非线性系统的分析方法

-M - + Gc(s) R(s) C(s) G 0(s) +M f(e) e k 第 七 章 非 线 性 系 统 分 析 目 的 掌 握 非 线 性 控 制 系 统 的 初 步 分 析 方 法内 容作 相 平 面 图相 平 面 分 析 法 7.1非 线 性 控 制 系 统 概 述1.本 质 非 线 性 特 性 的 基 本 特 征l不 满 足 叠 加 定 理l不 能 采 用 线 性 化 方 法 处 理 问 题l稳 定 性 问 题 不 仅 与 自 身 结 构 参 数 ， 且 与 输 入 ， 初 条 件 有 关 ， 平 衡 点 可 能 不 唯 一l自 持 振 荡 问 题 非 线 性 系 统 特 有 的 运 动 形 式 典 型 非 线 性 环 节 饱 和 死 区 (不 灵 敏 区 ) 间 隙 继 电 特 性MM -M - + Gc(s) R(s) C(s) G 0(s) +M f(e) e k MM 2.典 型 的 非 线 性 特 性继 电 特 性f e M eM e( ) , 00 0 f(e) e +M -M e 0 f(e) +M 继 电 特 性 开 关 特 性 饱 和 特 性 k 0 f(e) e+M -M+e0 -e00 00 0,)( ee eee eeMkeMef -M - + Gc(s) R(s) C(s) Go(s) +M f(e) e k -M - + Gc(s) R(s) C(s) G 0(s) +M f(e) e k 死 区 （ 不 灵 敏 区 ） 死 区 特 性 0 f(e) e +e -e k 0 f(e) e +e -e -M +M 0 f(e) e +e -e k +e0 -e0 +M -M 线 性 +死 区 继 电 +死 区 饱 和 +死 区ee eekeef ,0)( ee ee eeMMef ,0 ,)( 0 00,0 ,)( ee eee ee eeMkeMef 间 隙 特 性 -e0 +e0 0 f(e) e +e -e k +M -M 0 f(e) e +e -e -M +M 0 f(e) e 饱 和 间 隙 继 电 间 隙 齿 轮 间 隙当 输 入 量 的 变 化 方 向 改 变 时 ， 输 出 量 保 持 不 变 ， 一 直 到 输 入量 得 变 化 超 出 间 隙 值 典 型 非 线 性 环 节 饱 和 死 区 (不 灵 敏 区 ) 间 隙 继 电 特 性MM 稳 态 误 差 ess 饱 和 死 区 继 电 特 性非 线 性 特 性等 效 K *对 系 统 的 影 响举 例 振 荡 性 ， s限 制 跟 踪 速 度晶 体 管 特 性 滤 除 小 幅 值 干 扰电 动 机 ， 仪 表 抑 制 系 统 发 散容 易 导 致 自 振开 关 特 性非 线 性 特 性 的 定 性 分 析 1） 小 扰 动 线 性 化 2） 非 线 性 系 统 研 究 方 法 3） 仿 真 方 法 全 数 字 仿 真 半 实 物 仿 真 相 平 面 法 描 述 函 数 法 研 究 自 持 振 荡反 馈 线 性 化 法微 分 几 何 方 法非 线 性 控 制 系 统 的 分 析 方 法 7.2 相 平 面 分 析 法1.相 平 面 与 相 平 面 图 (相 轨 迹 )x f x x ( , ) 0二 阶 微 分 方 程 系 统 变 量 x x x x 0 相 平 面 相 轨 迹系 统 变 量 及 其 导 数 随 时 间 变 化在 相 平 面 上 描 绘 出 来 的 轨 迹 。 例 ： 一 阶 线 性 系 统画 出 其 相 平 面 图x ax x b 0 0,解 ： x x b 0 a0 2.相 轨 迹 作 图解 析 法 作 图 （ 适 用 方 程 不 显 含 ）xx f x ( ) 0 dxxfxdx )( 相 轨 迹 方 程 例 ： 二 阶 系 统 如 下 ， 试 绘 制 其 相 平 面 图x x 02 0解 ： xxf 20)( x d x x dx 02 22202 cxx 得 椭 圆 方 程 x 相 平 面 x 0 等 倾 线 法 作 图 x f x x ( , ) 0 x xxfdxxd ),(相 轨 迹 的 斜 率 方 程 则 0),( xxfx相 轨 迹 的 等 倾 线 方 程思 路 ： 以 切 线 代 替 曲 线 x f x x ( , ) 如 何 画 出 所 有 相 轨 迹 ？Ax f x x ( , ) x f x x ( , )给 定 一 个 斜 率 值 ， 由 等 倾 线 方 程 ， 便 可 以在 相 平 面 上 画 一 条 线 ， 在 这 条 线 上 的 所 有 的点 的 切 线 的 斜 率 是 相 同 的 ， 均 为 ， 因 此 该线 称 为 等 倾 线 。 改 变 的 值 ， 便 可 以 作 出 若干 条 等 倾 线 充 满 整 个 相 平 面 。 例 7-1： 二 阶 线 性 定 常 系 统试 用 等 倾 线 法 作 该 系 统 的 相 平 面 图 。 0 xxx解 ： xxxxf ),( x xxx xxf ),(等 倾 线 方 程 为 x x 11 -1 -2 -3 0 1 2等 倾 线 斜 率 1 1/2 -1 -1/2 -1/3x x 11 xx1 20 = -2 -3 -5 x 3 1 0 -3/4 -1/2 -3/7 -5/4 -3/2 -5/3 -1/3 1/3 - -1 x 3.相 轨 迹 的 运 动 特 性相 轨 迹 的 运 动 方 向 x x 0 左 行 右 行 增 幅 、 恒 速 增 幅 、 增 速 增 幅 、 减 速 增 幅 、 恒 速 减 幅 、 增 速 减 幅 、 减 速 垂 直 穿 越 上 半 平 面 的 相 轨 迹右 行 ； 下 半 平 面 的 相 轨 迹左 行 ；过 实 轴 相 轨 迹 斜 率为 。 x xxf ),( 相 轨 迹 的 对 称 性 x x 0 x 轴 对 称f x x f x x( , ) ( , ) 若则 相 轨 迹 对 称 于 x 轴 轴 对 称x若 ),(),( xxfxxf x x 0 则 相 轨 迹 对 称 于 轴x 原 点 对 称 x x0f x x f x x( , ) ( , ) 若则 相 轨 迹 对 称 于 原 点 相 平 面 x 0 0/x x x 0 相 平 面 (0,-10) (0,10) 4. 相 轨 迹 的 奇 点定 义 ： 二 阶 系 统 在 相 平 面 上 满 足 的 点x f x x ( , ) 0 0),( 0 xxf x 在 奇 点 上 相 轨 迹 的 斜 率 不 定 ， 为 00),( x xxfdxxd由 奇 点 可 以 引 出 不 止 一 条 相 轨 迹 5. 奇 点 邻 域 的 运 动 性 质 趋 于 奇 点远 离 奇 点包 围 奇 点例 ： 二 阶 线 性 定 常 系 统x x x n n 2 02 试 分 析 其 奇 点 运 动 性 质 。 dx/dt x 稳 定 节 点 1 x x xn n 2 02 dx/dt x 稳 定 节 点 相 轨 迹 趋 于 原 点 ， 该 奇 点 称 为稳 定 节 点 s平 面 s 1 j s1 s2 0 x x xn n 2 02 1 dx/dt x 不 稳 定 节 点 相 轨 迹 远 离 原 点 ， 该 奇 点 为不 稳 定 节 点 x x xn n 2 02 0 1 dx/dt x 稳 定 焦 点 相 轨 迹 振 荡 趋 于 原 点 ， 该 奇 点 为稳 定 焦 点 0 1 s1 s2 x x xn n 2 02 1 0 相 轨 迹 振 荡 远 离 原 点 ， 为不 稳 定 焦 点 dx/dt x 不 稳 定 焦 点 0 II 区 :e0 II 区 :e0 e =0 -KM 2.给 定 初 值 作 相 轨 迹( , )0 0e3.系 统 性 能 分 析 =0 KM e0 A B Mp 运 动 是 分 区 的 组 合 ，为 翻 转 条 件 ， 运 动 连 续 ， 有振 荡 0e 补 充 ： 描 述 函 数 法 f(e) e - + R(s) C(s) +M -M G0(s) 本 质 非 线 性 固 有 特 性 1. 描 述 函 数 的 定 义前 提 ： G 0(s) 若 为 奇 函 数 ， 则基 波 分 量 y f x ( )x t X t( ) sin y t A A n t B n tn n n( ) ( cos sin ) 0 1 )(ty A0 0A y t n t d tn 1 02 ( )cos ( ) B y t n t d tn 1 02 ( )sin ( )y Y1 1 1 Y A B1 12 12 111 arctan BA 非 线 性 环 节输 入输 出 信 号 为 周 期 非 正 弦 信 号 ， 展 开 付 氏 级 数 111212111111 tan0)( )()( BAX BAXYXYtx tyN 定 义 ： 输 出 信 号 的 基 波 分 量 与 输 入 正 弦 信 号 之 比 ， 为 非 线 性 环 节 的 描 述 函 数 。 说 明 : 1)以 幅 值 与 相 位 变 化 来 描 述 ， 类 似 频 率 特 性 。 2)略 去 高 频 信 号 ， 只 考 虑 基 频 ， 因 此 不 同 于 线 性 系 统 的 频 率 特 性 。 2. 非 线 性 环 节 的 描 述 函 数继 电 特 性 x y +M -M t y(t) +M -M t x(t) y x MM xx( ) , 00N X YX MX( ) 1 1 4 描 述 函 数 t y(t) +M -M a1 a1 t x(t) x y +M -M -a k a 饱 和 特 性y x MkxM x aa x ax a( ) , 描 述 函 数 N X k aX aX aX X a( ) arcsin ( ) , 2 1 2 2. 非 线 性 系 统 的 描 述 函 数 分 析 本 质 非 线 性 特 性 f(e) e - + R(s) C(s) +M -M G0(s) 固 有 特 性 - + R(s) 描 述 函 数 C(s) G0(s) 固 有 特 性 N(X) 闭 环 频 率 特 性C jR j N X G jN X G jo o( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1闭 环 特 征 方 程1 0 N X G j o( ) ( )G j N Xo( ) ( ) 1 非 线 性 系 统 的 稳 定 性 描 述 当 曲 线 不 包 围 曲 线 时 ，该 非 线 性 系 统 是 稳 定 的 。 G jo( ) )(1XN X 0 Re Im G(j) )(1XN 当 曲 线 包 围 曲 线 时 ，该 非 线 性 系 统 不 稳 定 。 G jo( ) )(1XN X 0 Re Im G(j) )(1XN 当 曲 线 与 曲 线 相交 时 ， 系 统 可 能 是 稳 定 的 、 发 散 的 ， 或者 是 自 持 振 荡 的 a X 0 Re Im )(1XN G(j) 振 荡 幅 值 =Xa 振 荡 频 率 =a 自 持 振 荡 点 a G jo( ) )(1XN 例 ： 已 知 死 区 继 电 非 线 性 系 统 如 图继 电 参 数 ： 死 区 参 数 ：应 用 描 述 函 数 法 作 系 统 分 析 。 - + R(s) C(s) )1005.0)(101.0)( 460 jjj +M -M - M 17. 7.0解 ： 1. 死 去 继 电 特 性 的 描 述 函 数N X MX X( ) ( ) 4 1 2 2. 绘 制 描 述 函 数 的 负 倒 数 特 性 1 4 1 2N X XM X( ) ( ) 3. 绘 制 线 性 部 分 的 极 坐 标 图4. 判 断 稳 定 性 ， 分 析 两 曲 线 相 交 点 的 性 质 G(j) 120 X X Im Re )(1XN 140 300 400 130 A B -1.56 -0.5 -1 -0.646 0 3.3716.0 BAXX BBX 14033.