电磁场与电磁波第四版第一章ppt.ppt

第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 1 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 2 本章内容 1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 3 1. 标量和矢量 矢量的大小或模 ： AA 矢量的单位矢量 ： 标量 ： 一个只用大小描述的物理量。 A Ae A 矢量的代数表示 ： AeAeA AA 1.1 矢量代数 矢量 ： 一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示 ： 一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意 ： 单位矢量不一定是常矢量。 A 矢量的几何表示 常矢量 ： 大小和方向均不变的矢量。 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 4 zzyyxx eAeAeAA A A A A A A x y z c os c os c os )c o sc o sc o s( zyx eeeAA c o sc o sc o s zyxA eeee 矢量用坐标分量表示 z Ax A Ay Az x y 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 5 （ 1）矢量的加减法 )()()( zzzyyyxxx BAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线 ,如图所示。 矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 BA A B 矢量的减法 BA AB B 在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律 ( ) ( )A B C A B C A B B A 交换律 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 6 （ 2）标量乘矢量 （ 3）矢量的标积（点积） zzyyxx kAekAekAeAk zzyyxx BABABAABBA c o s A B B A 矢量的标积符合交换律 1 zzyyxx eeeeee 0 xzzyyx eeeeee A B 矢量 与 的夹角 A B A B A B 0 BA / A B AB 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 7 （ 4）矢量的矢积（叉积） s inABeBA n )()()( xyyxzzxxzyyzzyx BABAeBABAeBABAeBA zyx zyx zyx BBB AAA eee BA ABBA sin AB BA B A 矢量 与 的叉积 A B 用坐标分量表示为 写成行列式形式为 BA ABBA 若 ，则 BA / 0 BA 若 ，则 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 8 （ 5）矢量的混合运算 CBCACBA )( CBCACBA )( )()()( BACACBCBA CBABCACBA )()()( 分配律 分配律 标量三重积 矢量三重积 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 9 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中， 三种常用的正交曲线坐标系为： 直角 坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系 。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系 ；三条正交曲线称为 坐标轴 ；描述坐标轴的量称 为 坐标变量 。 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 10 1、直角坐标系 zeyexer zyx 位置矢量 面元矢量 线元矢量 zeyexel zyx dddd zyelleS xzyxx ddddd yxelleS zyxzz ddddd 体积元 zyxV dddd zxelleS yzxyy ddddd 坐标变量 zyx , 坐标单位矢量 zyx eee , 点 P(x0,y0,z0) 0 y y （平面） o x y z 0 x x （平面） 0 z z （平面 ） P 直角坐标系 xe ze ye x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o d z d y d x zyeS xx ddd yxeS zz ddd zxeS yy ddd 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 11 2、圆柱面坐标系 ddddd ddddd ddddd zzz z z elleS zelleS zelleS z,坐标变量 zeee , 坐标单位矢量 zeer z 位置矢量 zeeel z dddd 线元矢量 zV dddd 体积元 面元矢量 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 12 dds i nddd 2relleS rrr dds inddd rrelleS zr ddddd rrelleS r 3、球面坐标系 球面坐标系 球坐标系中的线元、面元和体积元 ,r 坐标变量 eee r ,坐标单位矢量 rer r 位置矢量 ds inddd rererel r 线元矢量 ddds ind 2 rrV 体积元 面元矢量 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 13 4、坐标单位矢量之间的关系 xe ye ze e e ze cos sin 0 cossin 0 0 0 1 直角坐标 与 圆柱坐标系 e e ze re e e sin 0 cos sincos 0 0 01 圆柱坐标 与 球坐标系 ze re e e cossin cos sin s inc o s 0 直角坐标 与 球坐标系 xe ye sinsin sincos cossin o z 单位圆 柱坐标系与求坐标系之间 坐标单位矢量的关系 o x y 单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系 xe ye e e ze e re e 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 14 1.3 标量场的梯度 如果物理量是标量，称该场为 标量场 。 例如 ：温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为 矢量场 。 例如 ：流速场 、 重力场 、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为 静态场 ，反之为 时变场 。 时变标量场和矢量场可分别表示为： 、),( tzyxu ),( tzyxF 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在 该区域上定义了一个 场 。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 标量场和矢量场 、),( zyxu ),( zyxF静态标量场和矢量场可分别表示为： 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 15 1. 标量场的等值面 标量场的等值线 (面 ) 等值面 : 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。 Czyxu ),(等值面方程 ： 常数 C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。 等值面的特点 ： 意义 : 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 16 2. 方向导数 意义 ：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率 。 c o sc o sc o slim| 00 z u y u x u l u l u lM 概念 ： l0u l u(M)沿 方向增加； l0u l u(M)沿 方向减小； l0u l u(M)沿 方向无变化。 M0 lM l 方向导数的概念 l特点 ：方向性导数既与点 M0有关，也与 方向有关 。 问题 ：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 的方向余弦。 l式中 ： c o sc o sc o s 、 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 17 梯度的表达式 ： z ueueueu z 1圆柱面坐标系 u re u rer ueu r s i n 11 球面坐标系 z ue y ue x ueu zyx 直角面坐标系 3、标量场的梯度 （ 或 ） gradu u 意义 ： 描述标量 场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 概念 ： ， 其中 取得最大值的方向 | m a xl ueu n n ue l 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 18 标量场的梯度是矢量场，它在空间某 点的方向表示该点场变化最大（增大） 的方向，其数值表示变化最大方向上 场的空间变化率。 标量场在某个方向上的方向导数，是 梯度在该方向上的投影。 梯度的性质 ： 梯度运算的基本公式 ： uufuf uvvuuv vuvu uCCu C )()( )( )( )( 0 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面） 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 19 例 1.2.1 设一标量函数 (x,y,z) = x2 y2 z 描述了空间标量场 。 试求： (1) 该函数 在点 P(1,1,1)处的梯度 ， 以及表示该梯度方向的 单位矢量； (2) 求该函数 沿单位矢量 el= ex cos60 ey cos45 ez cos60 方向的方向导数 ， 并以点 P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值 作以比较 ， 得出相应结论 。 解 (1)由梯度计算公式，可求得 P点的梯度为 ( 1 , 1 , 1 )( 2 2 ) 2 2x y z x y zxy e e e e e e 22( ) ( ) x y zP P x y zyxz e + e + e 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 20 表征其方向的单位矢量 2 2 2 ( 1 , 1 , 1 ) 22 22 1 3 3 3( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) x y z l x y zP P e x e y e e e e e xy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知 ， 沿 el方向的方向 导数为 211( 2 2 ) ( ) 222 1 2 2 l x y z x y ze e x e y e e e el xy 对于给定的 P点，上述方向导数在该点取值为 ( 1 , 1 , 1 ) 1 2 212 2 2P xyl 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 21 而该点的梯度值为 2 2 2 ( 1 , 1 , 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 3P xy 显然 ， 梯度 描述了 P点处标量函数 的最大变化率 ， 即最大的方向导数 ， 故 恒成立 。 P P Pl 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 22 1.4 矢量场的通量与散度 1、矢量线 意义 ： 形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。 ),( d ),( d ),( d zyxF z zyxF y zyxF x zyx 矢量线方程 ： 概念 ： 矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。 矢量线 o M F drrr dr 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 23 2、矢量场的通量 问题 ： 如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 d d dnSS F S F e S 通量的概念 ： ddnS e S其中： 面积元矢量； ne 面积元的法向单位矢量； dSddn F e S 穿过面积元 的通量； 如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向 外，矢量场对闭合曲面的通量是： dd nSSF S F e S ),( zyxF Sd ne 面积元矢量 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 24 0 通过闭合曲面有 净的矢量线穿出 0 有净的矢 量线进入 0 进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从 宏观上 建立了矢量场通过闭合曲面的通 量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 25 3、矢量场的散度 0 ( , , ) d ( , , ) l im S V F x y z S F x y z V 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小 体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利 用极限方法得到这一关系： 称为矢量场的 散度 。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元 体积之比的极限。 F 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 26 柱面坐标系 )(s i n1)( s i ns i n1)(1 22 FrFrFrrrF r z FFFF z )( 球面坐标系 z F y F x FF zyx 直角坐标系 散度的表达式 ： 散度的有关公式 ： GFGF fFFfFf kFkFk fCfC CCC )( )( 为 常量)()( )( )为 常矢量(0 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 27 直角坐标系下散度表达式的推导 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( , , ) , ,22 xxx x y z FxxF x y z F x y z x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , ( , , ) , ,22 xxx x y z FxxF x y z F x y z x 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 22 x xx FxxF x y z F x y z y z x y z x 由此可知，穿出前、后两侧面的净 通量值为 o x y 在直角坐标系中计算 F z z x y P 不失一般性，令包围 P点的微体积 V 为一直平行六面体，如 图所示。则 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 28 d yx z S FF FF S x y z x y z x y z x y z 0 d l im ySx z V FS FF F F V x y z 根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点 P 穿出该六面体的净通量为 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 29 4、散度定理 VS VFSF dd 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的 通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积 分与体积分之间的一个变换 关系，在电磁理论中有着广 泛的应用。 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 30 1.5 矢量场的环流和旋度 1. 矢量场的环流与旋涡源 例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量 源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭 合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为 零。 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 31 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电 流成正比，即： SC SzyxJIlzyxB d),(d),( 00 上式建立了磁场的环流与电流的关系。 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 32 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为 无 旋场 ，又称为 保守场 。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场 ，能够激发有旋矢量场的源称为 旋涡源 。电流是 磁场的旋涡源。 C lzyxF d),( 环流的概念 矢量场对于闭合曲线 C 的环流定义为该矢量对闭合曲线 C 的线积分，即 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 33 过点 M 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为 C，曲面的法线 方向 n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限 0 1r o t l im d Cn S F F lS 称为 矢量场在 点 M 处沿方向 n的 环流面密度 。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢 量场的旋度。 S C M F n 特点 ：其值 与 点 M 处的方向 n有关。 2、矢量场的旋度 （ ） F （ 1）环流面密度 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 34 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 d d d d d C l l l l y z y z F l F l F l F l F l F y F z F y F z 1 2yyy M F zF F M z 而 2 2zzz M F yF F M y 推导 的示意图如图所示 。 rot xF o y z y C M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 rot xF 3 2yyy M F zF F M z 4 2zzz M F yF F M y 直角坐标系中 、 、 的表达式 rotxF rotyF rotzF 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 35 d ( )yz C FFF l y z yz 于是 同理可得 r ot ,x zy F FF zx rot y xz F FF xy 0 d r o t l im yC zx S Fl FF F S y z 故得 概念 ： 矢量场在 M点处的旋度为一矢量，其数值为 M点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即 n M a x r o t nF e F 物理意义 ： 旋涡源密度矢量。 nr o t F n F 性质 ： （ 2）矢量场的旋度 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 36 zyx zyx xy z zx y yz x FFF zyx eee y F x F e x F z F e z F y F eF 旋度的计算公式 : z z FFF z eee F 1 FrrFF r erere r F r r s i n s i n s i n 1 2 直角坐标系 圆柱面坐标系 球面坐标系 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 37 旋度的有关公式 ： 0 () () () () ( ) 0 ( ) 0 C C f f C fF f F f F F G F G F G G F F G F u 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 38 SC SFlF dd 3、 Stokes定理 Stokes定理是闭合曲线积 分与曲面积分之间的一个变换 关系式，也在电磁理论中有广 泛的应用。 图 1. 5. 5 曲面的 划 分 C S n 曲面的 剖分 方向相反大小 相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环 流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 39 4、散度和旋度的区别 0 , 0FF 0 . 0FF 0 , 0FF 0 , 0FF 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 40 1、矢量场的源 散度源 ： 是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源 ： 是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。 1.6 无旋场与无散场 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 41 2、矢量场按源的分类 （ 1）无旋场 0d C lF 性质 ： ， 线积分与路径无关，是保守场。 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 0 F 无旋场 可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场 0E E uF ( ) 0Fu 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 42 （ 2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场 ，即 性质 ： 0d S SF 0 F 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如，恒定磁场 AB 0B AF ( ) 0FA 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 43 （ 3）无旋、无散场 （源在所讨论的区域之外） 0F （ 4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lCF r F r F r u r A r 无旋场部分 无散场部分 ( ) 0u Fu 02 u 0F 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 44 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 2u 概念 ： 2()uu 2 拉普拉斯算符 222 2 2 2 2 uuuu x y z 直角坐标系 计算公式 ： 22 2 2 2 2 11() u u uu z 2 22 2 2 2 2 2 1 1 1( ) ( s i n ) s i n s i n u u uur r r r r r 圆柱坐标系 球坐标系 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 45 矢量拉普拉斯运算 2F 概念 ： 2 ( ) ( )F F F 2 2 2 2x x y y z zF e F e F e F 即 22() iiFF 注意 ： 对于非直角分量， 22() iiFF 直角坐标系中： 如： 22()FF ( , , )i x y z 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 46 2. 格林定理 设任意两个标量场 及 ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏 导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式。 SV SnV 2 dd)( 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成 式中 S 为包围 V 的闭合曲面， 为标 量场 在 S 表面的外法线 en 方向上 的偏导数。 n 2 ( )d ( ) dVS VS 以上两式称为 标量第一格林定理 。 S V , ne 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 47 22 ( ) d ( ) dVS VS nn 22 ( )d dVS VS 基于上式还可获得下列两式： 上两式称为 标量第二格林定理 。 格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系 。 因此 ， 利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上 场的求解问题 。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此， 如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场 的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 48 亥姆霍兹定理 : 若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分 布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可 表示为 )()()( rArurF 式中： Vrr rFru V d)(4 1)( V Vrr rFrA d)(4 1)( 亥姆霍兹定理说明：在无界空间区 域，矢量场可由其散度及旋度确定。 1.8 亥姆霍兹定理 第 1章 矢量分析 电子科技大学 编写 高等教育出版社 出版 电磁场与电磁波 49 有界区域 SV rr SrFVrr rFru d)( 4 1 d)( 4 1)( SV rr SrFVrr rFrA d)( 4 1d)( 4 1)( 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关， 还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。