《曲线的凹凸与拐点》PPT课件

曲 线 的 凹 凸 与 拐 点曲 线 的 凹 凸曲 线 的 拐 点 一.函数的凹凸性 前 面 我 们 应 用 导 数 判 断 了 函 数 图 形 上 升 和 下 降的 规 律 ， 但 这 还 不 能 完 全 反 映 它 的 变 化 规 律 如 图所 示 ， 的 图 形 在区 间 内 虽 然 一 直 上升 ， 但 却 有 着 不 同 的 弯 曲状 况 . )(xfy ),( ba 定义3.2 设 函 数 在 区 间 内 ， 曲 线弧 位 于 其 任 意 一 点 切 线 的 上 方 ， 则 称 曲 线 在 内 是凹的； 设 函 数 在 区 间 内 ， 曲 线 弧 位 于 其任 意 一 点 切 线 的 下 方 ， 则 称 曲 线 在 内 是凸的.)(xfy ),( ba ),( ba),( ba ),( ba 如 左 图 所示 的 图 形在 是凹的. ),( ba 如 右 图 所示 的 图 形在 内 是凸的),( ba 由 前 面 两 图 可 以 看 出 ， 如 果 曲 线 是 凹 的 ，曲 线 的 切 线 斜 率 随 着 的 增 大 而 逐 渐 增大 ， 即 函 数 是 单 调 增 加 的 如 果 曲 线 是 凸的 ， 曲 线 的 切 线 斜 率 随 着 的 增 大 而 逐渐 减 小 ， 即 函 数 是 单 调 递 减 的 而 的atan x)(xf atan x)(xf )(xf 单 调 性 可 由 的 符 号 决 定 ， 故 曲 线的 凹 凸 性 与 的 符 号 有 关 定理3.8 设 函 数 在 区 间 内 二 阶 导数 存 在 (1)如 果 在 内 ， 那 么 曲 线 在 内 是凹的；)(xf )(xfy )(xf )(xfy )(xf ),( ba ( ) 0f x )(xfy ),( ba (2)如 果 在 内 ， 那 么 曲 线 在 内 是凸的 ),( ba ( ) 0f x )(xfy ),( ba 例1 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 解 函 数 的 定 义 域 为 ， ， ， 在 上 ， ，所 以 曲 线 在 内是 凹 的 如 图 . xey xey ,xey xey , 0y xey , 例2 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 解 函 数 的 定 义 域 为 , , ; 当 时 ， 故 曲 线 在 内 是 凸 的 . 当 时 ， 故 曲线 在 内 是 凹 的 .点 是 曲 线 由 凸 变 凹 的 分 界 点 如 图 所 示 . 3xy 3xy ,23xy xy 60 x 0y 0,0 x 0y ,0)0,0(返回 二.曲线的拐点 定义3.3 连 续 曲 线 上 凹 凸 的 分 界 点 称 为 这 条 曲线 的拐点 由 拐 点 的 定 义 可 知 ， 拐 点 是 曲 线 凹 凸 的 分 界 点 ， 因 此 ， 在 拐 点 左 右 近 旁 必 然 异 号 ， 而 在 拐 点 处 或 不 存 在 因 而 我 们 可 以 利 用 二 阶 导 数 的 符 号 来 判 别 曲 线 的 拐 点 )(xf ( ) 0f x )(xf )(xf 判 定 曲 线 拐 点 的 步 骤 为 : (1)确 定 函 数 的 定 义 域 ； (2)求 出 ， 解 出 使 和 不 存 在 的 所 有 点 ； (3)对 解 出 的 每 一 个 点 ， 考 察 在 左 右 近 旁 的 符 号 ， 如 果 的 符 号 相 反 ， 那 么 就 是 拐 点 ； 如 果 的 符 号 相 同 ， 那 么 就 不 是 拐 点 )(xfy )(xf )(xf ( ) 0f x 0 x 0 x )(xf 0 x )(xf )(xf )(,( 00 xfx )(,( 00 xfx 例3 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 ， 并 求 其 拐 点 解 (1)所 求 函 数 的 定 义 域 为 ； (2) (3) 由 ， 解 得 : (4) 列 表 判 断 如 下 12 34 xxy ,64 23 xxy );1(121212 2 xxxxy0y .1,0 21 xx 拐 点 拐 点xyy 0, )1,0( ,11 00 0 )1,0( )0,1(表 中 的 符 号 “ ” 、 “ ” 分 别 表 示 曲 线是 “ 凹 ” 、 “ 凸 ” 的 . 由 上 表 可 知 ， 曲 线 在 区 间 和 是 凹 的 ， 在 区 间 是 凸 的 曲 线 拐 点 为 0, ,1 )1,0()1,0( 和 )0,1( 例4 判 断 曲 线 的 凹 凸 性 ， 并 求 其 拐 点 解 (1)所 求 函 数 的 定 义 域 为 ； (2) ， ； (3)令 ， 解 得 ； (4)列 表 判 断 如 下 xxey ,)1( xey x )2( xey x0y 2x 拐 点x yy 2, 2 ,2)2,2( 2e 0 例5 判 断 曲 线 是 否 有 拐 点 ? 解 (1)函 数 的 定 义 域 为 ； (2) ； (3)令 ， 解 得 ； (4)显 然 时 , .所 以 曲 线 在 定 义 域 内 全 部 是 凹 的 ;因 此 曲 线 没 有 拐 点 1)12( 4 xy , 23 )12(48,)12(8 xyxy 0y 21x21x 0y