定积分及其应用习题课

定 积 分 及 其 应 用习 题 课 问 题 1:曲 边 梯 形 的 面 积 问 题 2:变 速 直 线 运 动 的 路 程存在定理广义积分定 积 分定积分的性质定积分的计算法牛 顿 -莱 布 尼 茨 公 式 )()()( aFbFdxxfba 一 、 主 要 内 容定积分的应用 1、 问 题 的 提 出实例1 （求曲边梯形的面积A）ini i xfA )(lim 10 曲边梯形由连续曲线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线ax 、bx 所围成. 实例2 （求变速直线运动的路程）ini i tvs )(lim 10 设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间间隔, 21 TT上t的一个连续函数，且0)( tv，求 物体在这段时间内所经过的路程S.方法:分割、求和、取极限. 2、 定 积 分 的 定 义设函数)(xf在, ba上有界，在, ba中任意 若干若干个分点bxxxxxa nn 1210 把区间, ba分成n个小区间， 各小区间的长度依次为1 iii xxx，),2,1( i，在各小区间上任取一点i（ii x）， 定 义 , 12110 nn xxxxxx 怎样的分法， ba Idxxf )( iini xf )(lim 10 . 也不论在小区间, 1 ii xx 上 的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I， 在区间, ba上的定积分，记为 记,max 21 nxxx ，如果不论对, ba我们称这个极限I为函数)(xf作乘积ii xf )( ),2,1( i 点i怎样 并作和iini xfS )(1 ， 可积的两个条件： 当函数)(xf在区间, ba上连续时，定理1定理2 设函数)(xf在区间, ba上有界，称)(xf在区间, ba上可积. 且只有有限个间断点，则)(xf在区间, ba上可积. 3、 存 在 定 理 4、 定 积 分 的 性 质 ba dxxgxf )()( ba dxxf )( ba dxxg )(性质1 baba dxxfkdxxkf )()( (k为常数)性质2 ba dxxf )( bcca dxxfdxxf )()( 假设bca 性质3 则0)( dxxfba )( ba 性质5如果在区间, ba上0)( xf，推论：则dxxfba )( dxxgba )( )( ba 如果在区间, ba上)()( xgxf ，（1）dxxfba )( dxxfba )( )( ba （2）dxba 1 dxba ab性质4 如果函数)(xf在闭区间, ba上连续，则在积分区间, ba上至少存在一个点， 使dxxfba )( )( abf )( ba 性质7 (定积分中值定理)设M及m分别是函数 则 )()()( abMdxxfabm ba . )(xf在区间, ba性质6上的最大值及最小值，积分中值公式 5、 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 如果)(xf在, ba上连续，则积分上限的函数dttfx xa )()(在, ba上具有导数，且它的导数 是 )()()( xfdttfdxdx xa )( bxa 定理1定理2（原函数存在定理） 如果)(xf在, ba上连续，则积分上限的函数dttfx xa )()(就是)(xf 在, ba上的一个原函数. 定理 3（微积分基本公式） 如果)(xF是连续函数)(xf在区间, ba上的一个原函数，则 )()()( aFbFdxxfba .)()( baba xFdxxf 也可写成牛顿莱布尼茨公式., ,:上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明ba ba 6、 定 积 分 的 计 算 法 dtttfdxxfba )()()(换元公式 （1）换元法（2）分部积分法分部积分公式 bababa vduuvudv 、 广 义 积 分(1)无穷限的广义积分 a dxxf )( bab dxxf )(lim 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. b dxxf )( baa dxxf )(lim (2)无界函数的广义积分ba dxxf )( ba dxxf )(lim0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. ba dxxf )( ba dxxf )(lim0ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )( ca dxxf )(lim0 bc dxxf )(lim0 5、 定 积 分 应 用 的 常 用 公 式(1) 平面图形的面积xyo )(xfy ba dxxfA )( xyo )(1 xfy )(2 xfy ba dxxfxfA )()( 12A A直角坐标情形a b a b 如果曲边梯形的曲边为参数方程 )( )(ty tx 曲边梯形的面积 21 )()(tt dtttA （其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值） 在 1t , 2t （或 2t , 1t ）上)(tx 具有连续导数，)(ty 连续. 参数方程所表示的函数 dA 2)(21 xo d )(r xo )(2 r)(1 r dA )()(21 2122极坐标情形 (2) 体积x dxx xyo dxxfV ba 2)( dyyV dc 2)(xyo )(yx cd xo ba dxxAV )(x dxxa b平行截面面积为已知的立体的体积)(xA (3) 平面曲线的弧长xoy a bx dxx dy弧长dxys ba 21A曲线弧为 )( )(ty tx )( t 其中)(),( tt 在, 上具有连续导数弧长dttts )()( 22 )(xfy B曲线弧为 C曲线弧为)( )(rr 弧长 drrs )()( 22(4) 旋转体的侧面积x dxx xyo )(xfy bxaxfy ,0)( ba dxxfxfS )(1)(2 2侧 五、定积分在经济上的应用 主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数） x dxxRxRxR 0 )()(),()1则已知)0()()(),()2 0 CdxxCxCxC x 则已知)0()()(),()3 0 CdxxLxLxL x 则已知 ba dttfQ ba xfQ)(, ),()4内的总产量为在时间间隔则的变化率已知某产品的总产量 例 1. 求 .de1 elim 10 xx xxnn 解 : 因 为 1,0 x 时 , xxnx e1 e0 所 以xx xxn de1 e10 0 xxn d10 11 n利 用 夹 逼 准 则 得 0de1 elim 10 xx xxnn ,nx典 型 例 题 :一、与定积分概念有关的问题的解法 思 考 例 1下 列 做 法 对 吗 ?利 用 积 分 中 值 定 理 e1 elim nn 0不 对 ! 因 为 依 赖 于 ,n 且 ,10 说 明 : xx xxnn de1 elim 10 故 没 理 由 认 为0lim nn nnnnnn nnnI 1212 sinsin1sinlim 解 ： 将 数 列 适 当 放 大 和 缩 小 ， 以 简 化 成 积 分 和 形 式nk knkn1 1sin已 知 ,2dsin1sinlim 101 xxnnknkn利 用 夹 逼 准 则 可 知 .2I nk nnknn 1 1sin1 nk nnk1 1sin (1998考 研 ) 11lim nnn例 2. 求 思 考 : nnnnn nnJ 1212 sinsinlim 提 示 :由 上 题 1sinlim nIJ nn 11 )1(sin nnnn ?11 )1(sinlim nnnn n2 2 2sinsin1sinlim 1212 nnnnnn nnnI 00故 练 习 : 1.求 极 限 ).21(lim 22222 nn nn nn nn 解 ： 原 式 nn 1lim ni ni1 2)(1 1 xx d1 110 2 42. 求 极 限 ).2212(lim 12121 nn nnn nnnn 提 示 ： 原 式 nn 1lim ni ni121lim nnn ni ni12 n1 xx d210 2ln111lim nn ni ni12左 边 = 右 边 例 3. .d4 110 32 xxx 估 计 下 列 积 分 值解 : 因 为 1,0 x324 1 xx 41 ,41 2x xxx d4 110 32 xd2110 xx d4110 2 即 xxx d4 110 32 21 6 例 4. 证 明 .e2dee2 2204 2 xxx证 : 令 ,e)( 2 xxxf 则 xxxxf 2e)12()(令 ,0)( xf 得 ,21x,1)0( f ,e1)( 421 f 2e)2( f,e1)(min 42,0 xf 22,0 e)(max xf故 2204 e2dee2 2 xxx 例 5. 设 )(xf 在 1,0 上 是 单 调 递 减 的 连 续 函 数 ， 试 证 1,0q 都 有 不 等 式 100 d)(d)( xxfqxxfq证 明 ： 显 然 1,0 qq 时 结 论 成 立 . (用 积 分 中 值 定 理 )q xxf0 d)( 10 d)( xxfq q xxfq 0 d)()1( 1 d)(q xxfq)1( q )( 1fq q )()1( 2fq ,01 q 1,2 q10 q当 时 ,)()()1( 21 ffqq 0故 所 给 不 等 式 成 立 .明 对 于 任 何 例 6. ,3)1(,0)( fxxf 处 连 续在已 知 且 由 方 程 xyyx ttfyttfxttf 111 d)(d)(d)(确 定 y 是 x 的 函 数 , 求 .)(xf解 ： 方 程 两 端 对 x 求 导 , 得)( yxf y ttf1 d)( yyfx )( x ttfy 1 d)( )(xfy)( yxy 令 x = 1, 得 )1(d)()( 1 fyttfyyf y 再 对 y 求 导 , 得 )1(1)( fyyf y3 Cyyf ln3)(,3,1 Cy 得令 3ln3)( xxf故 0 例 7. ttttfxf x dcos2sin)()( 02 求 可 微 函 数 f (x) 使 满 足解 : 等 式 两 边 对 x 求 导 , 得)()(2 xfxf xxxf cos2sin)( 不 妨 设 f (x)0, 则 xxxf cos2sin21)( xxfxf d)()( xxx dcos2sin21 Cx )cos2ln(21 注 意 f (0) = 0, 得 3ln21C 3ln21)cos2ln(21)( xxf xcos2 3ln21 ttttfxf x dcos2sin)()( 02 Cxxf )cos2ln(21)( 例 8. 求 多 项 式 f (x) 使 它 满 足 方 程解 : 令 ,txu 10 30 2d)1(d)( xxttfttxf x则 10 d)( ttxf xx uuf01 d)(代 入 原 方 程 得 x uuf0 d)( x ttfx 0 d)1( 24 2xx 两 边 求 导 : )(xf x ttf0 d)1( )1( xfx xx 44 3 )(xf )1(2 xf )1( xfx 412 2 x可 见 f (x) 应 为 二 次 多 项 式 , 设 cxbxaxf 2)(代 入 式 比 较 同 次 幂 系 数 , 得 .1,4,3 cba故 143)( 2 xxxf再 求 导 : 二 、 有 关 定 积 分 计 算 和 证 明 的 方 法1. 熟 练 掌 握 定 积 分 计 算 的 常 用 公 式 和 方 法2. 注 意 特 殊 形 式 定 积 分 的 计 算3. 利 用 各 种 积 分 技 巧 计 算 定 积 分4. 有 关 定 积 分 命 题 的 证 明 方 法思 考 : 下 列 作 法 是 否 正 确 ?xxx 1d111 2 11 2xx d1 111 3 2 )( 3 2xt 令0d2311 2111 ttt 例 9. 求 .de12ln0 2 xx 解 : 令 ,sine tx 则 ,sinln tx ,dsincosd tttx 原 式 tttt dsincoscos62 tt t dsinsin126 2 ttt d)sin(csc26 coscotcscln ttt 6223)32(ln tttcb ca dcos99 例 10. 选 择 一 个 常 数 c , 使 0d)(cos)( 99 xcxcxba解 : 令 ,cxt 则 xcxcxba d)(cos)( 99 因 为 被 积 函 数 为 奇 函 数 , 故 选 择 c 使)( cbca 即 2bac 可 使 原 式 为 0 . 例 11. 设 ,de)( 0 22 yxf x yy 解 : .d)()1(10 2 xxfx 求xxfx d)()1(10 2 013 )()1(31 xfx xxfx d)()1(31 10 3 xx xx de)1(31 10 23 2 210 1)1(2 )1d(e)1(61 2 xx x 10 de6e uu u 01e)1(6e uu )2(e61 )1( 2 xu令 1)12( 222 xx xx 例 12. 如 图 , 曲 线 C 的 方 程为 )2,3(),( 点xfy 解 : .d)()(30 2 xxfxx 032 )()( xfxx 是 它 的 一个 拐 点 , 线 , 其 交 点 为 (2,4), 设 函 数 f (x)具 有 三 阶 连 续 导 数 , 计 算 定积 分 xxfxx d)()(30 2 直 线 l1与 l2 分 别 是 曲 线 C在 点 (0, 0)与 (3, 2)处 的 切 xxfx d)()12(30 0)3( f(2005 考 研 )03)()12( xfx xxf d)(30 )2)2(7( 03)(2 xf)0()3(216 ff 20416 2)3(;2)0( ff 0 4321 1 2 3 4 xO 1l2ly )(xfy C 例 13. 若 ,1,0)( Cxf 解 : 令 试 证 :xxfx d)(sin0 xxf d 0 )(sin2 xxf d 20 )(sin, xt 则 xxfx d0 )(sin ttft d)(sin)(0 ttf d 0 )(sin ttft d)(sin0 xxfx d)(sin0 xxf d)(sin2 0 因 为 xxf d)(sin0 xxf d)(sin20 xxf d 2 )(sin对 右 端 第 二 个 积 分 令 xt xxf d)(sin2 20综 上 所 述 xxfx d)(sin0 xxf d)(sin2 0 xxf d)(sin 20 例 14. 证 明 恒 等 式 )20(4darccosdarcsin 22 cos0sin0 xtttt xx证 : 令 ttttxf xx darccosdarcsin)( 22 cos0sin0 则 )(xf xxx cossin2 xxx cossin2 0因 此 ,)0()( 2 xcxf 又)(4f tttt darccosdarcsin 2121 00 ttt darccosarcsin210 td 210 2 4故 所 证 等 式 成 立 . 例 15. ,0)(,)(,)( xgbaxgxf 且上 连 续在设 试 证,),( ba 使ba xxf d)(ba xxg d)( )( )(gf分 析 : 即 证 0d)()(d)()( baba xxgfxxfg xa xxg d)( x故 作 辅 助 函 数 baxabaxa xxgxxfxxfxxgxF d)(d)(d)(d)()(至 少 存 在 一 点 xa xxf d)( x即 xa xxg d)( ba xxf d)( xa xxf d)( ba xxg d)( x 0 证 明 : 令 baxabaxa xxgxxfxxfxxgxF d)(d)(d)(d)()( )(,)( xgxf因 在 , ba 上 连 续 , ,)( 上 连 续在故 baxF 在,),( 内 可 导ba ,0)()( bFaF且 至 少,),( ba 使 ,0)( F 即 0d)()(d)()( baba xxgfxxfg 因 在 , ba 上 )(xg 连 续 且 不 为 0 ,0d)( ba xxg 从 而 不 变 号 ,因 此故 所 证 等 式 成 立 . 故 由 罗 尔 定 理 知 ,存 在 一 点 思 考 : 本 题 能 否 用 柯 西 中 值 定 理 证 明 ?如 果 能 , 怎 样 设 辅 助 函 数 ? ),( baba xxf d)(ba xxg d)( ,)( )(gf要 证 : xa ttfxF d)()( xa ttgxG d)()(提 示 : 设 辅 助 函 数 例 15 例 16.设 函 数 f (x) 在 a, b 上 连 续 ,在 (a, b) 内 可 导 , 且 .0)( xf :,)2(lim 证 明存 在若 ax axfax (1) 在 (a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在 (a, b) 内 存 在 点 , 使 )(2d)( 22 fxxf abba (3) 在 (a, b) 内 存 在 与 相 异 的 点 , 使 ba xxfaabf d)(2)( 22 (2003 考 研 ) 证 : (1) ,)2(lim 存 在ax axfax ,0)2(lim axfax由 f (x)在 a, b上 连 续 , 知 f (a) = 0. ，又 0)( xf 所 以 f (x) 在 (a, b)内 单 调 增 , 因 此 ),(,0)()( baxafxf (2) 设 )(d)()(,)( 2 bxaxxfxgxxF xa ,0)()( xfxg则 )(),( xgxF故 满 足 柯 西 中 值 定 理 条 件 , 于 是 存 在 使),( ba aaba ttfttf abagbg aFbF d)(d)()()( )()( 22 xxa ttfx d)( )( 2 即 )(2d)( 22 fttf abba (3) 因 0)()( ff )()( aff 在 a, 上 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理),(),()( aaf 代 入 (2)中 结 论 得 )( 2d)( 22 afttf abba 因 此 得 ba xxfaabf d)(2)( 22 例 16 题 )(xf例 17. 设 ,)( baCxf 证 : 设 且 试 证 :,0)( xf 2)()(dd)( abxf xxxf baba ttfxF xa d)()( xa tf t)(d则 )(xF )(1xf )(2 ax xa )(tf )(tf td2 ttfxf tfxfxa d)()( )()( 2 0)(, xfax0故 F(x) 单 调 不 减 , ,0)()( aFbF 即 成 立 .)(xf)(xf xa ttf d)(xa tf t)(d 2)( ax 例 18. 设 )(xf 在 1,0 上 是 单 调 递 减 的 连 续 函 数 ， 试 证 1,0q 都 有 不 等 式 100 d)(d)( xxfqxxfq证 明 ： 显 然 1,0 qq 时 结 论 成 立 . (用 积 分 中 值 定 理 )q xxf0 d)( 10 d)( xxfq q xxfq 0 d)()1( 1 d)(q xxfq)1( q )( 1fq q )()1( 2fq ,01 q 1,2 q10 q当 时 ,)()()1( 21 ffqq 0故 所 给 不 等 式 成 立 .明 对 于 任 何 例 19. 求 抛 物 线 21 xy 在 (0,1) 内 的 一 条 切 线 , 使 它 与两 坐 标 轴 和 抛 物 线 所 围 图 形 的 面 积 最 小 .解 : 设 抛 物 线 上 切 点 为 )1,( 2xxM 则 该 点 处 的 切 线 方 程 为 )(2)1( 2 xXxxY 它 与 x , y 轴 的 交 点 分 别 为,)0,( 2 12xxA )1,0( 2 xB所 指 面 积 )(xS xx 2 )1(21 22 10 2 d)1( xx 324 )1( 22 xx1 1MB Ay x )(xS )13()1( 22412 xxx ,33x 0)( xS,33x 0)( xS且 为 最 小 点 . 故 所 求 切 线 为34332 XY,0)( xS令 得 0 , 1 上 的 唯 一 驻 点 33x ,1,0)(33 上 的 唯 一 极 小 点在是因 此 xSx 1 1MB Ay x 例 20. 设 非 负 函 数 上 满 足在 1,0)(xf )()( xfxfx 曲 线 )(xfy 与 直 线 1x 及 坐 标 轴 所 围 图 形(1) 求 函 数 ;)(xf(2) a 为 何 值 时 , 所 围 图 形 绕 x 轴 一 周 所 得 旋 转 体解 : (1) 时 ，当 0 x 由 方 程 得ax xfxfx 23)()( 2 axxf 23)( ,223 xa面 积 为 2 ,体 积 最 小 ? 即xCxaxf 223)(故 得 xyO又 10 d)(2 xxf xxCxa d23 210 22 Ca aC 4 xaxaxf )4(23)( 2 (2) 旋 转 体 体 积V xxf d)(10 2 161013 2 aa ,01513 aV令 5a得又 V 5a ,015 5 a 为 唯 一 极 小 值 点 , 因 此 5a 时 V 取 最 小 值 .1)(xf 0 xe例 21. 过 坐 标 原 点 作 曲 线 xy ln轴 围 成 平 面 图 形 D.(1) 求 D 的 面 积 ;(2) 求 D 绕 直 线 x = e 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 .解 : (1) 设 切 点 的 横 坐 标 为 ,0 x 则 所 求 切 线 方 程 为)(1ln 000 xxxxy xxy 及ln ,01ln 0 x由 切 线 过 原 点 知 的 切 线 . 该 切 线 与 曲 线因 此 ,0 ex 故 切 线 方 程 为 xey 1D 的 面 积 为 yex 12 e D xy lnyO xxy e11yyeeA y d)(10 (2003考 研 ) (2) 求 D 绕 直 线 x = e 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 .切 线 、 x 轴 及 直 线 ex 21 31 eV ex 所 围 三 角 形 绕 直 线旋 转 所 得 圆 锥 的 体 积 为曲 线 、 x 轴 及 直 线 ex yeeV y d)( 2102 ex 所 围 图 形 绕 直 线 旋 转 所)14(2 2 ee因 此 所 求 旋 转 体 体 积 为 31256 221 eeVVV 0 xeyex D xy lnyO xxy e11得 旋 转 体 体 积 为 例 22. 证 明 曲 边 扇 形 ),(0,0 rr 绕 极 轴.dsin)(32 3 rVox )(rr d rd证 : 先 求 d, 上 微 曲 边 扇 形绕 极 轴 旋 转 而 成 的 体 积 .d oxV体 积 元 素 rr dd rsin2 roxVd dsin2 rrr d)(0 2 dsin)(32 3r故 dsin)(32 3rVox旋 转 而 成 的 体 积 为 xO xy 2 24 xxy Oy x)d5(d xu 故 所 求 旋 转 体 体 积 为 xxx d5)2( 2251 57516xxxV d)2(55 2220 uV dd 2 AP xd 2ud例 23. 求 由 xy 2 与 24 xxy 所 围 区 域 绕 xy 2旋 转 所 得 旋 转 体 体 积 .解 : 曲 线 与 直 线 的 交 点 坐 标 为 ),4,2(A 曲 线 上 任 一 点)4,( 2xxxP 到 直 线 xy 2 的 距 离 为xx 2251 ),(2 如 图为 数 轴以 uxy u则