《数学物理方法》第11讲

3. Bessel 函 数 在 定 解 问 题 中 的 应 用求 解 定 解 问 题例 1. . 1| ,0| | ,0| ) 0 ( ), ( 20 0 0 2 buu uu buuau ttt btt 这 里 u 与 f 无 关 ，解 ： 称 为 轴 对 称 问 题 。令 . )( )( tTRu 代 入 方 程 并 整 理 可 得 )( 0 22 RRR 及 )( . 0 2 TaT 方 程 (*) 的 通 解 是 . ) 0 ( ),()()( ) 0 ( ,ln)( 00 000 DYCJR DCR 1.分 离 变 量 解 本 征 值 问 题 . ) 0 ( ,0)( ) 0 ( ,)( 0 00 bCJ CR . ) 0 ( ,0)( ) 0 ( ,)( 1 00 bJ CR即由 此 得 . ) ,2 ,1( , )1( nxb n因 此 本 征 值 . ) ,2 ,1( ,)( ,0 2)1( 0 nbxnn对 应 的 本 征 函 数 为 . ) )( ( ),()( ) 0 ( ,)( 2)1()1(000 bxbxJCR CR nnnnn ,0)( bR由 边 界 条 件 . |)0(| R 进 而 得 , 00 DD 将 本 征 值 代 入 方 程 (*) 解 得 . sin cos)( ,)( )1()1(000 tbxaBtbxaAtT tBAtT nnnnn )( . 0 2 TaT 求 解 另 一 常 微 ， 得 级 数 解因 此 方 程 的 一 般 解 为 )( )()( )(),( 100 n nn tTRtTRtu . )( sin cos1 )1(0)1()1(00 n nnnnn bxJtbxaBtbxaAtBA 常 数 nCC ,0 已 合 并 到 相 应 常 数 中 。 ,0 )(1 )1(00 n nn bxJAA 即 . ) ,2 ,1 ,0( ,0 nAn再 由 bu tt 20 1| 得 ,1 )( 221 )1(0)1(0 bbxJbxBB n nnn 利 用 不 同 特 征 函 数 间 的 加 权 正 交 性 有 . d )()1( ,d )1(d 0 )1(0222)0()1( 0 2200 b nnnn bb bxJbNbxaB bB由 0| 0tu 得 由 初 始 条 件 定 解 可 求 得 ,210 B 2 )( d )( )1(2020 )1(202)0( nb nn xJbbxJN 从 而 得 . )( 4 )1(03)1( nnn xJxa bB 因 此 问 题 的 解 为 . )( sin)()( 142),( 1 )1(0)1()1(03)1( n nnnn bxJb txaxJxabttu 求 解 定 解 问 题例 2. . | ,0| | ,0| ) 0 , ( , 00 20 uu uu hzauuu a hzz zz解 ： 这 也 是 轴 对 称 问 题 。令 . )( )( zTRu )( 0 )0( 222 RkRR 及 )( . 0 2 TkT 代 入 方 程 得其 中 2k 是 分 离 常 数 。1.分 离 变 量 02 k 时 可 得 修 正 的 Bessel函 数 （ 下 节 讨 论 ） 。若 ,02 k 方 程 (*) 的 解 为 . ) 0 ( ),()()( ) 0 ( ,ln)( 00 000 kkDYkCJR kDCR .0)(0 kaJ , 000 DDC | ,0| 0 uu a由 边 界 条 件 得因 此 0k 时 无 非 零 解 。 解 本 征 值 问 题 并 可 得 本 征 值 ). ,2 ,1( , )0( naxk nn和 对 应 的 本 征 函 数 . )()( )0(0 bxJCR nnn .)( )0()0( zaxnzaxnn nn eBeAzT 本 征 值 代 入 方 程再 由 0| 0 zu 得 nn AB )( . 0 2 TkT解 得 求 解 另 一 常 微 ， 得 级 数 解 所 以 2)(2)( )0()0( zaxzaxnn nn eeAzT . sh )0(a zxa nn问 题 的 一 般 解 为 . )( sh),( 1 )0(0)0( n nnn axJa zxCzu 由 另 一 组 边 界 条 件 定 解2 | hzu由 边 界 条 件 得 . )( sh 21 )0(0)0( n nnn axJa hxC 之 后 可 利 用 Fourier-Bessel 级 数 的 系 数 公 式 求 得 .)( sh )( 4)(2 )0(1)0(3)0( 2)0(2 nnn nn xJa hxx xaC . )( sh)( )( sh 4)(2),( 1 )0(1)0(3)0( )0(0)0(2)0(2 n nnn nnn xJa hxx axJa zxxazu 这 样 得 到 问 题 的 解 为 10. Legendre 函 数 的 性 质 2009. 4. 23 一 . Legendre方 程 的 引 出球 形 域 上 三 维 静 电 场 问 题 中 , 外 电 势 满 足 Laplace 例 ： 方 程 。分 析 ：即 求 其 分 离 变 量 解 。求 解 时 常 将 其 写 成 球 坐 标 形 式 ： , 0),(2 ru . 0sin1)(sinsin1)(1 2222222 ururrurrr 设 解 为 , )( )( )( rRu 得代 入 上 方 程 并 乘 以 ) (2 Rr . 0ddsin1)dd(sinddsin1)dd(dd1 2222 rRrrR后 两 项 与 r 无 关 , 于 是 有 (1) . )dd(dd1 2 rRrrR (2) .ddsin1)dd(sinddsin1 222 为 方 便 , 常 把 写 成 l (l+1). 于 是 (1) 化 为 欧 拉 方 程 ：其 通 解 为 . )1( ll rBrAR上 式 可 化 为 (3) ). ,2 ,1 ,0( ,dd1 222 mm , 0)1(dd2dd 222 RllrRrrRr (3) 并 自 然 周 期 条 件 可 得 . cos sin mDmC (2) 式 乘 以 2sin 得 . 0dd1sin)1()dd(sinddsin 222 ll (4) . sin)1()dd(sinddsin 22 mll 方 程 (4) 整 理 为 (5) . 0sin)1(ddcotdd 2222 mll 称 之 为 Legendre 方 程 。其 中 . 11 x (6) , 01)1(dd2dd)1( 22222 PxmllxPxxPx 该 方 程 添 加 自 然 边 界 条 件令 并 将 , cosx )( 改 写 为 , )(xp 则 (5) 变 为此 方 程 称 为 关 联 Legendre 方 程 。若 定 解 问 题 与 无 关 , 则 亦 然 , m 0 。 此 时 (6) 成 为 (7) , 0)1( 2 )1( 2 PllxPPx |)1(| P 构 成 本 征 值 问 题 , 为 和 ),2 ,1 ,0( , nnl ,)!2()!(!2 ! )(2 )1()( 0 2 Mk knnkn xknknk knxP ). ,2 ,1 ,0 ( 12 ,2)1( 2 ,2 aann a nnM 其 本 征 值 和 本 征 函 数 这 样 在 轴 对 称 假 设 下 得 到 问 题 的 级 数 解 )(cos )(),( 0 )1( n nnnnn PrBrAru 进 一 步 的 求 解 须 知 Legendre 多 项 式 的 性 质 。后 面 的 讨 论 中 ， 我 们 只 考 虑 轴 对 称 问 题 。 二 . Legendre多 项 式 的 性 质1. Legendre多 项 式 的 为 微 分 表 示 (7) . 0)1( 2 )1( 2 PnnxPPx首 先 证 明 nnn xxxf 1)(dd)( 2 满 足 Legendre 方 程令 , 1)( 2 nxy 则 , 1)(2 12 nxnxy 因 此nxnxyx 1)(2 )1( 22 nxy2上 式 两 端 同 求 n + 1 阶 导 数 , 得 22 )1( 2)1( )1( )()1()2(2 nnn ynnxynyx )()1( 2)1(2 nn nynnnxy 即 0, )1( 2 )1( )()1()2(2 nnn ynnxyyx因 此 0. )1( 2 )1( 2 fnnxffx . 0)1( 2 )1( 2 PnnxPPx即 nnn xxxf 1)(dd)( 2 满 足 Legendre 方 程因 此 nnnnn xxnxfnxP 1)(dd!21)(!21)( 2 也 是 解 。由 二 项 式 定 理 可 证 明 这 里 的 )(xP 就 是 n 阶 Legendre多 项 式 . )(xPn 2. Legendre多 项 式 的 为 积 分 表 示据 复 变 函 数 中 高 阶 导 数 公 式 ,)( d )(2 !)( 1)( L nn xz zzfinxf 可 得nnnnn xxnxP )1(dd!2 1)( 2 , )( d 1)(22 1 12 L nnn xz zziL 是 围 绕 z x 的 任 一 正 向 闭 曲 线 。 特 别 地 , 取 半 径 为 1 2x 的 圆 周 为 L, 则 . )( , 1 2 iexxz . d1 d , 1 22 ii exizexxz 由 此 得 )1(2)1(2 2)1(2 d 1 21)( ninn in ex exiixP .)1 1()1 1( 22 nini exxexx 其 中 化 简 得 d)cos 1(21)( 2 nn xxxP此 式 称 为 Legendre 多 项 式 的 Laplace 积 分 。 0 2 d)cos 1(1 nxx令 cosx 得 0 d)cos sin(cos1)( nn ixP由 积 分 表 达 式 可 得 ,1)1( nP .)1()1( nnP 3. Legendre多 项 式 的 母 函 数若 一 个 函 数 按 某 一 自 变 量 作 幂 级 数 展 开 时 , 其 系 数 是例 如 若 , )(),( 0 nn n txPtxf Legendre 多 项 式 , 则 称 该 函 数 为 Legendre 多 项 式 的母 函 数 。就 称 f (x,t) 为 Legendre 多 项 式 的 母 函 数 。考 虑 复 变 函 数 .)21(),( 212 txttxw 当 1 | t 时 ， 将 其 展 开 为 , )(),( 0 n nn txCtxw 则 有 , d )21(21)( 1 212 L nn t ttxtixC L 是 区 域 | t | 1 内 任 一 正 向 闭 曲 线 。 作 变 换 uttxt 1)21( 212 L nn t ttxtixC d )21( 21)( 1 212L1 是 L 在 上 述 变 换 下 的 象 , 是 含 点 u x 的 闭 曲 线 。 1 d)(2 1)( 21 12L nn n uxuui 则 .1)(2 2 u xut ).(xPn根 据 高 阶 导 数 公 式 )(! 2)( d )( 0)(10 zfn izz zzf nL n xunnnnn uunxC 1)(dd!2 1)( 2得 因 此, )(),( 0 n nn txPtxw 母 函 数 。即 w (x,t) 为 Legendre 多 项 式 的 Legendre 多 项 式 满 足 如 下 递 推 公 式 ：4. Legendre多 项 式 的 递 推 公 式1. 0;)( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn3. .0 )( )( )( 11 xPxxPxnP nnn4. .)( 1) (2 )( )( 11 xPnxPxP nnn 由 212)21(),( txttxw 0 )(n nn txP 两 边 对 t 求 偏导 数 得 1 1232 )()21( )( n nn txnPtxttx . )()1()21( )()( 0 120 n nnn nn txPntxttxPtx首 先 证 明 1. 0;)( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn两 边 同 乘 )21( 2txt 得 0 1 )()1(n nn txPn比 较 nt 的 系 数 得 ).()1()(2)()1()()( 111 xPnxnxPxPnxPxxP nnnnn 整 理 即 得 1. 下 面 证 明 2. 0;)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn由 212)21(),( txttxw 0 )(n nn txP 分 别 对 x, t 求偏 导 数 得 0232 )()21( n nn txPtxtt 1 1232 )()21( )( n nn txnPtxttx于 是 . )( )()( 10 n nnn nn txnPtxPtx 因 为 , 0)(0 xP故 0 110 )( )( )()( n nnn nnn nn txPtxPxtxPtx . )( )( )( 11 11 n nnn nnn nn txnPtxPtxPx 即 2 成 立 。 下 面 证 明 3. .0 )( )( )( 11 xPxxPxnP nnn对 1 式 求 导 得0)( )( )12()( )1( 11 xnPxPxnxPn nnn 0)( )()12()()12()( )1( 11 xnPxxPnxPnxPn nnnn对 2 式 乘 以 n 得 0)( )( )( 1 xPxPxxPn nnn 0)( )( )( 12 xnPxPxnxPn nnn两 式 相 减 得 0, )()1()()1()( )1( 21 xxPnxPnxPn nnn即 0, )()()()1( 1 xxPxPxPn nnn 此 即 3。由 2, 3 可 得 4。