有限域的结构

有限域的结构对于这一节，我们将要证明三个结构定理:定理1设F是一个特征p的有限域，那么F的元素个数一定 是P的一个幕。定理2设P是任一素数而n是任一正整数，那么总存在着一 个恰含 p n 个元素的有限域。定理3设F是一个有限域，它含有一个q个元素的有限域f作为子域，那么F的元素个数一定是q的一个幕。证明：先将Fq改记为F1 .如果F = ，那么F就是恰含有q 个元素的有限域,因此定理成立。如果F主F，那么F就含 有一个元素e2F = a + a e : a , a e Fa主b222 1 2 2 1 2 1a + a12 则一定有 ae = b + be , a , a , b , b e F2 1 2 2 1 2 1 2 1,1 = b1,a2 = b2 .因为从上式可以推出 (a - b )e = b - a2 2 2 1 1 .面我们来证明：如果若,那么有e2=（a2 -伸-叫一 ai）E F 这与今F相矛盾。所以有 a2=b .于是有ai=q .则f2恰含q 2个两两不同的元素。 如果F = f2，那么F就是恰含q2个元素的有限域，此时定理 成立。如果f丰f2，那么f就会有一个元素e，而e3电f2 . 令 F = a + a e + a e : a , a , a e F312 23 31231.假设a + a e + a e = b + b e + be ,a ,b e F 那么12 23 312 23 3 i i 1 .(a - b )e = (b - a )e + (b - a )33322211若a3丰b3，那么有e = (a - b )-i(b - a )e + (a - b )-i(b - a ) e F 这与 33322233112 .e3电F2相矛盾。故有a3 = b3 于是有巴+ a2e2 = q+ b2e2 由 此知,a1 = b1, a2 = b2。像这样一直讨论下去。如果 F 的元素个数是 N ,而qn - N qn+1，那么就有F的一串子集F,F,F，F ,123n其中F = a + a e + ae : a ,a，a e F,i 1 2 2 i i 1 2 i 1e电F,e电F，e电F ,21 32ii -1而F(1 -i - n)恰含qi个两两不同的元素。如果F主Fn，那 in么F就含有一个元素7+1，而en+1纟F” 令F = a + a e + a e + a e : a , a，a , a e F.n+112 2n nn+1 n+1 1 2n n+11依照上面有Fn+1恰含qn+1个两两不同的元素。但是Fn+1是f 的一个子集，而f的元素个数n qn+1，所以对于Fn+1恰含 qn+1个两两不同的元素是不可能的。因此一定有F = Fn，即nf恰含qn个元素。下面要证明定理1 ,设F是特征p的有限域，那么P 一定 是素数，而F的素域K就是恰含P个元素的有限域。所以要 证明定理1只需在定理3中取Fq = K，就可以证明。q下面要证明定理2则需要一些多项式的知识及引理。定理4(带余除法)设a(x)和b(x)是Fx中的两个多项 式, b(x)丰0那么存在唯一的一对多项式q(x),r(x) E Fx, 使得 a(x) = q(x)b(x) + r(x), dor(x) dob(x)。令 r (x) = (a (x)b(x)推 论 5 设 a1(x), a2 (x) 和 b(x) 都 是 Fx 中 的 多 项 12式，b(x)主0。那么(a (x) 土 a (x)= (a (x) 土 (a (x)12b( x)1b( x)2b( x)(a (x)a (x)= (a (x) (a (x)12b( x)1b( x) 2b( x) b( x)定理6设f (x)是Fx中的一个非零多项式。如果f (x)和 f(x)互素，那么f (x)没有重因式。推论7设f (x)是Fx中的一个多项式,a G F。那么a是 f (x)的根当且仅当(x_a f (x)。如果f (x)是Fx中的一个n次多项式。那么f (x)在卩中最多有n个两两不同的根。定理8设f(x)是Fx中的一个非零多项式，设a(x)和b(x)是Fx中的任意两个多项式。那么(a (x)= (b( x)当且仅当 f (x) (a( x) b( x)例1设F是域，p(x)是Fx中的一个n次不可约多项式。 我们用Fxp(x)表示Fx中所有次数 n的多项式的集合， 即F x= a + ax + ax 2 + + a xn1: a e F (0 i n，那么一定有f (x)不能整除勿x。证明：运用反证法。设f(x)|(xqn x)。这就是说，(xqn x)f (x) = 0。因此(xqn )f (x) = x -因为00f (x) = m，所以Fqxf(x)是q m个元素的有限域。根 据定理i, q 一定是Fq的特征的一个幕，也是Fq x f (x)的特 征的一个幕。于是对于Fq x f (x)中任意一个元素m1g (x) = E a xi, a e Fi i q ，i=0都有g (x)qn 一 g (x)二(艺 a qnxiqn)一 艺 a xiif ( x)ii=0i=0mi一厶 a xiii=0=刃 a (xqn)if (x)f ( x)i=0Sm i a xi 一a xiiii=0i=0=0这就是说, Fqxf (x) 的 q m 个元素都适合多项式 xqn 一 x .但 是m n，根据推论7这是不可能的。故f (x)不能整除 xq n 一 x 。引理12设m，n是正整数，而d = gcd(n)，那么 gcd( x m 一 e, x n -e)= x d 一 e.证明：对maxm，n作归纳法。当m = n时，结论成立。设 m n ，那么gcd(xm 一 e, xn 一 e) = gcd(xm 一 e 一 xm-n (xn 一 e), xn 一 e) -gcd(x mn e, xn e).由(xm e xmn (xn e) + xmn e)。但是 maxm n,n m - maxm，n，而 gcd(m 一 n,n) - gcd(m,n) - d ,所以根据归纳假设，有gcd( xmn e, xn e) - xd e. 于是有 gcd( xm e, xn e)- x d e.引理13设m，n是正整数，而d = gcd(m，n)，那么 gcd(xqm 一 x, xqn 一 x) = Xqd 一 X 证明：仿照引理12的证明，可证明 gcd(qm -1，qn -1) = qd -1 根据引理 12 有 gcd(xqm -1 一 e, xqn -1 一 e) = xqd -1 一 e 因此 gcd(xqm 一 x, xqn - x) = xqd - x引理14设Fq是q个元素的有限域，而f (x)是Fqx上的一qq个 d 次不可约多项式。那么f (x)|(Xqn 一 x)当且仅当d|n .证明：充分性:根据引理10，要证f(x)|(xqn 一x)，只需证 明 (xqn 一 x) f (x) = 0即可。设d|n，那么gcd(d，n) = d*根据引理13有 gcd(xqd 一 x, xqn 一 x) = xqd 一 x, 于是由引理10得到(xqd-x)f(x) = 0 则有 f (x) (xqd - x),故有 f (x) (xqn - x).必要性：设f (x)(xqn 一 x)，由于f (x)(xqd 一 x)那么f(x)gcd(xqn -x,xqd -x).令gcd(d,n) = d、.根据引理13 得到f (x)|(xqd1 -x)，再根据引理11,有d1、d。但是于是有dn。gcd(d, n) = d d .故有 d = d。引理15设Fq是q个元素的有限域那么对于任意正整数nq,(xqn 一 x)都没有重因式。证明：设/ (x) = (xqn 一1 一 e).那么有f (x) = (qn -1)xqn-2设Fq的特征为p。由定理1, q是p的一个幕。令q = pm，那 q么 gcd(qn -1, p) = gcd(pmn -1, p) = 1。所以/(x)丰对于/(x)来说只有因式x和，而x不能 整除/(x)，所以gcd(/(x),/(x)= e 于是根据定理6,知/(x) = (xqn-1 一 e)没有重因式。然而x不是呵- 一 e的因式，因此(xqn 一x)也没有重因式。定理1 6设Fq是一个q个元素的有限域，n是一个正整数， q而P1, P2，Pm是n的所有两两不同的素因数。用q, n ( X)表示Fq x 中所有n次首一不可约多项式的乘积，那么q(x) = (xqn 一 X)冋(xqn/Pi 一 x)n (xq PiPj )q,ni=1X11 (XqlpiPjPk X)(Xqpip2 Pm x) ,(2)1 i j m1 i j k m其中C = 1或-1分别由m是偶数或奇数来确定的。再用q,n|表示Fq X中n次首一不可约多项式的个数，那么=-(qnni +1i j miPj1i jk 0，即p个元素的有限域z p上总 有n次首一不可约多项式存在。因此由例1,总有pn个元素的 有限域存在。