随机抽样与估计总体

第 三 十 四 讲 随 机 抽 样 与 估 计 总 体一 、 引 言 ： 本 讲 的 主 要 内 容 是 用 随 机 抽 样 的 方 法 在 总体 中 抽 取 样 本 ， 会 用 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体的 分 布 ， 并 会 用 样 本 的 特 征 来 估 计 总 体 的 分 布 . 本 讲 考 纲 要 求 为 ： 1 理 解 随 机 抽 样 的 必 要 性 和 重 要 性 会用 简 单 随 机 抽 样 方 法 从 总 体 中 抽 取 样 本 ； 了 解分 层 抽 样 和 系 统 抽 样 方 法 2 了 解 频 率 分 布 的 意 义 和 作 用 ， 会 列 频率 分 布 表 ， 会 画 频 率 分 布 直 方 图 、 频 率 折 线 图 、茎 叶 图 ， 理 解 它 们 各 自 的 特 点 3 理 解 样 本 数 据 标 准 差 的 意 义 和 作 用 ， 会计 算 数 据 标 准 差 ;能 从 样 本 数 据 中 提 取 基 本 的 数字 特 征 （ 如 平 均 数 、 标 准 差 ),并 作 出 合 理 的 解释 ； 会 用 样 本 的 频 率 分 布 估 计 总 体 分 布 ， 会 用样 本 的 基 本 数 字 特 征 估 计 总 体 的 基 本 数 字 特 征 ，理 解 用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 会 用 随 机 抽 样 的基 本 方 法 和 样 本 估 计 总 体 的 思 想 解 决 一 些 简 单的 实 际 问 题 4 变 量 的 相 关 性 ： 会 作 两 个 有 关 联 变 量 的 数据 的 散 点 图 ， 会 利 用 散 点 图 认 识 变 量 间 的 相 关关 系 ； 了 解 最 小 二 乘 法 的 思 想 ， 能 根 据 给 出 的线 性 回 归 方 程 系 数 公 式 建 立 线 性 回 归 方 程 本 讲 命 题 方 向 为 :对 本 讲 的 考 查 以 基 本 题 (中 、低 档 题 ） 为 主 ， 多 以 选 择 题 、 填 空 题 的 形 式 出现 ， 以 实 际 问 题 为 背 景 ， 综 合 考 查 学 生 学 习 基础 知 识 、 应 用 基 础 知 识 、 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ；热 点 是 随 机 抽 样 方 法 中 的 分 层 抽 样 、 系 统 抽 样方 法 、 频 率 分 布 直 方 图 和 用 样 本 的 数 字 特 征 估计 总 体 的 数 字 特 征 二 、 考 点 梳 理（ 一 ） 三 种 常 用 抽 样 方 法 ： 1 简 单 随 机 抽 样 ： 设 一 个 总 体 的 个 数 为N 如 果 通 过 逐 个 抽 取 的 方 法 从 中 抽 取 一 个样 本 ， 且 每 次 抽 取 时 各 个 个 体 被 抽 到 的 概 率相 等 ， 就 称 这 样 的 抽 样 为 简 单 随 机 抽 样 实现 简 单 随 机 抽 样 ， 常 用 抽 签 法 和 随 机 数 表 法 . （ 1） 抽 签 法 制 签 ： 先 将 总 体 中 的 所 有 个 体 编 号 （ 号码 可 以 从 1到 N） ， 并 把 号 码 写 在 形 状 、 大 小相 同 的 号 签 上 ， 号 签 可 以 用 小 球 、 卡 片 、 纸条 等 制 作 ， 然 后 将 这 些 号 签 放 在 同 一 个 箱 子里 ， 进 行 均 匀 搅 拌 ； 抽 签 ： 抽 签 时 ， 每 次 从 中 抽 出 1个 号 签 ，连 续 抽 取 m次 ； 成 样 ： 对 应 号 签 就 得 到 一 个 容 量 为 m的样 本 抽 签 法 简 便 易 行 ， 当 总 体 的 个 体 数 不多 时 ， 适 宜 采 用 这 种 方 法 （ 2） 随 机 数 表 法 编 号 ： 对 总 体 进 行 编 号 ， 保 证 位 数 一 致 ； 数 数 ： 当 随 机 地 选 定 开 始 读 数 的 数 后 ， 读数 的 方 向 可 以 向 右 ， 也 可 以 向 左 、 向 上 、 向下 等 等 在 读 数 过 程 中 ， 得 到 一 串 数 字 号 码 ，在 去 掉 其 中 不 合 要 求 和 与 前 面 重 复 的 号 码 后 ，其 中 依 次 出 现 的 号 码 可 以 看 成 是 依 次 从 总 体中 抽 取 的 各 个 个 体 的 号 码 成 样 ： 对 应 号 签 就 得 到 一 个 容 量 为 n的 样 本 . 2 系 统 抽 样 ： 当 总 体 中 的 个 数 较 多 时 ，可 将 总 体 分 成 均 衡 的 几 个 部 分 ， 然 后按 照 预 先 定 出 的 规 则 ， 从 每 一 部 分 抽取 1个 个 体 ， 得 到 所 需 要 的 样 本 ， 这 种抽 样 叫 做 系 统 抽 样 （ 也 称 为 机 械 抽样 ） . 系 统 抽 样 的 步 骤 可 概 括 为 ：（ 1） 将 总 体 中 的 个 体 编 号 采 用 随 机 的 方 式将 总 体 中 的 个 体 编 号 ；（ 2） 将 整 个 的 编 号 进 行 分 段 为 将 整 个 的 编号 进 行 分 段 ， 要 确 定 分 段 的 间 隔 当 是 整 数 时 ， ； 当 不 是 整 数 时 ，通 过 从 总 体 中 剔 除 一 些 个 体 使 剩 下 的 个 体 数N能 被 整 除 ， 这 时 ；Nk n kNn Nn n Nk n （ 3） 确 定 起 始 的 个 体 编 号 在 第 1段 用简 单 随 机 抽 样 确 定 起 始 的 个 体 编 号 ；（ 4） 抽 取 样 本 按 照 先 确 定 的 规 则（ 常 将 加 上 间 隔 ） 抽 取 样 本 ： l k, , 2 , , ( 1)l l k l k l n k l 3 分 层 抽 样 ： 当 已 知 总 体 由 差 异 明 显的 几 部 分 组 成 时 ， 常 将 总 体 分 成 几 部 分 ，然 后 按 照 各 部 分 所 占 的 比 进 行 抽 样 ， 这种 抽 样 叫 做 分 层 抽 样 ， 其 中 所 分 成 的 各部 分 叫 做 层 （ 二 ） 用 样 本 估 计 总 体1 用 样 本 的 数 字 特 征 估 计 总 体 的 数 字 特 征（ 1） 众 数 、 中 位 数 在 一 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 数 据 叫 做 这组 数 据 的 众 数 ； 将 一 组 数 据 按 照 从 大 到 小 （ 或 从 小 到 大 ）排 列 ， 处 在 中 间 位 置 上 的 一 个 数 据 （ 或 中 间 两位 数 据 的 平 均 数 ） 叫 做 这 组 数 据 的 中 位 数 (2)平 均 数 与 方 差如 果 这 n个 数 据 是 ， 那 么 叫 做 这 n个 数 据 平 均 数 ；如 果 这 n个 数 据 是 ，那 么 叫 做 这 n个 数 据 方 差 ； 同时 叫 做 这 n个 数 据 的 标 准 差 .1 2, , , nx x x 11 n iix xn 1 2, , , nx x x 2 11 ( )n iiS x xn 11 ( )n iis x xn 2 频 率 分 布 直 方 图 、 折 线 图 与 茎 叶 图样 本 中 所 有 数 据 （ 或 数 据 组 ） 的 频 数 和 样 本 容量 的 比 ， 就 是 该 数 据 的 频 率 所 有 数 据 （ 或 数据 组 ） 的 频 率 的 分 布 变 化 规 律 叫 做 频 率 分 布 ，可 以 用 频 率 分 布 直 方 图 、 折 线 图 、 茎 叶 图 来 表示 作 频 率 分 布 直 方 图 的 步 骤 ：（ 1） 求 极 差 （ 即 一 组 数 据 中 最 大 值 与 最 小 值的 差 ） ；（ 2） 决 定 组 距 与 组 数 ；（ 3） 将 数 据 分 组 ；（ 4） 列 频 率 分 布 表 ；（ 5） 画 频 率 分 布 直 方 图 注 ： 频 率 分 布 直 方 图 中 小 正 方 形 的面 积 =组 距 =频 率 频组 率距 总 体 密 度 曲 线 ： 当 样 本 容 量 足 够 大 ， 分 组 越多 ， 折 线 越 接 近 于 一 条 光 滑 的 曲 线 ， 此 光 滑 曲线 为 总 体 密 度 曲 线 折 线 图 ： 连 接 频 率 分 布 直 方 图 中 小 长 方 形 上端 中 点 ， 就 得 到 频 率 分 布 折 线 图 (三 )线 性 回 归 回 归 分 析 ： 对 于 两 个 变 量 ， 当 自 变 量 取 值 一定 时 ， 因 变 量 的 取 值 带 有 一 定 随 机 性 的 两 个 变量 之 间 的 关 系 叫 相 关 关 系 或 回 归 关 系 回 归 直 线 方 程 ： 设 与 是 具 有 相 关 关 系 的两 个 变 量 ， 且 相 应 于 n个 观 测 值 的 n个 点 大 致 分布 在 某 一 条 直 线 的 附 近 ， 就 可 以 认 为 对 的回 归 函 数 的 类 型 为 直 线 型 ： xy y a bx x y 其 中 ， 我 们 称 这 个 方 程 为 对 的 回 归 直 线 方 程 1 1 22 21 1( )( )( )n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyb x x x nx a y bx xy 三 、 典 型 例 题 选 讲题 型 1： 统 计 概 念 及 简 单 随 机 抽 样例 1（ 1） 为 调 查 参 加 运 动 会 的 1000名 运 动 员 的年 龄 情 况 ， 从 中 抽 查 了 100名 运 动 员 的 年 龄 ， 就这 个 问 题 来 说 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ） A 1000名 运 动 员 是 总 体 B 每 个 运 动 员 是 个 体 C 抽 取 的 100名 运 动 员 是 样 本 D 样 本 容 量 是 100解 ： （ 1） 这 个 问 题 我 们 研 究 的 是 运 动 员 的 年 龄情 况 ， 因 此 应 选 D （ 2） 今 用 简 单 随 机 抽 样 从 含 有 6个 个 体 的总 体 中 抽 取 一 个 容 量 为 2的 样 本 问 ： 总 体 中 的 某 一 个 体 在 第 一 次 抽 取 时 被 抽到 的 概 率 是 多 少 ? 个 体 不 是 在 第 1次 被抽 到 ， 而 是 在 第 2次 被 抽 到 的 概 率 是 多少 ? 在 整 个 抽 样 过 程 中 ， 个 体 被 抽 到的 概 率 是 多 少 ? a a a解 ： （ 2） ； ； 1 3 13 13 归 纳 小 结 ： 该 题 属 于 易 错 题 ， 一 定 要 区分 开 总 体 与 总 体 容 量 、 样 本 与 样 本 容 量 等 概念 问 题 (1)考 查 了 简 单 随 机 抽 样 的 定 义 ， 问题 ( 2 )强 调 简 单 随 机 抽 样 体 现 了 抽 样 的 客 观性 与 公 平 性 题 型 2： 系 统 抽 样例 2 一 个 总 体 中 有 100个 个 体 ， 随 机 编 号 为 0，1， 2， ， 99， 依 编 号 顺 序 平 均 分 成 10个 小组 ， 组 号 依 次 为 1， 2， 3， ， 10 现 用 系统 抽 样 方 法 抽 取 一 个 容 量 为 10的 样 本 ， 规 定如 果 在 第 1组 随 机 抽 取 的 号 码 为 m， 那 么 在 第k小 组 中 抽 取 的 号 码 个 位 数 字 与 m+k的 个 位 数字 相 同 若 m=6， 则 在 第 7组 中 抽 取 的 号 码 是_ 解 ： 此 问 题 总 体 中 个 体 的 个 数 较 多 ， 因此 采 用 系 统 抽 样 按 题 目 中 要 求 的 规 则抽 取 即 可 m=6， k=7， m+k=13， 在 第 7小 组 中 抽 取 的 号 码 是 63归 纳 小 结 ： 当 总 体 中 个 体 个 数 较 多 而 差异 又 不 大 时 可 采 用 系 统 抽 样 采 用 系 统抽 样 在 每 小 组 内 抽 取 时 应 按 规 则 进 行 题 型 3： 分 层 抽 样例 3 （ 1） （ 2008天 津 文 ） 一 个 单 位 共 有 职 工200人 ， 其 中 不 超 过 45岁 的 有 120人 ， 超 过 45岁的 有 80人 为 了 调 查 职 工 的 健 康 状 况 ， 用 分 层抽 样 的 方 法 从 全 体 职 工 中 抽 取 一 个 容 量 为 25的样 本 ， 应 抽 取 超 过 45岁 的 职 工 _人 解 ： 依 题 意 知 抽 取 超 过 45岁 的 职 工 为 25 80 10200 人 (2) （ 2009天 津 理 ） 某 学 院 的 A， B， C三个 专 业 共 有 1200名 学 生 ， 为 了 调 查 这 些 学生 勤 工 俭 学 的 情 况 ， 拟 采 用 分 层 抽 样 的 方法 抽 取 一 个 容 量 为 120的 样 本 已 知 该 学院 的 A专 业 有 380名 学 生 ， B专 业 有 420名 学生 ， 则 在 该 学 院 的 C专 业 应 抽 取 _名 学生 解 析 ： C专 业 的 学 生 有， 由 分 层 抽 样 原 理 ， 应 抽 取 名 4004203801200 40 1200400120 （ 3） （ 2007陕 西 文 ） 某 商 场 有 四 类 食 品 ， 其 中粮 食 类 、 植 物 油 类 、 动 物 性 食 品 类 及 果 蔬 类 分别 有 40种 、 10种 、 30种 、 20种 ， 现 从 中 抽 取 一个 容 量 为 20的 样 本 进 行 食 品 安 全 检 测 若 采 用分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 样 本 ， 则 抽 取 的 植 物 油 类与 果 蔬 类 食 品 种 数 之 和 是 （ ）（ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 解 （ 3） 设 抽 取 植 物 油 类 种 ， 果 蔬 类 食 品 种 ，由 分 层 抽 样 知 ， ， ， 抽 取 的 植 物 油 类 与 果 蔬 类 食 品 种 数 之 和 是 6a b20100 10 20a b 2a 4b 归 纳 小 结 ： 本 题 主 要 考 查 分 层 抽 样 的 概 念和 运 算 ， 以 及 运 用 统 计 知 识 解 决 实 际 问 题 的能 力 例 4 (2009广 东 文 )某 单 位 200名 职 工 的 年 龄 分布 情 况 如 下 图 ， 现 要 从 中 抽 取 40名 职 工 作 样本 ， 用 系 统 抽 样 法 ， 将 全 体 职 工 随 机 按 1200编 号 ， 并 按 编 号 顺 序 平 均 分 为 40组 （ 1 5号 ， 6 10号 ， ， 196 200号 ） 若 第 5组抽 出 的 号 码 为 22， 则 第 8组 抽 出 的 号 码 应 是_ 若 用 分 层 抽 样 方 法 ， 则 40岁 以 下 年 龄段 应 抽 取 _人 解 ： 由 分 组 可 知 ,抽 号 的 间 隔 为 5,又 因 为 第5组 抽 出 的 号 码 为 22， 所 以 第 6组 抽 出 的 号码 为 27， 第 7组 抽 出 的 号 码 为 32， 第 8组 抽出 的 号 码 为 37 40岁 以 下 年 龄 段 的 职 工 数 为 ,则 应 抽 取 的 人 数 为 人 200 0.5 100 40 100 20200 归 纳 小 结 ： 本 题 综 合 考 查 了 系 统 抽 样 和分 层 抽 样 ， 并 用 图 表 的 形 式 给 出 数 据 ， 考 查了 读 图 、 识 图 的 能 力 例 5 (1)(2007四 川 文 ) 某 商 场 买 来 一 车 苹 果 ，从 中 随 机 抽 取 了 10个 苹 果 ， 其 重 量 （ 单 位 ：克 ） 分 别 为 ： 150， 152， 153， 149， 148，146， 151， 150, 152， 147， 由 此 估 计 这 车 苹果 单 个 重 量 的 期 望 值 是 ( ) (A)150 2克 (B)149 8克(C)149 4克 (D)147 8克题 型 4： 数 字 特 征 解 :期 望 =150 152 153 149 148 146 151 150 152 147 149.8 10 故 选 B a (2)（ 2009四 川 卷 文 ） 设 矩 形 的 长 为 a,宽 为 b,其比 满 足 ， a:b 这 种 矩 形 给 人 以 美感 ， 称 为 黄 金 矩 形 黄 金 矩 形 常 应 用 于 工 艺 品设 计 中 下 面 是 某 工 艺 品 厂 随 机 抽 取 两 个 批 次的 初 加 工 矩 形 宽 度 与 长 度 的 比 值 样 本 ：甲 批 次 ： 0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙 批 次 ： 0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根 据 上 述 两 个 样 本 来 估 计 两 个 批 次 的 总 体 平 均数 ， 与 标 准 值 0.618比 较 ， 正 确 结 论 是 （ ） 5 1 0.6182 A 甲 批 次 的 总 体 平 均 数 与 标 准 值 更 接 近B 乙 批 次 的 总 体 平 均 数 与 标 准 值 更 接 近C 两 个 批 次 总 体 平 均 数 与 标 准 值 接 近 程度 相 同D 两 个 批 次 总 体 平 均 数 与 标 准 值 接 近 程度 不 能 确 定 解 :甲 批 次 的 平 均 数 为 0.617， 乙 批 次 的 平 均数 为 0.613,故 选 A 2s解 :甲 班 的 方 差 较 小 ， 数 据 的 平 均 值 为 7，故 方 差 2 2 2 2 2 2 (6 7) 0 0 (8 7) 0 25 5s (3)（ 2009江 苏 ） 某 校 甲 、 乙 两 个 班 级 各 有 5名编 号 为 1， 2， 3， 4， 5的 学 生 进 行 投 篮 练 习 ，每 人 投 10次 ， 投 中 的 次 数 如 下 表 ： 学 生 1号 2号 3号 4号 5号甲 班 6 7 7 8 7乙 班 6 7 6 7 9则 以 上 两 组 数 据 的 方 差 中 较 小 的 一 个 为 = 归 纳 小 结 ： 利 用 概 念 求 众 数 、 中 位 数 、 平均 值 与 方 差 ， 重 点 考 查 统 计 中 的 运 算 故 在 复习 时 要 注 意 对 计 算 能 力 的 培 养 例 6 （ ） （ 2008浙 江 理 ） 随 机 变 量 的 分 布列 如 下 表 ： 其 中 成 等 差 数 列 ， 若 则 的 值 是 _ -1 0 1p a b ca b c， ， D 1,3E 解 ： 由 题 意 得 1,2 , 1.3a b cb a cE c a 1 ,61 ,31 .2abc 2 21 1 1 1 14( 1 ) (1 ) .3 6 3 2 27D (2 ) (2009广 东 卷 理 ） 已 知 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 列 如 下 表 若 0,EX 1,DX 则 a=_,b=_ 1211 cba 061 ca 1121211 222 ca 125a 41b解 :由 题 知解 得 ， ， 归 纳 小 结 ： 考 查 分 布 列 中 的 期 望 ,方 差 的计 算 要 注 意 分 布 列 的 性 质 ： P1+P2+=1的运 用 题 型 5： 频 率 分 布 直 方 图 与 条 形 图例 7 （ 1） （ 2009湖 北 文 ） 下 图 是 样 本 容 量 为200的 频 率 分 布 直 方 图 根 据 样 本 的 频 率 分 布直 方 图 估 计 ， 样 本 数 据 落 在 (6， 10)内 的 频 数为 ， 数 据 落 在 （ 2， 10） 内 的 频 率 约为 解 :观 察 直 方 图 易 得 频 数为 200 0.08 4=64,频 率为 0.1 4=0.4 （ 2)(2009山 东 理 )某 工 厂 对 一 批 产 品 进 行 了 抽样 检 测 下 图 是 根 据 抽 样 检 测 后 的 产 品 净 重（ 单 位 ： 克 ） 数 据 绘 制 的 频 率 分 布 直 方 图 ，其 中 产 品 净 重 的 范 围 是 96， 106， 样 本 数 据分 组 为 96， 98） ， 98， 100),100， 102)，102， 104),104， 106,已 知 样 本 中 产 品 净 重小 于 100克 的 个 数 是 36， 则 样 本 中 净 重 大 于 或等 于 98克 并 且 小 于 104克 的 产 品 的 个 数是 ( ) A 90 B 75 C 60 D 45 解 :产 品 净 重 小 于 100克 的 频 率 为(0.050+0.100) 2=0.300, 已 知 样 本 中 产 品 净 重 小于 100克 的 个 数 是 36,设 样 本 容 量 为 n,则所 以 n=120,净 重 大 于 或 等 于 98克 并 且 小 于 104克的 产 品 的 频 率 为 (0.100+0.150+0.125) 2=0.75,所以 样 本 中 净 重 大 于 或 等 于 98克 并 且 小 于 104克 的产 品 的 个 数 是 120 0.75=90 故 选 A 300.036 n （ 3） （ 2007广 东 理 ） 图 是 某 县 参 加 2007年高 考 的 学 生 身 高 条 形 统 计 图 ， 从 左 到 右的 各 条 形 表 示 的 学 生 人 数 依 次 记 为 、 、 、 (如 表 示 身 高 (单 位 ： )在 150， 155)内的 学 生 人 数 ) 图 2是 统 计 图 l中 身 高 在 一 定 范围 内 学 生 人 数 的 一 个 算 法 流 程 图 现 要 统 计身 高 在 160 180 (含 160 ， 不 含 180 )的 学 生 人 数 ， 那 么 在 流 程 图 中 的 判 断 框 内 应填 写 的 条 件 是 （ ）A B C D 1A 2A mA cmcm cm 9i 8i 7i 6icm 2A 解 ： 身 高 在 160 180 之 间 的 人 数 应为 当 算 法 流 程 图 中 的 判 断 框 内 填 写 时 ， 故 选 Bcm4 5 6 7A A A A 8i 4 5 6 7s A A A A 归 纳 小 结 ： 熟 悉 频 率 、 频 数 、 组 距 间 的关 系 式 是 解 决 此 类 问 题 的 关 键 例 8 （ 2007湖 北 理 ） 在 生 产 过 程 中 ， 测 得 纤维 产 品 的 纤 度 （ 表 示 纤 维 粗 细 的 一 种 量 ） 共有 100个 数 据 ， 将 数 据 分 组 如 下 表 ：（ I） 在 答 题 卡 上 完 成 频 率 分 布 表 ， 并 在 给 定的 坐 标 系 中 画 出 频 率 分 布 直 方 图 ；（ II） 估 计 纤 度 落 在 中 的 概 率 及 纤度 小 于 1.40的 概 率 是 多 少 ？（ III） 统 计 方 法 中 ， 同 一 组 数 据 常 用 该 组 区间 的 中 点 值 （ 例 如 区 间 的 中 点 值是 ） 作 为 代 表 据 此 ， 估 计 纤 度 的 期 望 1.381.50)， 1.301.34)，1.32 解 ： （ ） 如 图 : （ ） 纤 度 落 在 中 的 概 率 约为 ， 纤 度 小 于1.40的 概 率 约 为 . 1.381.50，0.30 0.29 0.10 0.69 10.04 0.25 0.30 0.442 归 纳 小 结 ： 本 小 题 主 要 考 查 频 率 分 布 直方 图 、 概 率 、 期 望 等 概 念 和 用 样 本 频 率 估 计总 体 分 布 的 统 计 方 法 ， 考 查 运 用 概 率 统 计 知识 解 决 实 际 问 题 的 能 力 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088 （ ） 总 体 数 据 的 期 望 约 为 : 例 9 （ 2009安 徽 文 ） 某 良 种 培 育 基 地 正 在 培 育一 种 小 麦 新 品 种 A， 将 其 与 原 有 的 一 个 优 良 品 种B进 行 对 照 试 验 ， 两 种 小 麦 各 种 植 了 25亩 ， 所 得亩 产 数 据 （ 单 位 ： 千 克 ） 如 下 ：品 种 A:357， 359， 367， 368， 375， 388， 392，399， 400， 405， 412， 414， 415， 421， 423，423， 427， 430， 430， 434， 443， 445， 445，451， 454 品 种 B： 363， 371， 374， 383， 385， 386， 391，392， 394， 394， 395， 397, 397， 400， 401，401， 403， 406， 407， 410， 412， 415， 416，422， 430 题 型 7： 茎 叶 图 （ ） 完 成 所 附 的 茎 叶 图 .（ ） 用 茎 叶 图 处 理 现 有 的 数 据 ， 有 什 么 优 点 ？（ ） 通 过 观 察 茎 叶 图 ， 对 品 种 A与 B的 亩 产 量 及 其 稳 定 性 进 行 比 较 ， 写 出 统 计 结 论 解 :（ 1） 茎 叶 图 如 图 所 示A B 9 7 358 7 36 35 37 1 48 38 3 5 69 2 39 1 2 4 4 5 7 75 0 40 0 1 1 3 6 75 4 2 41 0 2 5 6 7 3 3 1 42 24 0 0 43 05 5 3 444 1 45 （ 2） 用 茎 叶 图 处 理 现 有 的 数 据 不 仅 可 以 看出 数 据 的 分 布 状 况 ,而 且 可 以 看 出 每 组 中 的 具 体数 据 （ 3） 通 过 观 察 茎 叶 图 ， 可 以 发 现 品 种 A的 平均 每 亩 产 量 为 411 1千 克 ， 品 种 B的 平 均 亩 产量 为 397 8千 克 由 此 可 知 ,品 种 A的 平 均 亩 产量 比 品 种 B的 平 均 亩 产 量 高 但 品 种 A的 亩 产量 不 够 稳 定 ， 而 品 种 B的 亩 产 量 比 较 集 中 在 平均 产 量 附 近 归 纳 小 结 ： 本 题 考 查 茎 叶 图 和 统 计的 基 本 思 想 方 法 ,考 查 分 析 样 本 数 据 ,从样 本 数 据 中 提 取 基 本 的 数 字 特 征 进 行 统计 推 断 的 能 力 和 应 用 意 识 例 10 (2009广 东 文 )随 机 抽 取 某 中 学 甲 乙 两班 各 10名 同 学 ,测 量 他 们 的 身 高 (单 位 :cm),获 得 身 高 数 据 的 茎 叶 图 如 图 (1)根 据 茎 叶 图 判 断 哪 个班 的 平 均 身 高 较 高 ;(2)计 算 甲 班 的 样 本 方 差 ; (3)现 从 乙 班 这 10名 同 学 中 随 机 抽 取 两名 身 高 不 低 于 173cm的 同 学 ,求 身 高 为176cm的 同 学 被 抽 中 的 概 率 解 ： （ 1） 由 茎 叶 图 可 知 ： 甲 班 身 高 集中 于 160 179 之 间 ， 而 乙 班 身 高 集 中于 170 180之 间 因 此 乙 班 平 均 身 高高 于 甲 班 ; (2) 甲 班 的 样 本 方 差 为 : 57.2.158 162 163 168 168 170 171 179 179 182 170.10X 2 2 2 2 21(158 170) (162 170) (163 170) (168 170) (168 170) 10 2 2 2 2 2(170 170) (171 170) (179 170) (179 170) (182 170) （ 3） 设 身 高 为 176cm的 同 学 被 抽 中 的 事 件 为 A； 从 乙 班 10名 同 学 中 抽 中 两 名 身 高 不 低 于173cm的 同 学 有 :（ 181， 173） （ 181， 176）（ 181， 178） （ 181， 179） （ 179， 173） （ 179， 176） （ 179， 178） （ 178，173） (178, 176) （ 176， 173） 共10个 基 本 事 件 ， 而 事 件 A含 有 4个 基 本 事 件 ； 归 纳 小 结 ： 本 题 考 查 茎 叶 图 的 分 析 、样 本 方 差 的 计 算 和 简 单 古 典 概 型 的 计算 在 解 题 时 要 抓 住 各 知 识 点 的 定 义 和公 式 4 2( ) .10 5P A 例 11 （ 2009宁 夏 、 海 南 理 ） 对 变 量 x, y 有观 测 数 据 （ xi， yi) （ i=1,2,， 10） ， 得 散 点图 1； 对 变 量 u ， v 有 观 测 数 据 （ ui， vi) ） （i=1,2,， 10） ,得 散 点 图 2 由 这 两 个 散 点 图可 以 判 断 ( ) 题 型 8： 线 性 回 归 方 程 解 ： 由 这 两 个 散 点 图 可 以 判 断 ,变 量 x 与 y 负 相 关 ， u 与 v 正 相 关 ,选 C.A.变 量 x 与 y 正 相 关 ， u 与 v正 相 关 B.变 量 x 与 y 正 相 关 ， u 与 v 负 相 关C.变 量 x 与 y负 相 关 ， u 与 v 正 相 关 D.变 量 x 与 y 负 相 关 ， u 与 v负 相 关 例 12 (2009广 东 理 )下 表 提 供 了 某 厂 节能 降 耗 技 术 改 造 后 生 产 甲 产 品 过 程 中 记录 的 产 量 x(吨 )与 相 应 的 生 产 能 耗 y (吨标 准 煤 )的 几 组 对 照 数 据 ： x y 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 (1)请 画 出 上 表 数 据 的 散 点 图 ； (2)请 根 据 上 表 提 供 的 数 据 ， 用 最 小 二 乘法 求 出 y关 于 x的 线 性 回 归 方 程 ； (3)已 知 该 厂 技 改 前 100吨 甲 产 品 的 生 产能 耗 为 90吨 标 准 煤 试 根 据 (2)求 出 的 线性 回 归 方 程 ， 预 测 生 产 100吨 甲 产 品 的 生 y bx a 生 产 能 耗 比 技 改 前 降 低 多 少 吨 标 准 煤 ?(参 考 数 值 ： )3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 解 ： (1)如 图 ： (2) =3 2.5+4 3+5 4+6 4.5=66.5. = =4.5, = =3.5. = 1n i ii yxx 3 4 5 64 y 2.5 3 4 4.54 21ni ix 2 2 2 23 4 5 6 86. 266.5 4 4.5 3.5 66.5 63 0.7.86 4 4.5 86 81b 3.5 0.7 4.5 0.35.a y bx 故 线 性 回 归 方 程 为 y=0.7x+0.35. (3)根 据 回 归 方 程 的 预 测 ， 现 在 生 产 100吨 产 品 消 耗 的 标 准 煤 的 数 量 为0.7 100+0.35=70.35.故 耗 能 减 少 了 90-70.35=19.65(吨 ). 归 纳 小 结 ： 用 最 小 二 乘 法 求 线 性 回 归 方 程 时要 注 意 计 算 的 准 确 性 四 、 本 专 题 总 结1 常 用 的 抽 样 方 法 及 它 们 之 间 的 联 系 和 区 别 ：类 别 共 同 点 各 自 特 点 相 互 联 系 适 用 范 围简 单 随 机 抽 样 抽 样 过程 中 每个 个 体被 抽 取的 概 率是 相 同的 从 总 体 中 逐 个 抽取 总 体 中 的个 数 比 较少系 统 抽 样 将 总 体 均 匀 分 成几 个 部 分 ， 按 照事 先 确 定 的 规 则在 各 部 分 抽 取 在 起 始 部 分抽 样 时 采 用简 单 随 机 抽样 总 体 中 的个 数 比 较多 分 层 抽 样 将 总 体 分 成 几 层 ，分 层 进 行 抽 取 各 层 抽 样 时采 用 简 单 抽样 或 者 系 统抽 样 总 体 由 差异 明 显 的几 部 分 组成 不 放 回 抽 样 和 放 回 抽 样 ： 在 抽 样 中 ，如 果 每 次 抽 出 个 体 后 不 再 将 它 放 回 总 体 ，称 这 样 的 抽 样 为 不 放 回 抽 样 ； 如 果 每 次抽 出 个 体 后 再 将 它 放 回 总 体 ， 称 这 样 的抽 样 为 放 回 抽 样 随 机 抽 样 、 系 统 抽 样 、 分 层 抽 样 都是 不 放 回 抽 样 2 统 计 是 为 了 从 数 据 中 提 取 信 息 ， 学 习时 根 据 实 际 问 题 的 需 求 选 择 不 同 的 方 法 合理 地 选 取 样 本 ， 并 从 样 本 数 据 中 提 取 需 要的 数 字 特 征 不 应 把 统 计 处 理 成 数 字 运 算和 画 图 表 对 统 计 中 的 概 念 （ 如 “ 总 体 ” 、“ 样 本 ” 等 ） 应 结 合 具 体 问 题 进 行 描 述 性说 明 ， 不 应 追 求 严 格 的 形 式 化 定 义 .