土木工程测量-第五章 测量误差的基本知识

第 五 章 测 量 误 差土木工程测量教 学 课 件的 基 本 知 识 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识通 过 前 几 章 的 学 习 ， 我 们 掌 握 了 角 度 、 距 离 和 高 差 的 测 量 方 法 ，对 测 量 过 程 和 结 果 含 有 误 差 也 有 了 一 定 的 感 性 认 识 。 本 章 集 中 讲 述有 关 测 量 误 差 的 基 本 知 识 ， 包 括 衡 量 精 度 的 标 准 、 误 差 传 播 定 律 和直 接 观 测 平 差 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识对 未 知 量 进 行 测 量 的 过 程 ， 称 为 观 测 。 测 量 所 获 得 的 数 值 称 为观 测 值 。 进 行 多 次 测 量 时 ， 观 测 值 之 间 往 往 存 在 差 异 。 这 种 差 异 实质 上 表 现 为 观 测 值 与 其 真 实 值 (简 称 为 真 值 )之 间 的 差 异 ， 这 种 差 异称 为 测 量 误 差 或 观 测 误 差 。 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.1 观 测 及 观 测 误 差 观 测观 测 值 真 实 值测 量 误 差 观 测 误 差用 Li代 表 观 测 值 ， X代 表 真 值 ， 则 有 i=Li-X (5-1)式 中 i就 是 观 测 误 差 ， 通 常 称 为 真 误 差 ， 简 称 误 差 。 i=Li-X (5-1)真 误 差一 般 情 况 下 ， 只 要 是 观 测 值 必 然 含 有 误 差 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识观 测 误 差 来 源 于 三 个 方 面 ： 观 测 者 视 觉 鉴 别 能 力 和 技 术 水 平 ； 仪 器 、 工 具 的 精 密 程 度 ； 观 测 时 外 界 条 件 的 好 坏 。三 个 方 面 综 合 起 来 ， 称 为 观 测 条 件 。 观 测 条 件 将 影 响 观 测 成 果的 精 度 。 观 测 条 件 相 同 的 各 次 观 测 称 为 等 精 度 观 测 ； 观 测 条 件 不 相同 的 各 次 观 测 ， 称 为 非 等 精 度 观 测 。 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.2 观 测 误 差 的 来 源 观 测 条 件一 般 认 为 ， 在 测 量 中 人 们 总 希 望 测 量 误 差 越 小 越 好 ， 甚 至 趋 近于 零 。在 实 际 生 产 中 ， 据 不 同 的 测 量 目 的 ， 允 许 含 有 一 定 程 度 的 误 差 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识根 据 性 质 不 同 ， 观 测 误 差 可 分 为 粗 差 、 系 统 误 差 和 偶 然 误 差 三种 ， 即 = 1+ 2+ 3 (5-2) 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法 粗 差 是 一 种 大 级 量 的 观 测 误 差 ， 例 如 超 限 的 观 测 值 中 往往 含 有 粗 差 。 粗 差 也 包 括 测 量 过 程 中 各 种 失 误 引 起 的 误 差 。产 生 的 原 因 ： 疏 忽 大 意 、 失 职 ； 仪 器 自 身 或 受 外 界 干 扰 发 生 故障 等 。含 有 粗 差 的 观 测 值 都 不 能 使 用 。 在 观 测 中 应 尽 量 避 免 出 现 粗 差， 发 现 粗 差 的 有 效 方 法 是 ， 进 行 必 要 的 重 复 观 测 ， 通 过 多 余 观 测 条件 ， 采 用 必 要 而 又 严 密 的 检 核 、 验 算 等 。 = 1+ 2+ 3 (5-2) 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 系 统 误 差 在 一 定 的 观 测 条 件 下 进 行 一 系 列 观 测 时 ， 符 号和 大 小 保 持 不 变 或 按 一 定 规 律 变 化 的 误 差 ， 称 为 系 统 误 差 。系 统 误 差 具 有 积 累 性 ， 对 测 量 结 果 影 响 很 大 。 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法在 测 量 工 作 中 ， 应 尽 量 设 法 消 除 和 减 小 系 统 误 差 。 方 法 有 ： 在 观 测 方 法 和 观 测 程 度 上 采 用 必 要 的 措 施 ， 限 制 或 削 弱 系 统误 差 的 影 响 。 如 角 度 测 量 中 盘 左 、 盘 右 观 测 ， 水 准 测 量 中 限 制 前 后视 视 距 差 等 。 找 出 产 生 系 统 误 差 的 原 因 和 规 律 ， 对 观 测 值 进 行 系 统 误 差 的改 正 。 如 对 距 离 观 测 值 进 行 尺 长 改 正 、 温 度 改 正 和 倾 斜 改 正 ， 对 竖直 角 进 行 指 标 差 改 正 等 。 将 系 统 误 差 限 制 在 允 许 范 围 内 。 有 的 系 统 误 差 既 不 便 计 算 改正 ， 又 不 能 采 用 一 定 的 观 测 方 法 加 以 消 除 ， 例 如 ， 经 纬 仪 照 准 部 管 水 准 器 轴 不 垂 直 于 仪 器 竖 轴 的 误 差 对 水 平 角 的 影 响 ， 对 于 这 类 系 统误 差 ， 则 只 能 按 规 定 的 要 求 对 仪 器 进 行 精 确 检 校 ， 并 在 观 测 中 仔 细整 平 将 其 影 响 减 小 到 允 许 范 围 内 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 偶 然 误 差 在 一 定 的 观 测 条 件 下 ， 对 某 量 进 行 一 系 列 观 测时 ， 符 号 和 大 小 均 不 一 定 ， 这 种 误 差 称 为 偶 然 误 差 。 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法产 生 偶 然 误 差 的 原 因 往 往 是 不 固 定 的 和 难 以 控 制 的 ， 如 观 测 者的 估 读 误 差 、 照 准 误 差 等 。 不 断 变 化 着 的 温 度 、 风 力 等 外 界 环 境 也会 产 生 偶 然 误 差 。粗 差 可 以 发 现 并 被 剔 除 ， 系 统 误 差 能 够 加 以 改 正 ， 而 偶 然 误 差是 不 可 避 免 的 ， 并 且 是 消 除 不 了 的 。 它 在 消 除 了 粗 差 和 系 统 误 差 的观 测 值 中 占 主 导 地 位从 单 个 偶 然 误 差 来 看 ， 其 出 现 的 符 号 和 大 小 没 有 一 定 的 规 律 性， 但 对 大 量 的 偶 然 误 差 进 行 大 量 统 计 分 析 ， 就 能 发 现 规 律 性 ， 并 且误 差 个 数 越 多 ， 规 律 性 越 明 显 。例 如 某 一 测 区 在 相 同 观 测 条 件 下 观 测 了 358个 三 角 形 的 全 部 内 角 。 由 于 观 测 值 含 有 偶 然 误 差 ， 故 平 面 三 角 形 内 角 之 和 不 一 定 等 于真 值 180 (表 5-1) 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法 负 误 差 正 误 差 合 计 误 差 区 间 d 个 数 k 频 率 k/n 个 数 k 频 率 k/n 个 数 k 频 率 k/n 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 18 21 21 24 24 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91 81 66 44 33 26 11 6 0 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 181 0.505 177 0.495 358 1.00 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法从 表 5-1中 可 以 看 出 ， 该 组 误 差 的 分 布 表 现 出 如 下 规 律 ： 小 误 差比 大 误 差 出 现 的 频 率 高 ， 绝 对 值 相 等 的 正 、 负 误 差 出 现 的 个 数 和 频率 相 近 ， 最 大 误 差 不 超 过 24。统 计 大 量 的 实 验 结 果 ， 表 明 偶 然 误 差 具 有 如 下 特 性 ：特 性 1 在 一 定 观 测 条 件 下 的 有 限 个 观 测 中 ， 偶 然 误 差 的 绝 对 值不 超 过 一 定 的 限 值 。 (范 围 )特 性 2 绝 对 值 较 小 的 误 差 出 现 的 频 率 大 ， 绝 对 值 较 大 的 误 差 出现 的 频 率 小 。 (绝 对 值 大 小 )特 性 3 绝 对 值 相 等 的 正 、 负 误 差 出 现 的 频 率 大 致 相 等 。 (符 号 )特 性 4 当 观 测 次 数 无 限 增 多 时 ， 偶 然 误 差 平 均 值 的 极 限 为 0，即 (抵 偿 性 ) (5-3) 本 章 此 处 及 以 后 “ ”表 示 取 括 号 中 下 标 变 量 的 代 数 和 ， 即i= (5-3) 0limlim 21 nnnn n 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法用 图 示 法 可 以 直 观 地 表 示 偶 然 误 差 的 分 布 情 况 。 用 表 5-1的 数 据 ，以 误 差 大 小 为 横 坐 标 ， 以 频 率 k/n与 区 间 d的 比 值 为 纵 坐 标 ， 如 图5-1所 示 。 这 种 图 称 为 频 率 直 方 图 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法可 以 设 想 ， 当 误 差 个 数 n， 同 时 又 无 限 缩 小 误 差 区 间 d， 图5-1中 各 矩 形 的 顶 边 折 线 就 成 为 一 条 光 滑 的 曲 线 ， 如 图 5-2所 示 。 该曲 线 称 为 误 差 分 布 曲 线 。其 函 数 式 为 ： (5-4) 22221)( efy 即 正 态 分 布 曲 线 上 任 一 点的 纵 坐 标 y均 为 横 坐 标 的 函数 。 标 准 差 大 小 反 映 观 测 精度 的 高 低 ， 定 义 为 ： (5-5) nn 2lim 上 式 可 知 ， 的 大 小 决 定于 一 定 条 件 下 偶 然 误 差 出 现的 绝 对 值 的 大 小 。 22221 e 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.1 观 测 误 差 概 述5.1.3 观 测 误 差 的 分 类 及 其 处 理 方 法在 图 5-1中 各 矩 形 的面 积 是 频 率 k/n。 由 概 率统 计 可 知 ， 频 率 k/n就 是真 误 差 出 现 在 区 间 d上的 概 率 p()(图 5-2)， 记为 ： (5-6) dfdp dnk式 (5-4)和 式 (5-6)中 f()是 误 差 分 布 的 概 率 的 概 率 密 度 函 数 ， 简 称密 度 函 数 。 22221 e 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.2 衡 量 观 测 值 精 度 的 标 准在 相 同 观 测 条 件 下 ， 对 某 一 量 所 进 行 的 一 组 观 测 ， 对 应 着 同 一种 误 差 分 布 ， 因 此 ， 这 一 组 中 的 每 一 个 观 测 值 ， 都 具 有 同 样 的 精 度 。为 了 衡 量 观 测 值 的 精 度 高 低 ， 显 然 可 以 用 前 一 节 方 法 ， 绘 出 频 率 直方 图 或 误 差 分 布 表 加 以 分 析 来 衡 量 。 但 这 样 做 实 际 应 用 十 分 不 便 ，又 缺 乏 一 个 简 单 的 关 于 精 度 的 数 值 概 念 。 这 个 数 值 应 该 能 反 映 误 差分 布 的 密 集 或 离 散 程 度 ， 即 应 反 映 其 离 散 度 的 大 小 ， 作 为 衡 量 精 度的 指 标 。下 面 介 绍 几 种 常 用 的 衡 量 精 度 的 指 标 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.2 衡 量 观 测 值 精 度 的 标 准5.2.1 中 误 差由 式 (5-5)定 义 的 标 准 差 是 衡 量 精 度 的 一 种 标 准 ， 但 那 是 理 论 上的 表 达 式 。 在 测 量 实 践 中 观 测 次 数 不 可 能 无 限 多 ， 因 此 实 际 应 用 中定 义 中 误 差 m作 为 衡 量 精 度 的 一 种 标 准 ： (5-7)nm 2在 式 (5-4)中 ， 当 =0时 ， 以 中误 差 m代 替 标 准 差 （ 图 5 3） 是 最 大 值 21)( mf (5-4)22221)( efy 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.2 衡 量 观 测 值 精 度 的 标 准5.2.1 中 误 差因 此 在 一 组 观 测 值 中 ， 当 小 误 差 比 较 集 中 时 ， m1较 小 ， 则 曲 线形 状 较 陡 峭 ， 如 图 5-3中 f1()， 表 示 该 组 观 测 精 度 较 高 ； f2()的 曲 线形 状 较 平 缓 ， 其 误 差 分 布 比 较 离 散 ， m2较 大 ， 表 明 该 组 观 测 精 度 低 。如 果 令 f()的 二 阶 导 数 等 于 0，可 求 得 曲 线 拐 点 的 横 坐 标 ： 01-)( 22 222321 ef = m也 就 是 说 ， 中 误 差 的 几 何 意义 即 为 偶 然 误 差 分 布 曲 线 两 个 拐点 的 横 坐 标 。= m (5-8) 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.2 衡 量 观 测 值 精 度 的 标 准5.2.2 相 对 误 差中 误 差 和 真 误 差 都 是 绝 对 误 差 。 在 衡 量 观 测 值 精 度 时 ， 单 纯 用绝 对 误 差 有 时 不 能 完 全 表 达 精 度 的 优 劣 。 例 如 ， 分 别 测 量 了 长 度 为100m和 200m的 两 段 距 离 ， 中 误 差 皆 为 0.02m。 显 然 不 能 认 为 两 段距 离 测 量 精 度 相 同 。 为 了 客 观 地 反 映 实 际 精 度 ， 必 须 引 入 相 对 误 差的 概 念 。 相 对 误 差 K是 误 差 m的 绝 对 值 与 观 测 值 D的 比 值 ：(5-9) |1| mDDmK 上 式 中 当 m为 中 误 差 时 ， K称 为 相 对 中 误 差 。在 距 离 测 量 中 还 常 用 往 返 观 测 值 的 相 对 较 差 来 进 行 检核 。 相 对 较 差 定 义 为 ： (5-10)DDD DD D- 1 平 均平 均平 均 返往D相 对 较 差 是 相 对 真 误 差 ， 它 反 映 往 返 测 量 的 符 合 程 度 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.2 衡 量 观 测 值 精 度 的 标 准5.2.3 极 限 误 差 和 容 许 误 差 极 限 误 差由 偶 然 误 差 的 特 性 1可 知 ， 在 一 定 的 观 测 条 件 下 ， 偶 然 误 差 的 绝对 值 不 会 超 过 一 定 的 限 值 。 这 个 限 值 就 是 极 限 误 差 。 标 准 差 或 中 误差 是 衡 量 观 测 精 度 的 指 标 ， 它 不 能 代 表 个 别 观 测 值 真 误 差 的 大 小 ，但 从 统 计 意 义 来 讲 ， 它 们 却 存 在 着 一 定 的 联 系 。 根 据 式 (5-4)和 式 (5-6)有 ：表 示 真 误 差 落 在 (-， +)内 的 概 率 等 于 0.683。 同 理 可得 ： (5-11) 683.022 221 deP (5-12) 2221 955.022 22 2 deP (5-13) 3321 997.033 22 2 deP (5-4)22221)( efy (5-6) dfdp dnk 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.2 衡 量 观 测 值 精 度 的 标 准5.2.3 极 限 误 差 和 容 许 误 差 极 限 误 差上 列 三 式 结 果 的 概 率 含 义 是 ： 在 一 组 等 精 度 观 测 值 中 ， 真 误 差在 范 围 以 外 的 个 数 约 占 误 差 总 数 的 32%； 在 2范 围 以 外 的 个数 约 占 4.5%； 在 3范 围 以 外 的 个 数 只 占 0.3%。绝 对 值 大 于 3的 真 误 差 出 现 的 概 率 很 小 ， 因 此 可 以 认 为 3是真 误 差 实 际 出 现 的 极 限 ， 即 3是 极 限 误 差 ： 极 限 =3 (5-14)极 限 =3 ( - ) 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.2 衡 量 观 测 值 精 度 的 标 准5.2.3 极 限 误 差 和 容 许 误 差 容 许 误 差测 量 实 践 中 ， 是 在 极 限 误 差 范 围 内 利 用 容 许 误 差 对 偶 然 误 差 的大 小 进 行 数 量 限 制 的 。 在 实 际 应 用 的 测 量 规 范 中 ， 常 以 2倍 或 3倍 中误 差 作 为 偶 然 误 差 的 容 许 值 ， 称 为 容 许 误 差 ， 即容 =22m (5-15)或 容 =33m (5-16)容 =22m (5-15)容 = 3m (5-16)前 者 要 求 较 严 ， 后 者 要 求 较 宽 。 如 果 观 测 值 中 出 现 了 大 于 容 许误 差 的 偶 然 误 差 ， 则 认 为 该 观 测 值 不 可 靠 ， 应 舍 去 不 用 ， 并 重 测 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.3 误 差 传 播 定 律前 面 叙 述 了 衡 量 一 组 等 精 度 观 测 值 的 精 度 指 标 ， 并 指 出 在 测 量工 作 中 通 常 以 中 误 差 作 为 衡 量 精 度 的 指 标 。 但 在 实 际 工 作 中 ， 某 些未 知 量 不 可 能 或 不 便 于 直 接 进 行 观 测 ， 而 需 要 由 另 一 些 直 接 观 测 量根 据 一 定 的 函 数 关 系 计 算 出 来 。 例 如 ， 欲 测 量 不 在 同 一 水 平 面 上 两点 间 的 距 离 D， 可 以 用 光 电 测 距 仪 测 量 斜 距 S， 并 用 经 纬 仪 测 量 竖 直角 ， 以 函 数 关 系 D=Scos来 推 算 。 显 然 ， 在 此 情 况 下 ， 函 数 D的 中误 差 与 观 测 值 S及 的 中 误 差 之 间 ， 必 定 有 一 定 的 关 系 。 阐 述 这 种 函数 关 系 的 定 律 ， 称 为 误 差 传 播 定 律 。设 有 一 般 函 数Z=f(X 1,X2,， Xn) (5-17)式 中 X1、 X2、 ， Xn为 可 直 接 观 测 的 未 知 量 ； Z为 不 便 于 直 接观 测 的 未 知 量 。其 中 函 数 Z的 中 误 差 为 mZ， 各 独 立 变 量 X1、 X2， Xn对 应 的 观测 值 中 误 差 分 别 为 m1,m2,mn， 如 果 知 道 了 mz与 mi之 间 的 关 系 ， 就可 由 各 变 量 的 观 测 值 中 误 差 来 推 求 函 数 的 中 误 差 。 各 变 量 的 观 测 值中 误 差 与 共 函 数 的 中 误 差 之 间 的 关 系 式 ， 称 为 误 差 传 播 定 律 。Z=f(X1,X2, ， Xn) ( - ) 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.3 误 差 传 播 定 律设 xi(i=1、 2、 、 n)的 独 立 观 测 值 为 li,其 相 应 的 真 误 差 为 xi。由 于 xi的 存 在 ， 使 函 数 Z亦 产 生 相 应 的 真 误 差 Z。 将 (5-17)取 全 微分 因 误 差 xi及 Z都 很 小 ， 故 在 上 式 中 ， 可 近 似 用 xi及 Z代 替dx及 dz， 于 是 有 nn dxxFdxxFdxxFdz 2211 nn xxFxxFxxFz 2211式 中 为 函 数 f对 各 自 变 量 的 偏 导 数 。 将 xi=li代 入 各 偏 导 数 中 ，即 为 确 定 的 常 数 ， 设ixF ilxxF fiii 则 上 式 可 写 成 Z=f1x1+f2x2+fnxn为 了 求 得 函 数 和 观 测 值 之 间 的 中 误 差 关 系 式 ， 设 想 对 各 xi进 行了 k次 观 测 ， 则 可 写 出 k个 类 似 上 式 的 关 系 式Z=f1x1+f2x2+ +fnxn 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.3 误 差 传 播 定 律 )()( 22)(11)( )2()2(22)2(11)2( )1()1(22)1(11)1( knnkkk nn nn xfxfxfz xfxfxfz xfxfxfz 将 上 式 各 式 等 号 两 边 平 方 后 ， 再 相 加 ， 得 n jiji jijinn xxffxfxfxfz ,1,22222221212 上 式 两 端 各 除 以 k n jiji jijinn k xxffkxfkxfkxfkz ,1,22222221212 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.3 误 差 传 播 定 律设 对 各 xi的 观 测 值 li为 彼 此 独 立 的 观 测 ， 则 xixj当 ij时 ， 亦 为偶 然 误 差 。 根 据 偶 然 误 差 的 特 性 4 可 知 ， 上 式 末 项 当 k时 趋 近 于零 ， 即故 n jiji jijinn k xxffkxfkxfkxfkz ,1,22222221212 0lim k xxk ji )(lim 22222221212lim kxfkxfkxfkz nnkk 根 据 中 误 差 （ 标 准 差 ） 的 定 义 （ 5-5)， 上 式 可 写 成22222221212 nnz fff 当 k为 有 限 值 时 ， 可 写 为 ： 22222221212 nnz mfmfmfm 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.3 误 差 传 播 定 律上 式 即 为 计 算 函 数 中 误 差 的 一 般 形 式 。 应 用 上 式 时 ， 必 须 注 意 ：各 观 测 值 是 相 互 独 立 的 变 量 ， 而 当 li为 未 知 量 xi的 直 接 观 测 值 时 ， 可认 为 各 li之 间 满 足 相 互 独 立 的 条 件 。利 用 它 不 难 导 出 表 5-2所 列 简 单 函 数 的 误 差 传 播 定 律 。 (5-26) 22222212 21 nxfxfxfz mmmm n 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.4 等 精 度 直 接 观 测 平 差除 了 标 准 实 体 ， 自 然 界 中 任 何 单 个 未 知 量 (如 某 一 角 度 ， 某 一 长度 等 )的 真 值 都 是 无 法 确 知 的 ， 只 有 通 过 重 复 观 测 ， 才 能 对 其 作 出可 靠 的 估 计 。 在 测 量 中 ， 重 复 测 量 的 目 的 还 在 于 提 高 观 测 成 果 的 精度 ， 同 时 也 为 了 发 现 和 消 除 粗 差 。重 复 测 量 形 成 了 多 余 观 测 ， 加 之 观 测 值 必 然 含 有 误 差 ， 这 就 产生 了 观 测 值 之 间 的 矛 盾 。 为 消 除 矛 盾 ， 必 须 依 据 一 定 的 数 据 处 理 准则 ， 采 用 适 当 的 计 算 方 法 ， 对 有 矛 盾 的 观 测 值 加 以 必 要 而 又 合 理 的调 整 ， 给 以 适 当 的 改 正 ， 从 而 求 得 观 测 值 的 最 佳 估 值 ， 同 时 对 观 测进 行 质 量 评 估 。 人 们 把 这 一 数 据 处 理 的 过 程 称 作 测 量 平 差 。对 一 个 未 知 量 的 直 接 观 测 值 进 行 平 差 ， 称 为 直 接 观 测 平 差 。 据观 测 条 件 ， 有 等 精 度 直 接 观 测 平 差 和 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差 。 平 差结 果 是 得 到 未 知 量 最 可 靠 的 估 值 (最 可 靠 值 )， 最 接 近 其 真 值 ， 称 为“ 最 或 是 值 ” 。 测 量 平 差直 接 观 测 平 差最 或 是 值 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.4 等 精 度 直 接 观 测 平 差在 等 精 度 直 接 观 测 平 差 中 ， 观 测 值 的 算 术 平 均 值 是 未 知 量 的 最或 是 值 。即 x=(l1+l2+ln)/n=l/n (5-27)5.4.1 求 最 或 是 值x=(l1+l2+ln)/n=l/n (5-27)观 测 值 与 最 或 是 值 之 差 ， 称 为 “ 最 或 是 误 差 ” ， 用 符 号vi(i=1,2,n)来 表 示 。Vi=li-x (i=1,2,n) (5-28)将 n 个 最 或 是 误 差 v i相 加 ， 有 ：v=l-nx=0 (5-29)即 最 或 是 误 差 的 总 和 为 0。 式 (5-29)可 以 用 作 计 算 中 的 检 核 ， 若vi值 计 算 无 误 ， 其 总 和 必 然 为 0。 显 然 当 观 测 次 数 n时 ， vi=i（ 真 误 差 ） 。 i li-x (i 1,2, ) (5-28) l- ( - ) 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.4 等 精 度 直 接 观 测 平 差 观 测 值 中 误 差由 于 独 立 观 测 中 单 个 未 知 量 的 真 值 X是 无 法 确 知 的 ，因 此 真 误 差 i也 是 未 知 的 ， 所 以 不 能 直 接 应 用 (5-7)求 得 中误 差 。 但 可 用 有 限 个 等 精 度 观 测 值 li求 出 最 或 是 值 x后 ， 再按 公 式 (5-28)计 算 最 或 是 误 差 ， 用 最 或 是 误 差 vi计 算 观 测值 的 中 误 差 。 公 式 推 导 从 略 。5.4.2 评 定 精 度 (5-34) 1 2 nvm式 (5-34)是 等 精 度 观 测 中 用 最 或 是 误 差 计 算 中 误 差 的公 式 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.4 等 精 度 直 接 观 测 平 差 最 或 是 值 的 中 误 差设 对 某 量 进 行 n次 等 精 度 观 测 ， 观 测 值 为 l1,l2,， ln,中 误 差 为 m。最 或 是 值 x 的 中 误 差 M的 计 算 公 式 推 导 如 下 ：5.4.2 评 定 精 度根 据 误 差 传 播 定 律 ， 有 ： (5-35) nnnnnl lllx 12111 (5-36)221221221 )()()( mmmM nnn 所 以 (5-37)nmM 顾 及 式 (5-34)， 算 术 平 均 值 的 中 误 差 也 可 表 达 如 下 ： (5-38) )1( 2 nn vM 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差在 对 某 一 未 知 量 进 行 非 等 精 度 观 测 时 ， 各 观 测 结 果 的 中 误 差 也各 不 相 同 ， 各 观 测 值 便 具 有 不 同 程 度 的 可 靠 性 。 在 求 未 知 量 的 最 可靠 估 值 时 ， 就 不 能 像 等 精 度 观 测 那 样 简 单 地 取 算 术 平 均 值 ， ， 因 为较 可 靠 的 观 测 值 ， 应 对 最 后 结 果 产 生 较 大 的 影 响 。不 等 精 度 观 测 值 的 可 靠 性 ， 可 用 称 为 观 测 值 “ 权 ” 的 数 值 来 表示 。 “ 权 ” 是 权 衡 轻 重 的 意 思 ， 观 测 值 的 精 度 愈 高 ， 其 权 愈 大 。 例如 ， 对 某 一 未 知 量 进 行 了 两 组 不 等 精 度 观 测 ， 但 每 组 内 各 观 测 值 是等 精 度 的 。 设 第 一 组 观 测 了 4次 ， 其 观 测 值 为 l1、 l2、 l3、 l4； 第 二 组 观测 了 3次 ， 观 测 值 为 l 1、 l2、 l3。 这 些 观 测 值 的 可 靠 程 度 都 相 同 ，每 组 分 别 取 算 术 平 均 值 作 为 最 后 观 测 结 果 ， 即 (5-39)32 321 lllL 41 4321 llllL 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差对 于 观 测 值 L1、 L2来 说 ， 彼 此 是 不 等 精 度 观 测 ， 故 最 后 结 果 应为 ： (5-40)34347 213214321 LLlllllllL权 只 有 相 对 意 义 ， 起 作 用 的 不 是 其 绝 对 值 ， 而 是 其 比值 ， 权 通 常 用 字 母 p表 示 ， 且 恒 取 正 值 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差一 定 的 中 误 差 ， 对 应 着 一 个 确 定 的 误 差 分 布 ， 即 对 应 着 一 定 的观 测 条 件 。 观 测 值 的 中 误 差 愈 小 ， 其 值 愈 可 靠 ， 权 就 愈 大 。 因 此 ，也 可 根 据 中 误 差 来 定 义 观 测 值 的 权 。5.5.1 权 与 中 误 差 的 关 系设 n个 不 等 精 度 观 测 观 测 值 的 中 误 差 分 别 为 m1， m2， mn， 则权 可 以 用 下 式 来 定 义 ：其 中 可 取 为 任 意 正 常 数 。 (5-42) 22221 , 21 nmnmm ppp 前 面 所 举 的 例 子 ， l1、 l2、 l3、 l4和 l1、 l2、 l3是 等 精 度 观 测 ， 观测 值 的 中 误 差 为 m， 则 第 1组 的 算 术 平 均 值 L1的 中 误 差 m1可 以 根 据式 (5-37)得 ： mm 411 同 理 ， 可 得 第 2组 算 术 平 均 值 L2的 中 误 差 为 ： mm 3 12 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差在 式 (5-42)中 分 别 代 入 m1和 m2， 得 ：5.5.1 权 与 中 误 差 的 关 系式 中 为 任 意 常 数 。 设 =m 2, 则 L1、 L2的 权 为由 上 式 可 知 ， 权 与 中 误 差 的 平 方 成 反 比 。 任 意 选 择 值 ， 可 以使 权 变 为 便 于 计 算 的 数 值 。L1： 3222 41 2221 mmmmpp L2： =m2p1=4 , p2=3 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差5.5.1 权 与 中 误 差 的 关 系例 5 9 对 某 一 角 度 进 行 了 n次 观 测 ， 求 算 术 平 均 值 的 权 。由 例 5 9可 知 ， 取 一 测 回 角 度 观 测 值 之 权 为 1， 则 n个 测 回 观 测值 的 算 术 平 均 值 的 权 为 n。 故 角 度 观 测 的 权 与 其 测 回 数 成 正 比 。 在不 等 精 度 观 测 中 引 入 “ 权 ” 的 概 念 ， 可 以 建 立 各 观 测 值 之 间 的 精 度比 值 ， 以 便 更 合 理 地 处 理 观 测 数 据 。解 设 一 测 回 角 度 观 测 值 的 中 误 差 为 m， 由 式 （ 5 37） ，算 术 平 均 值 的 中 误 差 为 M m/n1/2。由 权 的 定 义 并 设 m2， 则 一 测 回 观 测 值 的 权 为 ：p=/m2=1p=/m2=1算 术 平 均 值 的 权 为 ： px=/(m2/n)=n 例 如 ， 设 每 一 测 回 的 观 测 值 的 中 误 差 为 m2， 其 权 为 p0， 并 设 m2， 则 有 ： p0=/m2=1 （ 5 43）p0=/m2=1 （ 5 43） 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差5.5.1 权 与 中 误 差 的 关 系相 应 的 有 中 误 差 的 另 一 表 达 式 ：等 于 1的 权 称 单 位 权 ， 而 使 权 等 于 1的 中 误 差 称 单 位 中 误 差 ， 一般 用 m0(或 )表 示 。 对 于 中 误 差 为 mi的 观 测 值 ， 其 权 pi为 ：(5-44) 220immip (5-45)ipi mm 10 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差设 对 同 一 未 知 量 进 行 了 n次 非 等 精 度 观 测 ， 观 测 值 为 l1、 l2、 、ln， 其 相 应 的 权 为 p1、 p2、 、 pn， 则 加 权 算 术 平 均 值 L0为 非 等精 度 观 测 值 的 最 或 是 值 (最 可 靠 值 )， 其 计 算 公 式 可 写 为5.5.2 加 权 平 均 值 与 中 误 差 的 关 系校 核 计 算 式 为 ：式 中 v i=li-L0为 最 或 是 误 差 。 (5-46)n nnppp lplplpL 21 22110或 (5-47) 0 pplL (5-48)0 pv由 式 (5-47)， 根 据 误 差 传 播 定 律 ， 可 得 L0的 中 误 差 M0为 ：(5-49)( 1 2222222121220 nnmpmpmppM 式 中 :m1， m2,mn为 l1,l2ln的 中 误 差 。 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差根 据 权 的 定 义 公 式 (5-42)和 式 (5-44)5.5.2 加 权 平 均 值 与 中 误 差 的 关 系p 1m12=p2m22=pnmn2=m02(5-50) 2020 pmM 有 (m0为 单 位 权 中 误 差 ) (5-44)220immip (5-42)22221 , 21 nmnmm ppp 所 以 (5-49)( 1 2222222121220 nnmpmpmppM 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5.5 不 等 精 度 直 接 观 测 平 差5.5.2 加 权 平 均 值 与 中 误 差 的 关 系实 际 上 常 用 最 或 是 误 差 vi=L0-li来 计 算 中 误 差 M0， 与 式 (5-38)类似 ， 有 ： (5-51) 10 2 npvm (5-52)1( 0 2 nppvM (5-50) 2020 pmM 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识习 题 与 思 考 题1、 2、 3、 4、 6、 7、 15、 16、 17 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 7.1.1 地 下 水 图 7-10 地 下 水 的 类 型 5.2sAs 10.2 工 程 地 质 测 绘 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 课 程 简 介本 课 程 包 括 建 筑 工 程 中 广 泛 应 用 的课程内容： 绪 论第 一 章第 二 章第 三 章第 四 章第一部分课 程 目 录 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识2.4.2 特 性1. 特 性平 行 垂 直 倾 斜A B Ca bc A B Ca b c A BCa c b实 形 性类 似 性积 聚 性 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识 5 测 量 误 差 的 基 本 知 识祝同学们节日快乐