高等数学PPT邱茂路

多 元 函 数 就 是 有 多 个 自 变 量 的 函 数 。 多 元 函 数 微 分 学 的 核 心 内容 是 偏 导 数 与 全 微 分 的 概 念 及 运 算 。 本 章 包 括 九 节 。 前 三 节 主 要 介 绍 一 些 术 语 ， 其 中 包 括 多 元 函 数的 极 限 与 连 续 的 概 念 。 中 间 四 节 是 本 章 重 点 ， 其 中 包 括 偏 导 数 与全 微 分 的 概 念 ， 偏 导 数 与 全 微 分 的 计 算 方 法 。 最 后 两 节 是 多 元 函数 微 分 学 在 极 值 计 算 中 的 应 用 。 多 元 函 数 的 研 究 ， 需 要 一 些 空 间 解 析 几 何 的 知 识 。 本 节 的 目 的 ，就 是 介 绍 这 些 知 识 。 过 空 间 一 点 O， 作 三 条 互 相 垂直 的 数 轴 OX， OY， OZ， 并 按 右手 规 则 确 定 方 向 ， 即 四 指 由 OX轴正 向 ， 转 向 OY轴 正 向 ， 则 拇 指 指向 OZ轴 的 正 向 ， 这 样 就 建 立 了 空间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 8.1-1。 图 8.1-1 XZO Y O称 为 坐 标 原 点 ， 三 条 数 轴 ， 称 为 坐 标 轴 。 每 两 条 坐 标 轴 确 定一 个 坐 标 平 面 ， 由 OX， OY轴 确 定 的 坐 标 平 面 称 为 XY坐 标 平 面 。其 余 类 推 。 如 图 8.1-2。 ZX YZXY X YZ图 8.1-2O 给 定 一 个 三 元 数 组 (x, y, z )， 如 图 8.1-3所 示 ， 我 们 沿 OX轴 走 x单位 距 离 (x 0， 沿 OX轴 正 向 ， x 0， 沿 OX轴 负 向 )， 接 着 再 沿 平 行于 OY轴 的 方 向 走 y单 位 距 离 ， 再 沿 平 行 于 OZ轴 的 方 向 走 z单 位 距 离 ，找 到 一 点 M。 反 过 来 ， 若 给 定 空 间 一 点 M， 逆 着上 述 过 程 可 得 到 一 个 三 元 数 组 (x, y, z )。 图 8.1-3 XZO ),( zyxx y zY 这 样 ， 空 间 中 的 点 M， 与 三 元数 组 (x, y, z )之 间 便 建 立 了 一 一对 应 的 关 系 M (x, y , z ) 三 元 数 组 (x, y, z )称 为 点 M的 坐 标 ， x, y , z 分 别 称 为 点 M 的 第 一分 量 、 第 二 分 量 、 第 三 分 量 。 由 图 8.1-4， 利 用 勾 股 定 理 ， 可 得 空 间 两 点 M1 (x1, y1, z1 )， M2 (x2, y2 , z2 )之 间 的 距 离 公 式 21221221221 )()()(| zzyyxxMM 图 8.1-4X Z 12 yy 12 zz 12 xx 2M1MO Y它 与 直 线 上 两 点 间 的 距 离 2122121 )(| xxxxMM 平 面 上 两 点 间 的 距 离 21221221 )()(| yyxxMM 具 有 同 一 个 形 式 。 由 此 ， 你 不 难得 出 四 维 、 五 维 空 间 的 两 点 间 距 离公 式 该 是 什 么 样 子 。 一 般 说 来 ， 一 个 三 元 方 程 F(x,y,z) = 0有 无 穷 多 解 ， 每 一 个 解 (x, y, z )在 空 间 可 表 示 为 一 个 点 ， 则 方 程 F(x, y , z ) = 0的 所 有 解 将 给 出空 间 中 的 一 张 曲 面 S， 我 们 把 S叫 做 方 程 F(x, y , z ) = 0的 曲 面 ， 而把 方 程 F(x, y , z ) = 0叫 做 曲 面 S的 方 程 。 方 程 (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 (1) 的 解 集 ， 给 出 空 间 中 的 球 面 ， 球 心在 (x 0, y0 , z0 )， 半 径 为 R。 见 图 8.1-5。 方 程 (1)叫 球 面 的 方 程 。 Z 0M MX YO 图 8.1-5 例 8.1.2 方 程 Ax + B y + Cz + D = 0 (2) 给 出 空 间 中 的 平 面 ， 平 面 在 空 间 中 的 摆 放 ， 由 系 数 A、 B、 C、D来 确 定 。 如 图 8.1-6、 图 8.1-7。 方 程 (2)叫 平 面 方 程 的 一 般 形 式 。 YZXO图 8.1-7YZX 图 8.1-6O 例 如 ， 已 知 两 点 M1(1,-1,0)，M2(2,0,-2)， 考 虑 线 段 M1 M2的 垂 直 平 分 面 的 方 程 。 见 图8.1-8。 | MM1 | = | MM2 | 2MM1M 图 8.1-8 想 象 这 个 垂 直 平 分 面 由 一 个 动 点 M(例 如 铅 笔 的 笔 尖 )描 出 ， 则M必 满 足 方 程 即 222222 )2()0()2()0()1()1( zyxzyx整 理 ， 得 x + y + 2z - 3 = 0 可 见 线 段 M1M2的 垂 直 平 分 面 的 方 程 就 是 一 个 形 如 (2)式 的 方 程 。 例 8.1.3 方 程 x2 + y2 = R2 的 解 集 给 出 空 间 中 的 圆 柱 面 ， 它 在 XY平 面 上 的 解 集 为 一 个 圆 。 用 类 似 的 分 析 可 知 ,在 空 间 直 角 坐 标 系 中 : 当 点 (x, y, 0)是 方 程 的 解 ， 即 点 (x, y, 0)在 圆 上 ， 则 对 z， (x, y, z)也 是 方 程 的 解 。这 些 解 构 成 过 点 (x, y, 0)平 行 于 z 轴 的 一条 直 线 ， 所 有 这 样 的 直 线 ， 就 形 成 了 一个 圆 柱 面 。 如 图 8.1-9。 YZX 222 RYX 图 8.1-9若 方 程 缺 少 变 量 ， 其 解 曲 面 一 定是 平 行 于 所 缺 变 量 坐 标 轴 的 柱 面 。 我 们 经 常 利 用 这 一 点 来 确 定 一 个 方 程 所 表 示 的 曲 面 在 空 间 的 摆放 方 式 。 例 8.1.4 方 程 x = 4， 缺 两 个 变 量 ， 因 此 方 程 所 表 示 的 曲 面 既平 行 于 Y轴 又 平 行 于 Z轴 。 方 程 x = 4的 解 集 是 平 行 于 YZ坐 标 平 面的 平 面 ， 且 到 YZ坐 标 面 的 距 离 是 4。 如 图 8.1-10。 注 意 ， x = 4在 一 维 空 间 中 表 示 一 点 ， 在 二 维 空 间 中 表 示 一 条 直线 ， 方 程 的 图 形 与 所 在 空 间 的 维 数 有 关 。 YZX O图 8.1-10 平 面 上 由 一 条 或 几 条 曲 线 围 成 的 部 分 叫 区 域 。 如 图 8.2-1。 围 成 区 域 的 曲 线 叫 区 域 的 边 界 曲 线 。 包 括 边 界 的 区 域 叫 闭 区 域 ， 不 包 括 边 界 区 域 的 叫 开 区 域 。 图 8.2-1 区 域 通 常 由 不 等 式 组 的 解 集 给 出 。 例 如 ,不 等 式 x2 + y2 4的 解 集 为 闭 圆 域 ,见 图 8.2-2. X图 8.2-2OY表 示 为 。 4|),( 22 yxyx不 等 式 组 的 解 集 为 闭 环 域 ， 1422 22 yx yx表 示 为 ， 见 图 8.2-3。 41|),( 22 yxyx X图 8.2-3OY区 域 叫 点 20)(|),( xxyx )( 220 yy(x0, y0)的 邻 域 ， 见 图8.2-4。 X图 8.2-4O ),( 00 yx Y 直 观 上 ， 不 连 通 的 区 域 是 由 几 块 “ 彼 此 隔 离 ” 的 区 域 组 成 的 ，如 图 8.2-7， 而 连 通 的 区 域 是 一 块 区 域 。 若 区 域 延 伸 到 无 穷 远 ， 称 区 域 为 无 界 区 域 ； 若 区 域 总 能 被 某 个半 径 为 R的 圆 所 包 围 ， 称 区 域 为 有 界 区 域 。 也 为 有 界 连 通 闭 区 域 。 如 图 8.2-5、 若 区 域 内 的 任 意 两 点 ,总 可 用 区 域 内 的 一 条 曲 线 联 结 ,称 区 域 为连 通 区 域 。 例 如 ， 为 有 界 、 连 通 、 闭 区 域 ； 5|),( 22 yxyxD 1|,1|),( yxyxD图 8.2-6。 X图 8.2-6OYX图 8.2-5OY 若 变 量 u依 赖 于 两 个 变 量 x, y， 称 变 量 u是 两 个 变 量 x, y的 二 元 函数 ， 记 为 u = f (x, y)。 例 如 ， 一 个 矩 形 面 积 S， 就 依 赖 于 矩 形 的 长 x和 宽 y， 面 积 S就 是一 个 二 元 函 数 ， S = xy 。 若 变 量 u 依 赖 于 三 个 变 量 x, y, z， 称 变 量 u是 三 个 变 量 x, y, z的 函数 ， 记 为 u = f (x, y, z)。 例 如 ， 一 个 长 方 体 ， 长 、 宽 、 高 分 别 为 x, y, z， 则 体 积 和 表 面 积 V = x y z S = 2xy + 2yz + 2zx 都 是 一 个 三 元 函 数 。 一 般 地 ， 若 变 量 u依 赖 于 n个 变 量 x1, , xn(此 时 变 量 不 再 用 不 同的 字 母 表 示 ， 而 是 用 带 有 下 标 的 同 一 个 字 母 表 示 )， 称 变 量 u是 n个变 量 x1, , xn的 n元 函 数 ， 记 为 u = f (x1, xn) 一 般 人 们 称 多 于 一 个 自 变 量 的 函 数 ， 叫 多 元 函 数 。 在 多 元 函 数中 ， 二 元 函 数 的 理 论 最 重 要 。 因 为 二 元 函 数 ， 可 以 象 一 元 函 数 那样 用 图 形 表 示 ， 因 而 一 些 结 论 直 观 ， 便 于 理 解 ， 表 述 起 来 相 对 简单 ， 而 且 二 元 函 数 也 最 常 用 。 更 重 要 的 是 ， 多 元 函 数 的 一 般 理 论 与 二 元 函 数 是 类 似 的 。 因 此 ，以 下 两 章 中 ， 就 以 二 元 函 数 为 主 进 行 讨 论 。 与 一 元 函 数 一 样 ， 自 变 量 的 变 化 范 围 称 为 函 数 的 定 义 域 ， 二 元函 数 的 定 义 域 通 常 为 平 面 上 的 一 个 区 域 。 确 定 一 个 函 数 的 定 义 域 ，也 是 考 虑 两 个 方 面 ， 一 个 是 实 际 意 义 ， 一 个 是 使 函 数 的 表 达 式 有意 义 。 例 如 矩 形 面 积 S = xy 定 义 域 就 是 XY平 面 上 第 一 象 限 内 点 的 集 合 0,0|),( yxyxD函 数 的 定 义 域 ， 就 是 满 足 不 等 式 224 yxu 4 - x2 + y2 0 的 解 集 ， 即 4|),( 22 yxyxD这 是 平 面 上 的 一 个 闭 区 域 。 将 平 面 上 的 一 个 点 (x, y)， 用 一 个 字 母 P表 示 (P为 point的 第 一 个字 母 )， 在 很 多 情 况 下 表 达 起 来 是 很 方 便 的 ， 这 时 u随 着 x, y的 变 化而 变 化 ， 就 可 说 u随 着 点 P的 变 化 而 变 化 。 u是 x, y的 函 数 ， 就 可 说u是 P的 函 数 ， 记 成 u = f (P) 前 面 对 多 元 函 数 的 描 述 ， 不 应 算 作 是 定 义 ， 因 为 其 中 有 一 个 没有 说 清 楚 的 东 西 ， 就 是 “ u依 赖 于 x, y” 。 正 式 的 定 义 ， 应 该 把 函数 定 义 成 一 个 对 应 规 则 ： 这 时 二 元 函 数 表 述 起 来 几 乎 象 一 元 函 数 一 样 。 设 D是 平 面 上 的 一 个 区 域 ， 若 对 PD， 按 照 对 应 规 则 f， 有 唯一 确 定 的 实 数 u与 之 对 应 ， 称 u是 P的 函 数 ， 记 为 u = f (P) 或 u = f (x, y) 记 D为 f的 定 义 域 ， x, y为 自 变 量 。 给 定 一 个 二 元 函 数 z = f (x, y)， 其 定 义 域 为 XY平 面 上 的 一 个 区 域D， 对 (x,y)D， 有 唯 一 确 定 的 z与 之 对 应 ， 以 (x, y, z)为 点 的 坐 标 ，在 空 间 中 可 定 出 一 点 。 当 (x, y)走 遍 D， 所 有 这 种 点 (x, y, z)便 在 空 间 中 形 成 一 张 曲 面 ，称 为 二 元 函 数 z = f (x, y)的 图 象 或 图 形 。 用 上 节 的 术 语 ， 二 元 函 数z = f (x, y)的 图 象 ， 也 就 是 方 程 z = f (x, y)的 解 曲 面 。 见 图 8.2-8。 图 8.2-8X Z ),(,( yxfyxO X ZO ),(,( yxfyxY Y 函 数 z = x2 - y2的 图 像 ， 见 图 8.2-10。函 数 z = x2 - y2的 图 像 常 称 为 马 鞍 面 。 例 如 ： 函 数 的 图 像 ， 见图 8.2-9。 函 数 的 图 像 常称 为 钟 形 曲 面 。 )( 22 yxez )( 22 yxez 图 8.2-9图 8.2-10 函 数 z = x2 + y2的 图 像 ， 见 图 8.2-11。 函 数 z = x2 + y2的 图 像 常 称 为旋 转 抛 物 面 。 图 8.2-11 对 于 二 元 函 数 z = f (P)， P为 点 (x, y) 其 极 限 与 连 续 的 定 义 ， 在 形 式 上 与 一 元 函 数 一 样 。 若 当 P P0时 ， f (P)无 限 趋 于 常 数 A， 称 当 P P0时 ， f P)的 极限 为 A， 记 为 APf PP )(lim0或 Ayxfyxyx ),(lim ),(),( 00 例 8.3.1 求 xyxyx sinlim )5,0(),( xyxyx sinlim )5,0(),( yxyxyyx 1sinlim )5,0(),( 51其 中 ， 第 二 步 利 用 了 重 要 极 限 。 例 8.3.2 求 22 2)0,0(),( lim yx xyyx 22 2)0,0(),( lim yx xyyx 22 2)0,0(),( lim yx yxyx 122 2 yx y= 0 其 中 ， 第 二 步 利 用 了 “ 有 界 量 与 无 穷 小 量 的 积 还 是 无 穷 小 量 ” 。 若 当 P P0时 ， f (P)的 极 限 存 在 ， 且 等 于 P0处 的 函 数 值 ， 即 )()(lim 00 PfPfPP 称 二 元 函 数 在 P0处 连 续 。 若 f (P)在 区 域 D上 处 处 连 续 ， 称 f (P)在 D上 连 续 。 若 P表 示 n维 空间 中 的 点 (x1, xn)， 上 述 定 义 可 看 作 是 n元 函 数 的 极 限 与 连 续 的 定义 。 与 一 元 函 数 类 似 ， 连 续 函 数 有 性 质 ： (1) 若 f (x, y )， g (x, y ) 在 D 上 连 续 ， 则 )0(, ggffggf也 在 D上 连 续 。 (2) 连 续 函 数 的 复 合 函 数 还 是 连 续 函 数 。 (3) 若 f (x)是 一 元 连 续 函 数 ， 则 把 z = f (x)看 作 x, y的 二 元 函 数 ，也 是 二 元 连 续 函 数 。 ( 就 像 我 们 把 y = C看 作 x的 一 元 函 数 一 样 ， 在 讨 论 二 元 函 数 时 ，我 们 把 z = f (x)看 作 x, y的 二 元 函 数 ， 尽 管 z 并 不 依 赖 于 y， 或 者 说 ，尽 管 f (x)中 并 不 含 有 y )。 类 似 地 ， xy连 续 ， ev连 续 ， 从 而 复 合 函 数 exy连 续 。 利 用 上 述 性 质 ， 就 可 由 一 元 初 等 函 数 的 连 续 性 来 判 断 一 个 二 元函 数 的 连 续 性 。 例 如 由 x2， y2 连 续 ， 其 和 x2 + y2 连 续 ； sinu 连 续 ， 从 而 复 合 函 数 sin (x2 + y2) 连 续 。 f (x, y) = sin (x2+y2) + exy 所 以 和 sin (x2y2) + exy连 续 。 有 界 闭 区 域 上 的 连 续 函 数 具 有 下 述 性 质 ： (1) 若 f (P)是 有 界 闭 区 域 上 的 连 续 函 数 ， 则 f (P)必 有 界 ， 即 M， 使 得 | f (P)| M。 (2) 若 f (P)是 有 界 闭 区 域 上 的 连 续 函 数 ， 则 f (P)必 取 得 最 大 值与 最 小 值 ， 即 ， 存 在 P1D， 使 得 f (P) f (P1) , PD 存 在 P 2D， 使 得 f (P) f (P2) , PD 即 ， C， m C M (3) 若 f (P)是 有 界 连 通 闭 区 域 上 的 连 续 函 数 ， 则 对 于 任 一 介 于最 大 值 与 最 小 值 之 间 的 值 C， C必 是 某 点 的 函 数 值 PD， s.t. f (P) = C 这 些 性 质 ， 记 住 就 行 了 。 有 界 连 通 闭 区 域 上 的 连 续 函 数 ， 其 图 形 是 一 张 连 续 的 曲 面 。 下 面 一 条 性 质 ， 除 了 要 求 区 域 是 “ 有 界 ” 的 、 “ 闭 ” 的 以 外 ，还 要 求 区 域 是 “ 连 通 ” 的 。 对 于 二 元 函 数 z = f (x, y)， 将 y固 定 在 y0， 则 z = f (x, y0)便 成 为 x的 一 元 函 数 (见 图 8.4-1)。 一 元 函数 z = f (x, y0)在 x0处 的 导 数 ， 称 为函 数 f (x, y)在 (x0, y0)处 对 x的 偏 导数 值 ， 记 为 ),( 00 yxfx 几 何 上 ,偏 导 数 值 是曲 线 z = f(x, y0)在 点 (x0, y0, z0)处 的切 线 的 斜 率 。 ),( 00 yxfx 0yY ),( 0yxf),( 00 yx ),( 000 zyx 图 8.4-1 X在 变只 是注 意 x, 类 似 地 (见 图 8.4-2), 将 x固 定在 x0， 一 元 函 数 f (x0, y)在 y0处 的导 数 ， 称 为 函 数 f 在 (x0, y0)处 对y的 偏 导 数 ， 记 为 几 何 上 ， 偏 导 数 值 是 曲 线 z = f (x 0, y)在 点 (x0, y0, z0)处的 切 线 的 斜 率 。 ),( 00 yxfy 图 8.4-2 X0 x在 变只 是注 意 y:Y ),( 00 yx),( 0 yxf ),( 000 zyx 若 f 在 区 域 D内 每 一 点 (x, y) 处 都 有 对 x的 偏 导 数 ， fx(x, y)， 则 fx(x, y)是 定 义 在 D上 的 二 元 函 数 ， 称 为 f 对 x的 偏 导 (函 )数 ， 通 常括 号 中 的 “ 函 ” 字 并 不 读 出 ， 对 x的 偏 导 数 还 常 记 为 yzyfzx ,类 似 地 ， 可 定 义 对 y的 偏 导 数 ， 对 y的 偏 导 (函 )数 ， 常 记 为 yzyfzyxf yy ,),( 注 ： 函 数 f(x,y)对 x的 偏 导 数 在 (x0, y0)处 的 值 ， 除 了 记 为 fx(x0, y0)外 ， 还 常 记 为 ),(),(00 0000 ,),( yxyxx xzxfyxz 对 y的 偏 导 数 在 (x0, y0)处 的 值 ， 除 了 记 为 fy (x0, y0)外 ， 还 常 记 为 ),(),(00 0000 ,),( yxyxy yzyfyxz 由 上 述 定 义 可 见 ： f 对 x的 偏 导 数 ， 就 是 在 f (x, y)中 ， 将 y看 作 常 数 (f (x, y)看 作 x的 一 元 函 数 )时 ， 对 x的 导 数 。 符 号 fx()表 示 ： 将 其 它 变 量 都 看 作 常 数 ， 对 x求 导 。 符 号 f y()表 示 ： 将 其 它 变 量 都 看 作 常 数 ， 对 y求 导 。 这 样 ， 求 偏 导 数 在 方 法 上 与 一 元 函 数 一 样 。 fx (x, y) = 将 y看 作 常 数 ， 对 x导 fy (x, y) = 将 x看 作 常 数 ， 对 y导 例 8.4.1 求 z = yx 的 偏 导 (y看 作 常 量 ， yx就 是 指 数 函 数 ) (x看 作 常 量 ， yx就 是 幂 函 数 ) 函 数 在 一 点 (x 0, y0)处 的 偏 导 数 ,也 就 是 偏 导 函 数 在 (x0, y0)处 的 值 。yyz xx ln 1 xy xyz例 8.4.2 z = f (xy), 求 , yx zz yxyfxyxyfz xx )()()( xxyfzy )( 上 述 偏 导 数 的 概 念 与 计 算 ， 我 想 ， 你 已 经 知 道 该 如 何 推 广 到 n元 函 数 。 例 8.4.3 求 ,arctan xyz ,xz ,yz ,)1,1(xz )1,1(yz,1 1 2222 yx yxyxyzx ,21)1,1( xz,11 1 222 yx xxxyzy 21)1,1( yz设 有 n元 函 数 u = f (x1, xn) = 将 其 它 变 量 都 看 作 常 数 ， 对 xi导 ),( 1 nx xxf i i =1, n 注 意 ， 在 偏 导 数 记 号 fx (x, y)中 ， 应 当 把 作 为 “ 下 标 ” 的 字 母 x与 作 为 “ 变 量 ” 的 字 母 x区 别 开 来 ， 下 标 字 母 只 表 示 对 谁 求 导 。 类 似 地 ， 有 所 以 ， 例 8.4.4 设 函 数 zuzyuyxuxzyxu 求,222 uxzyx xxzyxxu 222222 22 1 uzzuuyyu , uuzuyuxzuzyuyxux 222 二 元 函 数 z = f (x, y)的 偏 导 数 ， 有 两 个 它 们 仍 为 x, y的 二 元 函 数 ， 对 它 们 可 以 继 续 求 偏 导 。 fx (x, y)， fy (x, y) 或 222222 , yfxyfyxfxf ,),( xfxyxff xxxx yfyyxff yxxy ),(数 f 的 偏 导 数 的 偏 导 数 ， 称 为 f 的 二 阶 偏 导 数 ， 二 元 函 数 的 二 阶 , yyyxxyxx ffff偏 导 数 有 四 个 ,记 为 一 般 地 ， n -1阶 偏 导 数 的 偏 导 数 称 为 n阶 偏 导 。 按 照 上 述 定 义 ,求 二 阶 偏 导 ,只 要 “ 导 了 再 导 ” 就 可 以 ,以 下 类 推 。 例 8.4.6 求 z = exy + x的 二 阶 偏 导 = 3x2y2 - 2xy3 + y ； xz yz = 2 x3y - 3x2y2 + x xxz = 6xy2 - 2y3 ； xyz = 6x2y - 6xy2 + 1 yxz = 6x2y - 6xy2 + 1 ； yyz = 2 x3 - 6x2y 注 意 ： 。 yxxy zz 例 8.4.5 求 z = x3y2 - x2y3 + xy 的 二 阶 偏 导 = y exy + 1 ； xz yz = xexy xxz = y2exy ； xyz = exy + x y exy yxz = exy + x y exy ； yyz = x2exy 注 意 ： 。 yxxy zz 二 阶 偏 导 数 叫 二 阶 混 合 偏 导 。 二 阶 混 合 偏 导 一 般 说 来与 求 导 顺 序 有 关 ， 但 在 下 述 条 件 下 ， 与 求 导 顺 序 无 关 。 , yxxy ff 若 二 阶 混 合 偏 导 连 续 ,则 与 求 导 顺 序 无 关 ,即 ),(,),( yxfyxf yxxy yxxy ff 当 混 合 偏 导 与 求 导 顺 序 无 关 ,则 可 以 写 类 似 于 “ ” 532 xyyxxy fff 的 式 子 。 偏 导 数 fx 表 示 ， z对 x的 变 化 率 ， 也 就 是 当 y不 变 ， x变 化 一 单 位 ，z将 变 化 几 单 位 。 类 似 地 ， fy 表 示 z对 y的 变 化 率 。 一 元 函 数 在 一 点 x0处 可 微 ， 是 指 存 在 线 性 函 数 Ax， 使 得 函 数改 变 量 y能 够 表 示 为 xxAy (1) 其 中 | x |是 x0到 x0 + x的 距 离 。 为 了 便 于 类 比 ， 将 其 表 示 为 距离 的 一 般 形 式 2)(| xx 于 是 (1)式 又 可 表 示 为 )( 2xxAy 类 似 地 ， 二 元 函 数 在 一 点 (x0, y0)处 可 微 ， 也 是 指 在 这 点 处 的 函数 改 变 量 z可 以 用 一 个 线 性 函 数 近 似 ， 即 ， 存 在 线 性 函 数 Ax+ By， 使 得 函 数 改 变 量 z可 以 表 示 成 22 )()( yxoyBxAz 其 中 为 由 点 (x, y)到 点 (x + x， y + y)距 离 。 22 )()( yx 有 了 这 些 准 备 ， 我 们 可 以 正 式 提 出 定 义 了 。 设 f 在 (x0, y0)的 某 个 领 域 内 有 定 义 ， 若 存 在 线 性 函 数 Ax+ By，使 得 函 数 改 变 量 z = f (x0+x， y0+y) - f (x0, y0)可 以 表 示 为 dz = Ax + By 22 )()( yxoyBxAz (2) 称 f 在 (x0, y0)处 可 微 ， 并 称 线 性 部 分 Ax+ By为 f 在 (x0, y0)处 的全 微 分 ， 记 为 dz， 即 由 定 义 可 知 ， f 在 (x0, y0)处 可 微 是 指 ： 函 数 改 变 量 可 用 线 性 函 数 近 似 (因 为 这 个 线 性 函 数 与 函 数 改 变量 只 差 一 个 高 阶 无 穷 小 量 )， 这 个 线 性 函 数 就 叫 全 微 分 。 例 如 ， z = x2 + y2 注 意 ， 全 微 分 是 “ 线 性 函 数 ” ， 而 不 是 一 个 “ 数 ” 。 z = x2 + y2 在 (x0, y0) 处 可 微 ， 且 微 分 就 是 dz = 2x0 x + 2y0y ，它 是 关 于 x， y的 线 性 函 数 。 )()()( 20202020 yxyyxxz 2200 22 yxyyxx )(22 2200 yxoyyxx 其 中 就 是 。 )( 22 yxo 22 yx 若 f (x, y)的 偏 导 数 在 (x0, y0)的 某 邻 域 内 存 在 ， 且 在 (x0, y0)处 连 续 ，则 f (x, y)在 (x0, y0)处 可 微 ， 且 yyxfxyxfdz yx ),(),( 0000 自 变 量 的 改 变 量 x, y， 习 惯 上 写 成 dx, dy， 因 而 (x0, y0)处 的 全微 分 为 dyyxfdxyxfdz yx ),(),( 0000 (3) 若 f 在 D内 处 处 可 微 ， 称 f 在 D上 可 微 ， 此 时 f 在 D上 的 全 微 分 为 dyyxfdxyxfdf yx ),(),( 这 个 定 理 告 诉 我 们 ， 微 分 定 义 中 的 系 数 A就 是 偏 导 数 fx(x, y)，系 数 B就 是 偏 导 数 fy(x, y)。 于 是 计 算 全 微 分 ， 只 需 计 算 fx(x, y)，fy(x, y)， 再 代 入 (3)式 。 解 ： 例 8.5.1 ， 求 dz yxz arctan 222 11 1 yx yyyxxz 22221 1 yx xyxyxyz 222222 yx xdyydxdyyx xdxyx ydz 解 ： 例 8.5.2 求 函 数 的 全 微 分 22 yxez 2222 2),(;2),( yxyyxx yeyxfxeyxf 由 dyyedxxedz yxyx 2222 22得解 ： 例 8.5.3 u = xyz + exyz , 求 du。 xu = yz + exyz yz = yz (1+ exyz) yu = xz + exyz xz = xz (1+ exyz) zu = xy + exyz xy = xy (1+ exyz) 可 得 du = (1+ e xyz )(yzdx + xzdy + xydz) 。 类 似 地 ， n元 函 数 的 全 微 分 为 nnxnx dxxxxfdxxxxfdu n ),.,(),.,( 12111211 (4) 复 合 函 数 求 偏 导 ， 基 本 规 则 就 是 链 式 法 则 ： 即 复 合 函 数 的 导 数 ，是 各 函 数 导 数 的 乘 积 。 但 多 元 函 数 的 复 合 方 式 多 种 多 样 ， 链 式 法则 的 形 式 也 就 五 花 八 门 。 这 里 的 关 键 ， 是 搞 清 楚 复 合 关 系 ， 并 正确 地 画 出 复 合 关 系 图 。 我 们 通 过 两 种 情 况 ， 来 介 绍 复 合 函 数求 偏 导 数 的 方 法 。 其 余 可 依 此 类 推 。 设 有 复 合 函 数 )(),( xxfz 它 由 z = f (u,v)， u = (x)， v = (x)复 合 而 成 ， u和 v称 为 中 间 变量 。 这 一 复 合 关 系 可 用 图 8.6-1表 示 ： z uv x图 8.6-1 图 8.6-1常 说 成 ： z到 x有 两 条 路 ， 每 条 路 有 两 步 ， 一 条 线 段 表示 一 步 。 若 z = f (u,v)可 微 ,u = (x),v = (x)可 导 ,则 复 合 函 数 可 导 ,且 dxdvvfdxduufdxdz (1)式 称 为 链 式 法 则 。 (1) 由 z = f (u, v)可 微 ， 有 22 )()( vuovvfuufz 两 边 同 除 以 x， x vuoxvvfxuufxz 22 )()( 令 x0， 注 意 到 2222 2222 )()( )()()()( xvxuvu vuox vuo 0， (当 x0) 有 dxdvvfdxduufdxdz vfuf书 写 中 ， 常 将 记 成 f1(u,v)， 甚 至 更 简 单 地 ， 记 成 f1。 f1表 示 f 对 第 一 变 量 求 导 。 类 似 地 ， 记 成 f2 。 将 链 式 法 则 与 复 合 关 系 图 8.6-1比 较 ， 可 见 有 下 列 对 应 关 系 ： 例 如 ， z uvz对 u的 导 数 就 是 偏 导 ,记 为 ； 同 理 ,对 v的 导 数 就 是 偏 导 。vfufu x： u对 x就 是 一 元 函 数 的 导 数 ， 记 为 。 dxdu 每 条 路 中 ， 各 步 导 数 相 乘 。 一 步 对 应 一 次 求 导 ， 若 有 分 叉 ， 对 应 着 偏 导 。 例 如 ， z u x这 条 路 ， 对 应 dxduuf 将 z到 x的 所 有 条 路 的 导 数 相 加 ： z u x这 条 路 ， 对 应 着 dxduuf z v x这 条 路 ， 对 应 着 dxdvvf 将 这 两 路 的 导 数 相 加 ,即 。 dxdvvf、dxduuf dxdvvfdxduuf 这 样 ， 对 复 合 函 数 求 导 ， 就 可 以 先 画 出 复 合 关 系 图 ， 然 后 再 按照 上 述 对 应 关 系 ， 照 图 写 式 。 这 是 直 观 、 方 便 、 又 不 易 出 错 的 一种 方 法 。 例 8.6.1 dxdzxxfz 求,sin,2z uv x 其 中 u = x2， v = sinx， 由 链 式 法 则 ， 有 xfxfdxdz cos2 21 设 有 复 合 函 数 ， 它 由 z = f (u, v)， u = (x, y)， v = (x, y)复 合 而成 ， 这 一 复 合 关 系 可 用 图 8.6-2表 示 ： z uv x图 8.6-2 y 若 z = f (u, v)可 微 ， u = (x, y)， v = (x, y)偏 导 存 在 ， 则 复 合 函数 的 两 个 偏 导 数 存 在 ， 且 )2( yvvfyuufyz xvvfxuufxz (2)式 称 为 复 合 函 数 的 链 式 法 则 。 通 常 人 们 所 说 的 链 式 法 则 ，一 般 指 (2)式 。 将 y看 作 常 数 ， 就 归 结 为 定 理 8.6.1的 情 况 。 由 定 理 8.6.1， (2)的第 一 式 成 立 ， 类 似 地 ， 将 x看 作 常 数 ， 可 知 (2)的 第 二 式 也 成 立 。 例 8.6.2 yzxzxyyxfz ,sin,22 求解 ： 设 u = x2 + y2， v = sinxy， 则 z uv xy要 注 意 复 合 关 系 图 与 链 式 法 则 的 对 应 关 系 ： 一 步 一 导 ， 分 叉 偏 导 ； 按 路 相 乘 ； 各 路 相 加 。 z到 x有 两 条 路 ： z u x， z v x。 按 照 “ 按 路 相 乘 ” “ 各路 相 加 ” 的 规 则 ， 有 xvvfxuufxz xyyfxf cos2 21 画 出 复 合 关 系 图 ； z到 y有 两 条 路 ： z u y， z v y。 所 以 yvvfyuufyz xyxfyf cos2 21 注 意 ， f1是 fu(u, v)的 简 记 形 式 。 对 于 简 记 形 式 ， 心 中 必 须 清 楚其 完 整 表 达 的 形 式 。 类 似 地 ， f2是 fv(u, v)的 简 记 形 式 。 从 上 面 的 例 子 可 以 看 出 ， 对 复 合 函 数 求 导 ， 我 们 并 没 有 直 接 套公 式 ， 而 是 再 看 几 个 例 子 。 按 照 规 则 ： 一 步 一 导 、 分 叉 偏 导 、 按 路 相 乘 、 各 路 相 加 、照 图 写 式 。 于 是 ， 例 8.6.3 设 yzxzyxxyxfz , 22 求解 ： 设 u = x , v = x y , w = x2y2， 则 uv xywf xwwfxvvfxuufxz 2321 21 xyfyff ywwfyvvfyz yxfxf 232 2 于 是 ， 例 8.6.4 设 dydzdxdzyxxyz , 求设 u = x y , 则 ,yxv uv xyxvvxuuxz yy 1 21 yvvyuuyz 221 yxx 隐 函 数 求 偏 导 的 规 则 与 以 前 一 样 ， 仍 是 ： “ 记 住 y是 x的 函 数 ， 两 边 对 x导 ， 解 出 y” 。 只 不 过 现 在 是 利 用 偏 导 数 符 号 ， 把 这 一 规 则 公 式 化 了 。 当 ， 方 程 F(x, y) = 0， 确 定 隐 函 数 y = y (x)， 代 入 方 程 0yF F( x, y(x) ) = 0 (1) 注 意 左 边 的 复 合 关 系 ， 见 图 8.7-1： 图 8.7-1F xy x F xy或 F到 x有 两 条 路 ： F x， F y x， 于 是 ， (1)式 两 边 对 x求 导 ： (2) 这 就 是 由 方 程 F(x, y) = 0确 定 的 隐 函 数 的 导 数 公 式 。 以 后 再 求隐 函 数 的 导 数 ， 你 可 以 直 接 用 这 个 公 式 。 当 然 也 可 以 仍 如 从 前 那样 ： 两 边 对 x导 ， 解 出 y。 0 dxdyyFxF解 出 dxdy yFxFdxdy 注 1 当 ， 方 程 F(x, y) = 0， 可 确 定 隐 函 数 y = y(x)，0yF 0 xF当 ， 方 程 F(x, y) = 0， 可 确 定 隐 函 数 x = x(y)。 注 2 方 程 F(x, y) = 0， 确 定 隐 函 数 y = y(x)， 但 并 不 意 味 着 我 们能 把 y解 出 来 而 写 成 显 式 。 把 y解 出 写 成 显 式 ， 常 常 很 困 难 ， 甚 至是 不 可 能 的 。 例 8.7.1 求 由 siny + xey = xy2 确 定 的 隐 函 数 y = y(x)的 导 数 。 原 方 程 可 变 为 siny + xey - xy2 = 0 (标 准 形 式 ， 右 边 是 零 ) 设 F(x,y) = siny + xe y - xy2， 则 有 xyxeyyFyexF yy 2cos,2 于 是 xyxey yedxdy yy 2cos 2 当 ， 方 程 F(x, y, z) = 0， 确 定 二 元 隐 函 数 z = z (x, y)，0zF将 此 式 代 入 方 程 F ( x, y, z(x, y) ) = 0 (3) 注 意 左 边 的 复 合 关 系 ， 见 图 8.7-2： 图 8.7-2F xy xz yF到 x有 两 条 路 ： F x， F z x， 于 是 ， (3)式 两 边 对 x求 导 (把 y看 作 常 数 )： 0 xzzFxF (4) 这 是 由 方 程 F(x, y, z) = 0确 定 的 隐 函 数 的 导 数 公 式 。 解 出 :xz zFxFxz (5) 类 似 的 zFyFyz 同 样 的 ， 求 F(x, y, z) = 0确 定 的 隐 函 数 的 导 数 ， 你 可 以 用 这 个 公式 ， 也 可 以 ： xz将 y看 作 常 数 ， 两 边 对 x导 ， 解 出 ， 。 注 1. 当 ， 方 程 F(x, y, z) = 0， 可 确 定 隐 函 数 z = z(x, y)。 0zF注 2. 当 ， 方 程 F(x, y, z) = 0， 可 确 定 隐 函 数 x = x(y, z)。 0 xF还 有 一 种 情 况 ， 你 可 以 自 己 说 出 。 符 号 z(x, y)表 示 z是 x, y的 函 数 ， x(y, z)表 示 x是 y, z的 函 数 。 令 F(x,y,z) = sinz - xyz 例 8.7.2 sinz = xyz 确 定 z = f (x,y), 求 yzxz ,化 为 标 准 形 sinz - xyz = 0 由 公 式 (4)、 (5)， 有 ,yzxF ,xzyF xyzzF cosxyzxzyzxyzyzxz cos,cos 为 方 便 表 述 ， 本 节 中 p0表 示 点 (x0, y0)， p表 示 点 (x, y)。 若 存 在 p0的 某 邻 域 N(p0)， s.t. p N (p0)， 有 f (p) f (p 0) 称 f (p0)为 f的 一 个 极 大 值 ， p0为 一 个 极 大 值 点 。 见 图 8.8-1。 ),( 00 yx图 8.8-1 XZOY 若 f在 p0处 偏 导 数 存 在 ， 且 p0为 极 值 点 ， 则 fx(p0) = 0， fy(p0) = 0 不 妨 设 p0为 极 大 值 点 ， 则 存 在 p0 的 某 邻 域 N(p0)， s.t. p N (p0)， 有 f (p) f (p0) 特 别 ， 有 f (x, y0) f (x0, y0) 这 说 明 f (x0, y0)是 一 元 函 数 f (x, y0)的 极 大 值 点 。 由 一 元 函 数 极 值 必 要 条 件 ， 知 f x(x0, y0) = 0 同 理 ， 有 fy(x0, y0) = 0 证 毕 使 两 个 偏 导 同 时 为 0的 点 ， 称 为 二 元 函 数 的 驻 点 。 (在 三 元 函 数 中 ,使 三 个 偏 导 数 同 时 为 0的 点 ,叫 驻 点 。 其 余 类 推 ) 定 理 8.8.1说 ， 偏 导 数 存 在 的 极 值 点 必 是 驻 点 。 但 驻 点 不 一 定 是 极 值 点 。 例 如 (见 图 8.8-2)，(0,0)是 驻 点 ,但 (0,0)不 是 f的 极 值 点 ,因 为 沿 直 线 y = 0， f (x, 0) = -x 2 f (0, 0) = 0， 沿 直 线 x = 0， f (0, y) = y2 f (0, 0) = 0 图 8.8-22)0,( xxf 2),0( yyf X Y的 图 像22),( xyyxf )0,0(Zf (x, y) = y2 - x2 fx = -2x， fy = 2y fx(0,0) = 0， fy (0,0) = 0 函 数 z = y2 -x2的 图 形 称 为 马 鞍 面 ， 点 (0, 0)称 为 鞍 点 。 极 值 点 也 可 能 在 偏 导 不 存 在 的 点 处 取 得 ， 见 图 8.8-3。 但 这 样 的点 没 法 使 用 微 积 分 的 工 具 ， 我 们 不 予 考 虑 。 图 8.8-3Z YX 定 理 8.8.1说 ， 在 偏 导 数 存 在 的 情 况 下 ， 极 值 点 必 是 驻 点 。 因 此为 求 极 值 点 ， 要 先 求 驻 点 。 驻 点 可 以 通 过 解 方 程 组 0),( 0),( yxf yxfyx 求 出 。 但 有 例 子 说 明 ， 驻 点 又 不 一 定 是 极 值 点 。 下 述 充 分 条 件 ， 能 使我 们 从 驻 点 中 进 一 步 “ 选 出 ” 极 值 点 。 设 f (x, y)在 点 (x0, y0)的 某 邻 域 内 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， (x0, y0)为 f 的驻 点 ， 记 ),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx = B2 -AC 则 当 0， 是 极 小 值 点 ； 当 A 0， (x 0, y0)不 是 极 值 点 。 注 意 ： 当 = 0， 本 判 别 法 失 效 。 由 上 述 讨 论 ， 对 于 二 元 函 数 f (x, y)， 可 按 下 述 步 骤 计 算 极 值 。 解 方 程 组 求 驻 点 ； 计 算 三 个 二 阶 偏 导 数 ； 计 算 三 个 二 阶 偏 导 数 在 驻 点 处 的 值 A， B， C， 0),( 0),( yxf yxfyx根 据 以 及 A的 符 号 确 定 (x 0, y0)的 极 值 情 况 。 例 8.8.1 求 f (x,y) = y3 - x2 + 6x -12y + 5的 极 值 。 . 计 算 三 个 二 阶 偏 导 数 . 计 算 三 个 二 阶 偏 导 数 在 驻 点 处 的 值 A， B， C， (3,-2) = 02 - (-2) (-12) = -24 0 (3, 2)不 为 极 值 点 。 例 8.8.2 要 用 铁 皮 做 一 个 容 积 为 8立 方 米 有 盖 长 方 体 水 箱 ， 怎 样选 取 长 、 宽 和 高 的 尺 寸 ， 才 能 使 用 料 最 省 ？ 设 水 箱 的 长 、 宽 、 高 各 为 x米 、 y米 、 z米 ,则 xyz = 8立 方 米 。设 水 箱 的 表 面 积 为 S， 则 S = 2 ( xy + yz + zx )， (这 是 在 条 件 xyz=8下 ,求 S=2(xy+yz+zx)的 极 值 ,是 条 件 极 值 问 题 ) 由 条 件 xyz = 8解 出 ,代 入 函 数 S = 2 ( xy + yz + zx ),得 xyz 8 0,0|),(,882 yxyxDyxxyS S 由 有 由 实 际 意 义 ， 水 箱 所 用 铁 皮 面 积 有 最 小 值 ， 又 只 有 一 个 驻 点(2,2)， 所 以 驻 点 (2,2)就 是 使 S取 得 最 小 值 的 点 。 因 此 ， 当 x = y = 2时 ， 水 箱 所 用 材 料 最 省 。 082 082 22yxyS xyxS xyyxxyyxyx xy 222222 ,88,08 08 从 而 解 得 , 代 入 , 得 , 得 驻 点 (2,2) 。yx 08 2 xy 283 yx 用 16米 长 的 铁 丝 , 做 一 个 矩 形 ,怎 样 做 矩 形 的 面 积 最 大 ?你 可 能 已 经 知 道 了 答 案 ， 但 这 里 是 以 此 例 来 说 明 概 念 。 设 矩 形 的 长 为 x,宽 为 y,如 图 8.9-1。 面 积 为 S,则 周 长 为 2x+2y。 xy 图 8.9-1这 一 问 题 可 表 述 为 ： 求 函 数 S = xy 在 条 件 2x + 2y = 16 下 的 极 值 问 题 。 函 数 S = xy是 我 们 要 最 大 化 的 对 象 ， 或 者 说 是 我 们 要 最 优 化 的 对象 ； 方 程 2x + 2y = 16称 为 约 束 条 件 。 从 实 际 意 义 上 讲 ， 约 束 条 件 反 应 了 资 源 的 限 定 。 从 数 学 意 义 上 讲 ， 约 束 条 件 是 对 函 数 S = xy的 自 变 量 的 取 值 范 围的 约 束 。 由 于 约 束 的 存 在 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 受 到 限 制 ， 自 变 量 的 取 值范 围 变 小 了 。 做 一 个 容 积 为 8立 方 米 的 密 闭 长 方 体 水 箱 ， 怎 样 做 表 面积 最 小 (即 用 材 料 最 省 )？设 水 箱 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 x、 y、 z， 如 图 8.9-2。 表 面 积 为 S。 这 一 问 题 可 表 述 为 ： 求 函 数 S = 2( xy + yz + zx ) 在 条 件 xyz = 5 下 的 极 值 问 题 。 图 8.9-2x yz 函 数 S = 2(xy + yz + zx)是 我 们 要 最 小 化 的 对 象 ， 或 者 说 是 我 们 要最 优 化 的 对 象 ； 方 程 xyz = 8称 为 约 束 条 件 。 这 种 求 函 数 f 在 一 定 条 件 下 的 极 值 问 题 ， 称 为 “ 条 件 极 值 ” 问 题 。相 应 的 ， 8.8中 所 讨 论 的 极 值 问 题 为 “ 无 条 件 极 值 ” 问 题 。 上 述 两 个 引 例 虽 然 很 简 单 ,却 代 表 了 经 济 活 动 中 两 类 基 本 问 题 ： 一 是 在 资 源 一 定 的 条 件 下 ， 追 求 利 益 最 大 ； 一 是 在 目