多维随机变量及其分布

为 什 么 需 要 讨 论 多 维 随 机 变 量 ？ 以 上 我 们 只 限 于 讨 论 一 个 随 机 变 量 的 情 况 ， 但 在 实 际 问 题中 ， 对 于 某 些 随 机 试 验 的 结 果 需 要 同 时 用 两 个 或 两 个 以 上 的 随机 变 量 来 描 述 。 例 如 ， 为 了 研 究 某 一 地 区 学 龄 前 儿 童 的 发 育 情况 ， 对 这 一 地 区 的 儿 童 进 行 抽 查 ， 对 于 每 个 儿 童 都 能 观 察 到 他的 身 高 H 和 体 重 W。 在 这 里 ， 样 本 空 间 S=e 某 地 区 的 全 部 学龄 前 儿 童 ， 而 H (e)和 W(e)是 定 义 在 S上 的 两 个 随 机 变 量 。 又 如炮 弹 弹 着 点 的 位 置 需 要 由 它 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 来 确 定 ， 而 横 坐标 和 纵 坐 标 是 定 义 在 同 一 个 样 本 空 间 的 两 个 随 机 变 量 。 多 维 随 机 变 量 及 其 分 布二 维 随 机 变 量 及 其 分 布 函 数二 维 随 机 变 量 的 边 缘 分 布二 维 随 机 变 量 的 条 件 分 布随 机 变 量 的 独 立 性两 个 随 机 变 量 的 函 数 的 分 布 返 回退 出本 章 小 结习 题 设 X1,X2, Xn时 定 义 在 同 一 样 本 空 间 S上 的 随机 变 量 ， 则 向 量 (X1,X2, Xn)称 为 n维 随 机 变 量 或 n维 随 机 向 量 。 当 n=2时 ， 称 为 二 维 随 机 变 量 ， 记 为 (X,Y).二 维 随 机 变 量 的 分 布 函 数 设 (X,Y)是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数 x,y，二 元 函 数 ： F(x,y)=P(X x) (Y y)=P(X x, Y y)称 为 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 分 布 函 数 ， 或 称 为 随 机 变量 X,Y的 联 合 分 布 函 数 。二 维 随 机 变 量 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 分 布 函 数 F(x,y)的 含 义y x),( yxo Px1Xx2,y1x1时 F(x2,y) F(x1,y)； 对 于 任 意 固 定 的 x， 当 y2y1时 ，F(x,y2) F(x,y1)。 .0),(),(),(),( ,),(),()4( ),()3( 1),(lim,0),(lim 0),(lim,0),(lim ,1),(0)2( 11211222 21212211 , yxFyxFyxFyxF yyxxyxyx yxyxF yxFyxF yxFyxF yxF yxyx yx ， 则， 若对 任 意 点 也 右 连 续 ；右 连 续 ， 关 于关 于 且 思 考 问 G(x,y)能 否 作 为 分 布 函 数 ？答 不 能 。 虽 然 G(x,y)满 足 分 布 函 数 的 前 三 个 性 质 ， 但 不 满 足 第 四 个 性质 。 当 x1=0,x2=1,y1=0,y2=1时 ， G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0) =1-1-1+0=-10 0,0 0,1)( yx yxxG 如 果 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 所 有 可 能 取 值 是 有 限 对 或可 列 无 限 多 对 ， 则 称 (X,Y)为 离 散 型 随 机 变 量 。二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 概 念 称 PX xi,Y=yj pij， i,j=1,2, 为 (X,Y)的 概 率 函 数 。 列 成 表 格称 联 合 分 布 列 。 概 率 函 数 p ij满 足 YX x1 x2 xn x1 p11 p12 p1n xm pm1 pm2 pmn 二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 函 数 1,0 1 1 i j ijij pp 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 分 布 函 数 定 义 为二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 xx yy iji j pyxF ),( 二 维 连 续 型 随 机 变 量 、 概 率 密 度 函 数 如 果 对 于 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 分 布 函 数 F(x,y)， 存在 非 负 可 积 函 数 f(x,y)， 使 对 于 任 何 实 数 x,y， 有则 称 (X,Y)为 二 维 连 续 型 随 机 变 量 。 函 数 f(x,y)称 为 (X,Y)的 概 率 密 度 函 数 （ 或 联 合 密 度 函 数 ） 。 x y dudvvufyxF ),(),( 二 维 连 续 性 随 机 变 量 概 率 密 度 函 数 的 性 质 由 分 布 函 数 的 性 质 可 知 ， 概 率 密 度 函 数 具 有 以 下 性 质 ： (1)f(x,y) 0； .),(),( ),( ),(, ),()4( ),(/),(),()3( 1),(),()2( 2 G ba dcdxdyyxfGYXP YXG dxdyyxfdYcbXaP dxcbxa yxfyxyxFyxF Fdxdyyxf 取 值 的 概 率上 ，在 任 意 平 面 域 上 ， 有在 矩 形 域 ；连 续 点 ， 有在 注 意 设 E是 一 个 随 机 试 验 ， 它 的 样 本 空 间 S =e，设 X1= X1(e)X2= X2(e) ,Xn= Xn(e)是 定 义 在 S上 的随 机 变 量 ， 由 它 们 构 成 的 一 个 n维 向 量 (X1,X2, Xn)叫 做 n维 随 机 变 量 或 n维 随 机 向 量 。二 维 随 机 变 量 的 分 布 函 数 对 于 任 意 n个 实 数 x1,x2, xn， n元 函 数 ： F(x1,x2, xn)=PX1 x1 , X2 x2 , , Xn xn, 称 为 n维 随 机 变 量 (X1,X2, Xn)的 分 布 函 数 ， 或 称 为随 机 变 量 X 1,X2, Xn的 联 合 分 布 函 数 。 它 具 有 二 维随 机 变 量 的 分 布 函 数 类 似 的 性 质 。 n维 随 机 变 量 返 回 设 (X,Y)为 二 维 随 机 变 量 ， 则 称 随 机 变 量 X的概 率 分 布 为 (X,Y)关 于 X的 边 缘 分 布 ； 随 机 变 量 Y的概 率 分 布 为 (X,Y)关 于 Y的 边 缘 分 布 ， 其 分 布 函 数 ，密 度 函 数 和 分 布 律 分 别 记 为 ： FX(x),FY(y); fX(x),fY(y);pi. p.j.二 维 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 .,2,1, .,2,1, ),()( ),()( ),( 1. 1. 1 1 jpyYPp ipxXPp pyFyF pxFxF YX i ijij j ijii i yy ijY xx j ijX ji， 有对 离 散 型 随 机 变 量 二 维 随 机 变 量 的 边 缘 分 布 dxyxfyf dyyxfxf dxdyyxfyF dxdyyxfxF YX YX yY xX ),()( ),()( ),()( ),()( ),( ， 有对 连 续 型 随 机 变 量 例 2 设 随 机 变 量 X和 Y具 有 联 合 概 率 密 度求 边 缘 概 率 密 度 fX(x),fY(y).解 26,( , ) 0, x y xf x y 其 它 其 它其 它,0 10),(66 ),()( ,0 10),(66 ),()( 22 yyydx dxyxfyf xxxdy dyyxfxf yyY xxX y x2xy o xy 例 2 设 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 概 率 密 度 为 212 22 11 2 21 2 221 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 22 21 2 1 2 ( )1 1( , ) exp 2(1 )2 1( )( ) ( )2 , , , , , 0, 0, 1 1.( , ) , , , ,( , ) ( , , , , ) xf x y x y yx yX YX Y N 其 中 都 是 常 数 ， 且称 为 服 从 参 数 为 的 二 维 正 态 分 布 ，记 为试 求 二 维 正 态 随 机 变 量 的 边 缘 概 率 密 度 。 返 回 对 于 多 个 随 机 事 件 可 以 讨 论 它 们 的 条 件 概 率 ， 同 样 地 ， 对于 多 个 随 机 变 量 也 可 以 讨 论 它 们 的 条 件 分 布 。 先 从 二 维 离 散 型 随 机 变 量 开 始 讨 论 。 设 (X,Y)是 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 分 布 率 为考 虑 二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 条 件 概 率 ,2,1, , 0 .,2,1, .,2,1,),( .,2,1, . 1. 1. ippyYP yYxXPyYxXPxX yYp jpyYPp ipxXPp YXYX jipyYxXP jijj iiiii jj i ijij j ijii ijii发 生 的 概 率 ， 则 已 发 生 的 条 件 下 事 件， 考 虑 在 事 件设 的 边 缘 分 布 率 分 别 为和关 于 设 (X,Y)是 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ， 对 于 固 定 的 j， 若二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 条 件 概 率的 条 件 分 布 率 。条 件 下 随 机 变 量为 在 ， 则 称， 若同 样 ， 对 于 固 定 的 的 条 件 分 布 率 。条 件 下 随 机 变 量为 在 ， 则 称 YxX jppxXP yYxXPxXyYP xXPi XyY ippyYP yYxXPyYxXP yYP i iiji iiij ij j ijj iijij ,2,1, , 0 ,2,1, , 0 . 例 1 在 一 汽 车 工 厂 中 ， 一 辆 汽 车 有 两 道 工 序 是 由 机 器 人 完 成 的 。其 一 是 紧 固 3只 螺 栓 ， 其 二 是 焊 接 2处 焊 点 。 以 X表 示 由 机 器 人紧 固 的 螺 栓 紧 固 得 不 良 的 数 目 ， 以 Y表 示 由 机 器 人 焊 接 的 不 良焊 点 的 数 目 。 具 积 累 的 资 料 知 (X,Y)具 有 分 布 律 ： XY 0 1 2 3 PY=j012 0.840 0.030 0.020 0.0100.060 0.010 0.008 0.0020.010 0.005 0.004 0.001 0.9000.0800.020PX=i 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000 求 在 X=1的 条 件 下 ， Y的 条 件 分 布 律 ； 求 在 Y=0的 条 件 下 ， X的条 件 分 布 律 。 解 在 X=1的 条 件 下 ， Y的 分 布 律 为在 Y=0的 条 件 下 ， X的 分 布 律 为 1, 0 0.030 6 0 1 1 0.045 9 1, 1 0.010 2 1 1 1 0.045 9 1, 2 0.005 1 2 1 1 0.045 9 0, 0 0.840 84 0 0 0 0.900 90 1, 0 0.030 1 0 0 0.900P X YP Y X P XP X YP Y X P XP X YP Y X P XP X YP X Y P YP X YP X Y P Y 390 2, 0 0.020 2 2 0 0 0.900 90 3, 0 0.010 1 3 0 0 0.900 90P X YP X Y P YP X YP X Y P Y 例 一 射 手 进 行 射 击 ， 击 中 目 标 的 概 率 为 p(0p1)， 射 击 直 至 击中 目 标 两 次 为 止 。 设 以 X表 示 首 次 击 中 目 标 所 进 行 的 射 击 次 数 ，以 Y表 示 总 共 进 行 的 射 击 次 数 ， 试 求 X和 Y的 联 合 分 布 律 及 条 件分 布 律 。解 由 题 意 可 知 ， X和 Y的 联 合 分 布 律 为 ,3,2,)1( , ,2,1,1 , .1,2,1;,3,2, 2211 22 11 1121 22 1 1 2222 nqpnqp nYmXPnYP mpqqqpqp qpnYmXPmXP nmnqpnYmXP nnm nnm mmmn n mn mn nn因 而 ,2,1;,2,1, , .1,2,1;,3,2,11)1( , 1122 2222 mmnmpqpqqp mXP nYmXPmXnYP nmnnqpn qp nYP nYmXPnYmXP mnmn nn于 是 得 ， 条 件 分 布 律 为 考 虑 二 维 连 续 型 随 机 变 量 的 条 件 概 率 x YYxyy Yx yy Y dxyf yxfyf dxyxfyYyxXP dyyf dxdyyxf yYyP yYyxXPyYyxXP yYyxXP yYyxXP xyyf YYXyxfYX )( ),()( ),( )( ),( , 0 ,0)( ),(),(),( 很 小 时 ， 有当 ， 则 有设 考 虑 条 件 概 率 ， 对 于 任 意， 对 于 任 意 固 定 的。 给 定密 度 为 的 边 缘 概 率关 于的 概 率 密 度 为设 二 维 连 续 型 随 机 变 量 的 条 件 概 率 y XXY XXY x YYX x YX YYXY YY dxxf yxfxyF xf yxfxyf dxyf yxfyYxXPyxF XyYdxyxf yf yxfyxf XyYyf yxf yfyyfY YXyxfYX)( ),()( )( ),()( )( ),()( )( )( ),()()( ),( 0)(,)( ),(),(),( 和类 似 地 ， 可 以 定 义 的 条 件 分 布 ， 记 为的 条 件 下为 在称 的 条 件 概 率 密 度 ， 记 为的 条 件 下为 在 ， 则 称。 若 对 于 固 定 的的 边 缘 概 率 密 度 为 关 于的 概 率 密 度 为设 二 维 随 机 变 量 返 回 设 F(x,y)及 FX(x),FY(y)分 别 是 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 分 布 函 数 及 边 缘 分 布 函 数 。 若 对 所 有 x,y有 PX x,Y y=PX xPY y则 称 随 机 变 量 X和 Y是 相 互 独 立 的 。等 价 命 题 有 F(x,y)=FX(x)FY(y) f(x,y)=fX(x)fY(y) PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj,i,j=1,2, 随 机 变 量 的 独 立 性 练 习 1 已 知 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 概 率 密 度求 ： 系 数 A； F(x,y)； P2X+3Y 6 其 它,0 0,0,),( )32( yxAeyxf yx 其 它， 故时 ，当故 ） 由（解 ,0 0,0),1)(1(),( )1)(1( 6),(0,0)2( .6 16)()(6 ),(1 3232 0 0 )32(03020 0 )32( yxeeyxF ee dxdyeyxFyxA AeeA dxdyAe dxdyyxf yxyx x y yxyx yx 9826.0716 6632)3( 630 3/)3(20 )32( 632 )32( e dydxe dxdyeYXP x yx yx yx 练 习 2 设 随 机 变 量 (X,Y)的 概 率 密 度 为其 中 G是 由 0 x 2,0 y x2围 成 的 区 域 。 求 ： 系 数 A； fX(x),fY(y)； fX|Y(x|y),fY|X(y|x)。 其 它,0 ),(,),( GyxAxyyxf 其 它其 它故 ）（解 ,0 40,32/)4(316/3)( ,0 20,32/316/3)()2( .16/3 3/16),(11 2 50 20 02 2 yyyxydxyf xxxydyxfA AxydydxAdxdyyxf yY xX xG 其 它所 以 故 由内 取 值 时 ，在因 为 仅 当 其 它所 以 故 由内 取 值 时 ，在因 为 仅 当 ,0 )20(0,/2)( ,0,2 323163)( ),()( ,0)(2,0( ,0 )40(2),4/(2)( ,2,42 )4(323163)( ),()( ,0)()4,0()3( 2424 5 xxyxyxyf xyxy xxyyf yxfxyf xfX yxyyxyxf xyyx yyxyyf yxfyxf yfY XY XXY X YX YYX Y 返 回 Z=X+Y的 分 布 dyyyzfzfZ dudyyyuf dyduyyufdydxyxf dxdyyxfzZPzFYXZ yxfYX Zz zyz zyxZ ),()( ),( ),(),( ),()( ),(),(的 概 率 密 度 为得 ， 的 分 布 函 数 为 则的 概 率 密 度 为设 二 维 随 机 变 量 Z=X+Y的 分 布 公 式 。以 上 两 个 公 式 称 为 卷 积 的 概 率 密 度 为， 则概 率 密 度 分 别 为 的 边 缘关 于相 互 独 立 时 ， 设和特 别 ， 当 dyxzfxfdxxzxfzf dyyfyzfdyyyzfzf YXZyfxf YXYXYX YXZ YXZ YX )()(),()( )()(),()( )(),( ,),( 例 1 设 X和 Y是 两 个 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ， 它 们 都 服 从 N(0,1)分布 ， 其 概 率 密 度 为求 Z=X+Y的 概 率 密 度 。 yeyf xexf yY xX ,21)( ,21)( 2/ 2/22 例 2 在 一 简 单 电 路 中 ， 两 电 阻 R1和 R2串 联 连 接 ， 设 R1， R2相 互独 立 ， 它 们 的 概 率 密 度 均 为求 总 电 阻 R=R1+R2的 概 率 密 度 。 其 它,0 100,5010)( xxxf !)1( )()1( )( 0 1nn sss dxexsGamma xs 性 质 ： 函 数 ： M=max(X,Y)与 N=min(X,Y)的 分 布 )(1)(11)( )()()(2 )(1)(1)(11 1 ,1 1)( )()()( ,)( ),min( ),max(),2,1)( , minmax 21 21 21 min 21 21 21max 21 21 21 21 21 yFxFzF yFxFzFn xFxFxF zXPzXPzXP zXzXzXP zNPzNPzF xFxFxF zXPzXPzXP zXzXzXPzMPzF XXXN XXXMnixF nXXX YXYX nXXX nn nXXX n nn niX n nn i 时 ， 有当 的 分 布 函 数 分 别 为 和则函 数 分 别 为 ， 它 们 的 分 布个 相 互 独 立 的 随 机 变 量是设 Z=X/Y的 分 布 dyyyzfyzf dudyyyuyfdyyyuyf dyduyyuyfdyduyyufy dydxyxfdydxyxf dxdyyxf zYXPzZPzF YXZ yxfYX Zz zz zyzy zyxZ ),()( ),(),( ),(),()( ),(),(),( /)(/ ),(),( 00 00 00/则 有 的 分 布 函 数 为 则率 密 度是 连 续 型 随 机 变 量 ， 概设 例 设 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立 ， 且 都 服 从 U(-1,1)， 求 X/Y的 概 率密 度 。 1,4/1 14/1)( 4/121)()(1 4/121)()(10 )(21)()()( / ,0 11,2/1)( 2 2/1010 1010 11zz zzf zydydyyzyfzfz ydydyyzyfzfz dyyzfydyyfyzfyzf YXZ xxf YX Z zXZ XZ XYXZ X ，所 以 时 ，当 时 ，当 的 概 率 密 度 函 数所 以 ， 其 它的 概 率 密 度 为与因 为解 例 设 随 机 变 量 (X,Y)的 概 率 密 度 为求 随 机 变 量 Z=X-Y的 密 度 函 数 其 它,0 0,10,3),( xyxxyxf 例 设 随 机 变 量 X和 Y相 互 独 立 ， 且 都 服 从 N(0,1)， 令Z=X+Y,W=X-Y， 求 (Z,W)的 密 度 函 数 。 返 回 参 见 书 P102 本 章 小 结 返 回 习 题 返 回书 P104