《方差分析法》PPT课件

方 差 分 析 解 决 的 主 要 问 题 是 什 么 ？单 因 素 方 差 分 析 与 双 因 素 方 差 分 析 原 理 的 相 同 点 与 不 同 点 ？第 六 章 方 差 分 析 法 ANOVA ANOVA由 英 国 统 计 学 家R.A.Fisher首 创 ， 为 纪念 Fisher， 以 F命 名 ，故 方 差 分 析 又 称 F 检验 （ F test） 。 用 于推 断 多 个 总 体 均 值 有 无差 异 方 差 分 析 的 来 源 例 题 某 公 司 计 划 引 进 一 条 生 产 线 ， 为 了 选 择 一 条 质 量 优良 的 生 产 线 以 减 少 日 后 的 维 修 问 题 ， 他 们 对 6种 型号 的 生 产 线 作 了 初 步 调 查 ， 得 到 每 个 型 号 的 生 产 线上 个 月 维 修 的 小 时 数 ， 每 种 型 号 调 查 4条 ， 结 果 列于 表 6-1。 试 问 由 此 结 果 能 否 判 定 由 于 生 产 线 型 号不 同 而 造 成 它 们 在 维 修 时 间 方 面 有 显 著 差 异 ? 引 言 ： 方 差 分 析 的 基 本 概 念 和 原 理 表 6 1 对 6种 型 号 生 产 线 维 修 时 数 的 调 查 结 果 序 号型 号 1 2 3 4A型 9.5 8.8 11.4 7.8B型 4.3 7.8 3.2 6.5C型 6.5 8.3 8.6 8.2D型 6.1 7.3 4.2 4.1E型 10.0 4.8 5.4 9.6F型 9.3 8.7 7.2 10.1 研 究 的 指 标 :维 修 时 间 记 作 Y,控 制 因 素 是 生 产 线 的 型 号 ,分 为 6个 水 平 即 A,B,C,D,E,F， 每 个 水 平 对 应 一 个 总 体 Yi(i=1,2,6)。 ),( 2NY引 言 ： 方 差 分 析 的 基 本 概 念 和 原 理 现 在 的 试 验 就 是 进 行 调 查 ,每 种 型 号 调 查 4台 ,相 当 于每 个 总 体 中 抽 取 一 个 容 量 为 4的 样 本 ,得 到 的 数 据 记 作 yij (i=1,2,6; j=1,2,3,4),即 为 下 表 数 据 。计 算 各 样 本 平 均 数 如 下 :iy型 号 A B C D E F9.4 5.5 7.9 5.4 7.5 8.8 iy 表 6 2 引 言 ： 方 差 分 析 的 基 本 概 念 和 原 理 两 个 总 体 平 均 值 比 较 的 检 验 法把 样 本 平 均 数 两 两 组 成 对 :与 , 与 , 与 , 与 , 与 ,共 有( 15)对 。 1y 2y 1y 3y 1y 6y 2y 3y 5y 6y26C引 言 方 差 分 析 的 基 本 概 念 和 原 理 即 使 每 对 都 进 行 了 比 较 ,并 且 都 以 0.95的 置 信 度 得出 每 对 均 值 都 相 等 的 结 论 ,但 是 由 此 要 得 出 这 6个 型号 的 维 修 时 间 的 均 值 都 相等 。 这 一 结 论 的 置 信 度 仅是 上述方法存在的问题 工 作 量 大置 信 度 低 将 这 15对 平 均 数 一 一进 行 比 较 检 验 4632.0)95.0( 15 引 言 方 差 分 析 的 基 本 概 念 和 原 理 对 试 验 进 行 多 次 测 量 所 得 到 的 一 组 数 据 x1， x2， xn，由 于 受 到 各 种 因 素 的 影 响 ， 各 个 测 量 值 通 常 都 是 参 差 不 齐的 ， 它 们 之 间 的 差 异 称 为 误 差 。由 于 试 验 条 件的 改 变 试 验 误 差 反 映 了 测 试 结 果的 精 密 度 随 机 因 素 引 起 系 统 误 差 反 映 测 试 条 件 对测 试 结 果 的 影 响 方 差 分 析 的 基 本 原 理 ：(1)将 数 据 总 的 偏 差 平 方 和 按 照 产 生 的 原 因 分 解 成 ：(总 的 偏 差 平 方 和 )=(由 因 素 水 平 引 起 的 偏 差 平 方 和 )+(随 机 误 差 平 方 和 )(2)上 式 右 边 两 个 平 方 和 的 相 对 大 小 可 以 说 明 因 素 的 不同 水 平 是 否 使 得 各 型 号 的 平 均 维 修 时 间 产 生 显 著 性 差异 ,为 此 需 要 进 行 适 当 的 统 计 假 设 检 验 .如 何 从 数 据 中 分 离 出 两 者 的 大 小 ？ -方 差 分 析引 言 ： 方 差 分 析 的 基 本 概 念 和 原 理 方 差 分 析 的 几 个 名 词 什 么 是 方 差 ？ 离 均 差 离 均 差 平 方 和 SS 方 差 （ 2 S2 ） =均 方 （ MS） 标 准 差 ： S 自 由 度 ： f 关 系 ： MS= SS/ f 方 差 分 析 的 含 义 方 差 是 描 述 变 异 的 一 种 指 标 ， 方 差 分 析 是 一 种 假设 检 验 的 方 法 。 方 差 分 析 也 就 是 对 变 异 的 分 析 。是 对 总 变 异 进 行 分 析 ， 看 总 变 异 是 由 哪 些 部 分 组成 的 ， 以 及 这 些 部 分 间 的 关 系 如 何 。 结 合 单 因 素 实 验 介 绍 方 差 分 析 的 有 关 原 理 。 在 单 因 素 试 验 中 ,为 了 考 察 因 素 A的 k个 水 平 A1,A2,Ak对 Y的 影 响 ,设 想 在 固 定 的 条 件 Ai下 作 试 验 .所 有 可 能的 试 验 结 果 组 成 一 个 总 体 Yi,它 是 一 个 随 机 变 量 .可 以把 它 分 解 为 两 部 分 （ 6-1） i=1， ,k， 因 素 的 水 平 数 。 i i iY 6.1单 因 素 方 差 分 析 的 数 学 模 型 和 数 据 结 构 其 中 ： 纯 属 Ai作 用 的 结 果 ,称 为 在 Ai水 平 条 件 下 Yi 的 真 值(也 称 为 在 Ai条 件 下 Yi的 理 论 平 均 ). 是 实 验 误 差 (也 称 为 随机 误 差 )。 （ 6-2）其 中 , 和 都 是 未 知 参 数 (i=1,2,k).i i ),0( 2 Ni ),( 2 ii NYi 2 假 定 在 水 平 Ai下 重 复 做 m次 试 验 ,得 到 观 测 值 imii YYY ,., 211 2 j m 合 计 平 均A1 Y11 Y12 Y1j Y1m T1A2 Y21 Y22 Y2j Y2m T2 A i Yi1 Yi2 Yij Yim Ti Ak Yk1 Yk2 Ykj Ykm Tk 1Y2Y iYkY表 6 3 6.1 数 学 模 型 和 数 据 结 构 表 中 ： (i=1,2,k) (6-3) Yij表 示 在 Ai条 件 下 第 j次 试 验 的 结 果 ,用 式 子 表 示 就 是 (i=1,2,k j=1,2,m) (6-4)注 意 :每 次 试 验 结 果 只 能 得 到 Y ij,而 (6-4)式 中 的 和 都不 能 直 接 观 测 到 。 mj iji YmY 11 ijiijY i ij 6.1 数 学 模 型 和 数 据 结 构 为 了 便 于 比 较 和 分 析 因 素 A的 水 平 Ai对 指 标 影 响的 大 小 ,通 常 把 再 分 解 为 (i=1,2,k) (6-5)其 中 , 称 为 一 般 平 均 (Grand Mean),它 是 比较 作 用 大 小 的 一 个 基 点 （ 总 体 的 平 均 值 ） ；iii ki ik 11 6.1 数 学 模 型 和 数 据 结 构 并 且 称 为 第 i个 水 平 Ai的 效 应 .它 表 示 水 平 的 真 值 比 一 般中 等 水 平 差 多 少 。 满 足 约 束 条 件 (6-6)可 得 ii 021 k ; ijiijY 0 ii=1,2,k ;j=1,2,m 6.1 数 学 模 型 和 数 据 结 构 要解决的问题 找 出 参 数和 的 估 计 量分 析 观 测 值 的 偏 差 k ,., 212检 验 各 水 平 效 应有 无 显 著 差 异 k ,., 216.1 数 学 模 型 和 数 据 结 构 用 最 小 二 乘 法 求 参 数 的 估 计 量 ,然 后寻 求 的 无 偏 估 计 量 .须 使 参 数 的 估 计 值 能 使 在 水 平 Ai下 求得 的 观 测 值 Yij与 真 值 之 间 的 偏 差 尽 可 能 小 。为 满 足 此 要 求 ,一 般 考 虑 用 最 小 偏 差 平 方 和 原 则 ,也 就 是 使 观 测 值 与 真 值 的 偏 差 平 方 和 达 到 最 小 .k ,., 212 k ,., 21 i参 数 点 估 计 由 (6-4)可 知 ,上 述 偏 差 平 方 和令 下 列 各 偏 导 数 为 零 221 1 2 )()( iijiijki mj ij YYS ,0 S 0 iS (i=1,2,k) 参 数 点 估 计 由 解 得 (6-7)由 解 得 (6-8) 0)(2 iijYS YYkm ij 1 0)(2 1 imj iji YS YYYm imj iji 11 参 数 点 估 计 并 由 此 得 的 估 计 量至 此 ,求 得 参 数 的 估 计 量 (6-9)iii Y i ii , Y , YY ii ii Y 参 数 点 估 计 按 照 上 述 原 则 求 参 数 估 计 量 的 方 法 称 为 最 小 二乘 法 , 称 为 最 小 二 乘 估 计 量 .我 们 还 可 以 证 明 分 别 是 参 数 的 无偏 估 计 量 。将 和 分 别 用 它 们 的 估 计 量 代 替 ,可 以 得 到 试验 误 差 的 估 计 量 , (6-10)ii , ii , ii , i ij ije iijij YYe 参 数 点 估 计 为 了 由 观 测 值 的 偏 差 中 分 析 出 各 水 平 的 效 应 ,我 们研 究 三 种 偏 差 : , 和 .根 据 前 面 参 数 估 计 的 讨 论 ,它 们 分 别 表 示 , 分 解 定 理 （ 教 材 中 “ 加 法 定 理 ” ） (6-11)YYij YYi iij YY ijY i ij 21 12121 1 )()()( ki mj iijki iki mj ij YYYYmYY 的 估 计 .和 6.2 分 解 定 理 自 由 度 )()( iijiij YYYYYY 222 )()(2)()( iijiijiiij YYYYYYYYYY 211 1 2 )()( YYmYY ki iki mj i 证 明 ： 0)( 1 imj ij YY 6.2 分 解 定 理 自 由 度组 间 变 差 组 内 变 差总 偏 差 误 差 公 理 令则 分 解 定 理 (6-11)可 写 成 (6-12)2)( YYS ijT 2)( YYmS iA 2( )iE ijS Y Y EAT SSS 6.2 分 解 定 理 自 由 度 总 差 平 方 和变 差 平 方 和残 差 平 方 和 上 式 中 , 称 为 总 偏 差 平 方 和 . 称 为 误 差 平 方 和 (或 组 内平 方 和 ); 称 为 因 素 A的 效 应 平 方 和 (或 组 间 平 方 和 ), ST的 自 由 度 fT=km-1 SA的 自 由 度 fA=k-1 SE的 自 由 度 fE=k(m-1)容 易 看 出 ， 自 由 度 之 间 也 有 类 似 于 分 解 定 理 （ 加 法定 理 ） 的 关 系 (6-13)TS ESAS EAT fff 6.2 分 解 定 理 自 由 度 参 数假 设检 验的 假设 条件 观 测 值 (i=1,2,.,k;j=1,2,.,m)相 互 独 立在 水 平 Ai条 件 下 , Yij(j=1,2,.,m)服 从 正 态 分 布 N ),( 2i6.3 显 著 性 检 验 要 判 断 在 因 素 A的 k个 水 平 条 件 下 真 值 之 间 是 否有 显 著 性 差 异 ,即 检 验 假 设 H0: , H1: 不 全 相 等相 当 于 检 验 假 设 H0 : (i=1,2, ,k) , H1 : i不 全 为 零k 21 0 i 可 以 证 明 当 H0为 真 时 , , , (6-16)并 且 与 相 互 独 立 .得 (6-17) 其 中 和 称 为 均 方 (Mean Square).)1( 22 kmST ),1( 22 kSA )1( 22 mkSE 2AS 2ES )1(,1()1(/ )1/()1(/ )1/( 22 mkkFmkS kSmkS kSF EAEAA )1/(kSA )1(/ mkSE 6.3 显 著 性 检 验 2)( YYS ijT 2)( YYmS iA 2( )iE ijS Y Y 变 差 平 方 和 /变 差 自 由 度残 差 平 方 和 /残 差 自 由 度 利 用 (6-17)式 来 检 验 原 假 设 H0是 否 成 立 .对 于 给 定 的 显 著 水平 ,可 以 从 F分 布 表 查 出 临 界 值 再 根 据 样 本 观 测值 算 出 FA的 值 .当 时 ,拒 绝 H0,当 时 ,接 受 H0。即 ： 如 果 H0成 立 ， F应 等 于 1； 相 反 应 大 于 1， 而 且 因 素 的 影 响 越 大 ，F值 也 越 大 ),1(,1( mkkF)1(,1( mkkFFA )1(,1( mkkFFA 6.3 显 著 性 检 验 FF0.01， 影 响 特 别 显 著 ， “ *” F0.01FF0.05， 影 响 显 著 ， “ * ” F0.05FF0.1 ， 一 定 影 响 ， “ * ” F0.1F， 影 响 不 大 或 没 影 响 ， “ ” 方 差 来 源 平 方 和 自 由 度 均 方 F比组 间 (因 素 A) SA k-1 SA/(k-1)组 内 (实 验 误 差 ) SE k(m-1) SE k(m-1)总 和 ST=SA+SE km-1 - )1(/ 1/ mkS kSF E AA表 6 4 方 差 分 析 表方 差 分 析 表 下 面 继 续 讨 论 前 面 6种 型 号 的 生 产 线 的 例 子 。 根 据调 查 结 果 ， 在 =0.05的 显 著 水 平 时 ， 检 验 这 6种 型 号 的生 产 线 在 平 均 维 修 时 间 方 面 有 无 显 著 差 异 ？根 据 实 践 经 验 ， 认 为 各 种 型 号 生 产 线 的 维 修 时 间是 近 似 服 从 正 态 分 布 的 。作 统 计 假 设 ： 6种 型 号 的 生 产 线 平 均 维 修 时 数 无 显著 差 异 ， 即 H 0： i=0（ i=1,2,6） ,H1:i不 全 为 零 计 算 SA及 SE 2 22 11 ( ) k ik iA ii T TS m Y Y m km 22 2 11 1 1 1( ) k ik m k m iE ij i iji j i j TS Y Y Y m mj iji YT 11 1 1m k mj ijj i jT T Y 6.3 显 著 性 检 验 表 8 5 计 算 列 表 台 号型 号 1 2 3 4 Ti Ti2A型 9.5 8.8 11.4 7.8 37.5 1406.25 358.49B型 4.3 7.8 3.2 6.5 21.8 475.24 131.82C型 6.5 8.3 8.6 8.2 31.6 998.56 252.34D型 6.1 7.3 4.2 4.1 21.7 470.89 124.95E型 10.0 4.8 5.4 9.6 29.8 888.04 244.36F型 9.3 8.7 7.2 10.1 35.3 1246.09 316.03mj ijY1 27.177 iT 07.54852 iT 99.14272 ijY 6.3 显 著 性 检 验 再 将 计 算 结 果 分 别 代 入 SA与 SE两 式 中 ， 得 到第 一 自 由 度 第 二 自 由 度 55.5546 7.1774 07.5485 222 kmTmTS iA 72.564 07.548599.142722 mTYS iijE 5161 kf A 1836)1( mkfE 6.3 显 著 性 检 验 查 F分 布 表 得由 于 ， 故 拒 绝 H0。该 结 论 说 明 ， 至 少 有 一 种 生 产 线 型 号 的 效 应 不 为 零 ，这 等 价 于 至 少 有 两 种 型 号 的 生 产 线 的 平 均 维 修 时 数 是 有显 著 差 异 的 。 77.2)18,5(05.0 F77.253.3 AF 方 差 来 源 平 方 和 自 由 度 均 方 F比组 间 SA 55.55 5 11.11组 内 SE 56.72 18 3.15总 和 ST 112.27 23 - 53.315.3 11.11 AF表 6 6 方 差 分 析 表6.3 显 著 性 检 验 双 因 素 方 差 分 析 的 类 型数 据 结 构离 差 平 方 和 的 分 解应 用 实 例6.4 双 因 素 方 差 分 析 在 实 际 问 题 的 研 究 中 ， 有 时 需 要 考 虑 两 个 因 素 对 实 验结 果 的 影 响 。例 如 饮 料 销 售 ， 除 了 关 心 饮 料 颜 色 之 外 ， 我 们 还 想 了解 销 售 地 区 是 否 影 响 销 售 量 ， 如 果 在 不 同 的 地 区 ， 销 售 量存 在 显 著 的 差 异 ， 就 需 要 分 析 原 因 。 采 用 不 同 的 销 售 策 略 ，使 该 饮 料 品 牌 在 市 场 占 有 率 高 的 地 区 继 续 深 入 人 心 ， 保 持领 先 地 位 ； 在 市 场 占 有 率 低 的 地 区 ， 进 一 步 扩 大 宣 传 ， 让更 多 的 消 费 者 了 解 、 接 受 该 生 产 线 。6.4.1 双 因 素 方 差 分 析 的 类 型 若 把 饮 料 的 颜 色 看 作 影 响 销 售 量 的 因 素 A， 饮 料的 销 售 地 区 则 是 影 响 因 素 B。 对 因 素 A和 因 素 B同 时 进行 分 析 ， 就 属 于 。双 因 素 方 差 分 析 的 内 容 ， 是 对 影 响 因 素 进 行 检验 ， 究 竟 是 一 个 因 素 在 起 作 用 ， 还 是 两 个 因 素 都 起作 用 ， 或 是 两 个 因 素 的 影 响 都 不 显 著 。6.4.1 双 因 素 方 差 分 析 的 类 型 双 因素 方差 分析 的类 型 无 交 互 作 用 的双 因 素 方 差 分 析 有 交 互 作 用 的双 因 素 方 差 分 析 假 定 因 素 A和 因 素B的 效 应 之 间 是 相互 独 立 的 ， 不 存 在相 互 关 系 假 定 因 素 A和 因 素 B的 结 合 会 产 生 出 一种 新 的 效 应 6.4.1 双 因 素 方 差 分 析 的 类 型 例 如 ，若 假 定 不 同 地 区 的 消 费 者 对 某 种 颜 色 有 与 其 他地 区 消 费 者 不 同 的 特 殊 偏 爱 ， 这 就 是 两 个 因 素 结 合后 产 生 的 新 效 应 ， 属 于 有 交 互 作 用 的 背 景 ；否 则 ， 就 是 无 交 互 作 用 的 背 景 。 有 交 互 作 用 的双 因 素 方 差 分 析 不 讲 授 ， 有 兴 趣 的 同 学 可 自 查 资 料自 学 。 6.4.1 双 因 素 方 差 分 析 的 类 型 双 因 素 方 差 分 析 的 数 据 结 构 如 表 所 示 ： 双 因 素 方 差 分 析 数 据 结 构因 素 AA1 A2 Ar因素 B B1 X11 X12 X1rB2 X21 X22 X2r B k Xk1 Xk2 Xkr iX1x2xkxjX 1x 2x rx x表 6 7 6.4.2 数 据 结 构 表 中 ， 因 素 A位 于 列 的 位 置 ， 共 有 r个 水 平 ， 代 表第 j种 水 平 的 样 本 平 均 数 ； 因 素 B位 于 行 的 位 置 ， 共 有 k个 水 平 ， 代 表 第 i种 水 平 的 样 本 平 均 数 。 为 样 本 总 平均 数 ， 样 本 容 量 n=r k。每 一 个 观 察 值 Xij看 作 由 A因 素 的 r个 水 平 和 B因 素的 k个 水 平 所 组 合 成 的 r k个 总 体 中 抽 取 样 本 容 量 为 1的 独 立 随 机 样 本 。 这 r k个 总 体 的 每 一 个 总 体 均 服 从正 态 分 布 ， 且 有 相 同 的 方 差 。 这 是 进 行 双 因 素 方 差 分析 的 假 定 条 件 。 jxix x6.4.2 数 据 结 构 22 22( )( ) ( )( ) ( )ij jji iSST x xSSA x x k x xSSB x x r x xSSE SST SSA SSB 6.4.3 离 差 平 方 和 的 分 解 各 离 差 平 方 和 对 应 的 自 由 度 ：总 离 差 平 方 和 SST的 自 由 度 为 r k-1=n-1；因 素 A的 离 差 平 方 和 SSA的 自 由 度 为 r-1；因 素 B的 离 差 平 方 和 的 自 由 度 为 k-1；随 机 误 差 SSE的 自 由 度 为 （ r-1） （ k-1）6.4.3 离 差 平 方 和 的 分 解 由 离 差 平 方 和 与 自 由 度 可 以 计 算 均 方 差 ：对 因 素 A而 言 ： 对 因 素 B而 言 ： 对 随 机 变 量 而 言 ： 1 rSSAMSA 1 kSSBMSB )1)(1( kr SSEMSE6.4.3 离 差 平 方 和 的 分 解 表 6 8 双 因 素 方 差 分 析 表 误 差 来源 离 差 平 方和 自 由 度 均 方 差 F值A因 素 SSA r-1 MSA=SSA/(r-1) FA=MSA/MSE 因 素 SSB k-1 MSB=SSB/(k-1) FB=MSB/MSE误 差 SSE (r-1)(k-1) MSE=SSE/(r-1)(k-1) -合 计 SST n-1 - -6.4.3 离 差 平 方 和 的 分 解 贡 献 率 分 析 某 商 品 有 五 种 不 同 的 包 装 方 式 （ 因 素 A） ， 在 五 个 不同 地 区 销 售 （ 因 素 B） ， 现 从 每 个 地 区 随 机 抽 取 一 个 规 模相 同 的 超 级 市 场 ， 得 到 该 商 品 不 同 包 装 的 销 售 资 料 如 下表 . 表 6 9现 欲 检 验 包 装 方 式 和 销 售 地 区 对 该 商 品 销 售 是 否 有 显 著性 影 响 。 （ =0.05） 包 装 方 式 (A)A1 A2 A3 A4 A5销售地区(B) B1 20 12 20 10 14B2 22 10 20 12 6B 3 24 14 18 18 10B4 16 4 8 6 18B5 26 22 16 20 10 6.4.4 应 用 实 例 解 ： 若 五 种 包 装 方 式 的 销 售 的 均 值 相 等 ， 则 表 明 不 同的 包 装 方 式 在 销 售 上 没 有 差 别 。 建 立 假 设对 因 素 A：H0： , 包 装 方 式 之 间 无 差 别H1： 不 全 相 等 , 包 装 方 式 之 间 有 差 别对 因 素 B：H 0： 地 区 之 间 无 差 别H1： 不 全 相 等 地 区 之 间 有 差 别54321 54321 , 54321 54321 , 6.4.4 应 用 实 例 计 算 F值 因 素 A的 列 均 值 分 别 为 ： 因 素 B的 行 均 值 分 别 为 ： 总 均 值 =15.04故 ： SST=（ 20-15.04） 2 +(10-15.04)2=880.96 SSA=5(21.6-15.04)2 +5(11.6-15.04)2=335.36 SSB=5(15.2-15.04)2 +5(18.8-15.04)2=199.36 SSE=880.96-335.36-199.36=346.24 6.11,2.13,4.16,4.12,6.21 54321 xxxxx 8.18,4.10,8.16,14,2.15 54321 xxxxx6.4.4 应 用 实 例 接 下 来 ：因 此 64.21)15)(15( 24.346 84.4915 36.199 84.8315 36.335 MSEMSBMSA 30.264.21 84.49 87.364.21 84.83 MSEMSBF MSEMSAF BA 6.4.4 应 用 实 例 统 计 决 策 对 于 因 素 A， 因 为 FA=3.87Fcrit =F0.05(4,16)=3.01 故 拒 绝 H0， 接 受 H1， 说 明 不 同 的 包 装 方 式 对 该 商 品 的 销 售 产 生 影 响 。 对 于 因 素 B， 因 为 FB=2.30Fcrit=3.01 故 接 受 H 0， 说 明 不 同 地 区 该 商 品 的 销 售 没 有 显 著 差 异 。 6.4.4 应 用 实 例 6.5 效 应 分 析 -最 佳 工 况 在 试 验 设 计 方 法 中 ， 采 用 比 较 显 著 因 素 水 平 效 应 的 方法 来 确 定 最 佳 工 况 YYYm imj iji 11 最 佳 工 况 除 了 考 虑 显 著 性 因素 水 平 效 应 之 外 ， 还 需 综 合考 虑 其 他 因 素 ： 如 经 济 性 、安 全 ， 等 。 方 差 分 析 是 在 数 理 统 计 的 基 础 上 建 立 起 来 的 ，只 有 满 足 其 基 本 假 设 才 能 采 用 。（ 1） 误 差 具 有 随 机 性 、 独 立 性 ， 且 正 态 分 布（ 2） 各 样 本 的 方 差 满 足 齐 性（ 3） 各 样 本 的 方 差 与 其 样 本 平 均 值 不 相 关（ 4） 效 应 满 足 线 性 可 加 性6.6 方 差 分 析 的 基 本 假 设 6.6.1 正 态 性 纯 属 Ai作 用 的 结 果 ,称 为 在 Ai水 平 条 件 下 Yi 的 真 值 (也 称 为在 Ai条 件 下 Yi的 理 论 平 均 ). 是 实 验 误 差 (也 称 为 随 机 误 差 )。 （ 6-2）方 差 分 析 中 的 平 方 和 计 算 、 F检 验 等 都 在 正 态 基 础 上 建 立 起 来 的 ， 必须 满 足 试 验 数 据 满 足 正 态 分 布 。独 立 性 ： 误 差 项 的 大 小 与 其 属 于 哪 个 样 本 无 关 ， 具 有 随 机 性 ， 它 是数 理 统 计 理 论 的 基 础 ， 必 须 满 足 。试 验 设 计 必 须 满 足 随 机 化 原 则 。i i ),0( 2 Ni ),( 2ii NY 方 差 齐 性 ： 各 样 本 的 总 体 方 差 相 等 ， 即 各 样 本 值 都 来自 等 方 差 的 同 一 个 正 态 总 体 。 用 实 际 样 本 值 估 计 总 体 方 差 常 不 相 等 ， 但 不 会 超 出 随机 因 素 的 影 响 范 围 。 正 是 由 于 它 们 不 相 等 才 用 各 样 本误 差 的 加 权 平 均 来 估 计 总 体 方 差 。 如 果 两 个 样 本 ， 一 个 来 自 大 方 差 的 总 体 ， 另 外 来 自 小方 差 的 总 体 ， 显 著 性 检 验 常 得 到 错 误 结 论 。 大 方 差 样本 易 被 判 断 为 显 著 。 失 去 方 差 齐 性 时 不 能 用 方 差 分 析 法 进 行 显 著 性 检 验 。6.6.2 方 差 齐 性 某 些 分 布 的 样 本 平 均 值 与 其 方 差 之 间 存 在 一 定 关 系 。一 般 样 本 平 均 值 范 围 较 大 时 可 能 出 现 平 均 值 与 方 差 成比 例 的 情 况 。 此 时 不 能 采 用 方 差 分 析 方 法 进 行 显 著 性检 验 。 工 程 技 术 中 ， 比 例 数 据 、 百 分 数 数 据 是 常 见 的 平 均 值与 其 方 差 相 关 的 数 据 ， 需 要 进 行 变 换 才 能 使 用 方 差 分析 法 。6.6.3 平 均 值 与 方 差 独 立 在 数 据 结 构 模 型 中 ， 总 平 均 、 效 应 与 误 差 项 之 间 具 有 线性 关 系 。方 差 分 析 方 法 是 在 该 假 设 条 件 下 完 成 的 ， 必 须 保 证 满 足 。 失 去 线 性 可 加 性 的 主 要 原 因 ： 各 因 素 之 间 存 在 交 互 作 用 ； 倍 增 效 应6.6.4 线 性 可 加 性 ;ijiijY 总 平 均 效 应 误 差 对 违 反 方 差 分 析 法 四 个 基 本 假 设 的 数 据 必 须 进 行 变 换 。（ 1） 对 数 变 换 样 本 标 准 偏 差 与 均 值 近 似 成 比 例 倍 增 效 应 的 数 据 注 意 事 项 ： 1） 不 能 对 原 始 数 据 进 行 等 差 变 换 2） 数 据 中 有 负 数 ， 不 能 使 用 对 数 变 换 3） 数 据 中 有 0 ， 不 能 使 用 对 数 变 换6.6.5 数 据 变 换 方 法 （ 2） 变 换 ： 用 于 百 分 数 数 据lg(100/x-1)为 简 化 计 算 ， 给 出 如 下 单 位 -10lg(100/x-1)=1 （ dB， 分 贝 ）6.6.5 数 据 变 换 方 法 （ 3） 累 计 频 数 法 ：6.6.5 数 据 变 换 方 法 原 始 数 据 为 优 、 良 、 中 （ 定 性 ） ， 试 验 时 对 每 一 抽 样 进 行 评 定 ，把 试 验 结 果 转 化 为 优 、 良 、 中 出 现 的 密 度 频 数 数 据 ， 进 一 步 把 密 度频 数 数 据 转 变 为 累 积 频 数 数 据 。 数 据 变 换 后 的 方 差 分 析 ： 进 行 数 据 变 换 后 ， 如 果 满 足 方 差 分 析 法 的 四 个 基 本 假设 ， 方 可 对 变 换 后 的 数 据 进 行 方 差 分 析 法 、 显 著 性 检验 和 效 应 分 析 。 特 别 是 最 佳 工 况 的 估 计 值 要 用 变 换 后的 数 据 给 出 。6.6.5 数 据 变 换 方 法 问 题 ： 研 究 某 化 学 产 品 转 化 率 的 试 验 。因 素 选 择 ： 合 成 温 度 Ai， 催 化 剂 用 量 Bj目 的 ： （ 1） 合 成 温 度 、 催 化 剂 用 量 对 转 化 率 的 影 响 （ 2） 寻 找 最 佳 工 况 （ 3） 确 定 最 佳 工 况 的 转 化 率 和 误 差 限6.7 方 差 分 析 方 法 的 应 用 因 素 水 平 的 选 择 ： 根 据 化 学 原 理 和 经 验 ， 选 择 因 素 水 平 的 范 围 。 由 于 水平 的 范 围 较 大 ， 因 此 选 择 较 多 的 因 素 水 平 数 量 。6.7 方 差 分 析 方 法 的 应 用 试 验 次 序 的 随 机 化 ： 根 据 随 机 数 确 定 试 验 次 序6.7 方 差 分 析 方 法 的 应 用 1 方 差 分 析建 立 数 据 模 型 的 结 构（ 根 据 线 性 可 加 原 理得 到 两 因 素 模 型 ） 1 方 差 分 析过 程 计 算 的 基 本 公 式总 偏 差 平 方 和样 本 间 的 变 差 平 方 和误 差 平 方 和自 由 度 1 方 差 分 析利 用 等 差 转 换 原 理 ， 去 掉 虚 拟 均 值 （ 水 平 及 误 差 波 动 的 直 流 分量 ） END