《数列的通项与求和》PPT课件

数 列 的 通 项 与 求 和 必 记 公 式1.“ 基 本 数 列 ” 的 通 项 公 式 ：(1)数 列 -1,1,-1,1, 的 通 项 公 式 是 an=_.(2)数 列 1,2,3,4, 的 通 项 公 式 是 an=_.(3)数 列 3,5,7,9, 的 通 项 公 式 是 an=_.(4)数 列 2,4,6,8, 的 通 项 公 式 是 an=_.(-1)nn2n+12n (5)数 列 1,2,4,8, 的 通 项 公 式 是 an=_.(6)数 列 1,4,9,16, 的 通 项 公 式 是 an=_.(7)数 列 1,3,6,10, 的 通 项 公 式 是 an= .(8)数 列 的 通 项 公 式 是 an= .2n-1n2 n n 121 1 1 1, , ,1 2 3 4， 1n 2.常 用 的 拆 项 公 式 ：(1)(2)(3)(4)若 等 差 数 列 a n的 公 差 为 d(d 0),则= _1 .n n 1 1 1n n 1 1 1 1 1( ).n n k k n n k _1 .2n 1 2n 1 1 1 1( )2 2n 1 2n 1 n n 11a a n n 1 n n 2 n n 21 1 1 1 1 1 1( ) ( ).d a a a a 2d a a ； (5)(6) 1 n 1 n.n n 1 1 1 ( n k n).kn n k 1.(2013 新 课 标 全 国 卷 )设 首 项 为 1， 公 比 为 的 等 比 数 列 an 的 前 n项 和 为 Sn， 则 ( )A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an【 解 析 】 选 D.因 为 等 比 数 列 的 首 项 为 1， 公 比 为 Sn= = 所 以 S n=3-2an. 2323， 1 na a q1 qn21 a321 3 ， 2.(2013 玉 溪 模 拟 )数 列 an的 通 项 公 式 是 若前 n项 和 为 10， 则 项 数 n为 ( )A.120 B.99 C.11 D.121【 解 析 】 选 A.由 所 以 a1+a2+ +an 即 即 解 得 n+1=121,n=120.n 1a n n 1 ，n n 1 na n 1 n( n n 1)( n 1 n) ，( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n) 10 ，n 1 1 10 ， n 1 11 ， 3.(2013 西 安 模 拟 )如 果 数 列 an满 足 a1,a2-a1,a3-a2, ,an-an-1, 是 首 项 为 1,公 比 为 3的 等 比 数 列 ,则 an=( )【 解 析 】 选 C.因 为 数 列 an满 足 a1,a2-a1,a3-a2, ,an-an-1,是 首 项 为 1,公 比 为 3的 等 比 数 列 ,那 么 可 知 an-an-1=3n-1,因 此 利用 累 加 法 可 知n n n n3 1 3 3 3 1 3 3A. B. C. D.2 2 2 2 nn 3 1a .2 4.(2013 重 庆 模 拟 )化 简 Sn=n+(n-1) 2+(n-2) 22+ +22n-2+2n-1的 结 果 是 ( )A.2n+2-n B.2n+1-n+2C.2n-n-2 D.2n+1-n-2【 解 析 】 选 D.因 为 Sn=n+(n-1) 2+(n-2) 22+ +2 2n-2+2n-1,2Sn=2n+(n-1) 22+(n-2) 23+ +2 2n-1+2n,两 式 作 差 ,得 到 Sn=-n+(2+22+ +2n-1)+2n,化 简 得 到 为 选 项 D. 5.(2013 滁 州 模 拟 )数 列 an满 足 a1=1,a2=2,2an+1=an+an+2,若bn= 则 数 列 bn的 前 5项 和 等 于 ( )【 解 析 】 选 B.因 为 2an+1=an+an+2， 所 以 数 列 an为 等 差 数 列 ，因 为 d=1,所 以 an=1+(n-1) 1=n,所 以所 以 S 5=b1+b2+b3+b4+b5= n n 1 1a a ， 5 1 1A.1 B. C. D.6 6 30 n 1 1 1b ,n n 1 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 51 1 .2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 热 点 考 向 1 求 数 列 的 通 项 公 式【 典 例 1】 (1)(2013 长 春 模 拟 )已 知 数 列 an中 , a1=1, an=2an 1+1(n 2),则 数 列 an的 通 项 公 式 是 _.(2)已 知 数 列 an与 bn的 前 n项 和 分 别 为 Sn,Tn,a1=1,b1=2,且 对任 意 n N*， 都 有 Tn=2bn-2成 立 ， 求 数 列 an， bn的通 项 公 式 . 2nnS n ,a 【 解 题 探 究 】(1)根 据 an=2an 1+1(n 2),可 知 an+1与 an 1+1具 有 什 么 样 的 关系 ？提 示 ： an+1=2(an 1+1).(2)根 据 能 得 到 an与 an 1的 什 么 关 系 ?由 此 可 判 断 求an的 方 法 吗 ?提 示 : 可 用 累 乘 法 .2nnS na nn 1a n 1,a n 1 【 解 析 】 (1)由 an=2an 1+1(n 2)得 an+1=2(an 1+1),即所 以 数 列 an+1是 首 项 为 2,公 比 为 2的 等 比 数 列 ,所 以 an + 1=2n,所 以 an=2n 1.答 案 ： an=2n 1(2) 由 知 Sn=n2an,Sn-1=(n-1)2an-1(n 2),两 式 相 减 得 a n=n2an-(n-1)2an-1,即 (n2-1)an=(n-1)2an-1, nn 1a 1 2,a 1 2nnS n ,a 所 以所 以=又 a1=1也 适 合 上 式 ， 因 此 由 Tn=2bn-2,所 以 Tn-1=2bn-1-2(n 2),两 式 相 减 得 b n=2bn-2bn-1,即 bn=2bn-1,所 以 数 列 bn构 成 以 b1=2为 首 项 ,2为 公 比 的 等 比 数 列 ,所 以bn=2n. nn 1a n 1 n 2 ,a n 1 32 nn 1 1 2 n 1aa a 1 2 3 n 3 n 2 n 1a a 1a a a 3 4 5 n 1 n n 1 2 n 2 ,n n 1 n 2a .n n 1 【 互 动 探 究 】 若 题 (1)条 件 变 为 a1=36,an+1-an=2n,试 求 的 最小 值 .【 解 析 】 由 an+1-an=2n,得a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,a n-an-1=2(n-1). nan 将 以 上 n-1个 式 子 累 加 得又 因 为 a1=36,所 以 an=n2-n+36,所 以当 n=6时 ， 有 最 小 值 11. 2n 1 n 1 2 n 1 2a a n n.2 2na n n 36 36n 1,n n n nan 【 方 法 总 结 】 求 数 列 通 项 公 式 的 常 见 类 型 及 方 法(1)归 纳 猜 想 法 :已 知 数 列 的 前 几 项 ,求 数 列 的 通 项 公 式 ,可 采 用归 纳 猜 想 法 .(2)已 知 Sn与 an的 关 系 ， 利 用 求 an.(3)累 加 法 ： 数 列 递 推 关 系 形 如 an+1=an+f(n)， 其 中 数 列 f(n)前 n项 和 可 求 ， 这 种 类 型 的 数 列 求 通 项 公 式 时 ， 常 用 累 加 法 (叠加 法 ). 1n n n 1S ,n 1a S S ,n 2 ， (4)累 乘 法 ： 数 列 递 推 关 系 如 an+1=g(n)an， 其 中 数 列 g(n)前 n项 可 求 积 ， 此 数 列 求 通 项 公 式 一 般 采 用 累 乘 法 (叠 乘 法 ).(5)构 造 法 ： 递 推 关 系 形 如 an+1=pan+q(p,q为 常 数 )可 化 为 (p 1)的 形 式 ， 利 用 是 以 p为公 比 的 等 比 数 列 求 解 ； 递 推 关 系 形 如 (p为 非 零 常 数 )可 化 为的 形 式 .n 1 nq qa p(a )p 1 p 1 n qa p 1 nn 1 npaa a p n 1 n1 1 1a a p 【 变 式 备 选 】 已 知 数 列 an满 足 a1=2, 则 数 列 an的 通 项 公 式 为 an=_.【 解 析 】 因 为所 以所 以即 n 1n n 12naa n 2a 2n 2 ，n 1n n 12naa ,a 2n 2 n 1n n 1a 2 n 11 ,a 2na n 1n n 1 n 1a 2 n 1n 1 n 1,a 2a 2 a n n 1n n 1 1 n 2 ,a a 2 所 以 数 列 构 成 以 为 首 项 ， 为 公 差 的 等 差 数 列 ，所 以 所 以 an=2.答 案 ： 2 nn a 11 1a 2 12 nn 1 1 nn 1 ,a 2 2 2 热 点 考 向 2 裂 项 相 消 法 求 和【 典 例 2】 (2013 潍 坊 模 拟 )已 知 数 列 an的 各 项 排 成 如 图 所示 的 三 角 形 数 阵 ,数 阵 中 每 一 行 的 第 一 个 数 a1,a2,a4,a7, 构 成等 差 数 列 bn,Sn是 bn的 前 n项 和 ,且 b1=a1=1,S5=15.a1a2 a3a4 a5 a6a 7 a8 a9 a10 (1)若 数 阵 中 从 第 三 行 开 始 每 行 中 的 数 按 从 左 到 右 的 顺 序 均 构成 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且 公 比 相 等 ， 已 知 a9=16， 求 a50的值 .(2)设 求 Tn.n n 1 n 2 2n1 1 1T S S S ， 【 解 题 探 究 】(1)求 a50需 明 确 的 三 个 问 题 ： a50在 数 阵 中 的 位 置 ： _； bn在 数 阵 中 的 位 置 ： _； 等 差 数 列 bn的 通 项 公 式 及 等 比 数 列 的 公 比 ： _,公 比 :_.(2)求 Tn的 两 个 步 骤 : 求 S n:Sn= ; 观 察 Tn式 子 的 特 点 ， 可 判 断 用 什 么 方 法 求 Tn?提 示 :裂 项 相 消 法 . 第 10行 第 5个 数第 n行 第 一 个 数 bn=nq=2 n n 12 【 解 析 】 (1)因 为 bn为 等 差 数 列 ,设 公 差 为 d,b1=1,S5=15,所 以S5=5+10d=15,d=1,所 以 bn=1+(n-1) 1=n.设 从 第 3行 起 ,每 行 的 公 比 都 是 q,且 q0,a9=b4q2,4q2=16,q=2,1+2+3+ +9=45,故 a50是 数 阵 中 第 10行 第 5个 数 ,则 a50=b10q4=10 24=160. (2)因 为所 以= n n n 1S 1 2 n ,2 n n 1 n 2 2n1 1 1T S S S 2 2 2n 1 n 2 n 2 n 3 2n(2n 1) 1 1 1 1 1 12( )n 1 n 2 n 2 n 3 2n 2n 1 1 1 2n2( ) .n 1 2n 1 n 1 2n 1 【 方 法 总 结 】 裂 项 相 消 法 求 和 应 注 意 的 问 题(1)通 项 公 式 形 如 (其 中 a,b1,b2,c为 常 数 )用 裂 项 相 消 法 .(2)裂 项 时 要 保 证 裂 项 前 后 相 等 ,为 此 可 通 过 通 分 检 验 裂 项 的 正确 性 . n 1 2ca an b (an b ) 【 变 式 训 练 】 已 知 数 列 an是 一 个 等 差 数 列 ， 且 a2=5， a5=11.(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 an.(2)令 求 数 列 bn的 前 n项 和 Tn.【 解 析 】 (1)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d，由 已 知 条 件 得解 得 a 1=3， d=2.所 以 an=a1+(n-1)d=2n+1.*n 2n 1b (n N )a 1 ，11a d 5a 4d 11 ， ， (2)存 在 .由 (1)知 an=2n+1.所 以=所 以=即 数 列 b n的 前 n项 和 n 22n 1 1 1 1b a 1 4 n(n 1)2n 1 1 1 1 1( ).4 n n 1 n 1 1 1 1 1 1T (1 )4 2 2 3 n n 1 1 1 n(1 ) .4 n 1 4 n 1 n nT .4 n 1 热 点 考 向 3 错 位 相 减 法 求 和【 典 例 3】 (2013 淮 南 模 拟 )已 知 数 列 an满 足 a1=3， an+1-3an=3n(n N*)， 数 列 bn满 足 (1)证 明 数 列 bn是 等 差 数 列 并 求 数 列 bn的 通 项 公 式 .(2)求 数 列 an的 前 n项 和 Sn.【 解 题 探 究 】(1)要 证 明 数 列 b n是 等 差 数 列 只 需 证 明 :_.(2)数 列 an的 通 项 公 式 是 : an=_=_,根 据 通 项 公 式 的 结 构 特 点 ,可 用 _法 求 Sn.nn nab .3 bn+1 bn=常 数3nbn (n+2) 3n-1错 位 相 减 【 解 析 】 (1)由 得所 以所 以 数 列 bn是 等 差 数 列 ， 首 项 b1=1， 公 差 为所 以 nn nab 3 ， n 1n 1 n 1ab 3 ，n 1 nn 1 n n 1 na a 1b b 3 3 3 ， 13， n 1 n 2b 1 n 1 .3 3 (2)an=3nbn=(n+2) 3n-1,所 以 Sn=a1+a2+ +an=3 1+4 3+ +(n+2) 3n-1 所 以 3Sn=3 3+4 32+ +(n+2) 3n - 得-2Sn=3 1+3+32+ +3n-1-(n+2) 3n=2+1+3+32+ +3n-1-(n+2) 3n=所 以 n n3 3 n 2 3 .2 nn n n 2 33 3S .4 2 【 方 法 总 结 】 错 位 相 减 法 求 和 应 注 意 的 问 题(1)通 项 公 式 形 如 (其 中 k1,b1,k2,b2,q为 常数 )， 用 错 位 相 减 法 .(2)运 用 错 位 相 减 法 求 和 时 ， 相 减 后 ， 要 注 意 右 边 的 n+1项 中的 前 n项 ， 哪 些 项 构 成 等 比 数 列 ， 以 及 两 边 需 除 以 代 数 式 时 注意 要 讨 论 代 数 式 是 否 为 零 . 2 2k n bn 1 1a k n b q 【 变 式 训 练 】 (2013 山 东 高 考 )设 等 差 数 列 an 的 前 n项 和为 Sn， 且 S4=4S2， a2n=2an+1.(1)求 数 列 an 的 通 项 公 式 . (2)设 数 列 bn满 足 求 bn的 前n项 和 Tn.【 解 析 】 (1)设 等 差 数 列 an的 首 项 为 a1， 公 差 为 d，由 S 4=4S2,a2n=2an+1得 *1 2 n n1 2 nb b b 11 ,n N a a a 2 ， 解 得 a1=1,d=2，因 此 an=2n 1,n N*.(2)由 已 知当 n=1时 ，当 n 2时 ，所 以 1 11 14a 6d 8a 4d,a 2n 1 d 2a 2 n 1 d 1, *1 2 n n1 2 nb b b 11 ,n N ,a a a 2 11b 1,a 2n n n 1 nnb 1 1 11 (1 )a 2 2 2 ，*n nnb 1 ,n Na 2 ， 由 (1)知 an=2n 1,n N*，所 以又两 式 相 减 得所 以 *n n2n 1b ,n N2 ，n 2 3 n1 3 5 2n 1T 2 2 2 2 ，n 2 3 4 n n 11 1 3 5 2n 3 2n 1T2 2 2 2 2 2 ，n 2 3 4 n n 11 1 2 2 2 2 2n 1T ( )2 2 2 2 2 2 2 n 1 n 13 1 2n 12 2 2 ， n n2n 3T 3 .2 【 典 例 】 已 知 数 列 an满 足 ： a1=1,a2= 且 3+(-1)nan+2-2an+2(-1)n-1=0,n N*.(1)求 a3,a4,a5,a6的 值 及 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)设 bn=a2n-1 a2n-(-1)nln a2n， 求 S2n.1,2 【 解 析 】 (1)经 计 算 a3=3, a5=5,a6= 当 n为 奇 数 时 ,an+2=an+2,即 数 列 an的 奇 数 项 成 等 差 数 列 ,所 以a2n-1=a1+(n-1) 2=2n-1;当 n为 偶 数 ， 即 数 列 an的 偶 数 项 成 等 比 数 列 ， 所以 因 此 ， 数 列 a n的 通 项 公 式 为 4 1a ,4 1.8n 2 n1a a ,2 n 1 n2n 2 1 1a a ( ) ( ) .2 2 n n 2n, n ,a 1( ) , n .2 为 奇 数为 偶 数 (2)因 为 bn=a2n-1 a2n-(-1)nlna2n=令并 设 数 列 cn,dn的 前 n项 和 分 别 为 Tn,Tn .则 nn n1 12n 1 ( ) 1 ln( )2 2 nn12n 1 ( ) 1 nln 2.2 nnn n1c 2n 1 ( ) ,d 1 nln 2,2 2 3 n 1 nn 1 1 1 1 1T 1 3 ( ) 5 ( ) (2n 3) ( ) (2n 1) ( ) ,2 2 2 2 2 2 3 4 n n 1n1 1 1 1 1 1T 1 ( ) 3 ( ) 5 ( ) (2n 3) ( ) (2n 1) ( ) ,2 2 2 2 2 2 ， 两 式 相 减 ，得=所 以T 2n =-1+2-3+4- +2nln 2=nln 2，所 以 2 3 n n 1n1 1 1 1 1 1T 1 2( ) ( ) ( ) (2n 1) ( )2 2 2 2 2 2 n 1 n 11 11 ( ) 1 12 2 (2n 1) ( )12 21 2 n 13 1(2n 3) ( ) .2 2 nn 1T 3 (2n 3) ( ) .2 2n 2n 2n 2n 1S T T 3 4n 3 ( ) nln 2.2 【 方 法 总 结 】 条 件 中 含 有 ( 1)n题 目 的 求 解 策 略通 项 公 式 形 如 an=(-1)n n或 an=a (-1)n(其 中 a为 常 数 ， n N*)等 正 负 交 叉 项 的 求 和 一 般 用 并 项 法 .并 项 时 应 注 意 分 n为 奇 数 、偶 数 两 种 情 况 讨 论 . 分 类 讨 论 思 想 解 决 数 列 中 的 求 和 问 题【 思 想 诠 释 】1.主 要 类 型 ： (1)求 和 分 类 讨 论 ， 如 求 数 列 |an|的 前 n项和 .(2)对 等 比 数 列 公 比 的 讨 论 ,如 求 等 比 数 列 前 n项 和 问 题 中 对公 比 q=1和 q 1进 行 讨 论 .(3)对 项 数 的 奇 偶 进 行 讨 论 ,如 当 条 件中 含 有 (-1)n时 应 讨 论 n的 奇 偶 性 . 2.解 题 思 路 ： 结 合 数 列 的 通 项 公 式 及 求 和 公 式 ， 全 面 分 析 引起 结 论 的 变 化 的 各 种 情 况 进 行 分 类 讨 论 求 解 .3.注 意 事 项 ： (1)准 确 确 定 分 类 对 象 及 分 类 标 准 ， 要 不 重 不 漏 ，符 合 最 简 原 则 .(2)运 用 公 式 求 和 时 要 注 意 公 式 成 立 的 条 件 . 【 典 例 】(12分 )(2013 浙 江 高 考 )在 公 差 为 d的 等 差 数 列 an中 ,已 知a1=10,且 a1,2a2+2,5a3成 等 比 数 列 .(1)求 d,an.(2)若 d0,求 |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|. 【 审 题 】 分 析 信 息 ， 形 成 思 路(1)切 入 点 :把 a2,a3用 a1,d表 示 ,列 方 程 求 解 .关 注 点 :公 差 d有 两 个 结 果 ,从 而 有 两 个 an.(2)切 入 点 :令 an 0求 出 变 号 的 项 .关 注 点 :需 根 据 an的 正 负 分 类 讨 论 求 解 . 【 解 题 】 规 范 步 骤 ， 水 到 渠 成(1)由 题 意 得 ,5a3 a1=(2a2+2)2, 2分d2-3d-4=0,解 得 d=-1或 d=4 ， 所 以 an=-n+11或 an=4n+6. 4分(2)设 数 列 an前 n项 和 为 Sn,因 为 d0,所 以 d=-1,an=-n+11,则由 a n 0,即 -n+11 0得 n 11.所 以 当 n 11时 ,an 0,n 12时 ,an0. 6分 所 以 n 11时 ， |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|=Sn 8分n 12时 ， |a1|+|a2|+ +|a11|+|a12|+ +|an|=a1+a2+ +a11-a12- -an=S11-(Sn-S11)=-Sn+2S11 =综 上 所 述 ， |a 1|+|a2|+ +|an| 12分 21 21n n2 2 ；21 21n n 110.2 2 2 21 21n n,n 112 21 21n n 110,n 12.2 2 ， 【 点 题 】 规 避 误 区 ， 失 分 警 示 失 分 点 一 题 中 处 容 易 在 解 方 程 组 时 只 得 到 一 组 解失 分 点 二 忽 略 处 讨 论 导 致 解 题 步 骤 不 完 整 ,从 而 失 分失 分 点 三 处 易 错 写 为 Sn-2S11导 致 答 案 错 误 【 变 题 】 变 式 训 练 ， 能 力 迁 移(2013 北 京 模 拟 )已 知 等 差 数 列 an的 前 3项 和 为 6,前 8项 和为 -4,(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)设 bn=(4-an)qn-1(q 0,n N*),求 数 列 bn的 前 n项 和 Sn.【 解 析 】 (1)设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d，则解 之 得 a 1=3,d=-1.所 以 an=3-(n-1)=4-n.113a 3d 6,8a 28d 4. (2)由 (1)的 解 答 可 得 ,bn=n qn-1,则 Sn=1 q0+2 q+3 q2+ +n qn-1 ,若 q 1,将 上 式 两 边 同 乘 以 q得 qSn=1 q+2 q2+3 q3+ +(n-1) qn-1+n qn , - 得 ,(q-1)Sn=nqn-1-q-q2- -qn-1= n 1 nnn nq n 1 q 1q 1nq ,q 1 q 1 所 以若 q=1， 则综 上 n 1 nn 2nq n 1 q 1S .q 1 n n n 1S 1 2 3 n 2 ， n 1 nn 2n n 1 ,q 12S nq n 1 q 1 q 1.q 1 ， ，