《数学物理方法》09级考试要求

2010. 6. 17 09-10年第二学期数学物理方程 复习大纲 第一章 定解问题1.会写出简单的定解问题 初始条件边界条件定解条件稳定场方程热传导方程波动方程泛定方程 （1）三类泛定方程222 )( xx,tua 22 ),(t txu一维波动方程 222 xuatu 一维热传导方程 .022222 yuxuu二维laplace方程 初 始 时 刻 的 温 度 分 布 ：B、 热 传 导 方 程 的 初 始 条 件 0( , )| ( )tu M t M C、 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 的 初 始 条 件不 含 初 始 条 件 ， 只 含 边 界 条 件 条 件00| ( )( )ttu xu xt A、 波 动 方 程 的 初 始 条 件（2）三类方程的初始条件 第 一 类 ， 直 接 给 出 物 理 量 在 边 界 上 的 分 布 ：. ),(|) ,( tMftMu M , ),( n tMfu 其 中 n 为 边 界 的 法 线 方 向 。第 二 类 ， 给 出 物 理 量 的 梯 度 在 边 界 上 的 分 布 ：, 0 ) ( xunu 第 三 类 ， 给 出 物 理 量 及 其 边 界 上 法 线 方 向 导 数 的线 性 关 系（3）三类边界条件 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。A、 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0| 0,xu ( , ) 0u a t 或：0 x auT x 0 x aux ( , ) 0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 x ax auT kux 或0 x au ux B、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|su f S给定区域v 的边界(2) 绝热状态0sun (3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。 1 1( )d d d dudQ k u u S t k S tn 交换系数； 周围介质的温度1k 1u 1 SSu u un 1kk 第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件 2.能认出不同维数，不同坐标系（直角坐标，极坐标，柱坐标，球坐标）中各类方程 . cos ,0| ) ( 0 11 0 22222 Euu auuua 二 维 极 坐 标 系 圆盘 外 laplace问 题 . 0 ,0| | ,0| 0 00 22222 byyyy axx uu yAuu yuxuu 二 维 直 角 坐 标 系矩 形 域 laplace问题 . 1| ,0| | ,0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2 buu uu buuau ttt btt 二 维 极 坐 标 系 下圆 形 薄 膜 振 动 问题 . | ,0| | ,0| ) 0 ,0 ( , 00 20 uu uu hzauuu a hzz zz 三 维 柱 坐 标 系 下laplace问 题 . ),(| | ,0| ) 0 ( ), ( 0 0 2 yxfu uu buuau t bt 二 维 极 坐 标 系 下圆 盘 热 传 导 问 题轴对称 3.会利用叠加原理三 维 球 坐 标 系 下laplace问 题 . | ),(| 0sin1)(sinsin1)(1 0 2222222 rar ufu ururrurrr 第二章 分离变量法处理的是两个自变量的函数（弦振动，杆上热传导，二维Laplace方程）的定解问题1.会用分离变量法求解定解问题 定解问题选择合适的坐标系边界条件非齐次，转换为齐次边界条件非齐次方程，齐次边界条件齐次方程，齐次边界条件直接用驻波法非齐次方程，齐次定解条件固有函数法应用分离变量法求解定解问题的步骤 用 分 离 变 量 法 求 解 定 解 问 题 包 括 以 下 几 个 基 本 步 骤 ：1. 将 偏 微 问 题 通 过 分 离 变 量 化 为 常 微 问 题2. 确 定 特 征 值 和 特 征 函 数3. 求 解 其 它 常 微 分 方 程 ， 进 而 得 到 满 足 边 值 条4. 令 级 数 解 满 足 初 始 条 件 ， 以 确 定 其 它 参 数 ，件 的 偏 微 分 方 程 的 级 数 解 。最 终 得 到 定 解 问 题 的 解 。 第三章 二阶常微级数解法，本征值问题1.用幂级数解法解方程0)()( yxqyxpy2.会求解本征值问题（本征值，本征函数） 自然周期条件自然有限条件三类条件齐次边界条件方程方程欧拉方程二阶常系数常微方程LegendreBessel不要求 3.会写出常微分方程的解 0 )( 222 yxyxyx . )()( xBYxAJy , 0 )1( 2)1( 2 yllyxyx ),()( 1100 xyaxyay . ) 0 ( , ,ln000 mDCRDCR mmmmm . 0)( )( )( 22 RmRR 第四，五章 Bessel函数，Legendre多项式1.Bessel函数，Legendre多项式性质的证明（递推性，正交性，模方） (1).原 点 处 )(xJm 有 有 限 值 ， )(xYm 无 有 限 值 。nnnnn xxnxP 1)(dd!21)( 2 (2). , )( d 1)(22 1 12 L nnn xz zzi .)x(P)21(),( n212的母函数为 txttxw(3).(1)Bessel函 数 ， Legender多 项 式 初 等 性 质 ： (2)Bessel函 数 满 足 如 下 递 推 公 式 ：1. ; )( )(dd 1mmmm x xJx xJx 2.3. ; )()()( 1 xxJxmJxxJ mmm ; )( )( dd 1 xJxxJxx mmmm 4. ; )()()( 1 xxJxmJxxJ mmm 5. ;)( )(2)( 11 xJxJxxmJ mmm 6. . )( )(21)( 11 xJxJxJ mmm (3)Legendre 多 项 式 满 足 如 下 递 推 公 式 ：1. 0;)( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn3. .0 )( )( )( 11 xPxxPxnP nnn4. .)( 1) (2 )( )( 11 xPnxPxP nnn lk lkJJb lmkm ,N0 d )( )( (m)k0 ， .)()(21)(2 2 222 2)( bJmbbJbN kmkkmmk . ),1(22 ,0 d )()(1 1 knn knxxPxP kn(4)Bessel函 数 ， Legendre 多 项 式 模 方 正 交 性 (5)含 Bessel函 数 ， Legendre 多 项 式 积 分 注 意 xxxJI d )(01 . )(1 CxxJ xxJxI d )(032 )(d 12 xxJx xxJxxJx d )(2)( 1213 . )(2)( 2213 CxJxxJx 0 1 2 22 3 33 4 24 5 35 1 cos3 1 3cos 1( ) 2 25 3 5cos 3cos( ) 2 21 1( ) (35 30 3) (35cos4 20cos2 9)8 641 1( ) (63 70 15 ) (63cos5 35cos3 30cos )8 128PP x xP x x xP xP x x xP x x x x 2.会将不同方程在不同坐标系下分离成常微分方程 . cos ,0| ) ( 0 11 0 22222 Euu auuua 二 维 极 坐 标 系 圆盘 外 laplace问 题.,欧拉方程关于二阶常微关于 . 1| ,0| | ,0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2 buu uu buuau ttt btt 二 维 极 坐 标 系 下 圆 形 薄膜 振 动 问 题 . | ,0| | ,0| ) 0 ,0 ( , 00 20 uu uu hzauuu a hzz zz 三 维 柱 坐 标 系 下laplace问 题 . ),(| | ,0| ) 0 ( ), ( 0 0 2 yxfu uu buuau t bt 二 维 极 坐 标 系 下 圆 盘 热传 导 问 题 .Bessel0方程，欧拉方程阶的为关于 三 维 球 坐 标 系 下laplace问 题 . | ),(| 0sin1)(sinsin1)(1 0 2222222 rar ufu ururrurrr .Legenderx r方程为关于为欧拉方程，为二阶常微，关于关于 4.会用分离变量法求解圆盘上的热传导，圆膜振动，柱面的稳定场等定解问题（采用极坐标系，柱坐标系求解）5.会用分离变量法求解球坐标系下Laplace方程注：球坐标系下轴对称问题可直接写通解3.将非标准方程通过简单变换化为标准型(化标准Bessel，化为Legender) )(cos )( ),( 0 )1( n nnnnn PrBrAru 第六章 行波法，积分变换法1.用行波法解无界波动方程注：用一维DAlember公式求解 daatxatxtxu atx atx )(21)()(21),( 2.积分变换的定义及性质（Fourier，Laplace）3.会用积分变换解定解问题前两步（变换到常微，求像函数），及求简单的原像（常数，三角函数）。