直线、平面垂直的判定与性质

第七章 立体几何 第 五节直 线 、平 面垂 直的 判定 与性 质 抓 基 础明 考 向提 能 力 教 你 一 招我 来 演 练 返 回 备 考 方 向 要 明 了 考 什 么 以 立 体 几 何 的 定 义 、 公 理 和 定 理 为 出 发 点 ， 认 识 和 理解 空 间 中 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 与 有 关 性 质 . 返 回怎 么 考1.线 线 、 线 面 、 面 面 垂 直 的 问 题 是 命 题 的 热 点 2.着 重 考 查 垂 直 关 系 的 转 化 及 应 用 题 型 多 以 选 择 题 、 解 答 题 为 主 难 度 中 、 低 档 . 返 回 返 回一 、 直 线 与 平 面 垂 直1 直 线 和 平 面 垂 直 的 定 义 直 线 l与 平 面 内 的 直 线 都 垂 直 ， 就 说 直 线 l与 平 面 互 相 垂 直 任 意 一 条 返 回2 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 及 推 论 .文 字 语 言 图 形 语 言 符 号 语 言判 定定 理 一 条 直 线 与 平 面 内 的 都 垂 直 ，则 该 直 线 与 此 平 面 垂 直两 条 相 交 直 线 返 回文 字 语 言 图 形 语 言 符 号 语 言推论 如 果 在 两 条 平 行 直线 中 ， 有 一 条 垂 直于 平 面 ， 那 么 另 一条 直 线 也 这 个平 面 垂 直 a ba 返 回3 直 线 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 .文 字 语 言 图 形 语 言 符 号 语 言性 质定 理 垂 直 于 同 一 个 平面 的 两 条 直 线平 行 a b 返 回二 、 平 面 与 平 面 垂 直1 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 .文 字 语 言 图 形 语 言 符 号 语 言判 定定 理 一 个 平 面 过 另 一 个平 面 的 一 条 ，则 这 两 个 平 面 互 相垂 直 垂 线 l l 返 回2 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 .文 字 语 言 图 形 语 言 符 号 语 言性 质定 理 两 个 平 面 互 相 垂 直 ，则 一 个 平 面 内 垂 直于 的 直 线 垂 直于 另 一 个 平 面交 线 l al a 返 回 返 回1 (教 材 习 题 改 编 )给 出 下 列 四 个 命 题 ： 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 条 直 线 相 互 平 行 ； 垂 直 于 同 一 平 面 的 两 个 平 面 相 互 平 行 ； 若 一 个 平 面 内 有 无 数 条 直 线 与 另 一 个 平 面 都 平 行 ，那 么 这 两 个 平 面 相 互 平 行 ； 若 一 条 直 线 垂 直 于 一 个 平 面 内 的 任 一 直 线 ， 那 么这 条 直 线 垂 直 于 这 个 平 面 其 中 真 命 题 的 个 数 是 ( )A 1 B 2 C 3 D 4 返 回答 案 ： B解 析 ： 命 题 ， 为 真 ， 命 题 ， 为 假 返 回答 案 ： C解 析 ： 可 以 有 无 数 条 2 直 线 l不 垂 直 于 平 面 ， 则 内 与 l垂 直 的 直 线 有 ( )A 0条 B 1条C 无 数 条 D 内 所 有 直 线 返 回 返 回答 案 ： D 返 回 4 设 、 、 为 彼 此 不 重 合 的 三 个 平 面 ， l为 直 线 ， 给 出下 列 命 题 ： 若 ， ， 则 ； 若 ， ， 且 l， 则 l ； 若 直 线 l与 平 面 内 的 无 数 条 直 线 垂 直 ， 则 直 线 l与 平 面 垂 直 ； 若 内 存 在 不 共 线 的 三 点 到 的 距 离 相 等 ， 则 平 面 平 行于 平 面 .上 面 命 题 中 ， 真 命 题 的 序 号 为 _(写 出 所 有 真 命 题的 序 号 ) 返 回答 案 ： 解 析 ： 中 l 也 满 足 ， 中 与 可 能 相 交 返 回5 (教 材 习 题 改 编 )如 图 ， 在 三 棱 锥 DABC中 ， 若 AB CB， AD CD， E是 AC的 中 点 ， 则 下 列 命 题 中 正 确 的有 _(填 序 号 ) 平 面 ABC 平 面 ABD 平 面 ABD 平 面 BCD 平 面 ABC 平 面 BDE， 且 平 面 ACD 平 面 BDE 平 面 ABC 平 面 ACD， 且 平 面 ACD 平 面 BDE 返 回解 析 ： 因 为 AB CB， 且 E是 AC的 中 点 ， 所 以 BE AC，同 理 有 DE AC， 于 是 AC 平 面 BDE.因 为 AC 平 面ABC， 所 以 平 面 ABC 平 面 BDE.又 由 于 AC 平 面 ACD，所 以 平 面 ACD 平 面 BDE.故 只 有 正 确 答 案 ： 返 回1 在 证 明 线 面 垂 直 、 面 面 垂 直 时 ， 一 定 要 注 意 判 定 定 理成 立 的 条 件 同 时 抓 住 线 线 、 线 面 、 面 面 垂 直 的 转 化关 系 ， 即 ： 返 回2 几 个 常 用 的 结 论(1)过 空 间 任 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 平 面 垂 直 ；(2)过 空 间 任 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 直 线 垂 直 ；(3)垂 直 于 同 一 平 面 的 两 条 直 线 互 相 平 行 ；(4)垂 直 于 同 一 直 线 的 两 个 平 面 互 相 平 行 返 回 返 回精 析 考 题 例 1 (2011浙 江 高 考 )下 列 命 题 中 错 误 的 是 ( )A 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 内 一 定 存 在 直 线 平 行 于平 面 B 如 果 平 面 不 垂 直 于 平 面 ， 那 么 平 面 内 一 定 不 存 在 直 线垂 直 于 平 面 C 如 果 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， l， 那 么 l平 面 D 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 内 所 有 直 线 都 垂 直 于 平 面 返 回自 主 解 答 对 于 命 题 A， 在 平 面 内 存 在 直 线 l平 行 于 平面 与 平 面 的 交 线 ， 则 l平 行 于 平 面 ， 故 命 题 A正 确 对 于 命 题 B， 若 平 面 内 存 在 直 线 垂 直 于 平 面 ， 则 平 面与 平 面 垂 直 ， 故 命 题 B正 确 返 回对 于 命 题 C， 设 m， n， 在 平 面 内 取 一 点 P不 在 l上 ， 过 P作 直 线 a， b， 使 a m， b n. ，a m， 则 a ， a l， 同 理 有 b l.又 ab P， a ，b ， l .故 命 题 C正 确 对 于 命 题 D， 设 l， 则 l ， 但 l .故 在 内 存 在直 线 不 垂 直 于 平 面 ， 即 命 题 D错 误 答 案 ： D 返 回巧 练 模 拟 (课 堂 突 破 保 分 题 ， 分 分 必 保 ！ )1 (2012潍 坊 模 拟 )已 知 直 线 m、 l和 平 面 、 ， 则 的 充 分 条 件 是 ( )A m l， m ， l B m l， m， l C m l， m ， l D m l， l ， m 返 回 返 回答 案 ： D 返 回2 (2012郑 州 模 拟 )设 a、 b是 两 条 不 同 的 直 线 ， 、 是 两个 不 同 的 平 面 ， 则 下 列 四 个 命 题 ： 若 a b， a ， b ， 则 b ； 若 a ， a ， 则 ； 若 a ， ， 则 a 或 a ； 若 a b， a ， b ， 则 . 返 回其 中 正 确 命 题 的 个 数 为 ( )A 1 B 2C 3 D 4 返 回解 析 ： 通 过 线 面 垂 直 及 平 行 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 ， 可以 判 断 四 个 命 题 都 正 确 答 案 ： D 返 回冲 关 锦 囊 解 决 此 类 问 题 时 一 要 注 意 依 据 定 理 条 件 才 能 得 出 结论 二 是 否 定 时 只 需 举 一 个 反 例 三 要 会 寻 找 恰 当 的 特殊 模 型 (如 构 造 长 方 体 、 正 方 体 )进 行 筛 选 . 返 回 返 回(1)证 明 ： O1， A， O2， B四 点 共 面 ；(2)设 G为 AA中 点 ， 延 长 AO1到 H， 使 得 O1H AO1.证 明 ： BO2 平 面 HBG. 返 回 返 回 返 回3 (2012汕 头 模 拟 )如 图 ， 在 多 面 体 ABCDEF中 ， 四 边形 ABCD是 正 方 形 ， AB 2EF 2， EF AB，EF FB， BFC 90 ， BF FC， H为 BC的 中 点 返 回(1)求 证 ： FH 平 面 EDB；(2)求 证 ： AC 平 面 EDB；(3)求 四 面 体 B DEF的 体 积 返 回 返 回(2)证 明 ： 由 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， 有 AB BC，又 EF AB， EF BC.又 EF FB， BCFB B， EF 平 面 BFC. EF FH. AB FH.又 BF FC， H为 BC的 中 点 ， 返 回 FH BC. FH 平 面 ABCD. FH AC.又 FH EG， AC EG.又 AC BD， EGBD G， AC 平 面 EDB. 返 回 返 回冲 关 锦 囊 证 明 直 线 和 平 面 垂 直 的 常 用 方 法 有 ：1 利 用 判 定 定 理 2 利 用 判 定 定 理 的 推 论 (a b， a b )3 利 用 面 面 平 行 的 性 质 (a ， a )4 利 用 面 面 垂 直 的 性 质 当 两 个 平 面 垂 直 时 ， 在 一 个 平 面 内 垂 直 于 交 线 的 直 线垂 直 于 另 一 个 平 面 . 返 回精 析 考 题 例 3 (2011江 苏 高 考 )如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD中 ， 平面 PAD 平 面 ABCD， AB AD， BAD 60 ， E， F分 别 是 AP， AD的 中 点 求 证 ： (1)直 线 EF 平 面 PCD；(2)平 面 BEF 平 面 PAD. 返 回自 主 解 答 (1)在 PAD中 ， 因 为 E，F分 别 为 AP， AD的 中 点 ，所 以 EF PD.又 因 为 EF 平 面 PCD， PD 平 面 PCD，所 以 直 线 EF 平 面 PCD. 返 回(2)连 接 BD.因 为 AB AD， BAD 60 ， 所 以 ABD为 正 三 角 形 因 为 F是 AD的 中 点 ， 所 以 BF AD.因 为 平 面 PAD 平 面 ABCD， BF 平 面 ABCD，平 面 PAD平 面 ABCD AD， 所 以 BF 平 面 PAD.又 因 为 BF 平 面 BEF， 所 以 平 面 BEF 平 面 PAD. 返 回在 本 例 条 件 下 ， 若 CD 平 面 PAD， 求 证 ： 平 面 PCD 平面 EFB.证 明 ： 由 例 3(2)知 BF 平 面 PAD， 又 CD 平 面 PAD， BF CD.又 BF 平 面 PCD， CD 平 面 PCD， BF 平 面 PCD.又 EF 平 面 PCD， BFEF F， 平 面 PCD 平 面 BEF. 返 回巧 练 模 拟 (课 堂 突 破 保 分 题 ， 分 分 必 保 ！ )4 (2012东 城 模 拟 )已 知 ， 为 不 重 合 的 两 个 平 面 ， 直 线m ， 那 么 “m ”是 “ ”的 ( )A 充 分 而 不 必 要 条 件B 必 要 而 不 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 返 回答 案 ： A解 析 ： 根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 知 若 m ，m ， 反 之 则 不 一 定 成 立 返 回5 (2012石 景 山 模 拟 )如 图 ， 已 知 AB 平 面 BCE，CD AB， BCE是 正 三 角 形 ， AB BC 2CD.(1)在 线 段 BE上 是 否 存 在 一 点 F， 使 CF 平 面 ADE?(2)求 证 ： 平 面 ADE 平 面 ABE. 返 回 返 回(2) CF BF， CF AB， CF 平 面 ABE. CF DG， DG 平 面 ABE. DG 平 面 ADE， 平 面 ABE 平 面 ADE. 返 回冲 关 锦 囊 1 判 定 面 面 垂 直 的 方 法(1)面 面 垂 直 的 定 义 (2)面 面 垂 直 的 判 定 定 理 (a ， a )2 在 已 知 平 面 垂 直 时 ， 一 般 要 用 性 质 定 理 进 行 转 化 在 一 个 平 面 内 作 交 线 的 垂 线 ， 转 化 为 线 面 垂 直 ， 然 后 进一 步 转 化 为 线 线 垂 直 返 回 返 回解 题 样 板 （ 十 ） 规 范 立 体 几 何 答 题 步 骤 ，避 免 “ 对 而 不 全 ” 返 回考 题 范 例 (12分 )(2011山 东 高 考 )如 图 ， 在 四 棱台 ABCD A1B1C1D1中 ， D1D 平 面ABCD， 底 面 ABCD是 平 行 四 边 形 ，AB 2AD， AD A1B1， BAD 60 .(1)证 明 ： AA1 BD；(2)证 明 ： CC1 平 面 A1BD. 返 回 返 回(2)连 接 AC， A1C1.(6分 )设 ACBD E， 连 接 EA1，因 为 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ， 返 回 返 回模 板 建 构 本 题 考 查 用 线 面 垂 直 证 明 线 线 垂 直 及 线 面 平 行 的 证明 在 解 答 时 出 现 的 失 分 点 多 数 在 解 题 步 骤 不 严 谨 ， 忽 视定 理 的 使 用 条 件 而 造 成 的 如 (1)问 中 易 漏 ADD1D D，AA1 平 面 ADD1A1这 两 个 条 件 (2)问 中 易 漏 EA1 平 面A1BD、 CC1 平 面 A1BD这 一 关 键 条 件 ， 这 样 使 表 述 不 严 谨 ，造 成 丢 分 返 回点 击 此 图 进 入