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第 二 章极限与连续 函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概 念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础. 二 、 数 列 的 有 关 概 念四 、 小 结三 、 数 列 极 限 的 定 义第 一 节 数 列 的 极 限一 、 引 例 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ： 播 放刘徽一、引例 R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正 形的面积126 n nA , 321 nAAAA S 二、数列(sequence)的有关概念 1 ,1 ,1 ,1 ;)1( 1 nny ,1 ,0 ,1 ,0例如 16 ,8 ,4 ,2 161 ,81 ,41 ,21;2nny ;21nny 2 )1(1 nny .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn 播 放 三、数列极限的定义(Limit of a sequence) 问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nyn .)(, 111 1无限接近于无限增大时当nyn nn 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.1 ny nnn 11)1( 1 通过上面演示实验的观察: ,1001给定,10011 n由,100时只要n ,10011 ny有,10001给定,1000时只要n ,1000011 ny有,100001给定,10000时只要n ,100011 ny有,0给定任意,)1(时只要 Nn .成立有1 ny 如果一个数列有极限，我们就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的.注 意 ： ;.1的无限接近与刻划了不等式AyAy nn .2有关与任意给定的正数N .Ay，Ay nn收敛于亦称为极限以 几何解释: x 1y2y 2Ny1Ny 3y2A AA .)( ,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当N AAyNn n .,因而也是发散的我们说它是振荡无极限 ,时当例如n ;021收敛于nny ;111收敛于nyn ;,所以它是发散的无极限而ny n 2 ,)( 102 11时而取时而取nny 例 1 .212lim nnn利用定义证明证 2ny 212 nn n1要使对于任意给定的,0 .1就可以了只要取n ,11时则当取正整数NnN 212lim nnn即,0, 对于任意给定的因此. 2恒成立ny,212,为极限以所以nnyn 不能根据极限的定义求出数列的极限,只能用定义验证某常数是否是某数列的极限.注 意 ： 1 112 1 nn nn xn xn x： , .)(取奇数时当取偶数时当是发散的数列例 四、小结数 列 :研究其变化规律;数 列 极 限 :极限思想、极限定义、几何意义; 1. 割 圆 术 ：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽一、概念的引入 1. 割 圆 术 ：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ：刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ：刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ：刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ：刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ：刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ：刘徽一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1. 割 圆 术 ：刘徽一、概念的引入 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn 三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限 .)1(1 1时的变化趋势当观察数列 nnn三、数列的极限
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