可降阶的高阶微分方程

高 等 院 校 非 数 学 类 本 科 数 学 课 程 第 七 章 常 微 分 方 程本 章 学 习 要 求 ：n了 解 微 分 方 程 、 解 、 通 解 、 初 始 条 件 和 特 解 的 概 念 .n了 解 下 列 几 种 一 阶 微 分 方 程 ： 变 量 可 分 离 的 方 程 、 齐 次 方 程 、 一 阶 线 性 方 程 、 伯 努 利 （ Bernoulli） 方 程 和 全 微 分 方 程 .熟 练 掌 握 分 离 变 量 法 和 一 阶 线 性 方 程 的 解 法 .n会 利 用 变 量 代 换 的 方 法 求 解 齐 次 方 程 和 伯 努 利 方 程 .n知 道 下 列 高 阶 方 程 的 降 阶 法 ： .)()( xfy n ),( yxfy ),( yyfy n了 解 高 阶 线 性 微 分 方 程 阶 的 结 构 ， 并 知 道 高 阶 常 系 数 齐 线 性 微 分 方 程 的 解 法 .n熟 练 掌 握 二 阶 常 系 数 齐 线 性 微 分 方 程 的 解 法 .n掌 握 自 由 项 （ 右 端 ） 为 多 项 式 、 指 数 函 数 、 正 弦 函 数 、 余 弦 函 数 以 及 它 们 的 和 或 乘 积 的 二 阶 常 系 数 非 齐 线 性 微 分 方 程 的 解 法 . 第 三 节 几 种 可 降 阶 的 高 阶 常 微 分 方 程二 阶 和 二 阶 以 上 的 微 分 方 程 ， 称 为 高 阶 微 分 方 程 。 通 过 变 量 代 换 将 高 阶 方 程 转 化 为 较 低 阶 的 微分 方 程 进 行 求 解 的 方 法 ， 称 为 “ 降 阶 法 ” 。“降 阶 法 ” 是 解 高 阶 方 程 常 用 的 方 法 之 一 。 型 )( .1 )( xfy n )1( ， 则 原 方 程 化 为令 nyu )(dd 。xfxu 这 是 变 量 可 分 离 的 方 程 ， 两 边 积 分 ， 得 , )(d)( 11 CxCxxfu 即 )( 1)1( 。Cxy n )( )( 型仍 是 xfy n 只 需 连 续 进 行 n 次 积 分 即 可 求 解 这 类 方 程 ， 但 请 注 意 ：每 次 积 分 都 应 该 出 现 一 个 积 分 常 数 。 例解 ln 的 通 解 。求 方 程 xy lndln 1，Cxxxxxy xCxxxy d)ln( 1 432ln 212 ，CxCxx xCxCxxy d432ln 212 23611ln61 322133 。CxCxCxxx 3 次 ， 得 到 所 求 的 通 解 ：连 续 积 分对 方 程 两 边 关 于 x 例解 1 )( 的 通 解 。求 方 程 ny 次 ， 得 到 所 求 的 通 解 ：连 续 积 分对 方 程 两 边 关 于 nx 1)1( ，Cxy n 21 212)2( ，CxCxy n ! 21! 31 32213)3( ，CxCxCxy n ! )2( 1! )1( 1 12211 ， nnnn CxCxCnxny ! )1( 1! 1 111 。nnnn CxCxCnxny 型 ) ,( .2 )1()( nn yxfy )1( ， 则 原 方 程 化 为令 nyp ) ,(dd 。pxfxp 这 是 一 个 一 阶 微 分 方 程 。 设 其 通 解 为 ) ,( 1 ，Cxp ) ,( 1)1( ，Cxy n )( )( 型 的 方 程 ：这 是 一 个 xfy n 连 续 积 分 即 可 求 解 。 例解 3 1 2)1 ( 002 解 。，满 足 条 件求 方 程 xx yyyxyx ， 则 原 方 程 化 为令 yp 1 d2d 2 ，xxxpp 两 边 积 分 ， 得 )1 ( 21 ，xCp 即 )1(dd 21 ，xCxy 再 积 分 ， 得 原 方 程 的 通 解 )31(d)1 ( 23121 。CxxCxxCy 3 1 00 代 入 ， 得，以 条 件 xx yy 1 3 21 。， CC 13 3 。故 所 求 特 解 为 xxy 例解 0 )4()5( 的 通 解 。求 方 程 yyx )4( ， 则 原 方 程 化 为令 yp 0dd ， pxpx分 离 变 量 ， 得 dd ，xxpp 积 分 ， 得 )4( ，Cxpy 连 续 积 分 4 次 ， 得 原 方 程 的 通 解 为 ) 120 ( 154233251 。， CCCxCxCxCxCy 型 )()( xfy n 型 ) ,( .3 yyfy dddddddd 。， 则令 yppxyypxpyyp 于 是 ， 原 方 程 化 为 ),(dd 。pyfypp 这 是 一 个 一 阶 微 分 方 程 。 设 其 通 解 为 ) ,(dd 1 。Cypxy 这 是 一 个 变 量 分 离 方 程 ， 它 的 通 解 就 是 原 方 程 的 通 解 。 例 解 0 2 。的 通 解求 方 程 yyy dd 。， 则令 yppyyp 于 是 ， 原 方 程 化 为 0dd 2 。 pyppy 0dd 0 。， 故 此 时 有 解， 则若 Cyxyp 0 ， 则 原 方 程 化 为若 p dd 。yypp 两 边 积 分 ， 得 dd 1 。yCpxy 运 用 分 离 变 量 法 ， 得 此 方 程 的 通 解 为 12 。xCeCy 综 上 所 述 ， 原 方 程 的 通 解 为 12 。xCeCy 0 0 1 Cp 对 应 于 例解 0)( 。的 通 解求 方 程 yfy 2 ， 得 到两 边 同 乘 以 y 0)(22 ， yfyyy即 0) d)(2(dd 2 ， yyfyx yyfy d)()( xyyyxy ddd )(dd )(d 从 而 d)(2 12 ，Cyyfy 即 d)(21 。 yyfCy运 用 分 离 变 量 法 求 解 此 方 程 ， 即 得 原 方 程 的 通 解 ：。 d)(2d)( 122 yyfC yCx 方 程克 莱 罗 )Clairaut ( .4 形 如 )(yfyxy 的 方 程 称 为 克 莱 罗 方 程 ， 其 中 函 数 f 为 可 微 函 数 。可 以 直 接 写 出 该 方 程 的 通 解 ： )( 。CfxCy 并 且 由 下 列 方 程 组 可 求 得 该 方 程 的 奇 解 ：0)( yfx )(yfyxy 证 将 克 莱 罗 方 程 两 边 关 于 x 求 导 ， 得 )( 。yyfyyxy )( ， 则 有令 xpy 0dd)( 。 xppfx )( 0dd )1( 代 入 原 方 程 ， 得， 则若 Cxpyxp )( 。CfxCy ( 通 解 ) 0)( )2( 方 程 的 奇 解 ：， 则 可 联 立 方 程 组 求 出若 pfx 0)( pfx )(pfpxy )(yfyxy 例解 1 2 的 解 。求 方 程 yxyy原 方 程 即 1 ，yyxy ) 0 ( y 由 题 意这 是 一 个 克 莱 罗 方 程 ， 故 其 通 解 为 1 。CxCy 11dd)( 2 ， 故 联 立 方 程 组由 于 ppppf 012 px ppxy 1 )1( )2( )2( ) 1 ( ， 得式式 p 2 ，pxy 1 1 ) 1 ( 2 ， 代 入 上 式 ， 得， 故得又 由 xpxp 2 ，xy 故 原 方 程 有 奇 解 42 。xy 综 上 所 述 ， 原 方 程 的 通 解 为 1 ，CxCy 且 方 程 还 有 奇 解 42 。xy