子午线轮胎结构设计方法

一 、 子 午 线 轮 胎 内 压 应 力 计 算 第 一 节 . 概 论 轮 胎 是 一 个 由 橡 胶 材 料 和 基 复 合 材 料 构 成 的 复杂 结 构 体 ， 充 气 轮 胎 所 承 受 的 负 荷 包 括 内 压 负荷 、 外 力 机 械 负 荷 和 热 负 荷 ， 本 文 从 力 学 角 度出 发 ， 不 考 虑 热 负 荷 。 轮 胎 的 内 压 负 荷 是 指 施 加 于 轮 胎 内 表 面 的 、 均匀 的 、 沿 外 法 线 方 向 的 压 强 。 内 压 负 荷 在 轮 胎正 常 行 驶 时 占 轮 胎 所 承 受 负 荷 的 绝 大 部 分 ， 动负 荷 则 叠 加 于 内 压 负 荷 之 上 。 子 午 线 轮 胎 的 胎 体 帘 线 呈 子 午 向 排 列 ， 采 用 具有 抗 屈 挠 刚 性 的 带 束 缓 冲 结 构 。 带 束 层 决 定 了子 午 线 轮 胎 的 形 状 和 轮 胎 构 件 中 由 内 压 引 起 的初 始 应 力 。 可 以 认 为 ： 带 束 层 是 子 午 线 轮 胎 中的 主 要 受 力 部 件 。 由 于 轮 胎 几 何 形 状 复 杂 、 组 件 构 成 不 均 匀 以 及大 变 形 的 特 点 ， 要 准 确 描 述 内 压 应 力 是 相 当 困难 的 。 尽 管 在 斜 交 轮 胎 中 应 用 薄 膜 理 论 和 网 格分 析 取 得 了 一 定 的 成 功 ， 但 对 子 午 线 轮 胎 而 言 ，这 些 方 法 在 带 束 区 域 是 不 正 确 的 。 因 为 不 同 帘布 层 里 的 帘 线 之 间 的 负 荷 分 布 难 以 确 定 ， 这 种结 构 是 超 静 定 的 ， 大 多 数 经 典 板 壳 理 论 不 能 直接 应 用 于 轮 胎 分 析 。 有 限 元 分 析 虽 然 是 一 种 比 较 有 效 的 工 具 ， 但 作为 一 种 数 值 计 算 方 法 只 能 作 为 分 析 的 辅 助 工 具 。 在 计 算 子 午 线 轮 胎 内 压 应 力 时 最 好 能 有 一 套 比较 适 用 的 解 析 或 半 解 析 的 分 析 方 法 来 刻 画 出 轮胎 的 力 学 本 质 。 要 计 算 带 束 层 的 内 压 应 力 ， 首 先 要 知 道 带 束 层的 接 触 压 力 。 F. 波 姆 引 入 的 内 压 分 担 率 函 数 g(s)的 概 念 ， 并以 g(s)为 函 数 变 量 导 出 了 子 午 线 充 气 平 衡 轮 廓的 解 析 表 达 式 。 F. 富 朗 克 在 解 析 子 午 线 轮 胎 的 断 面 形 状 时 ， 则采 用 胎 面 中 心 的 曲 率 半 径 代 替 g(s)作 为 变 量 。并 相 应 带 束 作 用 提 出 了 “ 箍 紧 系 数 ” 的 概 念 ： 其 中 ， H 0： 无 带 束 时 充 气 子 午 线 轮 胎 的 断 面 高 度 ; H： 有 带 束 时 充 气 子 午 线 轮 胎 的 断 面 高 度 。 箍 紧 系 数 是 轮 胎 力 学 分 析 中 一 个 比 较 重 要 的 参数 , 从 力 学 角 度 而 言 ， 使 用 箍 紧 系 数 作 为 函 数变 量 推 导 出 带 束 内 压 应 力 的 泛 函 解 析 式 是 相 当困 难 的 。 针 对 上 述 情 况 ， 我 们 作 出 以 下 假 设 ： 假 设 1：轮辋点以上的子午线轮胎充气断面内轮廓曲线是一段椭圆弧。 事 实 证 明 ， 用 椭 圆 弧 进 行 近 似 计 算 具 有 相 当 的有 效 性 和 准 确 性 。 而 且 由 于 讨 论 的 对 象 是 充 气平 衡 轮 廓 ， 使 用 虚 功 原 理 可 以 很 方 便 地 推 导 出子 午 线 带 束 周 向 内 压 应 力 的 解 析 表 达 式 。 第 二 节 物 理 分 析 F. 波 姆 和 F. 富 朗 克 的 研 究 分 别 得 到 了 充 气 子 午线 轮 胎 断 面 几 何 形 状 的 解 析 表 达 式 ， 但 其 研 究不 仅 烦 琐 ， 而 且 可 能 无 法 满 足 精 度 要 求 ， 所 以我 们 结 合 轮 胎 结 构 的 具 体 情 况 ， 补 充 2点 假 设 ： 假 设 2：充气断面内轮廓周长在轮胎变形过程中保持不变。 假 设 3. 充气断面内轮廓曲线形状在变形前后均可用椭圆弧进行描述。 先 将 本 文 中 涉 及 的 一 些 数 值 和 符 号 加 以 说 明 ， 见图 1。 其 中 ：rk： 胎 里 半 径rc： 轮 辋 点 半 径a： 椭 圆 内 轮 廓 曲 线 径 向 半 径b： 椭 圆 内 轮 廓 曲 线 横 向 半 径c： 轮 辋 半 宽rm： 零 点 半 径R： 轮 辋 点 以 上 椭 圆 弓 形 面 积 形 心 点 半 径R D： 支 撑 带 束 层 的 胎 体 宽 度 边 缘 点 半 径 bd： 支 撑 带 束 层 的 胎 体 轴 向 半 宽 m： m= rk- rc n： 椭 圆 底 部 到 轮 辋 点 的 距 离 p： 充 气 内 压 g(s)： 带 束 层 内 压 分 担 率 N： 胎 体 帘 线 总 根 数 Tb： 带 束 层 周 向 内 压 总 应 力 TB： 钢 丝 圈 周 向 内 压 总 应 力 T C： 胎 体 单 根 帘 线 张 力 第 三 节 受 力 分 析 1. 总 体 分 析 轮 胎 充 气 平 衡 时 ， 内压 P垂 直 作 用 于 胎 腔 内壁 ， 轮 辋 点 C受 到 几何 约 束 固 定 不 动 ;胎 冠区 有 效 支 撑 宽 度 的 范围 内 的 胎 体 受 到 带 束层 箍 紧 力 的 约 束 。 视接 触 压 力 为 主 动 力 ，则 子 午 线 轮 胎 充 气 平衡 时 所 受 主 动 力 作 用如 图 2所 示 。 假 设 胎 冠 中 心 处 产生 一 个 虚 位 移dm(图 3)， 胎 腔 体积 发 生 变 化 dV， 变化 过 程 中 内 压 恒 定垂 直 于 胎 腔 内 表 面 ，所 以 胎 腔 储 能 增 加 。由 于 体 积 变 化 较 小 ，可 以 认 为 内 压 P基 本不 变 ， PdV就 是 内压 所 做 的 虚 功 。 带 束 层 对 应 的 区 域 (轴 向 坐 标 为 X)上 ,接 触 压 力f(x)的 方 向 与 作 用 点 的 位 移 d(x)的 方 向 可 以 认为 近 似 相 反 ,所 做 的 虚 功 为 : 根 据 虚 功 原 理 有 ： 进 一 步 引 入 简 化 假 设 ， 即 ： 以 F表 示 胎 冠 断 面 周 长 单 位 长 度 所 对 应 带 束 末 端之 总 接 触 压 力 ， 即 则 有 : 求 出 带 束 周 向 总 应 力 为 ： 根 据 F. 富 朗 克 的 结 论 ， 内 压 分 担 率 g(s)的 分 布曲 线 比 抛 物 线 更 接 近 梯 形 ， 所 以 这 里 近 似 假 设 ： g(s)是 常 数 ， 则 接 触 压 力 ： 内 压 分 担 率 为 ： 2. 胎 体 帘 线 的 受 力 分 析 将 轮 胎 沿 胎 冠 中 心 周 向 切 开 ， 且 沿 断 面 零 点半 径 r m处 周 向 剖 开 ， 用 外 力 平 衡 条 件 取 代 内 力 平衡 ， 图 4和 图 5分 别 是 断 面 和 剖 面 示 意 图 。 内 压 P在 带 束 部 位 变 成 P-Pb， 即 (1-g)P。设 单 根 帘 线 张 力 为 TC， 则 轴 向 力 平 衡 条 件 为 ： 此 式 与 F. 波 姆 导 出 的 帘 线 张 力 计 算 公 式 相 同 ， 物理 意 义 相 当 明 确 。 3. 钢 丝 圈 受 力 分 析 在 本 文 阐 述 的 问 题 中 ， 由 于 橡 胶 材 料 的 受 力 忽略 不 计 ， 所 以 可 以 假 定 ： 假 设 4：子午线轮胎胎体帘线的张力连续，而且处处相等。 假 设 5：轮辋仅提供轴向约束，径向约束则完全由钢丝圈提供。 假 设 5的 含 义 即 ： 胎 体 帘 线 经 过 轮 辋 凸 缘 后 于径 向 将 其 张 力 完 全 传 递 给 钢 丝 圈 。 因 此 ， 钢 丝圈 受 到 的 径 向 力 之 周 向 线 密 度 为 :(式 中 rB为 钢丝 圈 半 径 ) 相 应 的 ， 根 据 图 6所 示 的 力 平 衡 关 系 ，钢 丝 圈 周 向 应 力 为 ： 第 四 节 . 计 算 公 式 推 导 如 图 7， 以 椭 圆弧 为 充 气 子 午线 内 腔 断 面 平衡 轮 廓 ， 以 中心 为 原 点 ， 水平 轴 为 X轴 建立 直 角 标 架 ，椭 圆 的 长 轴 和短 轴 分 别 是 b和a， C是 轮 辋 点 。 椭 圆 方 程 为 ：将 C的 坐 标 代 入 椭 圆 方 程 ,得 到 : 则 由 几 何 关 系 有 ： 代 入 整 理 得 : 当 发 生 虚 位 移 dm时 ,a、 b、 n都 随 之 变 化 ， c保 持不 变 。 将 (1)式 两 端 微 分 ， 整 理 后 得 到 ： 帘 线 长 度 是 轮 胎 力 学 研 究 的 一 个 重 要 参 数 ， 由 于本 文 中 使 用 了 椭 圆 假 设 ， 导 致 求 长 时 遭 遇 椭 圆 积分 。 为 此 ， 我 们 用 一 个 在 轮 胎 适 用 范 围 内 具 有 准2次 精 度 的 近 似 式 来 求 解 ， 设 椭 圆 半 周 长 为 L 0，轮 辋 点 以 下 椭 圆 弓 形 的 半 弧 长 为 L1， 使 用 近 似 式(3)来 代 替 L0： 根 据 表 1中 数 据 的 比 较 可 知 ， 该 近 似 式 具 有 较 高的 精 度 ， 即 便 对 于 高 宽 比 0.5左 右 的 超 低 断 面 轮胎 ， 依 然 可 以 达 到 万 分 之 二 的 精 度 。 对 于 L1， 采 用 下 式 近 似 ， 该 式 的 几 何 意 义 是 采用 圆 弧 长 度 代 替 椭 圆 弧 长 。 其 精 度 在 表 2中 显示 。 这 里 补 充 一 点 说 明 ： 根 据 轮 胎 设 计 的 实 际 情 况 ，比 值 c/a一 般 处 于 0.65到 0.85之 间 ； 高 宽 比 为 便于 比 较 ， 取 值 和 表 1相 同 ， 为 ： 1.0到 0.5。 该式 精 度 不 如 周 长 近 似 式 ， 但 仍 可 满 足 工 程 精 度的 要 求 。 显 然 ： 上 面 的 公 式 基 于 帘 线 长 度 不 变 的 假 设 ， 即 L是常 数 。 在 近 似 函 数 的 选 取 上 同 时 也 要 考 虑 1阶 导 数 在 定义 域 上 的 充 分 逼 近 ， 所 以 对 上 式 微 分 得 ： 将 (3)式 微 分 并 整 理 得 ：将 (4)式 微 分 并 整 理 得 ： (c为 常 数 ) 将 (2)、 (6)、 (7)式 代 入 (5)式 并 整 理 得 到 : 其 中 ：根 据 (8)式 ， 令 ：则 有 ：因 为 ： 根 据 (2)和 (9)式 对 (10)式 微 分 得 ： 令 : 则 有 ：以 上 得 到 了 a,b,n 三 个 未 知 量 用 m表 示 的 关 系 式 。 根 据 第 二 章 的 推 导 ， 带 束 周 向 应 力 为 ：由 此 可 见 ， 只 要 求 出dV/dm， 则 Tb确 定 。以 下 来 计 算 dV/dm。如 图 8所 示 ， S是 轮辋 点 直 线 和 内 轮 廓 所围 的 弓 形 面 积 ， VA是 图 8中 阴 影 部 分 的体 积 ， 根 据 轮 辋 点 的定 义 ， V A是 不 变 量 ，R是 S的 形 心 半 径 。 所 以 有对 于 S， 成 立 经 过 简 单 的 积 分 计 算 得 到 ：对 (14)式 微 分 并 将 (11)式 代 入 整 理 得 ： 其 中 ：形 心 半 径 R通 过 下 式 计 算 ：经 过 计 算 得 到 ：对 (16)式 微 分 并 将 (11)、 (15)式 代 入 整 理 得 ： 其 中 ：现 在 将 (13)式 对 m求 导 ， 并 将 (15)、 (17)式 代 入整 理 得 到 ：将 (18)式 代 入 (12)式 就 得 到 最 终 的 计 算 公 式 ： 第 五 节 . 简 易 计 算 方 法 第 四 节 所 展 示 的 算法 是 基 于 理 论 推 导 的 方法 ， 但 计 算 步 骤 较 为 烦琐 ， 对 于 实 际 使 用 ， 如果 能 找 到 一 种 较 为 简 化的 计 算 方 法 ， 无 疑 可 以提 高 工 作 效 率 。 接 下 来 换 个 角 度 进行 考 察 ， 取 轮 胎 的 1/4圆 周 进 行 力 学 分 析 。 如 图 9， x方 向 的 力 平 衡方 程 ：其 中 i是 x方 向 的 单 位 向量 。 容 易 知 道 ：S0就 是 图 10中 的 阴 影 部分 的 面 积 。所 以 得 到 ： 根 据 图 10有 ，第 二 章 曾 经 导 出 了 内 压 分 担 率 和 钢 丝 圈 周 向 应 力的 方 程 ：将 (20)、 (21)和 (22)式 联 立 解 得 ： 这 组 方 程 中 ， 只 有 RD和 bD是 未 知 数 ， 如 果 能 够 获得 RD和 bD ， 则 问 题 解 决 。 经 过 研 究 ， 我 们 发 现 ，如 果 令 ：则 计 算 出 的 数 据 和 (19)式 得 到 的 数 据 很 好 的 吻 合 ，见 表 3的 验 证 。 从 结 果 对 比 来 看 ， 该 简 易 公 式 具有 相 当 的 可 信 度 。 二 、 子 午 胎 箍 紧 系 数 的 计 算 原理 和 方 法 第 一 节 . 概 论 帘 线 冠 角 是 影 响 斜 交 轮 胎 形 状 和 各 种 力 学 性能 的 最 重 要 参 数 ； 带 束 层 则 是 决 定 子 午 线 轮 胎 几何 形 状 和 轮 胎 构 件 中 内 压 初 始 应 力 分 布 以 及 轮 胎的 各 种 力 学 特 性 的 最 重 要 的 部 件 。 带 束 层 对 子 午线 轮 胎 的 这 种 影 响 一 般 采 用 所 谓 箍 紧 系 数 来 描 述 。 箍 紧 系 数 定 义 如 下 ， H -无 带 束 层 充 气 轮 胎 断 面 高 度 (按 胎 体 第 一 层帘 布 计 )；H-有 带 束 层 充 气 轮 胎 断 面 高 度 。 子 午 胎 箍 紧 系 数 K的 研 究 内 容 涉 及 到 以 下几 个 方 面 ：1、 K与 子 午 胎 断 面 几 何 参 数 (断 面 宽 B、 高 宽 比H/B、 冠 部 胎 体 曲 率 1/、 支 撑 带 束 层 的 胎 体宽 度 bk)的 关 系 ；2、 K与 子 午 胎 的 力 学 参 数 (胎 体 帘 线 应 力 、 带束 层 帘 线 应 力 、 轮 胎 径 向 刚 性 )的 关 系 ；3、 K与 结 构 设 计 工 艺 参 数 (带 束 层 宽 度 )的 关 系 ；4、 K与 轮 胎 使 用 性 能 (胎 面 磨 耗 、 充 气 压 力 标准 )的 关 系 。 由 此 可 见 ， 箍 紧 系 数 K是 子 午 线 轮 胎 的 一项 重 要 的 几 何 参 数 和 力 学 参 数 。 本 文 在 简 要 地 阐 明 K值 理 论 计 算 的 困 难 所 在和 实 际 测 定 K值 的 局 限 性 之 后 ， 从 力 学 平 衡 条 件分 析 出 发 ， 揭 示 出 无 带 束 子 午 线 轮 胎 应 具 有 的 一个 几 何 特 性 ： 为 了 简 化 计 算 过 程 ， 考 虑 到 椭 圆 与 薄 膜 理 论平 衡 轮 廓 具 有 实 际 上 足 够 的 近 似 精 度 ， 故 借 助 椭圆 来 进 行 计 算 ， 但 对 轮 辋 点 坐 标 则 需 采 用 回 归 拟合 校 正 。 从 已 知 初 始 数 据 出 发 ， 加 上 (2)式 和 帘 线 长度 不 变 的 条 件 ， 迭 代 求 解 ， 只 需 迭 代 四 至 五 次 便可 求 得 足 够 精 确 的 解 ， 从 而 计 算 出 子 午 胎 的 箍 紧系 数 。 第 二 节 . K值 计 算 的 困 难 与 实 测 之 局 限 从 箍 紧 系 数 K的 定 义 式 (1)可 知 ， 欲 求 K值 ，关 键 在 于 求 得 H值 。 因 此 ， 首 先 应 求 解 无 带 束 子午 胎 的 充 气 断 面 形 状 。 以 薄 膜 理 论 为 基 础 结 合 余弦 法 则 和 网 格 分 析 所 得 到 的 斜 交 胎 充 气 平 衡 轮 廓的 数 学 解 析 式 已 为 人 们 所 熟 知 ：其 中 k为 帘 线 与 周 向 所 构 成 的 冠 角 ， 当 上 式 外 推至 k=90 时 有 ： 为 了 确 认 外 推 而 得 的(3)式 就 是 无 带 束 层 子 午胎 充 气 平 衡 轮 廓 ， 同 时也 为 了 便 于 看 清 应 用 (3)式 来 计 算 K值 的 困 难 ，不 妨 在 此 从 另 一 个 角 度来 进 行 推 导 。 考 虑 到 平 衡 时 为 能量 稳 定 态 ， 即 定 断 面 周长 与 r=rc 之 间 所 包 围 的面 积 绕 Z轴 旋 转 一 周 所得 之 容 积 最 大 (见 图 1)。即 ， 在 (l为 轮 辋 点 间 帘 线 周 长 之 半 )的 条 件 下 ， 求 解Z=Z(r)， 使 取 极 大 值 。 采 用 变 分 法 求 解 ， 拟 合 欧 拉 函 数 ：则 有 ： 断 面 上 r处 曲 线 曲 率 1/为 ：由 (4)解 得 ：设 水 平 轴 半 径 为 r m， 则 z(rm)=0,代 入 (6)得 ： 在 冠 顶 点 rk处 ， 要 求 z(rk)=， 即代 (9)入 (5)得 曲 率 半 径 ：代 (8)、 (9)入 (7)得 ： (3)式 与 (11)式 完 全 相 同 ， 故 (3)对 于 无 带 束 子 午胎 是 成 立 的 。 从 (11)式 的 推 导 可 见 ， 只 有 已 知 rk和 rm时 才 能唯 一 地 确 定 一 条 平 衡 轮 廓 曲 线 ， 而 在 我 们 要 研 究的 问 题 中 ， rk、 rm均 为 未 知 ， 在 这 种 情 况 下 要 作出 一 条 无 带 束 子 午 胎 平 衡 轮 廓 曲 线 ， 使 它 不 仅 通过 给 定 的 轮 辋 点 ， 而 且 轮 辋 点 间 的 弧 线 长 度 要 等于 给 定 的 长 度 l0,换 句 话 说 ， 从 (3)式 出 发 来 解 决 这一 问 题 无 异 于 一 个 四 维 点 的 搜 索 问 题 。 即 使 我 们采 用 相 似 性 处 理 ， 即 令 rk长 度 为 一 个 单 位 长 度 ，把 四 维 点 的 搜 索 降 为 三 维 点 搜 索 问 题 ， 这 种 搜 索计 算 量 仍 是 相 当 可 观 的 ， 特 别 是 每 一 步 搜 索 部 包含 着 椭 圆 积 分 值 轮 辋 点 宽 和 弧 长 ， 因 而 相 当困 难 。 如 果 从 另 一 个 角 度 考 虑 ， 即 把 问 题 视 为 一 端固 定 在 轮 辋 点 上 ， 一 端 沿 r轴 z=0上 移 动 的 可 动 边界 变 分 问 题 ， 由 于 被 积 函 数 中 含 有 椭 圆 积 分 式 ，斜 截 条 件 丝 毫 也 未 降 低 求 解 问 题 的 难 度 ， 最 终 仍是 无 法 求 解 。 正 是 由 于 理 论 计 算 存 在 上 述 困 难 ， 至 今 尚 未见 有 关 箍 紧 系 数 理 论 计 算 方 法 的 文 献 报 道 ， 一 般是 通 过 试 验 进 行 实 际 测 量 。 H值 实 测 法 简 述 如 下 ：1、 无 带 束 子 午 胎 的 制 备 ， 当 欲 测 定 某 规 格 子 午胎 的 K值 时 ， 需 要 特 制 一 条 无 带 束 子 午 胎 ， 即 原带 束 层 部 件 采 用 几 何 尺 寸 完 全 相 同 的 低 定 伸 胶 料代 替 ， 其 它 各 部 件 尺 寸 保 持 不 变 ； 2、 H值 的 测 定 ： 硫 化 好 的 无 带 束 子 午 胎 停 放 24小 时 后 按 该 层 级 单 胎 内 压 标 准 充 气 。 停 放 一 段 时间 后 检 查 内 压 并 进 行 补 气 ， 停 放 24小 时 后 轮 胎 的外 径 和 断 面 宽 趋 于 稳 定 ， 不 再 变 化 ， 此 时 测 定 该胎 的 充 气 尺 寸 ， 扣 除 材 料 厚 度 后 即 可 得 到 子 午 胎无 带 束 平 衡 内 轮 廓 的 断 面 高 度 H值 、 断 面 宽 度 值等 ， 但 水 平 轴 半 径 很 难 进 行 准 确 地 测 量 。 按 完 全相 同 的 条 件 测 出 有 带 束 胎 的 充 气 平 衡 内 轮 廓 断 面高 度 H， 此 后 按 (1)式 即 计 算 得 到 了 该 规 格 轮 胎的 箍 紧 系 数 K值 。 上 述 试 验 本 身 虽 然 还 存 在 一 些 问 题 (诸 如 怎 样才 能 保 证 有 带 束 和 无 带 束 胎 的 轮 辋 点 坐 标 位 置 完全 相 同 和 轮 辋 点 间 帘 线 长 度 完 全 相 等 等 严 格 的 工艺 问 题 )会 影 响 到 该 规 格 K值 精 确 度 ， 但 此 处 不 拟深 入 讨 论 。 这 里 仅 指 出 实 测 方 法 的 局 限 性 及 其 缺陷 。 由 于 有 带 束 胎 的 充 气 平 衡 形 状 与 模 型 极 接 近 ，而 无 带 束 胎 的 充 气 平 衡 形 状 与 模 型 差 异 甚 大 ， 轮胎 上 各 橡 胶 部 件 均 产 生 相 对 较 大 的 应 变 ， 这 种 应变 力 对 平 衡 轮 廓 的 实 际 形 状 有 影 响 ， 这 种 影 响 应予 剔 除 ， 但 不 大 容 易 做 到 。 即 使 做 到 了 ， 这 种 测定 方 法 的 应 用 也 存 在 着 极 大 的 局 限 性 ， 即 ， 此 法不 能 分 析 外 厂 牌 子 午 胎 ， 同 时 ， 即 使 对 于 子 午 胎生 产 厂 家 而 言 ， 箍 紧 系 数 值 也 是 在 试 制 轮 胎 阶 段测 得 ， 而 不 是 在 设 计 阶 段 就 能 知 道 的 ， 不 能 预 先进 行 选 取 控 制 。 综 上 所 述 ， 箍 紧 系 数 的 理 论 计 算 困 难 重 重 ，实 际 测 定 又 并 非 良 法 ， 不 得 不 另 辟 蹊 径 。 第 三 节 .无 带 束 子 午 胎 平 衡 轮 廓 的 一 个几 何 特 征 在 分 析 子 午 胎 的 内 压 应 力 时 ， 曾 依 据 带 束 层的 实 际 内 压 分 担 率 g(s)的 分 布 ， 胎 体 对 带 束 层 的支 撑 宽 度 bD边 缘 点 D的 径 向 坐 标 RD建 立 起 轴 向 力平 衡 条 件 ： 其 中 ： N胎 体 帘 线 总 根 数 ； T c单 根 胎 体帘 线 张 力 ； rm水 平 轴 半 径 ； rk平 衡 内 轮廓 胎 冠 处 半 径 ； P充 气 内 压 周 向 力 平 衡 条 件 ：其 中 ：Tb带 束 层 周 向 力 ；TB钢 丝 圈 周 向 力 ；S0面 积 (见 图 2) 又 对 于 无 带 束 子 午 胎 ：b D=0, Tb=0,RD=rk,代 入(12)式 得 ： 上 式 代 入 (14)式 得 ：将 Tb=0代 入 (13)式 得 ：上 式 代 入 (15)式 得 ：上 式 即 (2)式 。 通 过 无 带 束 子 午 胎 的 充 气 平 衡 条 件 的 力 学 分析 ， 导 出 了 (2)式 ， 首 次 揭 示 出 无 带 束 子 午 胎 充 气平 衡 轮 廓 曲 线 具 有 的 一 个 重 要 几 何 特 征 。 这 一 特征 的 发 现 ， 使 得 从 理 论 上 求 解 箍 紧 系 数 有 了 新 的理 论 依 据 。 事 实 上 ， 由 图 2有 : 至 此 ， 我 们 可以 肯 定 ， (2)式 是 严格 成 立 的 ， 无 带 束子 午 胎 平 衡 轮 廓 的这 一 几 何 特 征 可 以作 为 计 算 子 午 胎 箍紧 系 数 的 基 本 原 理 ，它 的 作 用 在 于 将 原来 的 三 维 问 题 降 至二 维 。 第 四 节 . 椭 圆 曲 线 与 薄 膜 平 衡 轮 廓 曲 线的 比 较 国 外 早 就 有 人 把 椭 圆 当 作 充 气 轮 胎 的 平 衡 轮廓 来 进 行 力 学 分 析 。 是 否 可 利 用 椭 圆 代 替 薄 膜 平衡 曲 线 来 简 化 计 算 呢 ？ 为 此 通 过 大 量 的 计 算 来 比较 两 者 的 近 似 程 度 。 表 1表 5中 列 举 了 面 积 比 较 ，断 面 形 状 的 比 较 和 弧 长 的 比 较 数 据 ， 并 绘 制 了 图3图 4。 这 里 的 比 较 是 在 两 种 曲 线 模 式 具 有 相 同 的r k/rm值 和 相 同 的 断 面 宽 b的 情 况 下 进 行 的 。 通 过 对 计 算 数 据 的 仔 细 分 析 和 作 图 观 察 ， 可 以认 为 ： 1、 两 种 不 同 的 数 学 模 式 几 乎 有 相 同 的 面 积 S0和 弧 长 l0,其 间 的 微 小 差 异 不 致 影 响 到 实 际 需 要 的计 算 精 度 ； 2、 断 面 形 状 在 水 平 轴 以 上 二 者 极 为 接 近 ， 只是 在 水 平 轴 以 下 靠 近 轮 辋 点 附 近 才 有 较 明 显 的 差异 Z， 特 别 是 对 于 无 带 束 子 午 胎 的 断 面 形 状 ， 二者 在 轮 辋 点 附 近 差 异 较 大 。 为 了 不 致 影 响 到 精 度 ， 当 用 椭 圆 代 替 薄 膜 平衡 轮 廓 时 ， 水 平 轴 以 下 的 断 面 形 状 需 作 适 当 校 正 。为 了 消 除 Z， 从 椭 圆 曲 线 回 复 到 薄 膜 平 衡 轮 廓 曲线 ， 用 最 小 二 乘 法 ， 采 用 F检 验 拟 合 的 回 归 校 正式 如 下 ： a)A0=90度 时 ：y=-0.002609034+0.0280236x2-2.236683x1x3 +0.5090701x22-1.075544x2x3+2.7063x32 (16)此 时 置 信 度 为 99%， 相 关 系 数 为 0.9999331。 b)A0=3644时 ： (Z1-Z2=yxRk)y=-0.0032292-0.5641067x1+0.111752x2 +0.4166261x3-3.597923x12+1.96383x1x2 +7.061253x1x3- 2.424237x2x3-2.904175x32 (17)这 里 置 信 度 为 99%， 相 关 系 数 为 0.9839018。在 (16)和 (17)式 中 ，x 1=b/rk; x2=1-r/rk; x3=c/rky=Z /rk (16)和 (17)式 相 比 较 ， (17) 式 适 用 于 有 带 束 平 衡轮 廓 校 正 ,由 于 (17)式 y值 极 小 ,不 进 行 校 正 亦 可 达到 工 程 精 度 。 (16)式 更 为 重 要 些 。 如 果 在 无 带 束平 衡 轮 廓 时 应 用 (16)式 进 行 轮 辋 点 校 正 之 后 ， 用椭 圆 代 替 薄 膜 平 衡 轮 廓 来 进 行 计 算 便 已 能 满 足 实用 的 精 确 程 度 。 另 外 ， 为 了 进 一 步 简 化 椭 圆 弧 长 的 计 算 ， 采用 第 二 章 得 到 的 近 似 式 ： 第 五 节 箍 紧 系 数 K的 计 算 方 法 1. 充 气 子 午 胎 基 本 尺 寸的 测 取 。根 据 充 气 子 午 胎 的 平 衡轮 廓 外 形 尺 寸 和 实 际 材料 分 布 确 定 出 下 列 各 值 ：轮 辋 点 的 座 标 c， rc断 面 宽 度 之 半 b 胎 里 半 径 r k轮 辋 点 间 的 帘 线 长 度 L 2. 基 本 计 算 公 式 的 推 导 ：根 据 第 二 章 的 公 式 推 导 我 们 得 到 一 组 微 分 方 程式 ， 如 果 m变 化 了 m， 依 上 式 近 似 地 有 ：a = Emb = DEma= a + a = a + Em (18)b= b + b = b + DEm (19)m= m + m (20) 将 (18)、 (19)、 (20)代 入 (2)式 得 ： 展 开 整 理 后 令 ： 则 有 ： 将 (26)(28)代 入 (16)求 解 y， 则 得 到 ：上 述 推 导 应 用 到 椭 圆 固 有 的 几 何 性 质 、 椭 圆 弧 长近 似 式 、 过 二 定 点 (轮 辋 点 )的 椭 圆 弧 长 在 形 变 为新 的 椭 圆 弧 (m变 为 m+dm)时 保 持 弧 长 不 变 的 微 分关 系 式 。 利 用 无 带 束 充 气 平 衡 轮 廓 几 何 特 征 (2)求 解 m变 化 初 值 m， 利 用 (16)式 将 薄 膜 平 衡 轮 廓 上 的 轮辋 点 移 到 具 有 相 同 rk、 rm、 rc和 断 面 宽 b的 椭 圆 上去 的 (25)-(30)式 。 换 言 之 ， 上 述 过 程 系 在 满 足 (2)条 件 下 对 弧 长 不 变 且 使 薄 膜 平 衡 轮 廓 通 过 给 定 轮辋 点 座 标 的 初 次 搜 索 。 此 时 ， 一 组 原 始 数 据 c、 rc、 b、 rk变 为 c、 rc 、 b、 rk， ( rk= rk + m)， 称为 零 级 近 似 ， 记 为 ： b0 = b； c0 = c； rk0 = rk 而 rc在 整 个 搜 索 过 程 中 将 保 持 不 变 。 由 于 充 气 子 午 胎 轮 辋 点 间 帘 线 长 度 L不 解 剖出 断 面 很 难 进 行 测 量 ， 即 使 测 量 也 很 难 测 得 非 常准 确 ， 因 而 ， 一 般 可 从 原 始 数 据 进 行 计 算 ， 并 通过 弧 长 近 似 公 式 计 算 L值 。 当 从 零 级 近 似 数 据 出发 计 算 出 l0的 零 级 近 似 值 时 ， 显 然 由 于 c变 化 c引起 了 l0的 变 化 ， 同 时 ， 由 于 m并 非 一 个 微 量 ，(18)、 (19)式 又 带 来 了 较 大 的 误 差 ， 引 起 l0有 较 大的 变 化 ， 为 此 必 须 对 l0值 进 行 下 述 调 整 ：其 中 ： H a和 Hb的 计 算 参 考 第 一 章 的 公 式 。 则再 由 近 似 式 计 算 新 的 l0值 ， 如 果 此 时 dl并 非 足 够小 ， 比 如 ， dl大 于 0.1mm， 则 把 a0、 b0看 作 a0、b0， 再 重 复 (32)(34)的 过 程 ， 如 此 反 复 进 行 ， 一般 进 行 四 次 便 可 使 dl0.1mm， 此 时 的 a0、 b0、m0即 为 满 足 弧 长 不 变 条 件 下 求 得 的 一 组 新 值 。 上 述 调 整 必 然 又 使 (2)式 不 能 成 立 ， 因 此 ， 把 c、rc、 b0、 rk0看 成 一 组 新 的 原 始 数 据 ， 重 复(18)(30)的 上 述 过 程 ， 即 再 次 调 整 m、 C， 计算 出 新 的 b、 c、 rk,称 为 一 级 近 似 ， 记 为 b1、 c1、rk1。 上 述 过 程 每 重 复 一 次 ， 便 可 得 到 高 一 级 的 近 似解 ， 即 得 到 b2、 c2、 rk2； b3、 c3、 rk3； ； bn、cn、 rkn。 在 整 个 过 程 中 ， rc始 终 保 持 不 变 。 由 于上 述 迭 代 过 程 收 敛 速 度 较 快 ， 一 般 五 级 近 似 已 经足 够 精 确 。 上 述 二 维 搜 索 采 用 椭 圆 近 似 迭 代 逼 近 ， 用 人工 计 算 当 然 显 得 过 于 繁 琐 ， 但 可 以 编 制 程 序 计 算 。在 求 得 n级 近 似 值 之 后 ， 立 即 可 以 求 得 箍 紧 系 数的 n级 近 似 解 ： 其 中 r nm为 着 合 轮 辋 的 半 径 。 随 着 n的 增 大 ， kn = kn kn-1 kn的 值 将 很 快 接 近 于 0。 上 述 求 解 过 程 中 应 注 意 到 (30)式 中 的 c 值 始 终不 变 ， c是 将 薄 膜 平 衡 轮 廓 上 的 c值 调 整 到 椭 圆曲 线 上 去 。 第 六 节 计 算 举 例 与 结 果 分 析 经 编 程 后 在 IBM机 上 对 十 七 种 不 同 厂 牌 、 不 同规 格 的 轮 胎 进 行 了 四 级 近 似 计 算 ， 结 果 均 较 满 意 ，其 中 四 条 胎 的 计 算 结 果 列 于 表 6中 。 其 中 “ 薄 膜 ”分 析 栏 系 按 四 级 近 似 解 中 的 Rk和 Rm值 ， 取 冠 角90在 微 机 上 积 分 (按 (3)式 )得 到 断 面 宽 与 轮 辋 点 的座 标 ， 以 及 弧 长 。 从 表 6的 数 据 分 析 ：1、 K处 于 在 0.07附 近 ， 与 文 献 介 绍 相 符 。 经 计 算 ，国 外 厂 牌 (大 象 、 桥 石 )胎 K值 均 在 0.07与 0.08之间 。2、 无 带 束 胎 仍 有 K值 ， 但 K很 小 ， 这 是 由 于 橡 胶形 变 产 生 箍 紧 力 所 致 。 3、 无 带 束 胎 轮 辋 点 偏 高 ， 因 此 虽 然 帘 线 长 度 与双 钱 9.00R20相 差 很 小 ， 但 当 rc取 同 一 值 时 ， 其 帘线 长 度 长 出 几 个 毫 米 。 在 特 殊 制 造 无 带 束 胎 时 ，如 何 保 证 轮 辋 点 座 标 不 移 动 ， 轮 辋 点 间 帘 线 长 度不 变 化 ， 还 值 得 进 一 步 研 究 。 但 从 近 似 解 与 原 始数 据 相 差 很 小 着 一 点 以 及 k4=0.00648来 看 ， 可 以认 为 ， 本 方 法 的 计 算 值 与 实 测 值 非 常 一 致 。4、 箍 紧 系 数 作 为 一 个 描 述 几 何 形 状 的 特 定 参 数 ，应 保 持 无 带 束 胎 和 有 带 束 胎 轮 辋 点 以 上 帘 线 长 度相 同 ， 但 K值 定 义 式 中 未 明 确 这 一 点 ， 因 此 实 际测 量 时 ， 可 根 据 自 己 的 理 解 制 定 出 不 同 的 测 试 条件 ， 则 对 于 同 一 条 子 午 胎 将 测 得 不 同 的 K值 。 为使 K值 具 有 唯 一 性 ， 应 附 加 一 个 条 件 。 从 试 验 测试 角 度 讲 ， 附 加 充 气 内 压 条 件 最 为 方 便 ， 但 不 尽合 理 ， 因 为 此 时 K值 还 与 胎 体 帘 线 的 伸 张 模 量 有关 ， 因 此 只 能 以 帘 线 长 度 不 变 作 为 附 加 条 件 。 5、 由 于 改 善 了 近 似 公 式 ， 所 以 本 方 法 不 仅 适 用于 载 重 子 午 胎 ， 而 且 也 适 用 于 轿 车 子 午 胎 。6、 随 着 高 宽 比 的 不 断 减 小 ， K值 逐 渐 增 大 ， 50系列 的 K达 到 0.22左 右 。7、 用 本 文 计 算 方 法 计 算 出 的 箍 紧 系 数 值 与 国 外文 献 报 道 值 相 符 ， 且 与 实 测 值 符 合 ， 因 此 采 取 这种 方 法 进 行 计 算 是 可 靠 的 。 子 午 线 轮 胎 内 压 应 力 计 算 公 式 推 导 ：