的 正 方 形 面 积 。3） 导 出 单 位在 基 本 单 位 和 辅 助 单 位 选 定 后 ， 按 物 理 量 之间 的 关 系 ， 由 基 本 单 位 和 辅 助 单 位 以 相 乘 或相 除 所 构 成 的 单 位 。 1 4 三 、 测 量 方 法直 接 测 量 ： 无 需 经 过 函 数 关 系 计 算 ， 直 接 通 过 测 量仪 器 得 到 被 测 值 的 测 量 。 如 测 温 度 、 测 尺 寸 。 可 分为 等 精 度 (等 权 )直 接 测 量 ； 不 等 精 度 (不 等 权 ) 直接 测 量 。间 接 测 量 ： 指 在 直 接 测 量 的 基 础 上 ， 根 据 已 知 函 数关 系 ， 计 算 出 被 测 量 的 量 值 的 测 量 。组 合 测 量 ： 将 直 接 测 量 或 间 接 测 量 与 被 测 量 值 之 间按 已 知 关 系 组 成 一 组 方 程 (函 数 关 系 )， 通 过 解 方 程组 得 到 被 测 值 的 方 法 。 1 5 四 、 基 准 和 标 准基 准 ： 是 用 来 保 存 、 复 现 计 量 单 位 的 计 量 器 具 。国 家 基 准 ： 在 特 定 计 量 领 域 内 ， 用 来 保 存 和 复 现该 领 域 计 量 单 位 并 具 有 最 高 的 计 量 特性 ， 经 国 家 鉴 定 、 批 准 作 为 统 一 全 国量 值 最 高 依 据 的 计 量 器 具 。副 基 准 ： 通 过 与 国 家 基 准 对 比 或 校 准 来 确 定 其量 值 ， 并 经 国 家 鉴 定 、 批 准 的 计 量 器具 ， 副 基 准 的 位 置 仅 低 于 国 家 基 准 。工 作 基 准 ： 通 过 与 国 家 基 准 或 副 基 准 对 比 或 校 准 ，用 来 检 定 计 量 标 准 的 计 量 器 具 。 1 6 五 、 测 量 误 差1) 误 差 定 义 ： 测 量 误 差 =测 量 结 果 -真 值 (0-1)2) 误 差 分 类 ： 系 统 误 差 对 同 一 被 测 量 进 行 多 次 测 量 过 程 中 ， 出 现 某种 保 持 恒 定 或 按 照 确 定 的 方 式 变 化 的 误 差 。 随 机 误 差 对 同 一 被 测 量 进 行 多 次 测 量 中 ， 误 差 的 正 负号 和 绝 对 值 以 不 可 预 知 的 方 式 变 化 。 粗 大 误 差 是 一 种 明 显 超 出 规 定 条 件 下 预 期 误 差 范 围 的误 差 。3) 误 差 表 示 ： 绝 对 误 差 ， 用 (0-1)公 式 计 算 相 对 误 差 =绝 对 误 差 真 值 1 7 第 一 章 信 号 及 其 描 述 第 一 节 信 号 分 类 与 描 述 一 、 信 号 的 分 类 信 号分 类 确 定 性 信 号随 机 信 号 连 续 信 号离 散 信 号 能 量 信 号功 率 信 号 周 期 信 号非 周 期 信 号 准 周 期 信 号 瞬 变 非 周 期 信 号 1 8 （ 一 ） 确 定 性 信 号 与 随 机 信 号 1、 确 定 性 信 号 可 表 示 为 一 个 确 定 的 时 间 函数 ， 因 而 可 确 定 其 任 何 时 刻 的 量 值 。2、 随 机 信 号 一 种 不 能 准 确 预 测 其 未 来 瞬 时值 ， 也 无 法 用 数 学 关 系 描 述 ， 它 具 有 某 些统 计 特 征 ， 由 概 率 统 计 来 估 计 其 未 来 。 1 9 1、 确 定 性 信 号(1)周 期 信 号 按 一 定 时 间 间 隔 而 复 始 重 复 出 现 ， 无始 无 终 的 信 号 ， 可 表 示 为 ： x(t)=x(t+nT0 ) (n=1,2,3, ) (1-1)式 中 T0 周 期 Ax (t)km)sin()( 00 tmkxtx （ 1-2） 如 单 自 由 度 无 阻 尼 振 动 系 统x0, 0取 决 于 初 始 条 件 的 常 数m 质 量 k 弹 簧 刚 度t 时 间 mkT 20 mkT 00 2 2 0 (2)非 周 期 信 号 确 定 性 信 号 中 那 些 不 具 有 周 期 重 复 性 的 信 号 。 (a)准 周 期 信 号 由 两 种 以 上 周 期 信 号 合 成 ， 但 其组 成 分 量 间 无 法 找 到 公 共 周 期 （ 但 有 离 散 频 谱 ） 。 (b)瞬 变 非 周 期 信 号 在 一 定 时 间 区 间 内 存 在 ， 且随 时 间 增 长 而 衰 减 至 零 的 信 号 。 )sin()( 000 textx at (1-3) 衰 减 振 荡 信 号 如 单 质 点 自 由 度 加 阻 尼 振 动 ，其 质 点 位 移 x(t )可 表 示 为 ： 2 1连 续 信 号x(t) t0 离 散 信 号x(t) t0 （ 二 ） 连 续 信 号 与 离 散 信 号连 续 信 号 信 号 数 学 表 达 式 中 的 独 立 变 量 取 值 是 连 续 的 则 称 为 连 续 信 号 。离 散 信 号 若 独 立 变 量 取 离 散 值 ， 则 称 为 离 散 信 号 。 2 2 （ 三 ） 能 量 信 号 和 功 率 信 号 x(t)电 压 信 号 ， 加 到 电 阻 R上 ， 其 瞬 间 功 率 为 ： RtxtP )()( 2 若 R = 1 时 )()( 2 txtP 信 号 的 能 量 为 当 x(t)满 足 dttx )(2 dttx )(2 (1-4) 则 认 为 信 号 的 能 量 是 有 限 的 ， 并 称 之 为 能 量 有 限信 号 ， 简 称 能 量 信 号 。 2 3这 种 信 号 称 为 功 率 有 限 信 号 或 功 率 信 号 。 而 在 有 限 区 间 （ t1,t2） 的 平 均 功 率 是 有 限 的 ， 即 若 信 号 在 区 间 （ - ， + ） 的 能 量 是 无 限 的 ， 即 21 )(1 212 tt dttxtt 2( )x t dt （ 1-5） （ 1-6） 2 4 二 、 信 号 的 时 域 描 述 和 频 域 描 述时 域 描 述 ： 直 接 观 测 或 测 量 的 信 号 ， 一 般 以 时 间 为 独 立 变 量 描 述 。 特 点 ： 直 接 反 映 信 号 幅 值 随 时 间 变 化 的 关 系 。 频 域 描 述 ： 把 时 域 描 述 信 号 经 适 当 方 法 变 换 ， 以 频 率 为 独 立 变 量 来 表 示 的 信 号 。 特 点 ： 分 解 信 号 频 率 结 构 ， 呈 现 频 率 与 幅 值 、 频 率 与 相 位 的 关 系 。 2 50() sinx t t 2 60 01() sin sin33x t t t 2 70 0 01 1() sin sin3 sin53 5x t t t t 2 80 0 0 01 1 1() sin sin3 sin5 sin73 5 7x t t t t t 2 90 0 0 0 01 1 1 1() sin sin3 sin5 sin7 sin93 5 7 9x t t t t t t 3 0 第 二 节 周 期 信 号 与 离 散 频 谱 一 、 傅 里 叶 级 数 (Fourier series)的 三 角 函 数 展 开 式 在 有 限 区 间 上 ,凡 满 足 狄 里 赫 利 条 件 的 周 期 信 号 x(t),均 可展 开 成 傅 里 叶 级 数 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx （ 1-7） 2200 00 )(1 TT dttxTa dttntxTa TTn 22 00 00 cos)(2 dttntxTb TTn 22 00 00 sin)(2 常 值 分 量 余 弦 分 量 正 弦 分 量 其 中 T0 x(t)的 周 期 0=2 /T0（ 圆 频 率 ） n=1,2,3,（ 1-8） 3 1 将 式 （ 1-7） 改 写 成 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx 2 20 0 02 2 2 21() ( cos sin )n nn nn n n n na bx t a a b n t n ta b a b 2 20 0 0 1( ) (sin cos cos sin )n n n nnx t a a b n t n t 0 01( ) sin( )n nnx t a A n t （ 1-9） （ 频 域 描 述 ） 式 中 22 nnn baA b n a n22 nn ba n nnn batan 3 2的 关 系 为 幅 频 谱 ， 的 关 系 为 相 频 谱 。 可 见 ， 周 期 信 号 是 由 无 数 多 个 不 同 频 率 的谐 波 叠 加 而 成 的 。 各 频 率 成 分 是 0的 整 数倍 ， 相 邻 频 率 间 隔 为 0 =0 =2 /0 ， 0 基 频 ， 称 为 n 次 谐 波 。)sin( 0 nn tnA - nA -n 二 、 周 期 信 号 的 幅 频 谱 和 相 频 谱 0 An 0 20幅 频 谱 和 相 频 谱 示 意 图30 40 0 n 0 30 A1 A2 A3 A4a0 1 2 3 4 20 40 3 3)5sin513sin31(sin4)( 000 tttAtx 式 中 00 2T 将 该 周 期 方 波 应 用 傅 里 叶 级 数 展 开 ， 可 得 例 ： 一 个 周 期 方 波 的 一 种 时 域 描 述 形 式 表 示 为 ： -T0 T0周 期 方 波-AA-T0/2 T0/2 t0 x (t)x(t)=x(t+nT0)A 0tT0/2x(t） = -A -T0/2t0b n0a n0b n0a n0b n0 a n020 n n2 02- n2- n 4 1nnn n nnab tnAAtx tan )cos()( 1 00同 理 ， 可 展 成 余 弦 函 数 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx 4 2 二 、 傅 里 叶 级 数 的 复 指 数 函 数 展 开 式根 据 殴 拉 公 式 tjte tjte tjtj sincos sincos )(21cos tjtj eet )(2sin tjtj eejt （ 1-10） （ 1-11） （ 1-12） 0 Re Im tje t t- tje )cos( t )cos( t )sin( tj )sin( tj 4 3 将 （ 1-11） （ 1-12） 两 式 代 入 （ 1-7） 式 ， 得 1 000 )sincos()( n nn tnbtnaatx )(2)(21)( 000010 tjntjnntjntjnn n eejbeeaatx )(21)(21)( 0010 tjnnn ntjnnn ejbaejbaatx (1-13) 令 00 ca )(21 nnn jbac )(21 nnn jbac (1-14a) (1-14b) (1-14c) （ 1-7） 4 4 则 10 )()( 00n tjnntjnn ececctx 或 n tjnnectx 0)( ( 0, 1, 2, )n 将 式 （ 1-8） 代 入 式 （ 1-14b） 和 （ 1-14c） 得 sin)(cos)(221)(21 2/ 2/ 02/ 2/ 00 0000 dttntxjdttntxTjbac TTTTnnn sin(cos)(1 02/ 2/ 00 00 dtt)njtntxT TT ( 0,+1,+2, )n 4 5 dtetxTc TT tjnn 2/ 2/0 00 0)(1 同 理 dtetxTc TT tjnn 2/ 2/0 0 0 0)(1 合 并 为 dtetxTc T T tjnn 2/ 2/0 00 0)(1 ),2,1,0( n (1-16) (n=0,+1,+2,）(n=0,+1,+2,） n tjnnectx 0)( ( 0, 1, 2, )n 0 00/2m 0 /21 ( )T jm tTc x t e dtT (m=-1,-2,） 4 6 说 明 ： njnnInRn ecjccc （ 1-17） 式 中 22 nInRn ccc （ 1-18） nRnIn ccarctg （ 1-19） nc 与 nc 共 轭 ， 即 nn cc n n ;2 频 谱 图(Spectrum map) nInRnnccc 作 幅 频 谱 图 （ 偶 函 数 ）作 相 频 谱 图 （ 奇 函 数 ）作 实 频 谱 图作 虚 频 谱 图 1 表 示 方 法 一 般 情 况 下 ， cn 是 复 数 ， 可 以 写 成的 关 系 ？） 中 的（或 中 的（和这 里 的 nn nnn tncos )tnsin0 0 4 7 3 比 较复 指 数 形 式 双 边 谱三 角 函 数 形 式 单 边 谱 )( )0( 00 21ac Ac nn 4 负 频 率 当 n 取 负 值 时 ， 谐 波 频 率 为 “ 负 频 率 ” ， 实 际 上角 速 度 按 其 旋 转 方 向 可 以 有正 有 负 。0n 0 A/2 ReIm A 0 - 0 - 4 8 0 1 0 0( ) ( cos sin )nn nx t a a n t b n t )(21 nnn jbac )(21 nnn jbac 00 ca 0( ) jn tnnx t c e 1 000 sincos)( n tntnatx ncnc ) ( ncnc )j( 4 9 周 期 信 号 频 谱 具 有 三 个 特 点 ：（ 1） 周 期 信 号 的 频 谱 是 离 散 的 。（ 2） 每 条 谱 线 只 出 现 在 基 波 频 率 的 整 数 倍上 ， 基 波 频 率 是 诸 分 量 频 率 的 公 约 数 。（ 3） 各 频 率 分 量 的 谱 线 高 度 表 示 该 谐 波 的幅 值 或 相 位 角 。 5 0 三 、 周 期 信 号 的 强 度 表 示 （ 详 见 图 1-10）峰 值 xp： 信 号 可 能 出 现 的 最 大 瞬 时 值 。 (1-20) 峰 -峰 值 xp-p： 在 一 个 周 期 中 最 大 瞬 时 值 与 最 小 瞬 时 值 之 差 。周 期 信 号 的 均 值 ： (常 值 分 量 )周 期 信 号 的 绝 对 均 值 ：(全 波 整 流 )有 效 值 ：(信 号 的 均 方 根 值 )有 效 值 的 平 方 ：(信 号 的 平 均 功 率 ) max|)(| txxp 000 )(1 Tx dttxT 000| |)(|1 Tx dttxT 00 20rms )(1 T dttxTx 00 20av )(1 T dttxTP (1-21)(1-22)(1-23)(1-24) 5 1 5 2 第 三 节 瞬 变 非 周 期 信 号 与 连 续 频 谱 衰 减 振 荡 函 数t指 数 衰 减 函 数x(t)0t矩 形 脉 冲 函 数x(t)0 单 一 脉 冲 函 数tx(t)0 tx(t)0一 傅 里 叶 变 换 (Fourier transform) 周 期 为 T0 的 信 号 其 频 谱 是 离 散 的 ， 当 时 ， 频 率 间 隔 无 穷 小 ， 谱 线 无 限 靠 近 ，最 后 演 变 成 一 条 连 续 曲 线 。 所 以 非 周 期 信 号 的 频 谱是 连 续 的 ， 可 理 解 为 将 非 周 期 信 号 由 无 限 多 个 频 率无 限 接 近 的 频 率 成 分 所 组 成 的 。)(tx 0T 00 2T 5 3 设 有 一 个 周 期 信 号 在 )2,2( 00 TT 区 间 以 傅 里 叶 级 数 表 示 为 tjnn nectx 0)( 式 中 0 00/20 /21 ( )T jn tn Tc x t e dtT 代 入 上 式 0 0 0 0/20 /21( ) ( ( ) )T jn t jn tTx t x t e dt eT 0T 当 d 2210 dT 0n tjtj edtetxdtx )(2)( 1( ) ( ( ) )2 j t j tx t x t e dt e d (1-25) 著 名 的 付 里 叶 积 分 0 0 02 1 2T T ， 5 4 上 式 圆 括 号 中 积 分 后 为 的 函 数 ，dtetxX tj )(21)( deXtx tj )()( 傅 立 叶 变 换 （ 1-26）傅 立 叶 逆 变 换 （ 1-27）两 者 为 付 里 叶 变 换 对 ， 可 记 为 )()( Xtx 把 =2f 代 入 (1-25)中 ， 则 (1-26)(1-27)变 为dtetxfX ftj 2)()( dfefXtx ftj 2)()( （ 1-28） （ 1-29） 二 者 关 系 为 )(2)( XfX (1-30) 记 为 X( ) 5 5 式 中 为 信 号 的 连 续 幅 频 谱 ， 为 连 续 相 频 谱 。 )(fX )(tx )(f一 般 是 实 变 量 f 的 复 函 数 ， 可 以 写 成 )(fX )()()( fjefXfX （ 1-31） 注 意 ： 非 周 期 信 号 的 幅 频 谱 和 周 期 信 号 幅 频 谱 )( fX nc很 相 似 ， 但 两 者 是 差 别 的 ， 表 现 在 量 纲 上 。 )(fX 的 量 纲 与 信 号 幅 值 量 纲 不 一 样 ， 它 是 单 位 频宽 上 的 幅 值 ， 更 确 切 地 说 是 频 谱 密 度函 数 。 )(fX 量 纲 与 信 号 幅 值 的 量 纲 一 样 。 nc 5 6 例 1-3 求 矩 形 窗 函 数 w(t) 的 频 谱 定 义 ： 01)(tw 22TTtt （ 1-32） 解 ： )(21)()( 2 2 22 fTjfTjTT ftjftj eefjdtedtetwfW 根 据 欧 拉 公 式 )(21)sin( fTjfTj eejfT 代 入 上 式 )(sinsinsin)( fTcTfTfTTffTfW （ 1-33） 式 中 T窗 宽 5 7 上 式 中 定 义 sinsin c图 形 见 右 图 1 3 4- 0 2sinc 函 数 只 有 实 部 ， 没 有 虚 部 。 其 幅 频 谱 为 )(fW )(sin)( fTcTfW （ 1-34） 其 相 位 频 谱 视 的 符 号 而 定 ， 当 为 正 值 时 相 角 为 零 ， 为 负 值 时 相 角 为 )(sin fTc )(sin fTc 5 8 1-T/2 T/2 t0w(t)IeRe0Re -4/T -3/T -2/T 1/T 1/T 2/T 3/T 4/T f-3/T-2/T f3/T2/T-1/T 1/T0TW(f) (f)0图 1-12 5 9 二 傅 里 叶 变 换 的 主 要 性 质 傅 里 叶 变 换 把 信 号 的 时 域 与 频 域 描 述 建 立 对 应 关 系 )()( Xtx （ 一 ） 奇 偶 虚 实 性一 般 X(f)是 实 变 量 f的 复 变 函 数 ， 由 欧 拉 公 式 可 写 成 )()()2sin2)(cos()()( 2 fXjIfXRdtftjfttxdtetxfX meftj （ 1-35） 式 中 ftdttxfXRe 2cos)()( （ 1-36） ftdttxfXI m 2sin)()( （ 1-37） 6 0 x(t)为 实 函 数 )(fX 实 部 为 偶 函 数 ( ) ( )e eRX f RX f )(fX 虚 部 为 奇 函 数 )()( fXIfXI mm x(t)为 实 偶 函 数 0)( fXIm )(fX 为 实 偶 函 数 ， )()()( fXfXRfX e x(t)为 实 奇 函 数 0)( fXRe )(fX 为 虚 奇 函 数 ， () () ( )mXf jIXf X f x(t)为 虚 偶 函 数 0)( fXI m )(fX 为 虚 偶 函 数 ， ( ) ( ) ( )eX f jRX f X f x(t)为 虚 奇 函 数 0)( fXRe 为 实 奇 函 数 ， )(fX )()()( fXfXIfX m 此 性 质 有 助 于 估 计 傅 立 叶 变 换 对 的 响 应 图 形 性 质 ， 减 少 计 算 。 由 式 （ 1-36） 和 （ 1-37） 知 6 1 （ 二 ） 对 称 性 若 )()( fXtx )()( fxtX 证 明 :由 dfefXtx ftj 2)()(令 ut dfefXux fuj 2)()(u和 f对 换 dueuXfx fuj 2)()(令 u=t 2( ) () j ftx f X t e dt 所 以 )()( fxtX 证 毕 0A-T/2 T/2t0 x(t) -3/T-2/T f3/T2/T-1/T 1/T0ATX(f)x(f)-f0/2 fA f0/2-2/f0 t2/f0-1/f0 1/f00Af0X(t) 6 2 （ 三 ） 时 间 尺 度 改 变 特 性 若 )()( fXtx )0( k证 明 ： )(1)(1)( )(22 kfXkdktektxkdtektx ktkfjftj (1)当 时 间 尺 度 压 缩 (k1)时 ， 图 c其 频 谱 的 频 带 加 宽 ， 幅 值 降 低 。 (2)当 时 间 尺 度 扩 展 (k1)时 ， 图 a其 频 谱 的 频 带 边 窄 ， 幅 值 增 高 。(3)压 缩 时 间 尺 度 ,提 高 处 理 信 号 效 率 ,后 续 处 理 频 带 加 宽 ,容 易 失 真 。 (4)扩 展 时 间 尺 度 ， 处 理 后 续 信 号 容 易 ， 但 效 率 太 低 。 0 X(f)-1/2T 1/2TX(f/2)/200-2/T 2/T-1/T 1/TAT/22ATAT 2X(2f) fffA x(2t)-T/2 0 T/2-T T t tt-T/4 0 T/4x(t)0AA x(t/2) 扩 展k=0.5正 常k=1压 缩k=2 a)b)c) )(1)( kfXkktx 6 3 (四 ) 时 移 和 频 移 特 性 1 若 )()( fXtx 020( ) ( ) j ftx t t X f e （ 1-40） 证 明 ： dtetxfX ftj 2)()(令 t =t-t0 代 入 上 式 02 ( )0( ) ( ) j f t tX f x t t e dt dteettxfX ftjftj 0220)()( dtettxfXe ftjftj 202 )()( 0所 以 020 )()( ftjefXttx （ 时 移 特 性 ） 6 4 00 tt 0 0 0 0 0 01 3 1 5 1 7 1 9( ) sin( ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) sin(9 )2 3 2 5 2 7 2 9 2x t t t t t t t 00 0 02(- ) (- ) (- ) (- )4 4 2Tx t t x t x t x t ()x t 6 5 式 (1-40)说 明 将 信 号 时 域 中 平 移 ， 其 幅 频 谱 不 变 ，而 相 位 谱 中 相 角 的 改 变 量 与 频 率 f 成 正 比 ，即 。 02 ft 三 次 谐 波 的 频 率 为 3f 0 ，则 相 移 为 00 32 3 ( )4 2Tf 以 教 科 书 21页 表 1-1的 方 波 相 频 谱 为 例 ，其 中 ， 则 基 波 频 率 为 ，相 移 为 00 1Tf 002 ( )4 2Tf 400 Tt 6 6 2 如 )()( fXtx 02 0() ( )j f tx t e X f f （ 1-41） 证 明 ： dfefXtx ftj 2)()( 令 0fff dfeeffXdfeffXtx tfjftjtffj 00 220)(20 )()()( dfeffXetx ftjtfj 202 )()( 0所 以 02 0( ) ( )j f tx t e X f f 由 欧 拉 公 式 知 式 （ 1-41） 左 侧 是 时 域 信 号 x(t)与频 率 为 f0 的 正 、 余 弦 信 号 之 和 的 乘 积 。 （ 频 移 特 性 ） 0 0 0( ) cos2 sin2 ( )x t f t j f t X f f 6 7 1 2 1 2() () ( ) ( )defx t x t x x t d 若 )()( )()( 22 11 fXtx fXtx 则 )()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-42） 证 明 ： 2 21 1 212 2 ( ) ( ) ( ) ( ) j ftj ftF x t x t x x t d e dtx x t e d dt 交 换 积 分 顺 序 ddtetxx ftj )()( 221根 据 时 移 特 性 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )j fx X f e d X f X f （ 五 ） 卷 积 定 理 1 时 域 卷 积 )(1 tx )(2 tx和 卷 积 定 义 为 ： 6 8 （ 五 ） 卷 积 定 理 2 频 域 卷 积 若 )()( )()( 22 11 fXtx fXtx 则 )()()()( 2121 fXfXtxtx （ 1-43） 证 明 ： 2 1 2 ( ) ( ) j ftX X f d e df 交 换 积 分 顺 序 21 2( ) ( ) j ftX X f e df d 根 据 频 移 特 性 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )j tX x t e d x t x t 证 毕 )(*)( 211 fXfXF 6 9 （ 六 ） 微 分 和 积 分 特 性 由 于 dfefXtx ftj 2)()( （ 1-29） 对 式 (1-29)中 t 进 行 微 分 2( )( 2( ) ) j ftdx t eX f dfdt j f )()2()( fXfjdttdx 同 理 )()2()( fXfjdt txd nnn （ 1-44） 7 0 对 式 (1-28)中 f 进 行 微 分 2( )( ) 2 ) j ftx t jdX f e dtdf t )()2()( txtjdf fdX 同 理 )()2()( txtjdf fXd nnn （ 1-45） 同 样 可 证 明 )(21)( fXfjdttxt （ 1-46） dtetxfX ftj 2)()( （ 1-28） 7 1 三 、 几 种 典 型 信 号 的 频 谱（ 一 ） 矩 形 窗 函 数 的 频 谱 从 上 例 1-3中 看 出 ：（ 1） 一 个 时 域 有 限 区 间 内 的 信 号 ， 其 频 谱 却 延 伸 至 无 限 频 率 。（ 2） 在 f=0 1/T之 间 的 谱 峰 ， 幅 值 最 大 ， 称 为 主 瓣 ， 两 侧 峰值 称 为 旁 瓣 。（ 3） 主 瓣 宽 度 为 2/T与 时 域 窗 宽 度 T成 反 比 ， T 截 取 时 间 长 ，主 瓣 宽 度 小 。 （ 4） 在 时 域 中 截 取 信 号 一 段 记 录 相 当 w(t)x(t) W(f)*X(f) 1 -T/2 T/2 t0 x(t)IeRe0Re -4/T -3/T -2/T 1/T 1/T;2/T; 3/T;4/T f-3/T-2/T f3/T2/T-1/T 1/T0TW(f) (f)0 7 2 （ 二 ） 函 数 及 其 频 谱 1 函 数 的 定 义 在 时 间 内 激 发 一 个 矩 形 脉 冲 （ 或 三角 脉 冲 、 双 边 指 数 脉 冲 、 钟 形 脉 冲 等 ),其 面 积 为 1。 )(tS当 时 ， 有 0 0lim ( ) ( )S t t 0)(t 00tt （ 1-47） 从 面 积 (通 常 称 其 为 函 数 的 强 度 )的 角 度 看0( ) lim ( ) 1t dt S t dt （ 1-48） t矩 形 脉 冲- /2 0 /21/ S (t)01 (t) t 函 数 7 3 2 函 数 的 采 样 性 质由 (t)函 数 性 质 )()0()()( tfttf 强 度 为 f(0)的 (t)函 数 从 数 值 上 看 )()0( tf 从 面 积 （ 强 度 ） 看 则 为 f(0)， 即 )0()()0()()0()()( fdttftfttf (1-49)对 于 延 时 函 数 (t-t0),它 与 f(t)乘 积 只 在 t=t0时 刻 不 等 于 零即 )()()()( 000 tttftttf 积 分 0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )f t t t dt f t t t dtf t t t dt f t (1-50) 7 4 从 式 （ 1-49） 和 （ 1-50） 表 明 :（ 1） 任 意 函 数 f(t) 与 (t-t0) 的 乘 积 是 一 个 强度 为 f(t0) 的 函 数 (t-t0)。（ 2） 该 乘 积 在 有 限 区 间 的 积 分 是 f(t) 在 t=t0的 值 f(t0)（ 3） 此 性 质 对 连 续 信 号 的 离 散 采 样 是 十 分 重要 的 。 7 5 3 函 数 与 其 它 函 数 的 卷 积 x(t)与 函 数 的 卷 积 为 dtxttx )()()()(由 于 函 数 为 偶 函 数 dtxttx )()()()(所 以 )()()( txttx （ 1-51） 同 理 当 函 数 为 (t t0)时 dttxtttx )()()()( 00 0( ) ( )x t t d )()()( 00 ttxtttx 可 见 ,函 数 x(t)与 函 数 的 卷 积 结 果 就 是 发 生 在 函 数 坐 标位 置 上 (坐 标 原 点 )简 单 将 函 数 重 构 图 。 A 0 tx(t)* (t)0 tAx(t)01 t (t) -t0 0 t0 tx(t)* (t+t0) x(t)* (t-t0)x(t)* (t t0)0 tx(t) t-t0 0 t0 (t+t0) (t-t0) (t t0) 7 6 4 (t )的 频 谱 密 度 1)()( 02 edtetf ftj (1-53) 其 逆 变 换 为 dfet ftj 21)( (1-54) f01 (f)t01 (t) 函 数 具 有 无 限 宽 频 谱 ， 而 且 是 等 强 度 的 ， 也 称 为 “ 均 匀 谱 ” 。根 据 付 里 叶 变 换 的 对 称 性 质 、 时 移 性 质 和 频 移 性 质 ， 可 得 到 以下 付 里 叶 变 换 对 时 域 频 域 (t ) 1 （ 单 位 瞬 时 脉 冲 ） （ 均 匀 频 谱 密 度 函 数 ） 1 (f) （ 幅 值 为 1的 直 流 量 ） （ 在 f = 0处 有 脉 冲 谱 线 ） (t -t0) e-j2 ft0 （ 函 数 时 移 t0） (各 频 率 成 分 分 别 相 移 -2 ft0) ej2 f0 t (f -f0) (复 数 指 数 函 数 ) （ 将 （ f） 频 移 到 f0） (1-55) 7 7 （ 三 ） 正 、 余 弦 函 数 的 频 谱 密 度 函 数 据 欧 拉 公 式 可 推 出 )(22sin 00 220 tfjtfj eejtf )(212cos 00 220 tfjtfj eetf 用 式 (1-55)傅 里 叶 变 换 对 )()(22sin 000 ffffjtf )()(212cos 000 fffftf (1-56) (1-57) 看 出 ： 正 、 余 弦 函 数 是 把 频 域 中 两 个 函 数 向 不 同 方 向 频移 后 的 差 或 和 的 付 里 叶 逆 变 换 ， 参 见 函 数 和 频 谱 图 。 1/21/2-f 0 f0-f0 f0-1/21/2 00 ffImX(f)x(t)=cos2 f0tx(t)=sin2 f0t00 tt ReX(f) 频 谱 密 度 7 8 （ 四 ） 周 期 单 位 脉 冲 序 列 的 频 谱 密 度此 序 列 常 称 为 梳 状 函 数 ， 并 用 comb(t,Ts)表 示 ( , ) ( )defs sncomb t T t nT （ 1-58） 式 中 Ts周 期 n = 1, 2,因 此 ， 此 函 数 是 周 期 函 数 。 表 示 为 复 指 数 函 数 形 式 k tkfjks seCTtcomb 2),( （ 1-59） 式 中 fs=1/Ts， 系 数 Ck为 22 2),(1 ss sTT tkfjssk dteTtcombTC 因 为 在 区 间 内 ， 式 （ 1-58） 中 只 有 一 个 函 数 (t )，且 ),( 22 ss TT 2 00 1| sj kf t te e 所 以 22 2 1),(1 ss sTT stkfjssk TdteTtcombTC 7 9 式 （ 1-59） 变 成 21( , ) sj kf ts kscomb t T eT 根 据 式 （ 1-55） tkfj se 2 )( skff 可 得 comb(t,Ts)函 数 频 谱 comb(f,fs)也 是 梳 状 函 数 k k sssss TkfTkffTffcomb )(1)(1),( (1-60) 由 图 可 见 时 域 周 期 单 位 脉 冲 序 列 的 频 谱 也 是 周 期 脉 冲 序 列 。时 域 周 期 为 Ts， 脉 冲 强 度 为 1， 频 谱 周 期 为 1/Ts， 强 度 为 1/Ts。 -3/Ts -1/Ts 0 1/Ts 3/Ts-2Ts -Ts 0 Ts 2Ts ft 1/Ts1 Comb(f,fs)Comb(t,Ts) 图 1-20 周 期 单 位 脉 冲 序 列 及 其 频 谱 8 0 第 一 章 作 业教 科 书 4 0 -4 1 页 ， 思 考 题 与 习 题1 -31 -51 -6下 次 课 交 作 业 结 束 8 1 ( ) 幅 频 谱 7 05 03 0 0A( ) 相 频 谱7 05 03 0 0 tA -Ax(t) T0/2-T0/2 T0T0/3T0/54A/ 4A/34A/54A/7 T0/7 8 2 狄 里 赫 利 条 件 ：（ 1） 在 一 个 周 期 内 只 有 有 限 个 不 连 续 点 。 （ 2） 在 一 个 周 期 内 只 有 有 限 个 极 大 值 和 极 小 值 。 存 在22 )(TT dttf（ 3） 8 3 证 明 (t)函 数 为 偶 函 数 由 ( ) ( ) (0) ( ) (0) ( ) (0)x t t dt x t dt x t dt x (A)令 t = -t 代 入( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (0)x t t dt x t t d tx t t dt x t t dt x ( ) ( ) (0)x t t dt x (B)比 较 (A)和 (B)两 式 ， 有 () ( )t t 得 到 ( ) ( ) ?x t t d t 8 4 卷 积 积 分 的 图 解 计 算 方 法 与 步 骤 反 转 ： 将 x2()以 纵 轴 为 对 称 轴 反 转 得 到 x2(-) 平 移 ： 将 x2(-)随 参 变 量 t 平 移 ， 得 到 x2(-+t ) 定 上 下 限 :根 据 x1()和 x2(t-)相 乘 公 共 区 域 定 积 分 上 下 限 积 分 ： x1()和 x2(t-)乘 积 曲 线 下 的 面 积 即 为 t 时 刻 的 卷 积 值1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )d e fx t x t x x t d 两 个 函 数 和 卷 积 定 义 为 )(1 tx )(2 tx例 ： 已 知 函 数求 y(t)=x 1()*x2(t-) ,1,01 )( TtT ttx 其 它 0,02 )( Ttt ttx 其 它 0 x2()T T0 x1()T-T 1t-Tx2(-)x2(-+t)x2(-+t) 8 50 x1() T-T 1 x2(t-) t2Ttt-Te) 0 x1()T-T 1x2(t-) t-Ttt-T a) 0 x1()T-T 1x2(t-) 0tT tt-Tc)0 x1()T-T 1x2(t-)-Tt0tt-T b)a)和 e)两 种 情 况 下x1()和 x2(t-)无 重叠 部 分 ， 乘 积 为零 ， 所 以 y(t)=0 22 221 21 2121 21)( )()( )()()( |TTtt tdt dtxx txtxty t TtTtT 2)( )()( )()()( 221 21 Tdt dtxx txtxty t Ttt Tt 2)( )()( )()()( 221 21 tTtdt dtxx txtxty TTtTTt 0 x1() T-T 1 x2(t-) Tt2Ttt-Td)