函数单调与凹凸教学

第 四 节 函 数 单 调 性 与 凹 凸 性 一、函数的单调性定理1设)(xf在区间I上连续,在区间I内可导.(1)若在I内,0)( xf则)(xf在区间I上单调增加.(2)若在I内,0)( xf则)(xf在区间I上单调减少.证明(1)任取, 21 Ixx 且21 xx 则)(xf在, 21 xx上连续,在),( 21 xx内可导.由拉格朗日中值定理得:至少存在一点),( 21 xx使得 )()( 12 xfxf )( 12 xxf 内在又内在IxfI ,0)( 0)( f )()( 12 xfxf 0 即)()( 21 xfxf :按定义得 )(xf在区间I上单调增加.(2)类似可证注：反之不然.即)(xf在区间I上单调增加在I内0)( xf(单调减少) ) 0)( ( xf反例: ,),()( 3上单调增加在 xxf 0)0( f但,),()( 31上单调增加在 xxg .)0(不存在但g 在讨论)(xf的单调性时,在定义域中如有使得导数为零的点或导数不存在的点,应先求出它们.例1讨论函数xxy sin在2,0 上的单调性解y xcos1)2,0( x时, xy cos1 0 xxy sin在2,0 上是单调增加的. 例2讨论函数593)( 23 xxxxf的单调性解定义域: ),( )( xf 963 2 xx )32(3 2 xx )3)(1(3 xx )3)(1(3 xx令)( xf 0解得x ,1 3它们将定义域分为: ,1,( ,3,1 ),3 )1,( x时, )( xf 0在1,( 上, )(xf是单调增加的.)3,1(x时, )( xf 0 在3,1上, )(xf是单调减少的.),3( x时, )( xf 0在),3 上, )(xf是单调增加的. 例3证明:当)2,0( x时,有xx tan分析:即证0tan xx令xxxf tan)(即)0()( fxf 所以,只需证: .,) 2,0)(即可上是单调增加的在xf 证令xxxf tan)( )( xf 1sec2 x x2tan)2,0( x时, xxf 2tan)( 0上是单调增加的在)2,0)( xf当)2,0( x时,有)0()( fxf 即xx tan 0即 xx tan 二. 函数的凹凸性与拐点先看两条曲线:它们有何不同？向上弯向下弯弯曲的方向不同怎样描述曲线的弯曲方向？函数的凹凸性（凹的）（凸的） xyo xy oa b a b1x 2x2 21 xx )(xfy )( 1xf )( 2xf2 )()( 21 xfxf )(xfy 1x 2x2 21 xx )2( 21 xxf )( 1xf )( 2xf2 )()( 21 xfxf 2 )()()2( 2121 xfxfxxf 2 )()()2( 2121 xfxfxxf )2( 21 xxf 定义设)(xf在区间I上连续.如果对于任意两点Ixx 21,都有2 )()()2( 2121 xfxfxxf 则称函数)(xf在区间上 I的图形 是凹的.) ( ( 凸 )( )定理2设)(xf在区间I上连续,在区间I内二阶可导,那么(1)若在I内,0)( xf则)(xf在I上是凹的.(2)若在 I内,0)( xf则)(xf在I上是凸的. 证(1)任取两点, 21 Ixx 不妨设21 xx )(xf在I内二阶可导,因而在I内一阶可导,又)(xf在I上连续在2, 211 xxx 上,应用拉格朗日中值定理得:至少存在一点, )2,( 21 11 xxx 使得)2)()()2( 1211121 xxxfxfxxf 即2)()()2( 121121 xxfxfxxf (1) 同理,在,2 221 xxx 上,应用 拉格朗日中值定理得:至少存在一点),2( 2212 xxx 使得)2)()2()( 2122212 xxxfxxfxf 即2)()2()( 122212 xxfxxfxf (2)(2)-(1)得)2(2)()( 2112 xxfxfxf 2)()( 1212 xxff 2).()( 1212| xxxf x ) ( 21 2)( 1212 xxf (拉格朗日中值定理) 在区间I内 0)( f )2(2)()( 2112 xxfxfxf 2)( 1212 xxf 0即2 )()()2( 2121 xfxfxxf 按定义得: )(xf在I上是凹的.(2)类似可证. 注:反之不然.反例: 4)( xxf 在),( I上是凹的,但0)0( f ),0(, 0,(,)( 32 xx xxxg在),( I上是凹的,但)0(g不存在. 在讨论凹凸性时,应先求出使0)( xf或)( xf不存在的点. 例4讨论下列函数的凹凸性（1）xy ln（2）3xy 解（1）定义域：),0( xy 1 21 xy ,),0(时x 21 xy 0 )(xf在),0( 上是凸的. （2）定义域：),( 23 xy xy 6 令0 y解得0 x它将定义域分为：,0,( ),0 ,)0,(时x xy 6 0 )(xf在0,(上是凸的. ,),0(时x xy 6 0 )(xf在),0 上是凹的. 定义曲线上凹凸性的转折点称为拐点.在上例中,点)0,0(是曲线3xy 的拐点.例5求下列函数的凹凸区间与拐点 （1）143 34 xxy（2）31xy 解(1)定义域: ),( 23 1212 xxy xxy 2436 2 )32(36 xx令0 y解得32 ,0 x 它们将定义域分为：,0,( ,32,0 ),32 ,)0,(时x )32(36 xxy 0 143 34 xxy在0,(上是凹的.,)32,0(时x )32(36 xxy 0 143 34 xxy在32,0上是凸的.,),32(时x )32(36 xxy 0 143 34 xxy在),32 上是凹的. 点)2711,32( ),1,0(是拐点凹区间: ,0,( ),32 凸区间: 32,0（2）定义域：),( , 3 131 3 232 xxy 3592 xy0 x时, y 3 59 2x不存在它将定义域分为：,0,( ),0 ,)0,(时x 3 59 2 xy 0 )(xf在0,(上是凹的.,),0(时x 3 59 2 xy 0 )( xf在),0 上是凸的.拐点: )0,0(凹区间: 0,(凸区间: ),0 定理若点)(,( 00 xfx是曲线)(xfy 的拐点,且)(xfy 在0 x处二阶可导,则0)( 0 xf反之不然.反例: ,4xy 0)0( y但点)0,0(不是 4xy 的拐点. 小 结1. 函数的单调性的判别单调区间，即：单增区间，单减区间2.函数的凹凸性的判别凹凸区间，即：凹区间，凸区间拐点3.应用：利用单调性，可证不等式. 作 业P152 习题3-41，3(1),(3),(4),(6) ，5(单) , 6， 8(单) ， 9(单) ，10 (1)(3), 12考虑：p153, 4 , 7