锐角 三角函数课件.ppt

问 题 1 为 了 绿 化 荒 山 ， 某 地 打 算 从 位 于 山 脚 下 的 机井 房 沿 着 山 坡 铺 设 水 管 ， 在 山 坡 上 修 建 一 座 扬 水 站 ，对 坡 面 的 绿 地 进 行 喷 灌 现 测 得 斜 坡 与 水 平 面 所 成角 的 度 数 是 30 ， 为 使 出 水 口 的 高 度 为 35m， 那 么 需要 准 备 多 长 的 水 管 ？这 个 问 题 可 以 归 结 为 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， A 30 ， BC 35m， 求 AB的 长 .A BC 思 考 ： 你 能 将 实 际 问 题 归 结 为 数 学 问 题 吗 ？情境探究 根 据 “ 在 直 角 三 角 形 中 ，30 角 所 对 的 直 角 边 等 于 斜边 的 一 半 ” ， 即 A B C 在 Rt ABC中 ， C 90 ， A 30 ，BC 35m， 求 AB的 长 . .21ABBC 斜 边的 对 边A可 得 AB=2BC=70m， 即 需 要 准 备 70m长 的水 管 。 在 上 面 的 问 题 中 ， 如 果 使 出 水 口 的 高 度 为50m， 那 么 需 要 准 备 多 长 的 水 管 ？结 论 ： 在 一 个 直 角 三 角 形 中 ， 如 果 一 个 锐 角 等 于 30 ，那 么 不 管 三 角 形 的 大 小 如 何 ， 这 个 角 的 对 边 与 斜 边 的 比值 都 等 于 。 21 A BC 50m30m B C 即 在 直 角 三 角 形 中 ， 当 一 个 锐 角 等 于 45时 ， 不 管 这 个 直 角 三 角 形 的 大 小 如 何 ， 这 个 角的 对 边 与 斜 边 的 比 都 等 于 。22 如 图 ， 任 意 画 一 个 Rt ABC，使 C 90 ， A 45 ， 计算 A的 对 边 与 斜 边 的 比 ，你 能 得 出 什 么 结 论 ？ ABBC A BC 综 上 可 知 ， 在 一 个 Rt ABC中 ， C 90 ， 一 般 地 ， 当 A 取 其 他 一 定 度 数 的 锐 角 时 ， 它 的对 边 与 斜 边 的 比 是 否 也 是 一 个 固 定 值 ？ 21 当 A 30 时 ， A的 对 边 与 斜 边 的 比 都 等 于 ，是 一 个 固 定 值 ； 22 当 A 45 时 ， A的 对 边 与 斜 边 的 比 都 等 于 ，也 是 一 个 固 定 值 . 探 究A BC A BC 任 意 画 Rt ABC和 Rt ABC， 使 得 C C90 ， A A ， 那 么 与 有 什 么 关系 你 能 解 释 一 下 吗 ？ ABBC BACB由 于 C C 90 ， A A 所 以 Rt ABC Rt ABC , BAABCBBC .CBAB BABC 即 这 就 是 说 ， 在 直 角 三 角 形 中 ， 当 锐 角 A的 度 数一 定 时 ， 不 管 三 角 形 的 大 小 如 何 ， A的 对 边 与斜 边 的 比 都 是 一 个 固 定 值 探 究 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， 我 们 把 锐 角 A的对 边 与 斜 边 的 比 叫 做 A的 正 弦 （ sine） ， 记 作 sinA， 即 caAA 斜 边的 对 边sin例 如 ， 当 A 30 时 ， 我 们 有2130sinsin A当 A 45 时 ， 我 们 有2245sinsin A A BCc ab 对 边斜 边在 图 中 A的 对 边 记 作 a B的 对 边 记 作 b C的 对 边 记 作 c 正 弦 注 意 sinA是 一 个 完 整 的 符 号 ， 它 表 示 A的 正弦 ， 记 号 里 习 惯 省 去 角 的 符 号 “ ” ； sinA没 有 单 位 ， 它 表 示 一 个 比 值 ， 即 直 角三 角 形 中 A的 对 边 与 斜 边 的 比 ； sinA不 表 示 “ sin”乘 以 “ A”。 例 1 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， 求sinA和 sinB的 值 A BC 34 例 题 示 范 ABC 135(1) (2) .54sin53sin 5.34BCACAB ABCR1 2222 ABACBABBCA t，因 此 中 ，） ， 在解 ： 如 图 （ 试 着 完 成 图 （ 2） 练 习 2254A C35 B2、 在 平 面 直 角 平 面 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A(3， 0)和 B(0， -4)， 则 sin O AB等 于 _.3、 在 Rt ABC中 ， C=90 ， AD是 BC边上 的 中 线 ， AC=2， BC=4， 则 sin DAC=_.4、 在 Rt ABC中 , C=90 , ,则 sinA=_. 33ba 1、 如 图 ， 求 sinA和 sinB的 值 5、 如 图 ， 在 ABC中 ， AB=CB=5， sinA= ，求 ABC 的 面 积 。 54BA C5 5 28.1锐 角 三 角 函 数 （ 2）余 弦 正 切 复 习 与 探 究 ： 1.锐 角 正 弦 的 定 义 在 中 ， Rt ABC C 90 A B C a b c A的 正 弦 ： caABBC斜 边A的 对 边sinA 2、 当 锐 角 A确 定 时 ， A的 对 边 与 斜 边 的 比 就 随 之确 定 。 此 时 ， 其 他 边 之 间 的 比 是 否 也 随 之 确 定 ？ 为什 么 ？ 新 知 探 索 : A B C a b c 1、 你 能 将 “ 其 他 边 之 比 ” 用 比 例 的式 子 表 示 出 来 吗 ？ 这 样 的 比 有 多 少 ？cb ba2、 当 锐 角 A确 定 时 ， A的 邻 边 与 斜 边 的 比 ， A的 对 边 与 邻 边 的 比 也 随 之 确 定 吗 ？ 为 什 么 ？ 交 流 并说 出 理 由 。方 法 一 ： 从 特 殊 到 一 般 ， 仿 照 正 弦 的 研 究 过 程 ；方 法 二 ： 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 来 说 明 。 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ，cbAA 斜 边的 邻 边cos A BC斜 边 c 对 边 a邻 边 b 我 们 把 锐 角 A的 邻 边 与 斜 边 的 比 叫 做 A的 余 弦 （ cosine） ， 记 作 cosA， 即 我 们 把 锐 角 A的 对 边 与 邻 边 的 比 叫 做 A的 正 切 （ tangent） ， 记 作 tanA， 即 baAAA 的 邻 边的 对 边tan rldmm8989889 注 意 cosA， tanA是 一 个 完 整 的 符 号 ， 它 表 示 A的 余 弦 、 正 切 ， 记 号 里 习 惯 省 去 角 的符 号 “ ” ； cosA， tanA没 有 单 位 ， 它 表 示 一 个 比 值 ，即 直 角 三 角 形 中 A的 邻 边 与 斜 边 的 比 、对 边 与 邻 边 的 比 ； cosA不 表 示 “ cos”乘 以 “ A”， tanA不 表示 “ tan”乘 以 “ A” rldmm8989889 对 于 锐 角 A的 每 一个 确 定 的 值 ， sinA有唯 一 确 定 的 值 与 它 对应 ， 所 以 sinA是 A的 函数 。 同 样 地 ， cosA，tanA也 是 A的 函 数 。cbAA 斜 边的 邻 边cos baAAA 的 邻 边的 对 边tan caAA 斜 边的 对 边sin 锐 角 A的 正 弦 、 余 弦 、正 切 都 叫 做 A的 锐 角 三角 函 数 . rldmm8989889 A BC6.34tan54cos ,8610.10356sinsin 2222 BCACBABACA BCABAC ABCAB ABBCA ，又 ，解 ： 例 1 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ，BC=6， ， 求 cosA和 tanB的 值 53sin A rldmm8989889 例 2 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， BC=2，AB=3， 求 A， B的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 值 .25tan32cos35sin .55252tan35cos32sin ,523 2222 BCACBABBCBABACB ACBCAABACAABBCA BCABAC ABCRt ， ，中 ，解 ： 在 A BC23延 伸 ： 由 上 面 的 计 算 ， 你 能 猜 想 A， B的 正 弦 、 余 弦 值有 什 么 规 律 吗 ？结 论 ： 一 个 锐 角 的 正 弦 等 于 它 余 角 的 余 弦 ， 或 一 个 锐 角 的 余 弦 等 于 它 余 角 的 正 弦 。 rldmm8989889 练 习 补 充 练 习 1、 在 等 腰 ABC中 ， AB=AC=5， BC=6，求 sinB， cosB， tanB. A B CD rldmm8989889 补 充 练 习2、 如 图 所 示 ， 在 ABC中 ， ACB 90 ， AC=12， AB=13， BCM= BAC， 求 sin BAC和点 B到 直 线 MC的 距 离 M C B A3、 如 图 所 示 ， CD是 Rt ABC的 斜 边 AB上 的 高 ，求 证 ： . 2 BDABBC D C BA 28.1锐 角 三 角 函 数 （ 3） rldmm8989889 A B C A的 对 边 a A的 邻 边 b斜 边 c caABBC斜 边A的 对 边sinA cbABAC斜 边A的 邻 边cosA baACBC边 边A的tanA 邻 对 rldmm8989889 请 同 学 们 拿 出自 己 的 学 习 工 具 一 副 三 角 尺 ， 思考 并 回 答 下 列 问 题 ：1、 这 两 块 三 角 尺 各 有 几 个 锐 角 ？ 它 们 分 别 等 于 多 少 度 ？2、 每 块 三 角 尺 的 三 边 之 间 有 怎 样 的 特 殊 关 系 ？ 如果 设 每 块 三 角 尺 较 短 的 边 长 为 1， 请 你 说 出 未 知 边的 长 度 。30 60 451 23 11 245 新 知 探 索 :30 角 的 三 角 函 数 值 1 23 sin30= 21斜 边A的 对 边 cos30= 23斜 边A的 邻 边 tan30= 33A的 邻 边A的 对 边 30.0C B A rldmm8989889 45.0 C A B 1 1 2 cos45=tan45=sin45= 22斜 边A的 对 边 22斜 边A的 邻 边 1A的 邻 边A的 对 边 新 知 探 索 :45 角 的 三 角 函 数 值 60.0 B A C 1 2 3 sin60= 23斜 边A的 对 边 cos60= 21斜 边A的 邻 边 tan60= 3A的 邻 边A的 对 边 新 知 探 索 :60 角 的 三 角 函 数 值 rldmm8989889 30 、 45 、 60 角 的 正 弦 值 、 余 弦 值 和 正 切值 如 下 表 ： 锐 角 a三 角 函 数 30 45 60sin acos atan a 12 22 3222 12 33233 1 rldmm8989889 例 1 求 下 列 各 式 的 值 ：（ 1） cos260 sin260（ 2） 45tan45sin 45cos ).60(sin)60(sin 60sin60sin 22 即 ，）表 示 （22 )23()21( 解 ： 原 式 1 1 2222 解 ： 原 式 0 rldmm8989889 ；）（ 30cos30sin211 ；）（ 60sin245tan30tan32 ；）（ 30tan160sin1 60cos3求 下 列 各 式 的 值 ： .21160cos2145sin24 02005 ）（）（）（ rldmm8989889 例 2 （ 1） 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， ，求 A的 度 数 3,6 BCAB A B C36,2263sin ABBCA解 .45 A rldmm8989889 （ 2） 如 图 ， 已 知 圆 锥 的 高 AO等 于 圆锥 的 底 面 半 径 OB的 倍 ， 求 a A BO 3 ,33tan OBOBOBAO解 .60 当 A， B为 锐 角时 ， 若 AB， 则sinAsinB,cosAcosB,tanAtanB. rldmm8989889 1、 在 Rt ABC中 ， C 90 ， ，求 A、 B的 度 数 21,7 ACBC BA C721 rldmm8989889 2、 求 适 合 下 列 各 式 的 锐 角 3(1)3tan 01sin2(2) 12 12cos(3) 的 值 。求 为 锐 角 ） ，（、 已 知 tan 032cos3 rldmm8989889 AB CD4、 如 图 , ABC中 , C=900,BD平 分 ABC,BC=12,BD= ,求 A的 度 数 及 AD的 长 .38 rldmm8989889 小 结 : 我们学习了30, 45, 60这几类特殊角的三角函数值 28.1锐 角 三 角 函 数 （ 4） rldmm8989889 ,42tantan 20EBDC DCACADC m ，解 ： 由 已 知 得 D ABE1.6m 20m42 C引 例 升 国 旗 时 ， 小 明 站 在 操 场 上 离 国 旗 20m处 行 注 目 礼 。当 国 旗 升 至 顶 端 时 ， 小 明 看 国 旗 视 线 的 仰 角 为 42 （ 如图 所 示 ） ， 若 小 明 双 眼 离 地 面 1.60m， 你 能 帮 助 小 明 求出 旗 杆 AB的 高 度 吗 ？ ,42tan DCAC .6.142tan20 CBACAB 这 里 的 tan42 是 多 少 呢 ？ rldmm8989889 前 面 我 们 学 习 了 特 殊 角 30 45 60 的三 角 函 数 值 ， 一 些 非 特 殊 角 (如 17 56 89等 )的 三 角 函 数 值 又 怎 么 求 呢 ？ 这 一 节 课 我 们 就 学 习 借 助 计 算 器 来 完成 这 个 任 务 . rldmm8989889 1、 用 科 学 计 算 器 求 一 般 锐 角 的 三 角 函 数 值 ：（ 1） 我 们 要 用 到 科 学 计 算 器 中 的键 ： sin cos tan（ 2） 按 键 顺 序 如 果 锐 角 恰 是 整 数 度 数 时 ， 以“ 求 sin18 ”为 例 ， 按 键 顺 序 如 下 ：按 键 顺 序 显 示 结 果sin18 sin 18 sin18 0.309 016 994 sin18 = 0.309 016 9940.31 rldmm8989889 1、 用 科 学 计 算 器 求 一 般 锐 角 的 三 角 函 数 值 ： 如 果 锐 角 的 度 数 是 度 、 分 形 式 时 ， 以 “ 求tan30 36”为 例 ， 按 键 顺 序 如 下 ：方 法 一 ： 按 键 顺 序 显 示 结 果tan30 36 tan 30 36 tan30 360.591 398 351 tan30 36 = 0.591 398 3510.59方 法 二 ：先 转 化 ， 30 36 =30.6 ,后 仿 照 sin18 的 求 法 。 如 果 锐 角 的 度 数 是 度 、 分 、 秒 形 式 时 ， 依 照 上 面 的方 法 一 求 解 。 rldmm8989889 （ 3） 完 成 引 例 中 的 求 解 ：tan20 42 +1.619.608 080 89 AB = 19.608 080 8919.61m即 旗 杆 的 高 度 是 19.61m. 6.142tan20 AB rldmm8989889 练 习 :使 用 计 算 器 求 下 列 锐 角 的 三 角 函 数 值 .（ 精 确 到0.01）（ 1） sin20 ， cos70 ； sin35 ， cos55 ； sin15 32， cos74 28；（ 2） tan3 8， tan80 2543；（ 3） sin15 +cos61 tan76 . rldmm8989889 按 键 的 顺 序 显 示 结 果SHIFT 209 17.301507834sin 7 = 已 知 三 角 函 数 值 求 角 度 ， 要 用 到 sin， Cos， tan的第 二 功 能 键 “ sin Cos ， tan ” 键 例 如 ： 已 知sin 0.2974,求 锐 角 按 健 顺 序 为 ：如 果 再 按 “ 度 分 秒 健 ” 就 换 算 成 度 分秒 ， 即 17o185.43”2、 已 知 锐 角 的 三 角 函 数 值 ， 求 锐 角 的 度 数 ： rldmm8989889 例 根 据 下 面 的 条 件 ， 求 锐 角 的 大 小 （ 精 确 到 1）（ 1） sin=0.4511； （ 2） cos=0.7857； （ 3） tan=1.4036. w按 键 盘 顺 序 如 下 : 按 键 的 顺 序 显 示 结 果2604851”0 .sin 115= 4SHIFT 即 26 04851” rldmm8989889 驶 向 胜 利的 彼 岸练 习 :1、 已 知 下 列 锐 角 三 角 函 数 值 ， 用 计 算器 求 其 相 应 的 锐 角 ：（ 1） sinA=0.627 5， sinB=0.054 7；（ 2） cosA=0.625 2， cosB=0.165 9；（ 3） tanA=4.842 5， tanB=0.881 6. rldmm8989889 2、 已 知 tanA=3.1748， 利 用 计 算 器 求锐 角 A的 度 数 。 (精 确 到 1)答 案 : A72 52练 习 :3、 已 知 锐 角 a的 三 角 函 数 值 ， 使 用 计 算 器 求 锐 角 a（ 精 确到 1）（ 1） sin a=0.2476； （ 2） cos a=0.4； （ 3） tan a=0.1890. 答 案 : (1)14 20;(3)10 42. (2)65 20; rldmm8989889 4、 一 段 公 路 弯 道 呈 弧 形 ， 测 得 弯 道AB两 端 的 距 离 为 200米 ， AB 的 半 径 为1000米 ， 求 弯 道 的 长 （ 精 确 到 0.1米 ) A BO R