线代数新教材精彩案例

线 性 代 数 新 教 材 精 彩 案 例 李 尚 志 北 京 航 空 航 天 大 学 2021-5-30 一 、 指 导 思 想1、 主 题 文 学 : 永 恒 主 题 = 爱 + 死 ? 数 学 : 重 要 主 题 = 方 程 +函 数 微 积 分 : 非 线 性 线 性 线 性 代 数 : 多 元 一 次 方 程 组 +多 元 一 次 函 数 组 2021-5-30 空 间 解 析 几 何 = 3 维 线 性 代 数 线 性 代 数 = n 维 解 析 几 何 空 间 为 体 ， 矩 阵 为 用 几 何 问 题 矩 阵 语 言 描 述 矩 阵 运 算 解 决 几 何 解 方 程 组 几 何 描 述 代 数 语 言 描 述 矩 阵 运 算 求 解2、 代 数 几 何 熔 一 炉 2021-5-30 几 何 PK 代 数 几 何 好 看 不 好 算 代 数 好 算 不 好 看 几 何 代 数 : 帮 助 计 算 代 数 几 何 ： 帮 助 理 解 2021-5-30 内 容 : 最 简 单 的 方 程 - 一 次 方 程 最 简 单 的 函 数 - 一 次 函 数 算 法 少 ： 只 有 两 个 (1) 矩 阵 初 等 变 换 ， (2) 矩 阵 乘 法 。 通 过 初 等 矩 阵 相 互 转 化 1 . 5 个3、 线 性 代 数 之 易 2021-5-30 不 怪 抽 象 ， 不 怪 学 生 怪 谁 ： 只 为 考 试 死 记 硬 背 ， 不 解 决 问 题 解 方 程 组 只 会 用 中 学 代 入 法 ; 判 定 方 程组 解 的 惟 一 性 不 会 用 线 性 无 关 ; 算 旋 转不 会 用 矩 阵 乘 法 ; 算 旋 转 轴 不 会 用 特 征向 量 ; 抽 象 =许 多 不 同 事 物 共 同 点 =难 得 糊 涂 =放 之 四 海 皆 准 =无 招 胜 有 招4、 线 性 代 数 之 难 :抽 象 2021-5-30 学 会 少 量 算 法 ， 解 决 大 量 问 题 各 种 问 题 转 化 (凌 波 微 步 )少 量 算 法 无 招 胜 有 招 如 何 实 现 ： 通 过 有 招 学 无 招 积 累 案 例 ， 使 用 案 例 案 例 ： 阳 春 白 雪 下 里 巴 人 抽 象 数 学 贴 近 生 活 ， 喜 闻 乐 见 ， 易 学 易 用5、 线 性 代 数 之 教 学 任 务 博 客 与 视 频 http:/ http:/ 比 梦 更 美 好 , 名 师 培 养 了 我 数 学 家 的 文 学 故 事 数 学 聊 斋 , 数 学 诗 选视 频 : 李 尚 志访 谈 :教 育 人 生 数 学 的 草 根 本 色 CCTV1见 证 与 亲 历 :首 博 诞 生 记 网 上 资 源 http:/ 精 品 课 程 国 家 级 数 学 实 验 (2003),线 性 代 数 (2004) http:/教 育 部 线 性 代 数 (非 数 学 专 业 )(2006) 高 等 数 学 (2008) (郑 志 明 ) 联 系 办 法 : lisz 2021-5-30 数 学 的 神 韵 科 学 出 版 社 2010.4 新 书 介 绍 已 出 版 教 材 李 尚 志 , 线 性 代 数 (数 学 专 业 用 ), 高 等 教 育 出 版 社 ,2006.5 精 品 课 程 网 页http:/ 2021-5-30 案 例 1.1 解 n元 一 次 方 程 组 与 中 学 接 轨 ： 加 减 消 去 法 各 方 程 乘 常 数 再 相 加 = 线 性 组 合 原 方 程 组 解 新 方 程 解 原 方 程 解 ? 怎 样 保 证 :变 形 前 后 互 为 线 性 组 合 ! 怎 样 实 现 :初 等 变 换 ,高 斯 消 去 法 。 只 计 算 系 数 :矩 阵 消 元 . 只 用 到 加 减 乘 除 :数 域 2021-5-30 案 例 2.1 方 程 组 惟 一 解 问 题 例 1.过 已 知 点 的 多 项 式 函 数 曲 线 方 程 组 的 解 是 否 惟 一 : 2021-5-30 方 程 组 惟 一 解 问 题 例 2.已 知 电 压 与 各 电 阻 ,求 各 段 电 流 对 任 意 电 阻 值 有 惟 一 解 ? 物 理 ： yes. 代 数 ： 方 程 组 总 有 惟 一 解 吗 ？ 二 元 一 次 方 程 组 的 几 何 意 义写 成 向 量 形 式惟 一 解 条 件 : OA,OB 不 共 线 ,组 成 平 面 上 一 组 基案 例 2.2 n=2,3的 几 何 解 法 用 各 aj 线 性 组 合 b,何 时 系 数 惟 一 ？案 例 2.3. n元 方 程 组 几 何 解 释 2021-5-30 案 例 2.4 共 线 共 面 概 念 推 广 几 何 概 念 难 推 广 ， 用 代 数 运 算 描 述 易 推 广 两 向 量 a,b共 线 一 个 是 另 一 个 的 实 数 倍 xa+yb=0 有 非 零 解 (x,y). 三 向 量 a,b,c共 面 一 个 是 另 两 个 的 线 性 组 合 推 广 到 n 维 向 量 线 性 相 关 : 有 非 零 解 线 性 无 关 : 只 有 零 解 若 有 解 必 惟 一xa+yb+zc=0 有 非 零 解 (x,y,z) 解 方 程 组OB顺 时 针 方 向 旋 直 角 到 与 方 程 两 边 作 内 积 消 去 y，得是 平 行 四 边 形 OAPB有 向 面 积 . 称 为 二 阶 行 列 式 。 案 例 3.1 二 阶 行 列 式 :几 何 定 义 利 用 基 本 性 质 计 算 2 阶 行 列 式 利 用 基 本 性 质 计 算 ：= 案 例 3.2 三 阶 行 列 式几 何 定 义 ： D=a (b c) 平 行 六 面 体 有 向 体 积 2021-5-30 案 例 3.3 n阶 行 列 式 定 义 3阶 算 法 ： 各 列 取 不 同 行 元 素 ai,bj,ck相 乘 再 乘 d(ijk) =(-1)s. d(ijk)是 自 然 基 列 向 量 ei,ej,ek排成 的 行 列 式 ,经 s次 两 列 互 换 为 d (123)=1. n 阶 行 列 式 D= 排 列 经 s次 对 换 变 成 则 在 中 将 1,2,依 次 往 前 一 步 步 换到 第 1,2, 位 .则 s = 逆 序 数 2021-5-30 案 例 3.4 行 列 式 判 定 线 性 无 关 方 阵 A的 行 列 式 (n维 体 积 ) D 0 各 列 线 性 无 关 方 程 组 Ax=b有 惟 一 解 。 证 明 : A 的 各 列 a1, ,an 线 性 相 关 某 列 ai 是 其 余 各 列 的 线 性 组 合 将 各 列 aj的 lj 倍 加 到 第 i列 A的 第 i列 化 为 零 D=0. 可 见 ： D0 各 列 线 性 无 关 . 反 过 来 : D=0 初 等 行 变 换 化 成 阶 梯 形 , 最 后 一 行 为 零 各 列 线 性 相 关 . 2021-5-30 案 例 3.5 惟 一 解 公 式 (Crammer) 以 n=3为 例 : 左 边 第 2列 乘 -y,第 3列 乘 -z,各 加 到 第 1列 再 提 取 公 因 子 x,得 xD=D1 x=D1/D. 类 似 可 得 y=D 2/D, z=D3/D. 案 例 4.1 秩 与 维 数 的 惟 一 性 向 量 组 A=(a1, am) 的 线 性 组 合 B=(b1,bk) . km B 线 性 相 关 . 记 A的 线 性 组 合 b 为 乘 积 形 式 则 (3) k个 m维 数 组 Xj线 性 相 关 bj线 性 相 关 A,B互 为 线 性 组 合 且 线 性 无 关 m=k 案 例 4.2 矩 阵 乘 法 的 引 入 矩 阵 A=(a1, am) 看 成 列 向 量 组 线 性 组 合 a1x1+anxn 写 成“ 行 向 量 ” A乘 列 向 量 X A与 矩 阵 X=(X1, , Xk)的 乘 积 : A乘 各 列 AX=A(X1, ,Xk)=(AX1, ,AXk) 实 际 上 是 利 用 分 块 运 算 引 入 矩 阵 乘 法 案 例 4.3 矩 阵 乘 法 运 算 律 乘 法 法 则 对 角 阵 纯 量 阵 与 单 位 阵 案 例 4.3 矩 阵 乘 法 运 算 律 分 配 律 A(X+Y)=AX+AY. (1) X,Y只 有 一 列 ： 合 并 同 类 项 (2)X,Y有 若 干 列 : 逐 列 比 较 案 例 4.3 矩 阵 乘 法 运 算 律 结 合 律 (AB)C = A(BC). (AX)l=(a1x1+anxn)l =a1(x1l)+an(xnl)= A(Xl) (AB)L= = A(BL) (AB)Cj=A(BCj) 案 例 4.4 运 算 律 应 用 例 例 1. 例 2. 求 AB, An. XAX:旋 转 角 a . OP=(x,y)=xe1+ye2 OQ=xe2+y(-e1)=(-y,x) OP =(cosa)OP+(sina)OQ 例 3. . 求 A10. 解 .A=lI+ N , 例 4. .求 B 使 B10=A 解 .A=I+ N , 易 验 证 B 满 足 要 求 。 例 5.解 微 分 方 程 组 解 . 通 解 X= eAtC.eAt由 Taylor级 数 定 义 . 令 ,则 N2 = O 例 6.矩 阵 求 逆 （ 解 矩 阵 方 程 组 ) 解 .解 方 程 组 AX=I。 按 列 分 块 ： A(X1,Xn)=(e1,en ) 分 别 解 AXj = ej. 分 别 做 初 等 变 换 （ A,ej)- (I,Xj) 同 时 做 (A,e1, ,en)(I,X1, ,Xn) 即 (A,I)(I,X),X=A-1. 解 AX=B， (A,B)(I,X). 案 例 5.1 最 小 二 乘 法 (1) 例 1.过 三 点 (3.7,0.9),(4.0,0.6),(4.2,0.35)作 直 线 y=kx+b. 解 . 解 方 程 组 即 ka1+ba2=c. 求 D与 C距 离 最 近 . 几 何 解 :DC 平 面 p. ATAX=ATc 案 例 5.2 最 小 二 乘 法 (2)-内 积 例 2.过 n点 (xi,yi)作 直 线 y=kx+b. 解 .解 方 程 组 ka1+ba2=c,AX=c. a1,a2是 n维 向 量 . 内 积 推 广 到 Rn. 仍 求 距 离 CD最 短 . 为 什 么 DC 平 面 p? 勾 股 定 理 : CP2=CD2+DP2 CD2. , ATAX=ATc 案 例 5.3 勾 股 定 理 的 理 由 (a-b)2 = a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a2 -2ab +b2 对 向 量 a,b 仍 成 立 : AB 2 =CA2 + CB 2 -2CA*CB *cosC 完 全 平 方 公 式 = 余 弦 定 理 （ 含 勾 股 定 理 ) 对 数 组 向 量 a,b 也 成 立 。 案 例 5.4 Cauchy不 等 式 例 3.Cauchy不 等 式 的 理 由 . 向 量 a=OA,b=OB 夹 角 q |cosq| =|(a,b)|/(|a|b|) 1 (a,b)2|a|2|b|2 为 什 么 |cosq| 1? 直 角 边 |OC| 斜 边 |OB| OB2-OC2=CB20 . 案 例 5.5 特 征 向 量 的 引 入 例 4.求 曲 线 x2+2xy+5y2=4围 成 的 面 积 . 解 . 左 边 配 方 得 x 2+y 2=4, 所 求 面 积 S乘 |A|=2变 成 圆 面 积 4p,S=2p. 例 5.例 4曲 线 是 否 被 变 换 XAX拉 伸 为 圆 ? 解 . 是 否 有 非 零 X拉 长 为 AX=lX? (A-lI)X=0有 非 零 解 X,行 列 式 |A-lI|=0. 案 例 5.6 图 解 特 征 向 量 例 4的 曲 线 x2+2xy+5y2=4被 拉 伸 成 圆 . 案 例 5.7 利 用 线 性 变 换 引 入 e 求 双 曲 线 围 成 的 面 积 案 例 5.8 实 对 称 方 阵 的 正 交 相 似 例 6.通 过 直 角 坐 标 系 旋 转 将 曲 线 x2+2xy+5y2=4方 程 化 为 标 准 形 式 . 分 析 . 直 角 坐 标 变 换 X=UY 使 Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU. 选 择 正 交 方 阵 U 使 B =diag(l1,l2). 则 AU=UB,A(U 1,U2)=(l1U1,l2U2) U 的 两 列 是 A 的 特 征 向 量 . 谢 谢 ！