教学课件第四节直线的投影

第 四 节 直 线 的 投 影第 二 章 投 影 的 基 本 知 识 直 线 的 投 影X OZY H YWaa abb b直 线 的 投 影 可 由 直 线 上 任 意 两 点 的 投 影 决 定 1. 直 线 的 倾 角 ：对 水 平 投 影 面 的 夹 角 对 正 投 影 面 的 夹 角 对 侧 投 影 面 的 夹 角 一 、 一 般 位 置 直 线 的 投 影 一 般 位 置 直 线 对 面 的 倾 角 ABb a a b baNEW 一 般 位 置 直线 对 面 的倾 角 ab a ba bBA NEW 例 ： 求 一 般 位 置 直 线 对 面 的 倾 角 yy 实 长 一 般 位 置 直线 对 面 的倾 角 ab baAa bB 例 ： 求 一 般 位 置 直 线 对 面 的 倾 角x 实 长 xba 一 般 位 置 直 线 的 投 影 特 性 直 线 的 各 投 影 均 对 投影 轴 倾 斜 ； 直 线 的 各 投 影 与 投 影轴 的 夹 角 并 不 反 映 空间 直 线 与 相 应 投 影 面的 倾 角 。 当 直 线 AB倾 斜 于 投 影面 时 ， 它 在 该 投 影 面上 的 投 影 ab长 度 小 于实 长 ， 缩 短 多 少 ， 根据 对 投 影 面 夹 角 大 小确 定 。 A0zy xX OZYH YWaa a bb b实 长 实 长 实 长 Za- Zb直 角 三 角 形 法 ：两 直 角 边 、 斜 边 、 锐 角二 、 直 线 的 实 长 与 真 实 倾 角 例 题 3例 题 2-6 已 知 直 线 AB的 正 面 投 影 和 点 A的 水 平 投 影 a,并 知 AB=25,求 AB 的 水 平 投 影 ab及 AB对 V面 的 倾 角 。 X Oaa b25 b 例 题 4例 题 2-7 已 知 直 线 AB的 水 平 投 影 ab， 和 正 面 投 影 a ,并 知 AB对 H面 的 倾 角 为 30 ， 求 AB的 正 面 投 影 及 实 长X Oaa bbb1 30 1 投 影 面 的 平 行 线 2 投 影 面 的 垂 直 线三 .特 殊 位 置 位 置 的 直 线 ： （ 1） 水 平 线 e ffe f e反 映 实 长 abc1 投 影 面 的 平 行 线 EF实 长 fe f e f e 水 平 线 投 影 图 反 映 实 长 AA（ 2 ） 正 平 线 反 映 实 长 正 平 线 投 影 图 （ 3） 侧 平 线 反 映 实 长DCcd c dc d 实 长dc d c dc 侧 平 线 投 影 图 水 平 线 的 投 影 特 征 ：平 行 线 的 投 影 特 征 ：（ 1） 在 与 其 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 长 ；（ 2） 该 投 影 与 相 应 投 影 轴 之 间 的 夹 角 反 映 直 线 与 另外 两 个 投 影 面 的 倾 角 ；（ 3） 其 余 的 两 个 投 影 平 行 于 投 影 轴 ， 但 不 反 映 实长 。 25X OZYH YWaa a30 b bb例 题 ： 过 点 A向 右 上 方 作 一 正 平 线 AB,使 其 实 长为 25， 与 H面 的 倾 角 =30 。 2 投 影 面 的 垂 直 线（ 1） 铅 垂 线 水 平 投 影 积 聚 为 一 点 ； 其 它 两 个 投 影平 行 于 轴 ， 并 反映 直 线 实 长 ； 直线 与 H 面 的 夹 角90 实 长 铅 垂 线 铅 垂 线 的 投 影 （ 2） 正 垂 线 )(dc dc c dC D 正 垂 线 的 投 影)(dc c cd d （ 3） 侧 垂 线 e f )(fe e f 侧 垂 线 的 投 影e fe f )(fe （ 1） 直 线 在 与 其 垂 直 的 投 影 面 上 的 投 影 积 聚 为 一 点 ；（ 2） 其 余 的 两 个 投 影 垂 直 于 相 应 的 投 影 轴 ， 且反 映 实 长 。垂 直 线 的 投 影 特 征 ： X OZYH YWbaa ab（ b）例 题 根 据 投 影 图 判 断 下 列 直 线 的 空 间 位 置 bX OZYH YWaa abbX OZY H YWaa abb b （ b）X OZYH YWaa abb 既 然 垂 直 线 也 平 行 于 投 影 面 ， 能 否 称 它 为 平行 线 呢 ？讨 论X OZY H YWbaa ab（ b） bX OZYH YWaa abb cc dd点 在 直 线 上 ， 点 的 投 影 必 在 直 线 的 同 名 投 影 上定 比 性 ： AC： CB=a c :c b =ac:cb=ac :c b 四 、 直 线 上 的 点bX Oaa b dDdee 1、 C点 在 直 线 上 ABab a b ba Cc cc 点 在 直 线 上 上 。 ab c cc a bb a 点 的 投 影 在 直 线 的 同 面 投 影 上 ， 并 符 合 点的 投 影 规 律 。 C点 在 直 线 上 ABab a bba 2、 点 不 在 直 线 上 。 d dd DNEW 例 题 : 在 直 线 AB上 找 一 点 K,使 AK:KB=3:2。 bX Oaa b3 2kk 例 题 : 判 定 点 K是 否 在 直 线 AB上 。 kOZY H YWa bkkX aabb 例 题 : 判 定 点 K是 否 在 直 线 AB上 。 例 题 : 已 知 点 C在 直 线 AB上 ， 且 AC=20, 求 C点 的 投影 。 bX Oaa b20 c c 四 、 两 直 线 的 相 对 位 置空 间 两 直 线的 相 对 位 置 同 面 直 线异 面 直 线 平 行相 交交 叉 1、 平 行 两 直 线 投 影 特 性 q两 直 线 平 行 ， 他 们 同 名 投 影 一 定 平 行q两 直 线 的 同 面 投 影 相 互 平 行 ， 且 其 长 度 之 比等 于 投 影 长 度 之 比 。q如 何 利 用 投 影 特 性 根 据 投 影 判 断 两 直 线 是 否平 行 ？q如 果 两 直 线 都 不 平 行 于 投 影 轴 ， 则 有 两 个 投 影 面投 影 平 行 则 可 以 认 为 直 线 平 行 。q如 果 两 直 线 都 平 行 于 某 投 影 轴 ， 则 必 须 根 据 第 三投 影 或 比 例 关 系 判 断 。 投 影 特 性 ： 空 间 两 直 线 平行 ， 则 其 各 同 名 投影 必 相 互 平 行 ， 反之 亦 然 。a V Hcb c dA B C Db dax a bc dca b d例 ： 判 断 图 中 两 条 直 线 是 否 平 行 。 对 于 一 般 位 置 直线 ， 只 要 有 两 个 同 名投 影 互 相 平 行 ， 空 间两 直 线 就 平 行 。AB/CDx b dc ac badd bac 对 于 特 殊 位 置 直 线 ，只 有 两 个 同 名 投 影 互 相平 行 ， 空 间 直 线 不 一 定平 行 。求 出 侧 面 投 影 后 可 知 ：AB与 CD不 平 行 。例 ： 判 断 图 中 两 条 直 线 是 否 平 行 。求 出 侧 面 投 影如 何 判 断 ？ 2 已 知 直 线 AB 平 行 直 线 CD， 试 完 成 直 线 AB 和 CD 的 三 面 投 影 。例 ： 已 知 直 线 AB平 行 直 线 CD， 试 完 成 直 线 AB和 CD的 三 面 投 影 。 题 解 ： ac b bd ac d d a c b NEW 2、 相 交 两 直 线 投 影 特 性 q相 交 两 直 线 同 面 投 影 都 相 交 ， 且 交 点 符 合 点的 投 影 规 律 q如 何 利 用 投 影 特 性 根 据 投 影 判 断 两 直 线 是 否相 交 ？q投 影 上 交 点 连 线 垂 直 于 投 影 轴 。q相 交 直 线 可 能 成 为 某 一 投 影 面 的 重 影 线 HV A BC DKa bc dka bc k d a bc d ba c dkk两 直 线 相 交判 别 方 法 ： 若 空 间 两 直 线 相 交 ， 则 其 同 名 投 影 必 相 交 ，且 交 点 的 投 影 必 符 合 空 间 一 点 的 投 影 规 律 。交 点 是 两 直线 的 共 有 点x xo o ca bba c dkk d例 ： 过 C点 作 水 平 线 CD与 AB相 交 。 先 作 正 面 投 影ox思 考 ： 如 果 给 出 CD的 长 度 ， 解 题 过 程 有 何 变 化 ？ 3、 交 叉 两 直 线 投 影 特 性 q既 不 符 合 平 行 两 直 线 的 投 影 特 性 ， 又 不 符 合相 交 两 直 线 的 投 影 特 性 q交 叉 直 线 的 同 面 投 影 若 相 交 ， 其 交 点 并 非 一个 点 的 投 影 ， 而 是 两 条 直 线 上 的 两 个 点 的 重影 。 其 重 影 点 的 可 见 性 应 根 据 两 个 点 的 相 对位 置 来 判 别 。 d baa bc dc 1(2 )3(4 )两 直 线 交 叉 投 影 特 性 ： 同 名 投 影 可 能 相 交 ， 但 “ 交 点 ” 不 符 合 空 间 一 个 点的 投 影 规 律 。 “交 点 ” 是 两 直 线 上 的 一 对重 影 点 的 投 影 ， 用 其 可 帮 助 判断 两 直 线 的 空 间 位 置 。 、 是 面 的 重 影 点 ， 、 是 H 面 的 重 影 点 。12 3 4 两 交 叉 直 线正 面 投 影 重 影 点 水 平 投 影 重 影 点 dcd c dc交 叉 两 直 线 的 投 影 两 侧平 线的 投影 反映 和 的 线段 实长gh g h hg 4、 两 直 线 垂 直 相 交 直 角 投 影 定 理 如 果 两 直 线 在 空 间 上 垂 直 (垂 直 相 交 或 垂 直 交叉 )， 当 其 中 一 条 直 线 平 行 于 某 一 投 影 面 时 ，则 两 直 线 在 该 投 影 面 上 的 投 影 垂 直 。 利 用 直 角 投 影 定 理 ， 可 完 成 过 点 作 投 影 面 平 行线 的 垂 线 ， 或 与 其 相 关 的 求 点 到 直 线 距 离 ， 求直 角 三 角 形 、 等 腰 三 角 形 等 平 面 图 形 投 影 的 作图 问 题 。 相 交 成 直 角 的 两 直 线 ， 只 要 其 中 有 一条 直 线 平 行 于 某 投 影 面 ， 则 它 们 在 该 投 影 面上 的 投 影 仍 反 映 直 角 。 a b c水 平 线 a bba例 ： 过 点 作 直 线 垂 直 于 , 为任 意 长 度 。X O a bba题 意 分 析 ：X O水 平 线 （ 实 长 ）有 无 穷 多 解 ， 可 任 意 做 一 解 。 例 过 点 A作 EF线 段 的 垂 线 ABbbx oe f ae fa 例 以 最 短 线 K M连 接 AB， 确 定 M点 ， 并 求 出 K M实 长 。a ba bkk a bab kk a ba bkkmm M0LKMmmX X X 返 回 例 过 点 E作 线 段 AB、 CD的 公 垂 线 EF。fex oabc de abc df 例 :判 定 下 列 图 中 两 直 线 的 相 对 位 置 （ 平 行、 相 交 、 垂 直 相 交 、 交 叉 ） 1.交 叉 2.垂 直 相 交 3.相 交 例 ： 直 角 投 影 定 理 例 ： 直 角 投 影 定 理 课 后 思 考 题X OZY H YW(a)bab a b bX OZYH YWaa abb 1、 判 断 AB线 的 空 间 位 置 AB C DEF HIL KOJM N 课 后 思 考 题2、 请 指 出 立 体 上 棱 线 的 空 间 位 置 ， 并 画 出 相 应 的投 影 。