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数据的分析与比较 第六章 复习课 知识网络： 知识点的 回顾 数据的代表 数据的波动 平均数 中位数 众 数 极 差 方 差 用 样 本 估 计 总 体 用样本平均数估 计总体平均数 用样本方差估计 总体方差 本单元知识点 1、用样本估计总体是统计的基本思想。在生活和生 产中，为了解总体的情况，我们经常采用从总体中抽 取样本，通过对样本的调查，获得关于样本的数据和 结论，再利用样本的结论对总体进行估计。 2、举例说明平均数、中位数、众数的意义。 3、了解算术平均数与加权平均数有什么联系和区别。 举例说明加权平均数中 “ 权 ” 的意义。 4、举例说明极差和方差是怎样刻画数据的波动情况 的。 问题 1：求加权平均数的公式是什么？ n nn wwww wxwxwx 321 2211 n fxfxfxx kk 2211 在求 n个数的算术平均数时，如果 x1出现 f1次， x2出现 f2次， ， xk 出现 fk次（这里 f1+f2+f k=n）那么这 n个数的算术平均数 nxxx ， 21 nwww ， 21 若 n个数 的权分别是 则： 叫做这 n个数的 加权平均数 。 将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排 列如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这 组数据的 中位数 。 如果数据的个数是偶数，则中间两个 数据的平均数就是这组数据的 中位数 。 中位数是一个位置代表值。如果已知一组数据的中 位数，那么可以知道，小于等于或大于等于这个中位数 的数据各占一半。 一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的 众数 。 平均数、中位数、众数比较 1、联系：平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表， 是描述一组数据集中趋势的量，平均数是应用较多的一种 量。实际问题中求得的平均数、众数、中位数应带上相应 的单位。 2、区别：平均数计算要用到所有数据，它能充分利用所有 的数据信息，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变 动，并且它受极端值的影响较大；中位数仅与数据的排列 位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能 出现在所给数据中也可能不在所给的数据中，当一组数据中 的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势；众数是 当一组数据中某一数据重复出现较多时，人们往往关心的一 个量，众数不受极端值的影响，它是它的一个优势。 极差： 一组数据中最大数据与最小数据的差。 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量 ,但只 能反映数据的波动范围 ,不能衡量每个数据的变化 情况 ,而且受极端值的影响较大 . 各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批 数据的 方差 。公式为： 222212 )()()(1 xxxxxx n ns 方差越小，波动越小。方差越大，波动越大。 2.某校五个绿化小组一天植树的棵数如下： 10， 10， 12， x， 8。已知这组数据的众数与平均数相等，那么 这组数据的中位数是（ ） (A)x=8 (B)x=9 (C)x=10 (D)x=12 C 3.某班 50名学生身高测量结果如下： 1.10名学生的体重分别是 41， 48， 50， 53， 49， 50， 53， 51， 67（单位： kg），这组数据的极差是（ ） （ A） 27 （ B） 26 （ C） 25 （ D） 24 B C 细心选一选 身高 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.64 人数 1 1 3 4 3 4 4 6 8 10 6 该班学生身高的众数和中位数分别是 ( ) （ A） 1.60,1.56 （ B） 1.59,1.58 （ C） 1.60,1.58 （ D） 1.60,1.60 5.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉 字的个数统计结果如下表： 某同学分析上表后得出如下结论： 甲、乙两班学生成绩平均水平相同； 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字 150个为优秀）； 甲班成绩的波动比乙班大，上述结论正确的是（ ） 4.如果一组数据 a1， a2， a n的方差是 2，那么一组新 数 2a1， 2a2， 2a n的方差是（ ） （ A） 2 （ B） 4 （ C） 8 （ D） 16 C A （ A） （ B） （ C） （ D） 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 填一填 1、为了调查某一路汽车流量，记录了 30天中每天同一时段通 过该路口的汽车辆数，其中 4天是 284辆， 4天是 290辆， 12天 是 312辆， 10天是 314辆，那么这 30天该路口同一时段通过的 汽车平均数为 。 2、小芳测得连续 5天日最低气温并整理后得出下表： 由于不小心被污染了两个数据，这两个数据分别是 、 。 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1 3 2 5 3 3、某地两校联谊文艺晚会上甲、乙两个文艺节目均由 10个演员 表演，他们的年龄（岁）分别如下： 甲节目： 13 ， 13， 14， 15， 15， 15， 15， 16， 17， 17 乙节目： 5， 5， 6， 6， 6， 6， 7， 7， 50， 52 （ 1）甲节目中演员年龄的中位数是 ；乙节目中演员年龄 的众数是 。（ 2）两个节目中，演员年龄波动较小的 是 。 306 4 2 15 6 甲节目中演员的年龄 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 0.6 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 所占户数比 年收入 (万元 ) 所占户数比 1.某同学进行社 会调查，随机 抽查某地区 20 个家庭的收入 情况，并绘制 了统计图请根 据统计图给出 的信息回答： （ 1）填写下表 年收入（万元 ） 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 家庭户数 这 20个家庭的年平均收入为 万元。 （ 2） .数据中的中位数是 万元，众数是 万元。 1 1 2 3 4 5 3 1 1.6 1.2 1.3 2、某公司招聘职员，对甲、乙两位候选人进行了面试和笔试，面试包括形 体和口才，笔试中包括专业水平和创新能力考察，他们的成绩（百分制） 如下表 （ 1）若公司根据经营性质和岗位要求认为：形体、口才、专业水平、创 新能力按照 5： 5： 4： 6的比确定，请计算甲、乙两人各自的平均成绩， 看看谁将被录取？ 候选人 面试 笔试 形体 口才 专业水平 创新能力 甲 86 90 96 92 乙 92 88 95 93 解：（ 1） )(8.90 6455 692496590586 分 甲 x )(9.916455 693495588592 分乙 x 甲乙 xx 乙将被录取。 (1)(2)的结果 不一样说明了 什么？ 在加权平均数中 ,由于权的不同 ,导致了结果的相异 候选人 面试 笔试 形体 口才 专业水平 创新能力 甲 86 90 96 92 乙 92 88 95 93 （ 2）若公司根据经营性质和岗位要求认为：面试成绩中形体占 5%，口 才占 30%，笔试成绩中专业水平点 35%，创新能力点 30%，那么你认为 该公司会录取谁？ 解：（ 2） )(5.92%30%35%30%5 %3092%3596%3090%586 分甲 x )(15.92 %30%35%30%5 %3093%3595%3088%592 分 乙 x 乙甲 xx 甲将被录取。 3. 当今，青少年视力水平下降已引起社会的关注，为了了解某 校 3000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次 抽样调查，利用所得的数据绘制的直方图（长方形的高表示该 组人数）如下： 3.95 50 40 30 20 10 x (视力 ) y（人数） （ 1）本次抽样抽查共抽测了多少名学生？ （ 2）参加抽测的学生的视力的众数在什么范围内？ 4.25 4.55 4.85 5.15 5.45 （ 3）若视力为 4.9， 5.0， 5.1及以上为正常， 试估计该校视力正常的人数约为多少？ 解：（ 1） 30 50 40 20 10 150（人） （ 2） 4.254.55 （ 3） )(6003000150 1020 人 4.某农民几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽种了 100棵蜜橘， 成活 98%。现已挂果，经济效益初步显现，为了分析经营情况， 他从甲山随意采摘了 3棵树上的蜜橘，称得质量分别为 25， 18， 20千克；他从乙山上采摘了 4棵树上的蜜橘，称得质量分别是 21， 24， 19， 20千克，组成一个样本，问： （ 1） 样本容量是多少？ （ 2） 样本平均数是多少？并估算出甲、乙两山蜜橘的总产量？（ 3） 甲、乙两山哪个山上蜜橘长势较整齐？ 总产量为： 21 200 98% 4116（千克） );(217 20192421201825 千克x （ 2） 解 （ 1） 样本容量为 3 4 7； 667.8)2120()2118()2125(31 2222 甲S 5.3)2120()2119()2124()2121(41 22222 乙S 22 乙甲 SS 所以乙山上橘子长势比较整齐。 （ 3） 21 乙甲 xx 易得： 5、某商场统计了每个营业员在某月的销售额，统计图如下： 0 1 2 3 4 5 6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 销售额 x（万元） 人 数 （n ） 解答下列问题： （ 1）设营业员的月销售额为 x（万元）， 商场规定：当 x 15时为不称职， 当 15x 20时，为基本称职， 当 20 x 25为称职， 当 x25时为优秀， 试求出不称职、基本称职、称职、优秀 四个层次营业员人数所占百分比， 并用扇形图统计出来。 解：如图所示 60.0% 10.0% 6.7% 23.3% 不称职 基本称职 称职 优秀 （ 2）根据（ 1）中规定，所有称职和优秀的营业员月销售额的 中位数、众数和平均数分别是多少？ 解：中位数是 22万元，众数是 20万元，平均数是 22.3万元 0 1 2 3 4 5 6 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 （ 3）为了调动营业员的工作积极性，决定制定月销售额奖励 标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励。如果要使 得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获奖，你认为这个奖 励标准应定为多少元合适？并简述其理由。 解：奖励标准应定为 22万元。 6、在一次数学测验中，八年级（ 1）班两个组的 12名学 生的成绩如下（单位：分） 一组： 109 97 83 94 65 72 87 96 59 85 78 84 二组： 98 81 58 74 95 100 61 73 80 94 57 96 试对这两个小组的数学考试成绩作出比较和分析。 解：一组的平均分 x 84.08分，中位数为 84.5分，方差 S2 184.58; 二组的平均分 x 80.58分，中位数为 77分，方差 S2 238.08; 因此 ,从平均分可看出一组整体成绩较好 ;从中位数可 以看出一组整体成绩靠前 ;从方差可以看出一组同学成 绩差距不大，因而一组学生成绩各方面都较好。 7、在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图所示， 是其中的甲、乙台阶的示意图，请你用学过的统计知识回答下列问题： 15 16 16 14 14 15 15 11 18 17 10 19 甲路段 乙路段 （ 1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？ 解： （ 2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？ （ 3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段 台阶，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议。 解：使每个台阶的高度均为 15cm，使得方差为 0。 解：甲台阶走起来更舒服些，因为它的台阶高度的方差小。 2：3215：，15 2 极差中位数 甲甲 ，Sx 9：33516：，15 2 极差中位数 甲乙 ，Sx 相同点：两段台阶的平均高度相同； 不同点：两段台阶的中位数、方差和极差不同。
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