函数曲线的凹凸性

6.6 曲 线 的 凹 凸 性 与 拐 点 及 渐 近 线 一 、 曲 线 凹 凸 的 定 义问 题 :如 何 研 究 曲 线 的 弯 曲 方 向 ? xyo xyo 1x 2x)(xfy 图 形 上 任 意 弧 段 位于 所 张 弦 的 上 方xyo )(xfy 1x 2x图 形 上 任 意 弧 段 位于 所 张 弦 的 下 方 A B C 定 义 的 （ 或 凸 弧 ）上 的 图 形 是 （ 向 上 ） 凸在 那 末 称如 果 恒 有 的 （ 或 凹 弧 ）上 的 图 形 是 （ 向 上 ） 凹在 那 末 称恒 有点 上 任 意 两如 果 对上 连 续在 区 间设I xfxfxfxxfIxf xfxfxxfxx IIxf )(,2 )()()2( ;)( ,2 )()()2(, ,)( 2121 212121 ;)(,)(,)( ),(,)( 的或 凸内 的 图 形 是 凹在那 末 称的或 凸 内 的 图 形 是 凹且 在内 连 续在如 果 baxf babaxf 二 、 曲 线 凹 凸 的 判 定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B递 增)(xf a bBA0y 递 减)(xf 0y定 理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()1( ),(, ),(,)( 上 的 图 形 是 凸 的在则 上 的 图 形 是 凹 的在则 内若 在一 阶 和 二 阶 导 数 内 具 有在上 连 续在如 果 baxfxf baxfxf ba babaxf 证 20000 )(!2 )()()()( xxfxxxfxfxf )( 0 之 间与在 xx )()()( 000 xxxfxfxf即 )()()( 000 xxxfxfxf ),(0 bax 任 取 泰 勒 公 式),( bax 处 的 切 线在曲 线 0)( xxfy 0 20 )(!2 )( xxf ),( bax 0)( xf若 )()()( 000 xxxfxfxf 1 0 0 1 0( ) ( ) ( )( ) (1)f x f x f x x x 2 0 0 2 0( ) ( ) ( )( ) (2)f x f x f x x x 1 1 0 0 1 2 0( ) ( ) 2 ( ) ( )( 2 )f x f x f x f x x x x (1) (2) 02 ( )f x 0 1 1 1 2( ) ( ) ( ).2 2f x f x x xf 即 例 1 .3 的 凹 凸 性判 断 曲 线 xy 解 ,3 2xy ,6xy 时 ，当 0 x ,0y 为 凸 的 ；在曲 线 0,( 时 ，当 0 x ,0y 为 凹 的 ；在曲 线 ),0 .)0,0( 点是 曲 线 由 凸 变 凹 的 分 界点注 意 到 , 三 、 曲 线 的 拐 点 及 其 求 法 连 续 曲 线 上 凹 凸 的 分 界 点 称 为 曲 线 的 拐 点 .1、 定 义注 意 :拐 点 处 的 切 线 必 在 拐 点 处 穿 过 曲 线 .2、 拐 点 的 求 法 ,0)( ,)(0 0 xf xxf且 的 邻 域 内 二 阶 可 导在设 函 数 ;)(,(,)()1( 000 即 为 拐 点点变 号两 近 旁 xfxxfx .)(,(,)()2( 000 不 是 拐 点点不 变 号两 近 旁 xfxxfx 方 法 1: 例 2 . 143 34凹 、 凸 的 区 间 的 拐 点 及求 曲 线 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令 .32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0凹 的 凸 的 凹 的拐 点 拐 点)1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹 凸 区 间 为 0 00 0( ) ( )( ) limx x f x f xf x x x 不 妨 000( )f x x 在 两 侧 异 号 ，0 x 是 拐 点 。 方 法 2: .)( )(,(,0)(,0)( ,)( 0000 0的 拐 点线 是 曲那 末而 且的 邻 域 内 三 阶 可 导在设 函 数xfy xfxxfxf xxf 例 3 .)2,0(cossin 的 拐 点内求 曲 线 xxy解 ,sincos xxy ,cossin xxy .sincos xxy ,0y令 .47,43 21 xx得 2)43( f ,0 2)47( f ,0 内 曲 线 有 拐 点 为在 2,0 ).0,47(),0,43( .)( )(,(,)( 000 的 拐 点是 连 续 曲 线 也 可 能点不 存 在若 xfy xfxxf 注 意 : 例 4 .3 的 拐 点求 曲 线 xy 解 ,0时当 x ,31 32 xy ,94 35 xy .,0 均 不 存 在是 不 可 导 点 yyx ,0,)0,( y内但 在 ;0,( 上 是 凹 的曲 线 在 ,0,),0( y内在 .),0 上 是 凸 的曲 线 在 .)0,0( 3 的 拐 点是 曲 线点 xy 四 、 渐 近 线定 义 : . )(, , )(一 条 渐 近 线 的就 称 为 曲 线那 么 直 线趋 向 于 零 的 距 离到 某 定 直 线如 果 点移 向 无 穷 点 时 沿 着 曲 线上 的 一 动 点当 曲 线 xfyL LP Pxfy 1.铅 直 渐 近 线 )( 轴 的 渐 近 线垂 直 于 x 0 00lim ( ) lim ( )( )x x x xf x f xy fx x x 如 果 或那 么 就 是 的 一 条 铅 直 渐 近 线 . 例 如 ,)3)(2( 1 xxy有 铅 直 渐 近 线 两 条 : .3,2 xx 2.水 平 渐 近 线 )( 轴 的 渐 近 线平 行 于 xlim ( ) lim ( ) ( )( )x xf x f x by b bxb fy 如 果 或 是 常 量那 么 就 是 的例 如 ,arctan xy 有 水 平 渐 近 线 两 条 : .2,2 yy 一 条 水 平 渐 近 线 . 3.斜 渐 近 线lim ( ) 0 1lim ( ( ) 0 ( , )( ) (xx f xf x aax bax by ax b by f x 如 果 （ ）或 是 常 量那 么 就 是 的斜 渐 近 线 求 法 :( )lim , x f x ax lim ( ) .x f x bax .)( 的 一 条 斜 渐 近 线就 是 曲 线那 么 xfybaxy 一 条 斜 渐 近 线 . :, 的 公 式下 面 求 计 算 ba由 (1)式 和 0)()(1lim baxxfxx,为 无 穷 大x )(lim xbaxxfx ,后求 出 a )(lim axxfb x xxfa x )(lim axxfx )(lim 0 ,)1( ba 式 可 确 定代 入将 有即 从 而 注 意 : ( )(1) lim ;x f xx如 果 不 存 在 ,)(lim,)(lim)2( 不 存 在但存 在 axxfaxxf xx .)( 不 存 在 斜 渐 近 线可 以 断 定 xfy 例 1 .1 )3)(2(2)( 的 渐 近 线求 x xxxf解 ).,1()1,(: D )(lim1 xfx , )(lim1 xfx ,.1是 曲 线 的 铅 直 渐 近 线x xxfx )(lim又 )1( )3)(2(2lim xx xxx ,22)1( )3)(2(2lim xxx xxx 1 )1(2)3)(2(2lim x xxxxx ,4 .42 是 曲 线 的 一 条 斜 渐 近 线 xy 的 两 条 渐 近 线 如 图1 )3)(2(2)( x xxxf 的 渐 近 线 ，曲 线 )2)(1( | xx xxy 共 有)(B)(A 选 择 题 :1条 . )(D2条 . )(C 3条 . 4条 . 五 、 小 结曲 线 的 弯 曲 方 向 凹 凸 性 ;改 变 弯 曲 方 向 的 点 拐 点 ;凹 凸 性 的 判 定 .拐 点 的 求 法 1, 2.三 种 渐 近 线 的 求 法 . 思 考 题 设 )(xf 在 ),( ba 内 二 阶 可 导 ， 且 0)( 0 xf ， 其 中 ),(0 bax ， 则 ,( 0 x )( 0 xf 是 否 一 定 为 曲 线 )(xf 的 拐 点 ？ 举 例 说 明 . 思 考 题 解 答例 4)( xxf ),( x 0)0( f 但 )0,0( 并 不 是 曲 线 )(xf 的 拐 点 . 不 一 定 ！ 一 、 填 空 题 ： 1、 若 函 数 )(xfy 在 （ ba, ） 可 导 ， 则 曲 线 )(xf 在 ( ba, ) 内 取 凹 的 充 要 条 件 是 _. 2、 曲 线 上 _的 点 ， 称 作 曲 线 的 拐 点 . 3、 曲 线 )1ln( 2xy 的 拐 点 为 _. 4、 曲 线 )1ln( xy 拐 点 为 _. 二 、 求 曲 线 xey arctan 的 拐 点 及 凹 凸 区 间 . 三 、 利 用 函 数 图 形 的 凹 凸 性 ， 证 明 不 等 式 ： 22 yxyx eee )( yx . 四 、 求 曲 线 2sin2 cot2ay ax 的 拐 点 . 练 习 题 五 、 试 证 明 曲 线 112 xxy 有 三 个 拐 点 位 于 同 一 直 线上 . 六 、 问 a 及 b 为 何 值 时 ， 点 (1,3)为 曲 线 23 bxaxy 的 拐 点 ？ 七 、 试 决 定 22 )3( xky 中 k 的 值 ,使 曲 线 的 拐 点 处的 法 线 通 过 原 点 . 一 、 1、 ),()( baxf 在 内 递 增 或 0)(),( xfbax ； 2、 凹 凸 部 分 的 分 界 点 ； 3、 2,(),2),2,2( 2 e ； 4、 )2ln,1(),2ln,1( . 二 、 拐 点 ),21( 21arctane ,在 21,( 内 是 凹 的 , 在 ),21 内 是 凸 的 . 四 、 拐 点 )23,332( aa 及 )23,332( aa . 五 、 ).)32(4 31,32(),)32(4 31,32(),1,1( 练 习 题 答 案 -224 -1.5 -1 -0.5 0.5 六 、 29,23 ba . 七 、 82k . 第 五 题 图