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以 每 秒 燃 烧 的 气 体 为 研 究 对 象 ， 飞 行 方 向 为 正 方 向 ， 根据 动 量 定 理 ： 3.1 某 喷 气 式 飞 机 以 200ms-1的 速 率 在 空 中 飞 行 ， 引 擎 中 吸 入50kgs-1的 空 气 与 飞 机 内 2kgh-1的 燃 料 混 合 燃 烧 ， 燃 烧 后 的 气 体相 对 于 飞 机 以 400ms-1的 速 度 向 后 喷 出 试 求 此 喷 气 式 飞 机 引擎 的 推 力 。其 中可 求 得 21 vmvmvmmpptF 燃空燃空初末 m/s200400200,m/s2000 21 vvv ， kg36002kg50 燃空 ， mm N210000.F 3.3 如 图 所 示 ， 传 递 带 以 恒 定 的 速 度 v 水 平 运 动 ， 传 递 带 上 方 高为 H 处 有 一 盛 饲 料 的 漏 斗 ， 它 向 下 释 放 饲 料 ， 若 单 位 时 间 的 落料 量 为 r ， 试 求 传 递 带 受 到 饲 料 的 作 用 力 的 大 小 和 方 向 （ 不 计相 对 传 送 带 静 止 的 饲 料 质 量 ） H v解以 tt+dt 内落到传递带上的饲料为研究对象，它的质量为 dm = rdt ，在与传递带接触之前的速度大小为：gHv 2 1 与传递带接触之后的末动量为：则初动量为： 11 vdmp vdmp 2该研究对象受到传递带的弹力和自身重力，分别为： gdmf ，根据动量定理pddtF 12 ppdtgdmf gdmvvdtdmf 1忽略微小量 gdm 得： 1vvf r v1v 1vv 由矢量三角形可知：gHvvvf 22212 rr与传递带的夹角为：vgHvv 2arctanarctan 1 所以，传递带受到饲料的作用力f与f互为作用力和反作用力ff的大小：与f的大小相同；方向：与f的方向相反。 12 ppdtgdmf gdmvv 1r ， 人 相 对 转 台 的 角 速 度 为 ，设 转 台 相 对 轴 的 角 速 度 为 0 13.7 一 水 平 均 质 圆 台 的 质 量 为 200kg， 半 径 为 2m， 可 绕 通 过 其中 心 的 铅 直 轴 自 由 旋 转 (即 轴 摩 擦 忽 略 不 计 ) 今 有 一 质 量 为60kg的 人 站 在 圆 台 边 缘 开 始 时 ， 人 和 转 台 都 静 止 ， 如 果 人 在台 上 以 1.2ms-1的 速 率 沿 台 边 缘 逆 时 针 方 向 奔 跑 ， 求 此 圆 台 转 动的 角 速 度 则 人 对 轴 的 角 速 度 为系 统 角 动 量 守 恒解 ： Rv 010 010100 JJ 211200 21 RmJRmJ ，其 中 0 0.225rad/s 3.10 在 一 光 滑 水 平 面 上 固 定 半 圆 形 滑 槽 ， 质 量 为 m的 滑 块 以 初 速度 v0沿 切 线 方 向 进 入 滑 槽 端 ， 滑 块 与 滑 槽 的 摩 擦 系 数 为 ， 滑块 运 动 情 况 及 受 力 分 析 如 图 所 示 试 求 当 滑 块 从 滑 槽 另 一 端 滑 出时 ， 摩 擦 力 所 做 的 功 evv 0 dddddddd vRvtvtv RvmNNtvmf 2dd 由动能定理有：)1(212121 220202 emvmvmvAf解: 0 dd0vv vv 3.12、 如 图 所 示 ， 有 一 表 面 光 滑 的 圆 柱 体 和 一 弹 簧 T， 圆 柱 体 的底 面 半 径 为 R,弹 簧 的 质 量 为 m,劲 度 系 数 为 k.开 始 时 质 量 为 m的物 体 在 A处 ， 弹 簧 无 伸 长 ， 如 果 在 拉 力 F的 作 用 下 ， 它 沿 柱 面 切向 匀 速 地 由 C运 动 到 B处 ， 试 计 算 F所 做 的 功 。 （ 假 定 F始 终 与柱 面 相 切 ）重 力 所 作 的 功 为 ： 1 ( ) sin sinA BA mg h h mg R R 弹 力 所 作 的 功 为 ： 22 22 1 1 1 ( )2 2 2A BA kx kx k R 解 ： 由 题 意 ， 在 整 个 过 程 中 ， BR FCTAmg F 1 2 0A A A 对 物 体 ， 由 动 能 定 理 ， 得可 求 得 1 2 2( ) 1sin sin ( )2FA A AmgR k R整 个 过 程 中 ， 拉 力 所 做 的 功 为 A， 3.17、 氢 原 子 中 的 电 子 在 圆 形 轨 道 上 绕 核 运 动 ， 速 率 为 v， 电 子 受到 大 小 为 的 向 心 力 （ 电 相 互 作 用 ） 的 作 用 ， 其 中 e为 电子 和 质 子 的 电 量 ， r为 轨 道 半 径 ， 为 恒 量 。（ 1） 试 证 明 轨 道 半 径 为 ；（ 2） 假 设 电 子 对 核 的 角 动 量 只 能 取 h/2的 整 数 倍 ， 其 中 h为 普 朗 克 常 量 。 试 证 明 电 子 可 能 的 轨 道 半 径 满 足 下 式式 中 n为 正 整 数 ；（ 3） 试 证 明 符 合 以 上 两 个 要 求 的 轨 道 半 径 必 须 满 足 下 式 ， 式 中 n为 正 整 数202 4/ re 0 2024 mver mvnhr 2 2202nehnr 解 ： 由 题 意 可 知 2022 4 rervm （ 1） 2024 mver （ 2） 电 子 做 圆 周 运 动 ， 其 对 核 的 角 动 量 为 L=rmv,依 题 意 有2hnrmvL mvnhr 2（ 3） 由 ,2 mvnhr 可 得 , 2 mrnhv 带 入 2 20= ,4 er mv整 理 可 得 2202mehnr 3.18、 两 个 溜 冰 爱 好 者 的 质 量 都 为 70kg， 都 以 4m/s的 速 度在 相 距 为 1.5m的 平 行 线 上 相 对 滑 行 ， 相 遇 时 互 相 拉 起 手 ，绕 它 们 的 对 称 中 心 做 圆 周 运 动 ， 将 此 二 人 视 为 一 个 系 统 。试 求 ： （ 1） 该 系 统 的 总 动 量 和 总 角 动 量 ； （ 2） 圆 周 运 动的 初 始 角 速 度 。解 ： 由 题 意 可 知(1)由 于 二 人 的 质 量 、 速 率 相 等 ， 但 速 度 方 向 相 反 ， 故 总 动 量 为 零 ， 即 P=P 1 +P 2 =mv-mv=0总 角 动 量 为 ： 21 2 1.52 2 70 4 420( / )2 2dL L L mv kg m s (2)根 据 角 动 量 定 理 有 ： 0JwL JLw 0其 中 ： 22 )2(22 dmmrJ w0=16/3(rad/s) 3.20 如 图 所 示 ， 质 量 为 2m ， 长 l 的 均 匀 细 杆 可 绕 通 过 其 上 端的 水 平 光 滑 固 定 轴 O 转 动 ， 另 一 质 量 为 m 的 小 球 ， 用 长 也 为 l 的 轻 绳 系 于 O 轴 上 。 开 始 时 杆 静 止 在 竖 直 位 置 ， 现 将 小 球 在 垂直 于 轴 的 平 面 内 拉 开 一 角 度 ， 然 后 使 其 自 由 摆 下 与 杆 端 相 碰 撞（ 设 为 弹 性 碰 撞 ） ， 结 果 使 杆 的 最 大 偏 角 为 / 3， 求 小 球 最 初 被拉 开 的 角 度 。 Ol l解设小球与杆端碰前的速度为 v ，对小球由机械能守恒得： 221cos1 mvmgl 小球与杆端碰撞瞬间，系统的角动量守恒，得 Jlvmmvl )231( 2mlJ Ol l小球与杆端碰撞是完全弹性碰撞，碰撞过程中动能守恒，得：222 212121 Jvmmv 碰后，杆上升，只有重力做功，对杆，机械能守恒，得： 3cos122121 2 mglJ联立以上各式，解得：4823cos 。3761. 3.24、 在 一 圆 柱 容 器 底 部 有 一 圆 孔 ， 孔 的 直 径 为 d,圆 柱 体 直径 为 D， 容 器 中 水 的 高 度 随 着 水 的 流 出 而 下 降 ， 试 找 出 小 孔中 水 的 流 速 v和 水 面 高 度 h之 间 的 关 系 。解 ： 由 题 意 可 得设 S1与 S2分 别 为 容 器 与 小 孔 横 截 面 积 ， v1为容 器 水 面 下 降 速 度 ， v2为 水 流 从 小 孔 中 流 出速 度 ， 则 2221 4,4 dSDS 又 根 据 连 续 性 方 程 ： 1 1 2 2S v S v 21 22dv vD规 定 小 孔 所 在 平 面 为 参 考 平 面 ， 据 伯 努 利 方 程 ：2 21 21 12 2v gh vr r r 22 4 42ghv D D d h Dd 3.26、 若 桶 内 水 深 为 H ， 在 它 的 一 侧 低 于 水 面 h处 开 一 小 孔 。 （ 1）求 射 程 ； （ 2） 在 其 一 侧 再 开 一 小 孔 ， 求 与 （ 1） 中 射 程 相 同 的 孔 高 。解 ： 由 题 意 可 知 射 程 即 为 水 到 达 地 面 时 距 桶 的 水 平 距 离所 以 ， 由 伯 努 利 方 程 ：ghv rr 221 ghv 2 221 gthH 小 孔 距 离 地 面 的 高 度为 ：所 以 可 求 得 时 间 t: g hHt )(2 射 程 为 ： )(8)(22 2 hHghg hHghvtS 同 理 ， 另 一 小 孔 的 孔 高 也 为 h
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