总复习十一无穷级数

1 总 复 习 无 穷 级 数主 要 内 容 有数 项 级 数 的 判 敛幂 级 数 求 收 敛 域 、 和 函 数 及 函 数 的 幂 级 数 展 开 2 ;.1 的 概 念常 数 项 级 数 收 敛 及 发 散 ;.2 基 本 性 质级 数 收 敛 的 必 要 条 件 及 数 求 和 ；化 为 等 比 、 拆 项 及 幂 级级 数 的 求 和 方 法 :.3 ;.4 常 用 级 数 的 敛 散 性 ;.5 法正 项 级 数 收 敛 的 判 别 方 ;.6 法交 错 级 数 收 敛 的 判 别 方 ;.7 收 敛级 数 的 绝 对 收 敛 和 条 件 敛 区 间 及 和 函 数 ；幂 级 数 的 收 敛 半 径 、 收.8 一 、 基 本 题 型 3 ;.9 展 式记 住 常 用 函 数 的 幂 级 数 ;.10 方 法 和 间 接 方 法函 数 展 成 幂 级 数 的 直 接 4 例 1 选 择 题1. 设 常 数 k 0 , 则 级 数 )()1( 21 n nkn n (A) 发 散 ; (B) 绝 对 收 敛 ;(C) 条 件 收 敛 ; (D) 收 敛 与 发 散 与 k 有 关 . 提 示 : 2 1 )1( n nkn n 21 )1( nkn n nn n 1)1(1 绝 对 收 敛 条 件 收 敛 C 5 2. 设 a 是 常 数 , 则 级 数 .)(1)sin(1 2 n nn an(A) 绝 对 收 敛 ; (B) 条 件 收 敛 ;(C) 发 散 ; (D) 收 敛 性 与 a 的 取 值 有 关 .提 示 : 22 1)sin( nn an 1 2 )sin(n n an而 1 1n n 发 散 , 故 原 级 数 发 散 . C绝 对 收 敛 6 ( 常 数 a 0 ) ( )3. 级 数 )cos1()1(1 nan n (A) 发 散 ; (B) 条 件 收 敛 ;(C) 绝 对 收 敛 ; (D) 收 敛 性 与 a 的 有 关 .提 示 : nanan cos1)cos1()1( 因 1 21n n 收 敛 , 故 原 级 数 绝 对 收 敛 , 所 以 应 选 ( C ) C 2221 na 7 )()1( 21 nann n4. 设 常 数(A) 发 散 ; (B) 条 件 收 敛 ;(C) 绝 对 收 敛 ; (D) 收 敛 性 与 有 关 . 提 示 : 2)1( nann而 1 2n na 和 1 21n n 都 收 敛 , 故 原 级 数 绝 对 收 敛 C 1 2n na 收 敛 , 则 级 数 21nan 22 121 nan 且 级 数0 8 且 )()tan()1( 21 nn n ann 1n na5. 设提 示 : 正 项 级 数 1n na 收 敛 1 2n na 收 敛 limn 所 以 原 级 数 绝 对 收 敛 A,),2,1(0 nan则 级 数 nn ann 2)tan()1( )2,0(, )2,0( 收 敛 , 常 数na2(A) 绝 对 收 敛 ; (B) 条 件 收 敛 ;(C) 发 散 ; (D) 敛 散 性 与 有 关 . 9 肯 定 收 敛 的 是 （ )6. 设 ,),2,1(10 nnan 则 下 列 级 数 中提 示 : 22)1( nnn aa D1)( n naA nn naB 1 )1()(1)( n naC 1 2)1()( n nnaD 1 21n n ,10 nan 21n收 敛 1 2)1(n nna 绝 对 收 敛 10 7. 幂 级 数 121 )3(2 nn nn xn 的 收 敛 半 径 R = .提 示 : nlim )( )(1xu xu nn ,32x当 132 x 时 级 数 收 敛 3 nlim 21 11 2 ( 3)2 ( 3) n nn nn xn nlim 21 12 ( 3)2 ( 3)n nn n x nlim 212( ) ( 1)322 ( 1) 33 n nn n x 11 )0(0 2 axa nn n 的 收 敛 域 为 ,),( 则 a 应 满 足 .提 示 : 1nnaa 22)1( nna a 121 na当 且 仅 当 0 a 1 时 , nR lim 1nnaa 0 a 18. 若 幂 级 数 12 9. 设 )()( 2 xxxxf 的 傅 立 叶 级 数 为)sincos(2 10 xnbxnaa nnn 则 系 数 3b xdxxxb 3sin)(1 2 3 xdxx 3sin2 0 32 , 级 数 在 25 处 收 敛 于 )(xS 25S 2S 2f 43 2提 示 : 13 1 2 )23(1.1 n nn 发 散 1111131131121121.2 nn121111 nnn 发 散 1 ln1.3 n n n ,3 时当 n ,1ln1 nn nn 发 散 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性例 2 14 1 !2.4 n nnnn 12)11( 2limlim 1 enuu nnnnn 收 敛 2 ln)(ln )1(.5 n n nnn nnu nn nn nn ln )1(limlim ln ne nnnn lnlim )1ln(ln 0)1ln(lnlim 罗 比 达 法 则而 xxxx 收 敛 15 1 2 )11arcsin1ln(.6 n n )(1)11arcsin1ln( 2 nnn 发 散 16 nnn n ln)1(.7 1 1 xxxf ln)( 设 )(02 ln2)( 2exxx xxf nvnnu nn 1,ln 设 nvu nnnn lnlimlim发 散而 1 1n n 1 lnn nn 发 散原 级 数 为 条 件 收 敛 。时 递 减当 9ln nnn 0lnlim nnn又 17 1 ln2.8 n n解 2lnlnln2 nnn eu 2lnln 12ln ne n 2ln112ln 原 级 数 收 敛 2ln1 原 级 数 发 散 1 3 3 12.9 n n nnn 为 奇 数为 偶 数nn nnu nn 333解 不 存 在 nn ulim原 级 数 发 散 。 18 10、解 1 ln1sinn nn nu nn ln1sin1 nun ln1sin nln1 nvn 10lim nn u又 1 nn uu则 原 级 数 为 条 件 收 敛 。 11n n 发 散 19 0!.11 1 annan nn解 !)1( )1(!limlim 111 nan nnnauu nn nnnnnn eana nn )11(limea 原 级 数 收 敛ea 原 级 数 发 散 。 20 ,0.12 21 nnn aaaSa 设 .1 2 收 敛证 明 n nnSa:证 明 2222211 nnSaSaSa nn nSS aSSaSa 1212211 )11()11( 121211 nn SSSSSa nSSSa 111211 12a .1 2 收 敛 n nnSa 21 0,0,.13 11 nnnnnn babbaa设 ,: 11 收 敛则收 敛若证 明 n nn n ab ., 11 发 散则发 散若 n nn n ba:证 明 nnnn bbaa 11 nnnn baba 11 11bann bbaa 11 , 11 收 敛则收 敛若 n nn n ab ., 11 发 散则发 散若 n nn n ba 22 2 211lnn n解 : 2 21 1ln 1 nu n n 2 21lim ln(1 ) 1x n n 22 1ln 1n n 收 敛 14 23 15. nn n an )1(211 解 : 1lim 2n nn au 所 以 当 1 1,2a 即 13 a 1 21n nnna时 收 敛 ， 原 级 数 绝 对 收 敛 。1 1,2a 即 时 原 级 数 级 数 为 条 件 收 敛 。13 aa 或 1 21n nnna时 发 散 ，从 而 原 级 数 发 散 。( 1)lim 2 nnn an 当 3a 1 )1(n nn时 原 级 数 发 散 。当 1a 1 1n n且 24 例 3. 给 定 级 数级 数 收 敛 , 当 时 级 数 发 散 . ),0(10 an na nn 当 时提 示 : n nn ulim 1lim n nan故 a1a 时 原 级 数 收 敛 ; 1a 时 原 级 数 发 散 ;1a 时 , nn ulim nn n )111(lim 1lim nnen 1e 0故 原 级 数 也 发 散 10 a1a 25nn nya 1例 4. 设 幂 级 数 必 定 在 区 间 内 收 敛 . nn nxa1 的 收 敛 半 径 为 3 , 则 幂 级 数11 )1( nn n xan提 示 : 令 ,1 xy 则收 敛 半 径 均 为 3 , (2 , 4)故 11 )1( nn n xan 必 在这 里 关 键 用 到 幂 级 数 求 导 后 收 敛 半 径 不 变 31 x即 42 x 内 收 敛 . 11 nn nyan与 26 例 5. 求 幂 级 数 nn xn1312111 的 收 敛 区 间 .解 : 令 ,131211 nn 则 )( nnnnn 1lim nn n )1( 11lim 1 ,1 R又 1x 时 级 数 的 一 般 项 不 趋 于 0 ,因 此 收 敛 区 间 为 )1,1( 27 .5)1( 11 1 的 收 敛 区 间 及 和 函 数求 nn nn xn 555)1(limlim 11 n nnnnn nnaaR ;5,5 1 发 散级 数时当 n nx ;5)1(,5 1 1 收 敛级 数时当 n n nx 5,5(收 敛 区 间 为在 收 敛 区 间 内 11 15)1()( nn nn xnxS令 nn nn xnx 1 15)1(解 例 6 28 dxxnx nn nnx )5)1( 1 10 dxxx nn nnx )5)1( 11 10 dxxx n nx 00 )5(5 dxxx x 0 5115 5,5()51ln( xxx 29 1 )1(n nnn x解 : 原 式 = nn xnn 1111 10 1n x n tdt x nn tdtx 01 1tdtn nx 1 10 x n n tdtx 0 11 x tdt 011 x tdttx 011 0 x )1ln( x )1(ln11 xx )1(ln)11(1 xx )10( x 求 和 函 数 ：例 7 30 1 )1(n nnn x原 式 )1(ln)11(1 xx 显 然 x = 0 时 , 和 为 0 ; 根 据 和 函 数 的 连 续 性 , 有 )(xS 110,)1(ln)11(1 xxxx 及0 0 x， 1 1 x， 10 xx = 1 时 , 级 数 也 收 敛 31 例 8 求 级 数 0 22 11n nn nn 的 和 。 xx 11 2解 设 级 数 nn xnn 0 2 1 1lim 1 nnn aaR nn xnnxS 0 2 1 nn xnn 0 1 nn x 0 1x nn xnn 0 1 202 1 nn xnnx )( 02 nn xx 3212 xx xxS 11 3212 xx 1 222 27S 32 的 幂 级 数展 成将 xxxxxf 222)( :解 )2)(1(2)( 222 xxxxxxxf 2111312 xxx 1111 0 xxx n n而 22212121 12121 0 xxxx n nn )()()( 32xxf 0n nx )2()1(21 0 n nn x 20 1)21)1(1(31 nn nn x 11 x 例 9 33 例 11. 将 函 数 xxxf 21 21arctan 展 开 为 x的 幂 级 数 ，并 求 级 数 0 12 1n nn 的 和 。解 xxf 2arctan1arctan 241 2xxf )21,21(412 2 0 xx nnn n xdxffxf x 00 120 12 1412 nn nn xn 40 f 4 xf 120 12 1412 nn nn xn 21,21x 021 f421 f 24112 412 0 nn nnn 012 14 0 n nn 412 10 n nn