《概率与统计初步》PPT课件

第 十 章 概 率 与 统 计 初 步10.1 随 机 事 件 的 概 率 10.2 随 机 变 量 及 其 应 用 10.3 随 机 变 量 的 数 字 特 征 10.4 区 间 估 计 与 假 设 检 验10.5 相 关 分 析 和 一 元 回 归 分 析 10.1.1 随 机 事 件 的 概 念 、 关 系 和 运 算 必 然 现 象 在一定的条件下，必然会发生的现象例 如 向 上 抛 一 枚 硬 币 ， 由 于 受 到 地 心 引 力 的 作 用 ， 硬币 上 升 到 某 一 高 度 后 必 定 会 下 落 我 们 把 这 类 现 象 称为 必 然 现 象 同 样 ， 任 何 物 体 没 有 受 到 外 力 作 用 时 ，必 定 保 持 其 原 有 的 静 止 或 等 速 运 动 状 态 ； 导 线 通 电 后 ，必 定 会 发 热 等 等 也 都 是 必 然 现 象 。 10.1 随 机 事 件 的 概 率 在 标 准 大 气 压 下 纯 水 在 10。 C是 结 冰 是 不 可能 的 ， 所 以 就 称 为 不 可 能 现 象 。 同 样 ， 一 物 体 在 变 力 作 用 下 作 匀 速 直 线 运 动 也 是不 可 能 现 象 。 随 机 现 象 : 在 给 定 条 件 下 ， 可 能 发 生 ， 也 可 能 不 发生 ， 其 结 果 是 无 法 事 先 预 测 的 现 象 例 如 : 1.抛 掷 一 枚 硬 币 ， 当 硬 币 落 在 地 面 上 时 ，可 能 是 正 面 （ 有 国 徽 的 一 面 ） 朝 上 ， 也 可 能是 反 面 朝 上 ， 在 硬 币 落 地 前 我 们 不 能 预 知 究竟 哪 一 面 朝 上 我 们 把 这 类 现 象 称 为 随 机 现象 （ 或 偶 然 现 象 ） 2.自 动 机 床 加 工 制 造 一 个 零 件 ， 可 能 是 合格 品 ， 也 可 能 是 不 合 格 品 ； 统 计 规 律 性q每 次 试 验 前 不 能 预 言 出 现 什 么 结 果q 每 次 试 验 后 出 现 的 结 果 不 止 一 个q 在 相 同 的 条 件 下 进 行 大 量 观 察 或 试 验 时 ， 出 现 的 结 果 有 一 定 的 规 律 性 称 之 为 统 计 规 律 性 对 某 事 物 特 征 进 行 观 察 , 统 称 试 验 . 若 它 有 如 下 特 点 ,则 称 为 随 机 试 验q 可 在 相 同 的 条 件 下 重 复 进 行q 试 验 结 果 不 止 一 个 ,但 能 明 确 所 有 的 结 果q 试 验 前 不 能 确 定 出 现 哪 种 结 果 我 们 把 试 验 的 结 果 中 发 生 的 现 象 称 为 事 件 ，在 试 验 的 结 果 中 ， 可 能 发 生 、 也 可 能 不 发 生 的事 件 称 为 随 机 事 件 ， 简 称 为 事 件 通 常 用 字 母A， B， C， 表 示 随 机 事 件 基 本 事 件 实 验 的 不 可 能 再 分 的 结 果 .每次 试 验 必 定 发 生 且 只 可 能 发 生 一 个 基 本 事件 . 复 合 事 件 由 若 干 个 基 本 事 件 组 成 的 事件 必 然 事 件 在 一 定 条 件 下 必 定 发 生的 事 件 ,记 为 不 可 能 事 件 在 一 定 条 件 下 一 定 不发 生 的 事 件 ,记 为 . 例 : 某 城 市 共 有 500辆 出 租 车 ， 其 牌 照 编 号 从 000 11000之 间 选 取 ， 记 事 件A=偶 然 遇 到 一 辆 出 租 车 ， 其 牌 照 号 码 中 含 有 数 字 8B=连 续 碰 见 三 辆 出 租 车 ， 其 牌 照 号 码 均 含 有 数 字 8都 是 随 机 事 件C=该 城 市 中 出 租 车 牌 照 编 号 为 8000为 不 可 能 事 件 . 例子 随 机 试 验 随 机 事 件例 1 抛 一 枚 硬 币 ， 观 察 出 现 的结 果 . A1=正 面 朝 上 , A2=反 面 朝上 例 2 从 一 批 产 品 中 任 意 取 10个样 品 ， 观 测 其 中 的 次 品 数 . B=取 出 的 10个 样 品 中 有 1至 3个 次 品 例 3 记 录 某 段 时 间 内 电 话 交 换台 接 到 的 呼 唤 次 数 . C=在 该 段 时 间 内 电 话 交 换 台接 到 的 呼 唤 次 数 不 超 过 8次 例 4 测 量 某 个 零 件 的 尺 寸 与 规定 尺 寸 的 偏 差 x（ mm） . D=测 得 零 件 的 尺 寸 与 规 定 尺寸 的 偏 差 小 于 0 1mm l 引 例 例 从 一 批 含 有 正 品 ， 次 品 的 产 品 中 ， 任 取 两 件 设 有 以 下事 件 ： A1=两 件 中 至 少 有 一 件 是 次 品 A2=两 件 中 恰 有 一 件 是 次 品 A3=两 件 全 是 次 品 A4=两 件 全 是 正 品 A5=两 件 中 至 多 有 一 件 次 品 这 些 事 件 间 存 在 着 多 种 关 系 ， 如 :（ 1） A1发 生 ， 则 A4不 会 发 生 ； （ 2） A 4发 生 ， 则 A1不 会 发 生 ； （ 3） A3与 A4不 会 同 时 发 生 ； （ 4） 当 且 仅 当 A2与 A3至 少 有 一 个 发 生 时 ， A1发 生 ； （ 5） 当 且 仅 当 A2与 A4至 少 有 一 个 发 生 时 发 生 ,A5发 生 A 包 含 于 B BA记 为 事 件 A 发 生 必导 致 事 件 B 发 生 A B BABA AB且1. 事 件 的 包 含2. 事 件 的 相等 事 件 A与 事 件 B 至 少 有 一 个 发 生nAAA , 21 的 和 事 件 ni ink k AA 11 或A +B发 生 BAA B 3. 事 件 的 和 (并 )A 与 B 的 和 事 件 BA 或 BA BABA 发 生 事 件 A 发 生 ， 但 事 件 B 不 发 生 BA B A A 与 B 的 差 事 件4. 事 件 的 差 A 与 B 互 相 对 立 BAAB ,若 每 次 试 验 A、 B中有 且 只 有 一 个 发生 AB称 B 为 A的 对 立 事 件 (或 逆 事 件 )，记 为5. 事 件 的 对 立 AB A A 与 B互 不 相 容AB A、 B不 可 能 同时 发 生 A BnAAA , 21 两 两 互 不 相 容 njijiAA ji ,2,1, 6. 事 件 的 互 不 相 容 (互 斥 ) 注 意 ： “ A 与 B 互 相 对 立 ” 与 “ A 与 B 互 斥 ” 是 不 同 的 概 念 若 事 件 A与 事 件 B是 相 互 对 立 的两 个 事 件 ， 则 它 们 一 定 互 不 相 容 ；反 之 不 一 定 . 事 件 的 关 系 及 运 算 的 概 念 类 似 于 集 合 论 中 集 合 间 的关 系 与 运 算 的 概 念 ， 其 记 号 也 是 相 对 应 的 ， 列 表 对照 说 明 如 下 ： 例 在 1， 2， 3， ， 10十 个 数 中 任 选 一 个 ， 若 选取 的 数 为 1则 记 为 1， 设 A=选 取 的 数 为 偶 数 ，B=选 取 的 数 为 小 于 5的 偶 数 ， C=选 取 的 数 小 于5， D=选 取 的 数 为 奇 数 则 10,8,6,5,4,3,2,1BA 4,2CA 10,8,6BA 10;,8,6,4,2DA 9,7,5,3,1AD 交 换 律 A+B=B+A AB=BA 结 合 律 A+（ B+C） =（ A+B） +C ； A（ BC） =（ AB） C 分 配 律 （ 1） A（ B+C） =AB+AC （ 第 一 分 配 律 ） （ 2） A+BC=（ A+B） （ A+C） （ 第 二 分 配律 ）运 算 律 事 件运 算 对 应 集 合运 算 定 理 1 若 事 件 A， B互 不 相 容 ， 则 称 为 概 率 的 加 法 公 式 .证 明 ： 设 在 某 一 条 件 下 将 试 验 重 复 进 行 n次 ， 即 基 本 事件 总 数 为 n. 其 中 事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数 为 m1， 事 件 B包 含 的 基 本 事 件 数 为 m2， ）（）（）（ BPAPBAP 加 法 公 式 BPAPnmnmnmmBAP )()( 2121P（ A） = ， P（ B） = nm2由 于 A与 B互 不 相 容 ， 故 事 件 A+B包 含 的 基 本 事 件 数为 m1+m2,同 样 由 古 典 概 率 的 定 义 有故 概 率 的 加 法 公 式 成 立 .nm1 推 论 1 若 事 件 两 两 互 不 相 容 ，则推 论 2 事 件 A的 对 立 事 件 的 概 率 为 nAAA ， 21 )()()()( 2121 nn APAPAPAAAP A)(1)( APAP 定 理 2 设 A， B为 任 意 两 事 件 ， 则 证 明 ： 因 为 A+B= ， 并 且 与 B互不 相 容 ， 于 是 又 由 于 )()()()( ABPBPAPBAP BBA )()()( BPBAPBAP 互 不 相 容 ，与且 ABBAABBAAA BA 因 此 对 于 三 个 随 机 变 量 ， 类 似 地 有 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) -P(A1A2) -P(A1A2) -P(A2A3)+P(A1A2A3) 我 们 可 划 出 维 恩 图 说 明 其 意 义 该 结 论 又称 为 “ 多 除 少 补 原 理 ” ， 对 于 事 件 的 个 数 ， 这一 原 理 还 可 推 广 到 n个 的 情 形 )()()( ABPBAPAP )()()( ABPAPBAP )()()()( ABPBPAPBAP 于 是 有 例 : 一 批 产 品 共 50件 ， 其 中 有 5件 是 次 品 ， 从 这 批产 品 中 任 取 3件 ， 求 其 中 有 次 品 的 概 率 解 法 1 设 A=取 到 的 3件 产 品 中 有 次 品 ； Ai=取到 的 3件 产 品 中 恰 有 i件 次 品 (i=1,2,3) 则 ，由 定 理 1的 推 论 1得 321321 AAAAAAA 两 两 互 不 相 容 ， 并 且， )()()( 321 APAPAPAP ） 276.0350 35045350 25145350 15245 CCCCCCCCC 276.01)(1( 350345 CCAPAP ）解 法 2 设 A=取 到 的 3件 产 品 中 有 次 品 ； =取 到 的 3件 产 品 中 无 次 品 ，A则 有 频 率设 在 n 次 试 验 中 ， 事 件 A 发 生 了 m 次 ，nmfn 则 称 为 事 件 A 发 生 的 频 率记 作 fn(A),其 中 m为 频 数10.1.2随 机 事 件 的 概 率 试 验 序号 n=5 n=50 n=500 nA fn(A) nA fn(A) nA fn(A)12345678910 2315124233 0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6 22252125242118242731 0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62 251249256253251246244258262247 0.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494 做 “ 抛 掷 硬 币 ” 的 试 验 ， 我 们 将 一 枚 硬 币 抛 掷 5次 、50次 、 500次 ， 各 做 10遍 ， 得 到 数 据 如 表 1-1所 示 ；其 中 A=朝 上 的 一 面 是 正 面 ， nA表 示 事 件 A发 生 的频 数 ,表 示 A发 生 的 频 率 抛 硬 币 试 验 ： 频率的性质q 1)(0 Afnq 1)( nf 实 践 证 明 ： 在 大 量 重 复 试 验 中 ， 随 机 事 件的 频 率 具 有 稳 定 性 也 就 是 说 ， 在 不 同 的 试 验序 列 中 ， 当 试 验 次 数 n充 分 大 时 ， 随 机 事 件 A的频 率 fn(A)常 在 某 个 确 定 的 数 字 附 近 摆 动 在 抛 硬 币 的 试 验 中 ， “ 正 面 朝 上 ” 这 一 随机 事 件 A的 频 率 fn(A)稳 定 在 数 字 0.5的 附 近 类似 的 例 子 还 可 以 举 出 很 多 . 频率的稳定性 试 验 者 n nA fn(A)德 莫 根蒲 丰K皮 尔 逊K皮 尔 逊 204840401200024000 10612048601912012 0.51810.50690.50160.5005 概 率 的 统 计 定 义 在 相 同 条 件 下 重 复 进 行 的 n 次 试 验 中 , 如 果 事件 A 发 生 的 频 率 稳 定 在 某 一 数 值 P的 附 近 摆动 ,且 随 n的 增 大 ,摆 动 幅 度 越 来 越 小 ,则 称 P为 随 机事 件 A的 概 率 ,记 作 P(A) 当 试 验 次 数 n较 大 时 有 :事 件 发 生的 概 率 事 件 发 生的 频 率 即 当 试 验 次 数 n充 分 大 时 ,就 常 把 事 件 A的 频率 作 为 事 件 A的 概 率 的 “ 近 似 值 ” （ 或 “ 估值 ” ） 比 如 ： 合 格 率 ， 废 品 率 ， 出 生 率 ， 升 学 率 ， 死亡 率 等 等 ， 都 是 频 率 1. 0 P(A) 1; 2. P( )=1,P( )=0.于 是 有 下 列 性 质 1条 件 概 率 的 概 念 )( BAP一 、 条 件 概 率 在 事 件 B发 生 的 条 件 下 ， 事 件 A发 生 的概 率 称 为 条 件 概 率 。 记 为10.1.3 几 类 常 见 的 概 率 问 题 2、 条 件 概 率 的 性 质 如 果 A， B是 随 机 试 验 的 两 个 随 机 事 件 ，且P（ B） 0的 ， 则 称 在 事 件 B发 生 的 前 提 下 事件 A发 生 的 概 率 为 条 件 概 率 ，记 作 P（ A B） 这 个 条 件 概 率 定 义 为 P（ A B） = )( )( BPABP 例 两 城 市 都 处 于 长 江 中 下 游 ， 根 据 近 一 百 余 年 的 气 象资 料 记 录 ， 知 道 两 城 市 的 雨 天 所 占 的 比 例 分 别 为 20%和18%， 两 城 市 同 时 下 雨 所 占 的 比 例 为 12%，求 ： 已 知 甲 市 为 雨 天 时 ， 乙 市 也 为 雨 天 的 概 率 ； 已 知 乙 市 为 雨 天 时 ， 甲 市 也 为 雨 天 的 概 率 .解 甲 市 下 雨设 A 乙 市 下 雨B， 则 有 3218.012.0)( )()|()1( BPABPBAP 5320.012.0)( )()|()2( APABPABP . 把 事 件 A发 生 的 前 提 下 事 件 B发 生的 条 件 概 率 ， 记 作 P（ B A） )( )( APABP 例 已 知 一 批 产 品 的 次 品 率 为 5%， 正 品 率 中 的 一 级 品 率为 80% 从 中 任 取 一 件 ， 试 求 它 是 一 级 品 的 概 率 解 设 A=被 取 到 的 一 件 产 品 是 正 品 ， B=被 取 到 的 一 件 产 品 是 一 级 品 依 题 意 得 )(1)( APAP =1-0.05=0.95因 为 P(B/A)=0.80， BA 所 以 AB=B于 是 P（ B） =P（ AB） =P（ A） P（ B/A）76.080.00.95 乘 法 公 式 可 以 推 广 到 有 限 个 事 件 的 情 形对 于 事 件 时）（， 当， 021321 AAPAAA ）（）（）（）（ 213121321 / AAAPAAPAPAAAP 时 ， 有）（当 0121 nAAAP 一 般 的 有 )/()/()/()( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP ）（ 由 条 件 概 率 的 定 义 可 得 ：P（ AB） =P（ B） P（ A B）（ 当 P（ B） 0时 ) 或P（ AB） =P（ A） P（ B A） （ 当 P（ A） 0时 ） 此 二 公 式 称 为 概 率 的 乘 法 公 式 注 ： 当 P(AB)不 容 易 直 接 求 得 时 ， 可 考 虑 利 用P(A)与 P(B A)的 乘 积 或 P(B)与 P(A|B)的 乘 积 间接 求 得 。 乘 法 公 式 乘 法 公 式 可 以 推 广 到 有 限 个 事 件 的 情 形对 于 事 件 时）（， 当， 021321 AAPAAA ）（）（）（）（ 213121321 / AAAPAAPAPAAAP 时 ， 有）（当 0121 nAAAP 一 般 的 有 )/()/()/()( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP ）（ 例 一 批 产 品 的 次 品 率 为 4 ， 正 品 中 一 等 品 率 为 75 ， 现 从 这 批 产 品 中 任 意 取 一 件 ， 试 求 恰 好 取 到 一 等品 的 概 率 。解 ： 记 A 取 到 一 等 品 ， B 取 到 次 品 ， 取 到 正 品 ， 则 由 于 故 于 是 04.0)( BP 96.0)( BP 75.0)( BAPBABAA 72.075.096.0)()()()( BAPBPBAPAP 如 果 事 件 构 成 一 个 完 备 事 件组 ， 并 且 ,则 对 于 任一 事 件 B， 有 nAAA , 21 ,0)( iAP ni ,2,1 )/()( )/()()/()()()()( 1 2211 ni ii nnABPAP ABPAPABPAPBAPAPBP 二 、 全 概 率 公 式 例 三 门 火 炮 向 同 一 目 标 射 击 ， 设 三 门 火 炮 击中 目 标 的 概 率 分 别 为 0.3， 0.6， 0.8 若 有 一 门 火炮 击 中 目 标 ， 目 标 被 摧 毁 的 概 率 为 0.2； 若 两 门火 炮 击 中 目 标 ， 目 标 被 摧 毁 的 概 率 为 0.6； 若 三门 火 炮 击 中 目 标 ， 目 标 被 摧 毁 的 概 率 为 0.9 试求 目 标 被 摧 毁 的 概 率 解 设 事 件 B=目 标 被 摧 毁 显 然 ， A1， A2， A3构 成 一 个 完 备 事件 组 ， 由 全 概 公 式 可 得 ： 31 )/()()( i ii ABPAPBP 321, ，门 火 炮 击 中 目 标有 iiAi 321, ，门 火 炮 击 中 目 标第 iiCi 3213213211 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8.04.07.02.06.07.02.04.03.0 332.0 3213213212 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8.06.07.08.04.03.02.06.03.0 477.0 31 )/()()( i ii ABPAPBP 482.09.0144.06.0477.02.0332.0 依 题 意 知应 用 全 概 率 公 式 ,得 9.0/6.0/2.0)/( 321 ）（，）（， ABPABPABP 例 某 地 区 的 初 中 毕 业 生 有 70 报 考 普 通 高 中 ， 20 报 考 中 专 ， 10 报 考 职 业 高 中 ， 录 取 率 分 别 为 90 ， 75 ， 85 ，试 求 ： 随 机 调 查 学 生 ， 他 如 愿 以 尝 的 概 率 ； 若 某 位 学 生 按 志 愿 录 取 了 ， 那 么 他 报 考 高 中 的 概 率 是 多 少 ？解 事 件 A=该 生 被 录 取 B1=该 生 报 考 普 通 高 中 B2=该 生 报 考 中 专 B3=该 生 报 考 职 业 高 中 则 有 9.0)/(,1.0)(,2.0)(,7.0)( 1321 BAPBPBPBP 85.0)/(,75.0)/( 32 BAPBAP从 而 由 全 概 率 公 式 有 865.0)/()()( 31 ii i BAPBPAP（ 2） 由 逆 概 率 公 式 有 7263.0865.0 9.07.0)( )/()()/( 111 AP BAPBPABP 下 面 要 介 绍 的 逆 概 公 式 是 全 概 公 式 的 逆 问 题 ： 若 已 知 “ 结 果 ” B已 经 发 生 了 ,要 求 某 一 种 “ 原 因 ” Aj发 生的 概 率 此 公 式 称 为 逆 概 公 式 （ 或 贝 叶 斯 (Bayes)公 式 ） ),2,1(,)/()( )/()()/( 1 njABPAP ABPAPBAP ni ii jjj nAAA , 21 设 构 成 一 个 完 备 事 件 组,0)( BP则 对 于 任 一 事 件 B ， 三 、 贝 叶 斯 公 式 （ 逆 概 率 公 式 ） 证 明 由 条 件 概 率 的 定 义 及 乘 法 公 式 有由 此 ,可 得再 将 全 概 率 公 式 代 入 上 式 , 即 得 )( )/()()/( BP ABPAPBAP jjj )/()()/()()( jjjj ABPAPBAPBPBAP ),2,1(,)/()( )/()()/( 1 njABPAP ABPAPBAP ni ii jjj ,3.0)/(,8.0)/( 21 ABPABP 21 )/()()( i ii ABPAPBP 3.0838.085 又 由 逆 概 公 式 得 )( )/()()/( 111 BP ABPAPBAP 82.06.05.03.0538.085 8.085 引 例 盒 中 有 3个 黑 球 和 2个 白 球 ， 从 中 随 机 抽 取 3个 ， 考虑 取 得 的 白 球 数 。 抽 取 的 白 球 数 有 三 个 可 能 结 果 ： 0， 1或 2， 对 于 不同 的 抽 取 次 数 其 结 果 可 能 不 同 。 为 此 ， 引 入 一 个 变 量 ，用 表 示 “ 抽 取 的 白 球 数 ” ， 该 变 量 的 不 同 取 值 表 达 不同 的 随 机 事 件 ， 如 （ =0） 表 示 “ 抽 取 的 3个 球 中 无 白 球 ” ； （ =1） 表 示 “ 抽 取 的 3个 球 中 有 1个 白 球 ” ； （ 2） 表 示 “ 抽 取 的 3个 球 中 至 多 有 2个 白 球 ” 。10.2 随 机 变 量 及 其 应 用 10.2.1随 机 变 量 的 定 义 如 果 一 个 随 机 试 验 的 结 果 可 以 用 一 个 变 量的 取 值 来 表 示 ， 则 称 这 个 变 量 为 随 机 变 量 。 通 常 我 们 用 希 腊 字 母 ， ， ， 或 大 写英 文 字 母 X， Y， Z， 表 示 随 机 变 量 。 例 抛 掷 一 枚 硬 币 ， 试 验 的 结 果 为 “ 出 现 正 面 ”和 “ 出 现 反 面 ” ， 引 入 变 量 ， 返 回= 1， 出 现 正 面0， 出 现 反 面则 为 随 机 变 量 ，(=0)， (=1)便 是 随 机 事 件 。 例 在 24小 时 内 ， 程 控 电 话 交 换 机 接 转电 话 的 次 数 是 一 个 随 机 变 量 ， 它 可 取一 切 非 负 整 数 0,1,2,.同 时 ， 随 机 变 量 取 不 同 的 值 就 表 示 不 同 的 随 机 事 件 ，例 如 ( =0)， ( =10)， (5 20)等表 示 不 同 的 随 机 事 件 。 例 在 一 批 灯 泡 中 任 意 抽 取 一 只 ， 测 试 其 寿命 ， 那 么 灯 泡 的 寿 命 (小 时 )是 一 个 随 机 变量 ， 显 然 的 一 切 可 能 取 的 值 是 非 负 实 数 值 , 返 回即 R+ 0 ，而 (=1200)， (5000)， (1500)等 都 是随 机 事 件 。 例 用 变 量 表 示 某 品 种 玉 米 穗 位 的 高 低（ 单 位 ： 厘 米 ） 。 则 P（ 120 130） =0.2表 示 “ 玉 米 穗 位 在 120厘 米 到 130厘 米 之 间 ” 这个 事 件 的 概 率 为 0.2。 由 于 )130120( P )120()130( PP所 以 ， 只 需 知 道 P（ 130） 与 P（ 120） 就可 以 求 出 P（ 120 130） 了 。 返 回 由 此 可 知 ， 随 机 试 验 的 结 果 可 以 用变 量 来 表 示 ， 但 这 种 “ 变 量 ” 与 微 积 分中 的 “ 变 量 ” 是 有 区 别 的 .以 例 中 白 球数 这 个 变 量 为 例 ， 它 有 ： 取 值 的 随 机 性 ， 也 就 是 说 取 哪 一 个值 ， 在 抽 样 前 无 法 确 定 ； 取 值 的 统 计 规 律 性 ， 也 就 是 取 0,1,2这 些 值 的 概 率 是 确 定 的 。两 个 特 点 随 机 变 量 的 分 类 如 “ 取 到 次 品 的 个数 ” ， “ 收 到 的 呼 叫 数 ” 等 .随机变量 离 散 型 随 机 变 量连 续 型 随 机 变量 所 有 取 值 可 以 逐 个一 一 列 举例 如 ， “ 电 视 机 的 寿 命 ” ，实际 中 常 遇 到 的 “ 测 量 误 差 ”等 . 全 部 可 能 取 值 不 仅无 穷 多 ， 而 且 还 不 能一 一 列 举 ， 而 是 充 满一 个 区 间 . 这 两 种 类 型 的 随 机 变 量 因 为 都 是 随机 变 量 ， 自 然 有 很 多 相 同 或 相 似 之 处 ；但 因 其 取 值 方 式 不 同 ， 又 有 其 各 自 的 特点 . 随机变量 连 续 型 随 机 变 量离 散 型 随 机 变 量 学 习 时 请 注 意 它 们 各 自 的 特 点 和 描 述 方 法 . 10.2.2常 见 离 散 型 随 机 变 量 若 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值 是 有 限 个 或 可 列 个 , 则 称 为 离 散 型 随 机 变 量设 离 散 型 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值为 ),2,1(,)( kpxP kk kxxx 21P kppp 21则 称 该 式 为 的 概 率 分 布 或 分 布 列 ， kxxx 21取 这 些 值 的 概 率 为 概 率 分 布 列 也 常 常 列 成 表 格 的 形 式 ： 分 布 列 的 性 质q ),2,1(,0 kpk 非 负 性q 11 k kp 归 一 性 例 对 于 第 一 节 中 的 例 ， 求 抽 取 的 白 球 数 的 分 布列 。 解 是 离 散 型 随 机 变 量 ， 取 值 为 0， 1， 2， 的 分布 列 为 106)1( P101)0( P 103)2( P即 0 1 2101 106 103P 例 416181 4 0 3 6 781 81 61 41 31P已 知 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 为 ：求 （ 1） (-16)； （ 2） (=1)。 解 （ 1） 注 意 到 -16， 离 散 型 随 机 变 量 的 可 能 取 值 只 有三 个 ， 即 0， 3及 6，所 以 P(-16) )6()3()0( PPP 2413 （ 2） 注 意 到 的 可 能 取 值 没 有 ， 说 明 事 件 (=1)是不 可 能 事 件 ， 所 以 P(=1) = （ 1） 两 点 分 布 （ 或 01分 布 ） )1,0()1()( 1 kppkP kk凡 试 验 只 有 两 个 结 果 , 常 用 0 1分 布描 述 , 如 产 品 是 否 合 格 、 人 口 性 别 统计 、 系 统 是 否 正 常 、 电 力 消 耗 是 否 超 标等 。 = xk 1 0pk p 1 - p （ 0 p 0 为 常 数显 然 ， 且 0)( xf 1)( 0 dxedxxf x 例 假 设 某 元 件 的 寿 命 服 从 参 数 = 0.0015的指 数 分 布 ， 求 它 使 用 1000小 时 后 还 没 有 坏 的概 率 . 解 设 为 该 元 件 的 寿 命 ， 则 223.00015.0 )()1000( 5.11000 0015.01000 edxedxxfP x (3) 正 态 分 布若 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数为 2 22 )(21)( xexf则 称 服 从 参 数 为 , 2 的 正 态 分 布记 作 N ( , 2 ), 为 常 数 ， 0 正 态 分 布 图 象 f (x) 的 性 质 ： 图 形 关 于 直 线 x = 对 称 , 即1. 在 x = 时 , f (x) 取 得 最 大 值 212. 在 x = 时 , 曲 线 y = f (x) 在 对 应 的 点 处 有 拐 点3. 曲 线 y = f (x) 以 x 轴 为 渐 近 线4. 曲 线 y = f (x) 的 图 形 呈 单 峰 状f ( + x) = f ( - x) 特 别 地 ， 当 时 ，即 ， 称 为 标 准 正 态分 布 ， 它 的 概 率 密 度 函 数 为10 ，)1,0(N 2221)( xex 显 然 ， 可 以 证 明0)( x 122121)( 22 dxedxx x 不 难 验 证 , 若 ),( 2 N对 于 22 )(2121)( xexf作 标 准 化 代 换 xt则 有 2221)( tetf 故 )1,0(N 即 任 意 一 个 正 态 分 布 都 可 以 通 过 标 准 化 代 换 转 化 为 标 准 正 态 分 布 . 正 态 分 布 是 概 率 论 中 最 重 要 的 分 布 之一 . 例 如 ， 测 量 的 误 差 、 一 批 产 品 的 质 量 指标 、 人 体 的 身 高 或 体 重 、 农 作 物 的 单 位 面 积产 量 、 炮 弹 弹 着 点 的 分 布 、 气 象 中 的 月 平 均气 温 、 湿 度 、 降 水 量 等 都 服 从 或 近 似 服 从 正态 分 布 . 另 外 ， 正 态 分 布 又 具 有 许 多 良 好 的 性 质 ，许 多 分 布 可 用 正 态 分 布 来 近 似 ， 它 能 描 述 相互 独 立 的 多 个 微 小 因 素 的 综 合 效 果 ， 在 数 理统 计 中 解 决 实 际 问 题 时 用 得 最 多 的 就 是 正 态分 布 或 与 正 态 分 布 有 关 . 引 例 甲 、 乙 两 射 手 ， 在 同 样 条 件 下 进行 射 击 。 他 们 命 中 的 环 数 分 别 记 为 、， 其 概 率 分 布 列 分 别 为 ：试 问 如 何 来 评 定 两 个 射 手 的 技 术 优 劣 ？ 10.3 随 机 变 量 的 数 字 特 征10.3.1随 机 变 量 的 数 学 期 望 解 虽 然 分 布 列 完 整 地 描 述 了 、 的 统 计 规 律 ，但 对 于 他 们 的 技 术 优 劣 不 能 直 接 由 分 布 列 看 出结 果 若 考 虑 平 均 射 中 的 环 数 则 可 求 得 问 题 的答 案 ， 假 定 他 们 各 射 击 100次 ， 则1001甲 平 均 射 中 的 环 数 约 为乙 平 均 射 中 的 环 数 约 为 （ 8 20+9 50+10 30） =9.1（ 环 ）（ 8 30+9 10+10 60） =9.3（ 环 ）1001故 从 平 均 射 中 的 环 数 看 ， 甲 的 技 术 优 于 乙 设 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 是若 级 数 1i iixp的 数 学 期 望 或 平 均 值 (简 称 期 望 ),记 为 E 或 E( )绝 对 收 敛 ,则 称 其 和 为 随 机 变 量 p p1 p2 p4 421 , xxx 例解 由 E的 定 义 得 31313321 E设 随 机 变 量 的 分 布 列 为 求 E 例 设 随 机 变 量 有 分 布 列试 求 的 数 学 期 望 . E解 此 题 显 然 不 必 考 虑 1i iixp的 绝 对 收 敛 性 ， 因 为 它 是 有 限 和 ， 51i iixpE =（ -1） 0.1+0 0.2+1 0.1+2 0.3+3 0.3=1.5 常 见 离 散 的 随 机 变 量 的 数 学 期 望(1) 二 点 分 布设 服 从 二 点 分 布 ， 其 分 布 列 为 ：则 =1 p+0 q=p (q=1-p) E 设 B ( n , p )则 nk knkkn ppkCE 0 )1()( nk knk ppknk nnp 1 )1()1(1 )1()!()!1( )!1( 10 )1(1 )1(nk knkkn ppCnp np 特 例 若 Y B ( 1 , p ), 则 E(Y)=np 由 此 可 见 ， 当 进 行 n重 贝 努 利 试验 时 ， 如 果 每 次 成 功 的 概 率 是 p ,则 n次 试 验 成 功 的 平 均 次 数 是 np （ 3） 泊 松 分 布 设 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 其 分 布 列 为 1 11 10 )!1()!1(! k kk kk k keekekkE )0,3,2,1,0(,!)( kekkp k则 *（ 4） 几 何 分 布 设 服 从 几 何 分 布 ， 其 分 布 列 为 )1,3,2,1(,)( 1 qpkpqkp k 11 1k kk kkpqqE kpqE 则 pqE qppqkpqkpqEq k kk kk k111 11)1( 1 111 1 分 布 期 望概 率 分 布二 点 分 布 pP pP 1)0( )1( p泊 松 分 布 1;,2,1,0!)( k kekP k 常 见 离 散 的 随 机 变 量 的 数 学期 望 )1;,2,1,0( )1()( qpnk ppCkP knkkn 二 项 分 布 np 设 连 续 型 函 数 的 随 机 变 量 的 密 度 函 数 为 f (x), dxxfx )( 绝 对 收 敛 , 则 称为 随 机 变 量 的 数 学 期 望 或 平 均 值 (简 称 期望 )。如 果 dxxxf )(否 则 称 的 数 学 期 望 不 存 在 。连 续 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 例解 . ,)1( 1)( 2的 数 学 期 望求 的 密 度 函 数 是设 随 机 变 量 Rxxxf 0 22 )1( 12)1( 1 dxxxdxxx 0 22 )1()1( 11 xdx 02)1ln(1 x 。， 的 数 学 期 望 不 存 在故 随 机 变 量该 积 分 不 是 绝 对 收 敛 的 注 意 不 是 所 有 的 连 续 型 随 机 变 量 都 有 数 学 期 望 分 布 期 望概 率 密 度均 匀 分 布 其 它,0 ,1)( bxaabxf 2ba指 数 分 布 其 它,0 ,0,)( xexf x 1正 态 分 布 2 22 )(21)( xexf 数 学 期 望 的 简 单 性 质(1) E(c)=c; (c为 常 数 ) ,即 常 量 的 数 学 期 望 常 量 本 身 (2) E(k+b)=kE()+b; k,b常 数 (3) E(+)=E()+E();(4) 设 ,相 互 独 立 , 则 E()=E()E();注 : 1. 性 质 (3)和 (4)可 以 推 广 到 有 限 个 随 机 变 量1, 2, , n 的 情 况 ； 2. 对 于 “ 和 ” ,不 要 求 1,2,n相 互 独 立 ; 对 于 “ 积 ” 要 求 1,2,n相 互 独 立 。 引 例 甲 、 乙 两 射 手 各 打 了 6 发 子 弹 ,每 发子 弹 击 中 的 环 数 分 别 为 ：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问 哪 一 个 射 手 的 技 术 较 好 ？解 首 先 比 较 平 均 环 数甲 = 8.3, 乙 = 8.3 有五个不同数有四个不同数10.3.2随 机 变 量 的 数 学 期 望 再 比 较 稳 定 程 度 34.13)3.86()3.87( )3.88()3.89()3.810(2 22 222 甲 ：乙 ： 34.5)3.87( )3.88(3)3.89()3.810( 2 222 乙 比 甲 技 术 稳 定 ， 故 乙 技 术 较 好 . 进 一 步 比 较 平 均 偏 离 平 均 值 的 程 度甲 )3.86()3.87( )3.88()3.89()3.810(261 22 222 乙 )3.87()3.88(3 )3.89()3.810(61 22 22 22.26/34.13 89.06/34.5 51 2)(k kk pXEx 41 2)(k kk pXEx E - E()2 若 E - E2 存 在 , 则 称 其 为 随 机称 D 为 的 均 方 差 或 标 准 差 .定 义 即 D ( ) = E - E2 变 量 的 方 差 , 记 为 D 或 D() 两 者 量 纲 相 同 D( ) 描 述 的 取 值偏 离 平 均 值 的 平 均 偏 离 程度 ,2,1,)( kpxP kk若 为 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 列 为 1 2)(k kk pExD 若 为 连 续 型 随 机 变 量 ， 概 率 密 度 为 f () dxxfExD )(2 计 算 方 差 的 常 用 公 式 ：由 数 学 期 望 的 性 质 可 知 ,对 于 连 续 型 随 机 变 量 dxxfExD )()( 2 22 22 22 )( )()()(2)( )()(2( EE dxxfEdxxxfEdxxfx dxxfExEx 22 )( EED 对 于 离 散 型 随 机 变 量 22 222 )()()(2 )()(2()( EEEE EEEEED 22 )( EE 常 见 随 机 变 量 的 方 差分 布 方 差概 率 分 布两 点 分 布 pXP pXP 1)0( )1( p(1-p)二 项 分 布 nk ppCkXP knkkn ,2,1,0 )1()( np(1-p)泊 松 分 布 ,2,1,0!)( kkekXP k 分 布 方 差概 率 密 度均 匀 分 布 其 它,0 ,1)( bxaabxf 12 )( 2ab指 数 分 布 其 它,0 ,0,)( xexf x 21正 态 分 布 2 22 )(21)( xexf 2 D (C) = 0 D (k ) = k2D() D(k+b ) = k2D()（ c为 常 数 ,k为 常 数 ） )()(2 )()()( EEE DDD 特 别 地 ， 若 , 相 互 独 立 ， 则)()()( DDD 方 差 的 简 单 性 质 10.4.1 区 间 估 计 用 点 估 计 法 来 估 计 总 体 的 参 数 十 分 简 单 易 行 , 但 由 于样 本 的 随 机 性 , 从 一 个 样 本 算 得 估 计 量 的 值 不 一 定 恰 好是 所 要 估 计 的 参 数 值 那 么 估 计 量 的 值 与 参 数 之 间 到 底相 差 多 少 ? 另 一 方 面 ， 不 同 的 样 本 会 得 到 总 体 的 同 一 参数 的 不 同 估 计 量 ， 如 何 最 后 确 定 总 体 的 参 数 值 呢 ？ 因此 ， 我 们 有 必 要 进 一 步 介 绍 新 的 估 计 方 法 . 这 种 方 法 是根 据 估 计 量 的 分 布 , 在 满 足 一 定 的 可 信 度 的 条 件 下 , 指出 被 估 计 的 总 体 的 参 数 的 可 能 取 值 范 围 这 就 是 参 数 的区 间 估 计 所 要 解 决 的 问 题 10.4 区 间 估 计 与 假 设 检 验 则 称 区 间 为 的 置 信 度 为 1的 置 信区 间设 为 一 给 定 的 很 小 的 正 数 ),.,(),.,( 212211 nn xxxxxx 为 两 个 统 计 量 , 称 为 置 信 度 （ 也 称 为 置 信 概 率 或 置 信 系 数 ） 1)( 21p若 成 立 1 ),( 21 分 别 称 为 是 置 信 区 间 的 上 ,下 限 21 , q 反 映 了 估 计 的 可 信 度 , 越 小 , 越 可 靠 .q 置 信 区 间 的 长 度 反 映 了 估 计 精 度 21 越 小 , 1- 越 大 , 估 计 的 可 靠 度 越 高 ,但q 确 定 后 , 置 信 区 间 的 选 取 方 法 不 唯 一 , 常 选 最 小 的 一 个 .几 点 说 明越 小 , 估 计 精 度 越 高 .21 这 时 , 往 往 增 大 , 因 而 估 计 精 度 降 低通 常 取 =0.05 或 0.012 正 态 总 体 期 望 的 区 间 估 计（ 1） 总 体 方 差 2已 知 nxxxN 212 ,),( 设 总 体 为 总 体 的 样 本 值 ,于 是 )(xE nxD 2)( ),( 2nNx 故 )1,0(Nnxu 从 而 知由 N（ 0， 1） 的 分 布 规 律 知 ： %95)96.1(P nx )96.1( uP %99)576.2(P nx )576.2( uP因 此 ， 对 可 作 如 下 估 计 ：时当 %5 nxnx 96.196.1 nxnx 576.2576.2 时当 %1以 上 两 式 可 作 为 公 式 使 用 . 例 某 农 场 试 种 新 品 种 水 稻 ， 已 知 该 新 品 种 水 稻 亩产 量 的 方 差 为 64. 现 从 该 农 场 的 水 稻 田 中 随 机 抽16亩 进 行 实 割 实 测 ， 得 到 平 均 亩 产 量 为 412.5kg.试 以 95%的 置 信 度 计 算 该 新 品 种 水 稻 的 平 均 亩 产 量的 置 信 区 间 .解 已 知 16n 5.412x 642 由 于 05.0 故 nxnx 96.196.1 _ 即 16896.15.41216896.15.412 即 42.41658.408 于 是 的 置 信 区 间 为 )42.416,58.408( （ ） 总 体 的 方 差 未 知 对 于 总 体 的 方 差 未 知 的 随 机 变 量 ),( 2 N当 是 大 样 本 时nxxx ,.,2,1 2 s 2 nsxnsx 96.196.1 nsxnsx 576.2576.2 时当 %1 时当 %5以 上 两 式 也 可 作 为 公 式 使 用 . 例 假 设 豫 农 1号 玉 米 穗 位 （ 单 位 ： cm） 是 一 个连 续 型 随 机 变 量 ， 现 在 观 测 100珠 玉 米 穗 位 ， 测得 其 平 均 高 度 3.112x 标 准 差 8.308s试 求 置 信 度 是 0.95时 关 于 总 体 期 望 值 的 置 信 区 间 .解 虽 然 并 没 说 明 总 体 服 从 正 态 分 布 ， 但 是 由于 样 本 容 量 n=100可 以 用 大 样 本 下 一 般 总 体 的置 信 区 间 公 式 . nxnxI ,查 标 准 正 态 分 布 表 可 得 ： 96.1 而 1008.308 nsn 5.60196. 故 所 求 的 置 信 区 间 为 ： )8.172,8.51()5.60603.112( 3.112,5. I （ 单 位 ： cm） 说 明 若 已 知 n较 大 , 就 可 把 看 作近 似 的 服 从 x nN 2, )(DS2 （ 3） 方 差 未 知 的 正 态 总 体 ， 小 样 本 下 的区 间 估 计 2 nxxxN 212 ,),( 设 总 体 为 为 总 体 的 样 本 值 ,其 中 未 知 则 ST n )( 服 从 自 由 度 为 n-1的 t分 布 对 于 给 定 的 ， t 由 故 tTP 1)( tnP S故 置 信 区 间 为 ： tnstns 假 定 初 生 婴 儿 的 体 重 服 从 正 态 分 布 ， 随 机 抽取 12名 新 生 婴 儿 ， 测 其 体 重 为 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540， 的 置 信 系 数 估 计 新 生 婴 儿 的 平 均 体 重 .（ 单 位 ： g）解 设 新 生 婴 儿 体 重 为 由 于 2 未 知 ， 05.0 12n 查 t201.2)11(2/ t 又 3057x 3.3753057111 121 2 i ixS故 的 置 信 区 间 为 201.2123.3753057201.2123.3753057 即 （ ， ）试 以 例 2、 正 态 总 体 方 差 的 区 间 估 计2 的 置 信 区 间 。， 推 求，观 测 值 ， 由， 给 定 置 信 度，设 ， 21 21 1)( nnxx N 11 2222 nsn 由 于 即 服 从 自 由 度 为 n-1 的 分 布2对 于 给 定 的 通 过 查 附 表 可 求 出 a和 b由 11 222 bsnaPbaP 得 111 222 a snb snP 的 置 信 区 间 。， 推 求，观 测 值 ， 由， 给 定 置 信 度，设 ， 21 21 1)( nnxx N 于 是 ， 的 置 信 区 间 为 ：2 a snb sn 22 1,1其 中 的 选 取 ， 一 般 情 况 下 是 由 :ba, 222 bPaP 而 定 的 . )1()1(,)1( )1( 2 /21 22/2 2 nsnnsn 即 例 已 知 某 种 木 材 横 纹 抗 压 力 的 实 验 值 服 从 正 态 分布 , 对 10个 试 件 作 横 纹 抗 压 力 试 验 得 数 据 如 下 :482 493 457 471 510 446 435 418 394 469试 对 该 木 材 平 均 横 纹 抗 压 力 的 方 差 进 行 区 间 估 计 .解 36.111512.3591 22 sn 04.0 04.0 98.0212 aP 02.02 2 bP查 表 得 7.19,53.2 ba 5661,44081 22 b sna sn而于 是 ， 的 置 信 区 间 为 ： (566,4408)2 求正态总体参数置信区间的解题步骤：(1) 根 据 实 际 问 题 构 造 样 本 的 函 数 ， 要 求 仅 含 待 估 参 数 且 分 布 已 知 ；(2) 令 该 函 数 落 在 由 分 位 点 确 定 的 区 间 里 的 概 率为 给 定 的 置 信 度 1， 要 求 区 间 按 几 何 对 称 或 概 率对 称 ；(3) 解 不 等 式 得 随 机 的 置 信 区 间 ；(4) 由 观 测 值 及 值 查 表 计 算 得 所 求 置 信 区 间 。 假 设 检 验若 对参 数有 所了 解 但 有 怀疑 猜 测需 要 证实 之 时 用 假 设检 验 的方 法 来 处 理若 对 参 数一 无 所 知 用 参 数 估 计的 方 法 处 理10.4.2 假 设 检 验 假 设 检 验 是 指 施 加 于 一 个 或 多 个 总 体 的概 率 分 布 或 参 数 的 假 设