有限元法原理

第 一 节 弹 性 力 学 有 关 知 识 第 二 节 平 面 问 题 有 限 元 法 平 面 问 题 有 限 元 法 数 值 计 算 方 法 近 似 解 差 分 法 、 变 分 法 微 分 方 程 边 值 问 题 离 散 、 分 片 插 值 单 元 、 节 点 非 均 匀 网 格简 化 插 值 函 数 Review 单 元 通 过 节 点 连 接 载 荷 (load) 应 力 (Stress) 应 变 (Strain) 位 移 (Displacement)一 、 弹 性 力 学 中 的 物 理 量 load Concentrated forceSurface forceVolume forcePv=pvx pvy pvzT Pc= pcx pcy pczT Ps= psx psy pszT 外 界 作 用 在 弹 性 体 上 的 力 ， 又 称 为 外 力 载 荷 Stress Normal Stress:x、 y、 z Shear Stress :xy、 yz、 zx 应 力 = x y z xy yz zx T 6个 应 力 分 量 Strain Normal Strain:x、 y、 z Shear Strain : xy 、 yz 、 zx 应 变d z ydy dz yzOd x d xd yd yO y yzzx x = x y z xy yz zx T 6个 应 变 分 量 Displacement x axis: uy axis: vz axis: wd=u v wT 位 移变 形 (deform,deformation) Pv=pvx pvy pvzT Pc= pcx pcy pczT Ps= psx psy pszT = x y z xy yz zx T = x y z xy yz zx T d=u v wT 平 衡 方 程 几 何 方 程 物 理 方 程Relationship among load, stress, strain and displacement 000vzzyzxz vyyzyxy vxxzxyx pzyx pzyx pzyx 应 力 载 荷 wvuxz yzxy zyxzuxw ywzv xvyu zwyvxuzxyzxyzyx 00 000 00 00 应 变 位 移 zxzx yzyz xyxy yxzz xzyy zyxx GGGEEE 111 )(1 )(1 )(1应 变 应 力 xyzxyyzzx E( )( )( ) ( ) ( ) ( )11 1 2 1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 01 1 1 0 0 00 0 0 1 221 0 00 0 0 0 1 221 00 0 0 0 0 1 221 xyzxyyzzx D 平 衡 方 程 ： 3几 何 方 程 ： 6物 理 方 程 ： 6 15 15= Stress： 6Strain： 6Disp. ： 3 基 本 未 知 量 stresses 力 法Displacements 位 移 法stress, displacements 混 合 法 Learn by yourself definition of plane problem3D Plane problemsimplified Plane stressPlane strain plane stress(1)一 个 方 向 的 尺 寸 远 小 于 其 他 两 个 方 向 的 尺 寸 ；(2) 载 荷 平 行 于 平 板 平 面 内 并 沿 厚 度 方 向 均 匀 分 布 z zx zy 0 zx zy 0 z x y 1 x y xy x y xy plane strain(1) 一 个 方 向 的 尺 寸 远 大 于 其 他 两 个 方 向 的 尺 寸 ；(2) 载 荷 平 行 于 截 面 并 沿 长 度 方 向 均 匀 分 布 z yz zx 0 yz zx 0 z x y x y xy T x y xy T 3D model planemeshingMuch easier 位 移载 荷 平 衡 方 程 应 变应 力 几 何 方 程物 理 方 程基 本 未 知 量 解 题 思 路 Procedure of Static Analysis of Plane Stress Problem第 二 节 平 面 问 题 有 限 元 法平 面 应 力 问 题 的 线 性 静 力 分 析Linear Static Analysisstatic loadlinearstress, deformation 一 、 结 构 离 散 meshingElement (mesh) node单 元 编 号 （ element label）节 点 编 号 （ node label） (ui, vi) (uj, vj) (um, vm) x yi i, x yj j, x ym m, Element label Node label Node locationDisp. Components: 已 知 未 知 ii yx, x yj j, x ym m,(ui, vi) 、 (uj, vj) 、 (um, vm) 二 、 单 元 分 析 (Element Analysis)目 的 ： 形 成 单 元 位 移 、 应 变 、 应 力 表 达 式 形 成 每 个 单 元 的 刚 度 矩 阵 1、 位 移 函 数 (displacement function) 位 移 插 值 函 数真 实 位 移 分 布 近 似 位 移 分 布 26524321 26524321),( ),( yxyxyxyxvv yxyxyxyxuu u x yv x y 1 2 3 4 5 6 mmm mmm jjj jjj iii iii yxv yxu yxv yxu yxv yxu 654 321 654 321 654 321 1 12 A x y x y u x y xy u xy x y uj m m j i m i i m j i j j i m 2 12 A y y u y y u y y uj m i m i j i j m 3 12 A x x u x x u x x um j i i m j j i m 4 12 A x y x y v x y xy v xy x y vj m m j i m i i m j i j j i m 5 12 A y y v y y v y y vj m i m i j i j m 6 12 A x x v x x v x x vm j i i m j j i m a x y x yi j m m j b y yi j m c x xi m j a x y xyj m i i m b y y j m i c x xj i m a xy x ym i j j i b y ym i j c x x m j i 1 23 45 612 1212 1212 12 A a u a u a u A b u b u b uA cu c u c u A a v a v a vA b v b v b v A cv c v c vi i j j m m i i j j m mi i j j m m i i j j m mi i j j m m i i j j m m u A a b x cy u a b x c y u a b x c y uv A a b x cy v a b x c y v a b x c y vi i i i j j j j m m m mi i i i j j j j m m m m 1212 u x yv x y 1 2 34 5 6 N A a b x c yN A a b x c yN A a b x c yi i i ij j j j m m m m 121212 u A a b x cy u a b x c y u a b x c y uv A a b x cy v a b x c y v a b x c y vi i i i j j j j m m m mi i i i j j j j m m m m 1212 u N u N u N u v N v N v N vi i j j m mi i j j m m u N u N u N uv N v N v N vi i j j m mi i j j m m emmjjiimji mji qNvuvuvuNNN NNNvud 000 000 eqNvud 单 元 内 的 位 移 插 值 表 达 式分 片 插 值节 点 位 移 ， 单 元 内 任 一 点 的 位 移 mji mji NNN NNNN 000 000 q u v u v u ve i i j j m m TNi、 Nj 、 Nm 形 函 数 矩 阵节 点 位 移 列 阵形 函 数 u N u N u N uv N v N v N vi i j j m mi i j j m m 形 函 数 物 理 意 义i jm1 Ni 性 质 1, iii yxN 0, mmijji yxNyxN 1, yxNyxNyxN mji ij ii xx xxyxN 1, ij ij xx xxyxN , 0), yxNm（ 1.2.3. Requirements for displacement function(1) 常 数 项(2) 线 性 项(3) 位 移 连 续 性 (4) 几 何 各 向 同 性 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5收 敛 (convergence)位 移 函 数 应 满 足 的 条 件必 要 条 件充 分 条 件 位 移载 荷 平 衡 方程 应 变应 力 几 何 方 程物 理 方 程基 本 未 知 量 解 题 思 路 xyxy i i j j m mi i j j m mi i j j m m i i j j m mx yy x uv A bu bu b uA cv cv c vA cu cu c u bv bv b v00 121212263 5 12 0 0 00 0 0A b b bc c cc b c b c b uvuvuv B qi j mi j m i i j j m m iijjmm e 2、 单 元 应 变 和 应 力 (element strain and stress) B A b b bc c cc b c b c b B B Bi j mi j mi i j j m m i j m 12 0 0 00 0 0 B A b cc bl l l l l 12 00 (l=i， j， m) bi、 bj 、 bm ci、 cj、 cm ee qSqBDD S D B S S Si j m S E A b cb cc b l l ll ll l 21 1 2 1 22 eqNd eqB eqS eq d 基 本 未 知 量 数 量 有 限 ！ 质 点 位 移d (x, y)数 量 无 穷 多 数 量 有 限微 分 方 程 代 数 方 程节 点 位 移 eq F F F F F F F F F Fe i j m T ix iy jx jy m x m y T q u v u v u ve i i j j m m T Txyyxe W uF vF u F vF u F v F q F i ix i iy j jx j jy m mx m my eT e 3、 单 元 刚 度 矩 阵 (element stiffness matrix) U V t x yT TV d d d B q e T eT Tq B U q B t x yq B t x yeT TeT T d dd d F B t x ye T d d UW q F q B t x y eT e eT T d d F B t x y B D B q tA k qe T T e e e d d 单 元 刚 阵 k B D B tAe T 单 元 材 料 板 的 厚 度 单 元 面 积 单 元 形 状 常 数 矩 阵 eee qkF 单 元 平 衡 方 程 k k k kk k kk k ke ii ij imji jj jmm i m j m m srsrsrsr srsrsrsrsTrrs bbcccbbc bccbccbbAEt tABDBk 2121 212114 222 mmmjmjimim mjmjjjijij mimjijiiii qkqkqkF qkqkqkF qkqkqkF 单 元 刚 阵 的 性 质 k ke eT(2) 奇 异 性 (singularity) ke 0(1) 对 称 性 (symmetry) 二 、 单 元 分 析 (Element Analysis)目 的 ： 形 成 单 元 位 移 、 应 变 、 应 力 表 达 式 , 形 成 每 个 单 元 的 刚 度 矩 阵 Question?Can you obtain qe by solving the equation above? eee qkF Why? 线 性 方 程 组 eee qkF Purpose: 单 元 整 体assemble三 、 总 刚 集 成global stiffness matrix of the structure内 力 抵 消 qKR known总 刚 矩 阵 F k q k q k q k qi ii i ij j im m is s e (s=i， j， m) F Ri ee i k k k kk k kk k ke ii ij imji jj jmm i m j m m eee qkF 1、 总 刚 集 成 原 理i k q Ris s e is ijme , in is s e in is ijme k q R 1 1, K q RK结 构 平 衡 方 程单 元 平 衡 方 程k eqe = Fe K kin iss ijme 1 ,总 刚 矩 阵(G lobal Stiffness Matrix) K k k kk k k k kk k k k kk k kk k k k kk k k 111 121 131211 221 2 4 231 2 244 252 4311 321 2 331 2 3 352 3 363424 444 454522 4 532 3 544 552 3 4 563633 653 6630 0 0000 0 000 0 0 2、 总 刚 集 成 过 程（ 1） 扩 阶 过 程 000000 000000 000000 000 000 000333231 232221 1312111 kkk kkk kkk k 000000 000 000000 000 000 000000 555352 353332 2523222 kkk kkk kkkk（ 2） 叠 加 过 程 ene ekK 1 3、 总 刚 矩 阵 的 特 点 对 称 性 （ Symmetry） KT=K 稀 疏 性 （ Sparse） 带 状 性 （ Band） 奇 异 性 （ singularity ） |K|=0 四 、 载 荷 移 置Kq=R Nodal force: Concentrated force at nodesConcentrated forceSurface forceVolume force 1、 集 中 力 的 移 置 P p pc cx cy T R R R R R R RPe ix iy jx jy m x m y Tc d N q e e d PeT c q ReT Pec= R N PPe T cc 2、 面 力 的 移 置 3、 体 力 的 移 置 Can you obtain q by solving the equation above?Why?Kq=R 线 性 方 程 组 Kq=R F五 、 约 束 处 理 消 除 结 构 的 刚 体 运 动 ， 从 而 消 除 K的 奇 异 性 k k k k k k k k kk k k k k k k k kk k k k k k k k k11 12 15 16 17 18 19 110 11121 22 25 26 27 28 29 210 211111 11 2 115 116 117 118 119 1110 11110 0 00 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1, , , , , , , , , , , qqqqqq RRR12341112 1211000 k k k k k k k k k kk k k k k k M k k kk k k k k k k k k kk k k k k k k k M kk k k k k k k k k k11 12 13 14 15 16 17 18 19 11071 72 73 74 75 76 78 79 71081 82 83 84 85 86 87 88 89 81091 92 93 94 95 96 97 98 910101 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 1010, , , , , , , , , , qqqqq RMRMR178910 1810 k q k q k q k q k q k q M q k q k q k q M71 1 72 2 73 3 74 4 75 5 76 6 7 78 8 79 9 710 10 , smallrelative M qkqkqkqkqkqkqkqkqkq 1010,79798786765754743732721717 RqK q Time consuming! 六 、 求 解 线 性 方 程 组 ee qNd ee qB ee qS七 、 计 算 其 它 物 理 量 eq ed e e 位 移 法 节 点 位 移 无 穷 数 量 的 质 点 位 移 有 限 数 量 的 节 点 位 移 八 、 计 算 结 果 处 理 1=(+)/22=(+)/61=(+)/22=(+)/2 九 、 结 果 显 示 、 打 印 、 分 析 DiscretionG lobal stiffness matrixLoad Translation Results Process & DisplayCalculate Other QuantitiesRestrain ProcessSolve EquationsElement analysis DiscretionPatch interpolation Displacement function defined over a element ee qNd points : Infinite nodes : finite ee qB ee qSKq=R eee qkF qe: basic unknowns q Equilibrium equations for each elementEquilibrium equation for whole structuresolve Summary The End