《无限长单位脉冲响应IIR数字滤波器的设计》

第 五 章 无 限 长 单 位 脉 冲 响 应 （ IIR） 数 字 滤 波 器 的 设 计 1、 什 么 是 滤 波 器 (Filter)l 滤 波 ： 把 一 个 信 号 处 理 成 另 一 个 信 号 的 过 程 ；l 滤 波 器 ： 是 一 种 具 有 频 率 选 择 的 网 络 （ 系 统 ） ， 输 入 信 号 的 某些 频 率 分 量 可 以 无 衰 减 （ 或 衰 减 很 小 ） 通 过 ， 有 些 频 率 分 量 被 阻止 （ 衰 减 很 大 ） 通 过 。2、 滤 波 器 的 分 类l 模 拟 滤 波 器 （ Analog Filter， AF） ；l 数 字 滤 波 器 （ Digital Filter， DF） ；5.1 数 字 滤 波 器 的 基 本 概 念一 、 滤 波 器 的 基 本 概 念 3、 什 么 是 数 字 滤 波 器 输 入 和 输 出 均 是 数 字 信 号 ， 该 滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应 也 是 数字 序 列 。 通 过 一 定 运 算 关 系 (数 值 运 算 )， 改 变 输 入 数 字 信 号 所 含频 率 成 份 的 相 对 比 例 或 滤 除 某 些 频 率 成 份 的 器 件 。4、 数 字 滤 波 器 的 特 点 (相 对 模 拟 滤 波 器 ) 精 度 高 、 稳 定 性 好 、 实 现 灵 活 、 不 要 求 阻 抗 匹 配 、 严 格 的 线 性相 位 和 多 维 滤 波 、 滤 波 自 适 应 。5、 数 字 滤 波 器 处 理 模 拟 信 号 通 过 A/DC和 D/AC， 使 用 数 字 滤 波 器 对 模 拟 信 号 的 处 理 。 线性时不变系统输入和输出的关系二、数字滤波原理 y(n)x(n) T h(n)输 入 输 出 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (*)mm m y n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ) (*)mm my n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (*)mm m y n T x m n my n x m n my n T x m h n mx n h n =时域关系：频域关系：Y(e j)=X(ej)H(ej) FT的 时 域 卷 积 定 理 1、 一 般 分 类l 经 典 滤 波 器 ： 输 入 信 号 中 的 有 用 的 频 率 成 分 和 希 望 滤 除 的 频率 成 分 占 用 不 同 的 频 带 ， 通 过 选 频 滤 波 器 达 到 滤 波 的 目 的 。l 现 代 滤 波 器 ： 信 号 和 干 扰 的 频 带 相 互 重 叠 ， 要 利 用 信 号 的 统计 分 布 规 律 ， 从 干 扰 中 最 佳 提 取 信 号 ， 如 ： 维 纳 滤 波 器 、 卡尔 曼 滤 波 器 和 自 适 应 滤 波 器 等 。三、数字滤波器的分类2、 从 滤 波 器 的 功 能 （ 按 频 率 特 性 ） 来 分 类 分 为 低 通 、 高 通 、 带 通 、 带 阻 、 全 通 滤 波 器 理 想 滤 波 器 的 幅 度 特 性 w0 - |H(ejw)|带通（BF）频率响应2-2 w0 - |H(ejw)|带阻（BS）频率响应2-2 特 点 ：(1) h(n)是 非 因 果 且 无 限 长 ， 不 可 能 实 现 ， 只 能 尽 可 能 逼 近 ；(2) H(ejw)以 2为 周 期 ， 低 通 的 中 心 频 带 处 于 2的 整 数 倍 处 ，高 通 的 中 心 频 带 处 于 的 奇 数 倍 附 近 。w0 - |H(ejw)|低通(LF)频率响应2-2 w0 - |H(ejw)|高通(HF)频率响应2-2 DF中 ， 一 般 考 察 其半 个 周 期 =0， 的 频 域 特 性 ； 3、 从 滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应 的 长 短 分 类 0 1 10( ) 1( ) ( )M rrr N kkkN nn b zH z a zH z h n z 0 110( ) 1( ) ( )M rrr N kkkN nn b zH z a zH z h n z N阶 IIR滤 波器 系 统 函 数N-1阶 FIR滤波 器 系 统 函 数 无 限 脉 冲 响 应 (IIR)数 字 滤 波 器 有 限 脉 冲 响 应 (FIR)数 字 滤 波 器 ： 这 里 介 绍 的 数 字 滤 波 器 属 于 选 频 滤 波 器1、 数 字 滤 波 器 的 传 输 函 数 H(ejw) ( )( ) ( )j j jH e H e e j(ej)四、数字滤波器的技术要求|H(ejw)|： 系 统 的 幅 频 特 性 ， 表 示 信 号 通 过 该 滤 波 器 后 各 频 率 成 分 衰 减 情 况 。 (e j)： 系 统 的 相 频 特 性 ： 反 映 信 号 通 过 滤 波 器 后 各 频 率 成 分 的 延 时 情 况 。 注 意 ： 一 般 选 频 滤 波 器 的 技 术 要 求 由 幅 度 特 性 给 出 ， 对 相 位 特 性 不 作 要 求 ； 2、数字滤波器的幅频特性|H(ejw)|的指标过 渡 带低 通 数 字 滤 波 器 的 幅 频 特 性 技 术 指 标|H(ejw)| 通 带 阻 带21-1 p0.70701 C S 指 标 说 明 ： p： 通 带 截 止 频 率 ， 通 带 频 率 范 围 ： 0p ；S： 阻 带 截 止 频 率 ， 阻 带 频 率 范 围 ： s ； C： 3dB截 止 频 率 ； 过 渡 带 （ p s） ： 单 调 下 降P： 通 带 最 大 衰 减 ； S： 阻 带 最 小 衰 减1： 通 带 内 幅 度 响 应 误 差 范 围 ； 2： 阻 带 内 幅 度 响 应 误 差 范 围 ； 用 dB数 表 示 00( )20lg ( )( )20lg ( )p sjp jjs jH e dBH eH e dBH e 00( )20lg ( )( )20lg ( )psjp jjs jH e dBH eH e dBH e 衰 减 指 标 p和 s的 定 义20lg ( )20lg ( ) psjp js H e dBH e dB 20lg ( )20lg ( )psjp js H e dBH e dB 如 将 |H(ej )|归 一 化 为 1， 上 两 式 则 表 示 成 当 幅 度 衰 减 到 2/2时 ， 所 对 应 频 率 c， 此 时 P 3dB， 称 c为 3dB通 带 截 止 频 率 。 用 衰 减 表 示 的 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 五、数字滤波器设计概述1、 数 字 滤 波 器 的 设 计 过 程l 按 任 务 要 求 ， 确 定 滤 波 器 的 性 能 指 标 ；l 用 一 个 因 果 稳 定 的 离 散 线 性 时 不 变 系 统 的 系 统 函 数 去 逼 近 这 个性 能 要 求 。l 用 一 个 有 限 精 度 的 算 法 来 实 现 这 个 系 统 函 数 。l 实 际 的 技 术 实 现 ： 计 算 机 软 件 、 专 用 数 字 滤 波 器 硬 件 或 软 硬 件相 结 合 的 方 法 实 现 。 2、 数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应 特 性 数 字 滤 波 器 频 率 响 应 特 性 的 三 个 参 量 ：(1)幅 度 平 方 响 应 ： 滤 波 器 的 衰 减 特 性(2)相 位 响 应 ( )( ) jj d ee d 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jj j j j j z eH e H e H e H e H e H z H z * 因 为 h(n)是 实 序 列(ej)( )( ) ( )j j jH e H e e j(ej)(3)群 时 延 ：滤波器平均延迟，定义为相位函数对角频率的导数的负值滤波器为线性相位响应时，通带内群时延特性为常数 3、 IIR数 字 滤 波 器 的 设 计 方 法 （ 1） 零 极 点 位 置 累 试 法 滤 波 器 的 特 性 可 由 其 系 统 函 数 的 零 极 点 确 定 ， 幅 频 特 性 在 单 位 圆 内 极 点 处 出现 峰 值 ， 在 零 点 处 出 现 谷 值 。 所 谓 累 试 ， 通 过 多 次 改 变 零 极 点 的 位 置 或 增 加新 的 零 极 点 来 达 到 要 求 。 只 适 用 于 设 计 简 单 低 阶 （ 一 、 二 阶 ） 的 滤 波 器 。 （ 2） 用 模 拟 滤 波 器 的 理 论 来 设 计 IIR数 字 滤 波 器 先 设 计 一 个 合 适 的 模 拟 滤 波 器 ， 然 后 将 其 变 换 成 满 足 预 定 指 标 的 数 字 滤 波 器 。（ 3） 计 算 机 辅 助 设 计 法 最 优 化 的 设 计 方 法 ， 先 确 定 一 种 最 佳 准 则 ， 直 接 在 频 域 或 时 域 中 进 行 设 计 。 理 论 和 设 计 方 法 成 熟 ， 有 若 干 典 型 的 模 拟 滤 波 器 可 以 选 择 。 如 ： 巴 特 沃 斯(Butterworth)滤 波 器 、 切 比 雪 夫 (Chebyshev)滤 波 器 、 椭 圆 (Kllipse)滤 波 器 、 贝塞 尔 (Bessel)滤 波 器 等 ， 这 些 滤 波 器 都 有 严 格 的 设 计 公 式 、 现 成 的 曲 线 和 图 表 供设 计 人 员 使 用 。 5.2 模 拟 滤 波 器 的 设 计各 种 理 想 模 拟 滤 波 器 的 幅 度 特 性 )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja H )(ja H 0 0 0c )(ja H 低 通 带 通 带 阻 高 通 )(ja H )(ja (ja 0 0 0c 低 通 滤 波 器 技 术 指 标 可 由 幅 度 特 性 或 幅 度 平 方 特 性 给 出 ；|Ha(j)|0.707 p s通 带 阻 带过渡带1 0 C p s通 带 过渡带 阻 带(dB) 衰 减pS 0一 、 模 拟 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 及 逼 近 方 法l p和 s分 别 称 为 通 带 截 止 频 率 和 阻 带 截 止 频 率 ， 单 位 rad/s;l c称 为 3dB截 止 频 率l p是 通 带 (0p)中 的 最 大 衰 减 系 数 ， s是 阻 带 s的 最 小 衰 减 系 数 ;l 图 中 幅 度 1表 示 用 频 率 为 0时 的 幅 度 作 为 基 准 幅 度 来 进 行 归 一 化 ； p和 s一 般 用 dB表 示 ， 对 于 单 调 下 降 的 幅 度 特 性 ， 可 表 示 成 ：2222( )10lg ( )( )10lg ( )ap a pas a sH jH jH jH j 2222( )10lg ( )( )10lg ( )ap a pas a sH jjjH j | 0)|22222( )10lg ( )( )10lg ( )ap a pas a sH jH jH jH j |Ha(j0)|22222( )l ( )( )l ( )aa pas a sjjj 2210lg ( )10lg ( )p a ps a sH jH j 2210lg ( )10lg ( )p a ps a sH jH j =0处 幅 度 归 一 化为 1， 即 |Ha(j0)|=1 c称 为 3dB截 止 频 率 ( ) 1/ 2, 20lg ( ) 3a c a cH j H j dB ( ) 1/ 2, 20lg ( ) 3a c a cH j H j dB c= 给 出 模 拟 滤 波 器 的 技 术 指 标 ；二、用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤 设 计 传 输 函 数 Ha(s)： 使 其 幅 度 平 方 函 数 满 足 给 定 指 标 ap和 as|Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)|S=j 确 定 Ha(s)： 系 统 Ha(s)应 是 稳 定 的 系 统 ， 因 此 ， 极 点 应 位 于 N： 滤 波 器 的 阶 数 ；： 滤 波 器 的 参 数 ；p： 滤 波 器 通 带 截 止 频 率 ；2 22 1( ) 1a NpH j 2221( ) 10lg 10lg 1 (dB)( ) Npaa H j 三 、 巴 特 沃 思 低 通 滤 波 器1、 巴 特 沃 思 低 通 滤 波 器 的 幅 度 平 方 函 数 的 分 析衰 减 特 性 ： |Ha(j0)|=1 210lg 1pa 0.110 1pa 1pc N 采 用 归 一 化 基 准 频 率 NCNNpNpNNp 2212122 210lg 1 (dB)Nca 巴 特 沃 思 滤 波 器 的 幅 度 平 方 函 数2 21( ) 1 ( )a NcH j l c， 幅 度 迅 速 下 降 ， N越 大 ， 幅 度 下 降 越 快 ， 过 渡 带 越 窄l 当 =0时 ， 2( 0) 1aH j l 当 =c时 ，所 示 c是 3dB截 止 频 率 1( ) 2a cH j 1 2、 由 幅 度 平 方 函 数 |Ha(j)|2确 定 系 统 函 数 Ha(s) 21( ) ( ) 1 ( )a a NcH s H s sj 此 式 表 明 幅 度 平 方 函 数 有 2N个 极点 ， 极 点 sk用 下 式 表 示 ： 1 1 2 1( )2 2 2( 1) ( ) kjN Nk c cs j e 其 中 ， k=0,1,(2N-1)2N个 极 点 等 间 隔 分 布 在 半 径 为 c的 圆 上 ， 间隔 是 /N rad， 左 半 平 面 N个 点 构 成 Ha(s)传 输函 数 ， 右 半 平 面 N个 点 构 成 Ha(-s)传 输 函 数 。21( ) ( ) 1a a NcH j H j 10( ) ( )Nca N kkH s s s Ha(s)表 示 为 ：由 于 各 滤 波 器 的 幅 频 特 性 不 同 ， 为 使 设 计 统 一 ， 将 所 有 的 频 率 归 一 化 。 采 用 对3dB截 止 频 率 c归 一 化 ， 归 一 化 后 的 Ha(s)表 示 为 ： 10 1( ) ( )a N kk c cH s s s 10 1( ) ( )a N kkH p p p 知 道 滤 波 器 的 阶 数 N， 可 得 归 一 化 的 传 输 函 数 ，去 归 一 化 p=j=s/ c ,可 得 到 实 际 的 传 输 函 数 Ha(s)令 s/c = j/c， = / c， 称 为 归 一 化 频 率 ， 令 p=j ， p称 为 归 一 化 复 变量 ， 归 一 化 巴 特 沃 斯 的 传 输 函 数 为 ：归 一 化 极 点 ， k=0,1,N-1 Nkjk ep 2 1221 3、 根 据 给 出 的 技 术 指 标 P、 S、 p、 S， 求 滤 波 器 阶 数 N2 0.11 10N ac 2 0.11 10 pN apc 2 0.11 10 sN asc 0.10.110 1lg 10 1lg spaaspN 10.1 20.110 110 1spN as ap ssp p 0.10.110 110 1 spasp ak lglg spspkN 用 上 式 求 出 的 N可 能 有 小 数 部 分 ， 应 取 大 于 等 于 N的 最 小 整 数 。 根 据 求 极 点 公 式 ： Nkjk ep 2 12214、 总 结 巴 特 沃 思 滤 波 器 的 设 计 步 骤（ 1） 根 据 给 出 的 技 术 指 标 P、 S、 p、 S， 确 定 滤 波 器 阶 数 N（ 2） 求 归 一 化 极 点 pk， 确 定 归 一 化 传 输 函 数 Ha(p)10 1( ) ( )a N kkH p p p 或 ： 根 据 阶 数 N， 查 P206 表 5.2.1得 到 极 点和 归 一 化 传 输 函 数，k=0,1,N-1。再带入： 10.1 210.1 2(10 1)(10 1)psa Nc p a Nc s 阻 带 指 标有 富 裕 度10.1 210.1 2(10 1)( 0 1)psa Nc p a Nc s 通 带 指 标有 富 裕 度（ 3） 求 3dB截 止 频 率 c210lg 1 (dB)Nca 将 p=s/c， 代 入 Ha(p)中 得 ： Ha(s)=Ha (p)| p=s/c(4) 将 Ha(p)去 归 一 化 ， 得 到 实 际 的 滤 波 器 传 输 函 数 Ha(s) 表 示 两 极 点 P1、 PN-2 例 ： 设 计 一 个 巴 特 沃 思 低 通 滤 波 器 ， 在 时 衰 减 不 大 于1dB， 在 时 衰 减 不 小 于 10dB。0 160Hzf 800Hzf 2 2 160( )p pf rad s 1dBpa 2 2 800( ) s sf rad s 10dBsa 解 ： (1) 求 阶 数 ：0.1 0.1 0.1 102 2 22 2 210 1 10 1 10 1lg lg lg 0.509 1.1024800lglg lg 160s sa as sp pN ff 0.10.110 1lg 10 1lg spaaspN 取 N 2 （ 2） 求 归 一 化 的 系 统 函 数 341 0.7071 0.7071jp e j 2 1 1 1( ) 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071a kkH p p j p jp p 2 221 11.4142 10.7071 0.7071 p pp 1 10.10.1 2 42 160 1409.30886( )10 110 1 p pc a N rad s k=0,1 Nkjk ep 2 1221 p0 542 10.7071 0.7071jp e j p *p1 也 可 查 表 5.2.1直 接得 出 Ha(p)（ 3） 确 定 3dB截 止 频 率 c 22 22 1( ) ( ) 1.414212 1c c csa a p s c cpH s H p s sp p 2 22 1409.308861993.05868 1409.30886s s 2 1986151.4631993.0587 1986151.463s s ( ) ( ) a a s jH j H s (4)确 定 滤 波 器 的 系 统 函 数滤 波 器 的 频 率 响 应 利 用 模 拟 滤 波 器 设 计 IIR数 字 滤 波 器 设 计 思 想5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器设 计 技 术 成 熟有 相 当 简 便 的公 式 和 图 表 模 拟 滤 波 器)(sHaAF 由 此 设 计 数 字 滤 波 器)(zHDF 要 求 DF特 性模 仿 AF的 特 性实 际 上 是 个 映 射 问 题离 散 时 间 域 (Z平 面 )转 换 关 系连 续 时 间 域 (S平 面 ) (1)数 字 滤 波 器 的 频 率 响 应 模 仿 模 拟 滤 波 器 的 频 响 ， s平 面 的 虚 轴 映射 z平 面 的 单 位 圆 ， 相 应 的 频 率 之 间 成 线 性 关 系 。 (2)因 果 稳 定 的 模 拟 滤 波 器 转 换 成 数 字 滤 波 器 ， 仍 是 因 果 稳 定 的 。 Re(z)jIm(z)0 z平 面1z1z 2j0 S平 面S1xS2x满 足 上 述 转 换 关 系 的 映 射 方 法 有 ： 脉 冲 响 应 不 变 法 和 双 线 性 变 换 法 对转换关系的两点要求： 时 间 特 性上 的 模 仿 频 率 响 应上 的 模 仿 Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时 域 采 样 h(n)ZTh(n)H(z)所 以 说 脉 冲 响 应 不 变 法 是 一 种 时 域 上 的 变 换 方 法一 、 变 换 原 理1、 基 本 思 想使 h(n)模 仿 ha(t)， 让 h(n)正 好 等 于 ha(t)的 采 样 值( ) ( ) ( )a t nT ah n h t h nT 过 程 ： ( ) ( ) ( )( ) sta a stan snTH s h t e dth t nT e dtnT e n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n snTn snTan st stn aa enh enTh dtenTt dtenTtthsH )( )( )() )()()( n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n snTn snTan sta stn aa enh enTh dtenTtth dtenTtthsH )( )( )()( )()()( n nznhzH )()( )()( sHzH aez sT )()( sHzH aez sT sTz e 2、 S平 面 和 Z平 面 之 间 的 映 射 关 系 （ 复 习 ）（ 1） 采 样 信 号 的 拉 氏 变 换 与 序 列 的 z变 换 之 间 的 映 射 关 系 ( ) ( ) ( )a anh t h t t nT ha(t)的 采 样 信 号 表 示 为 : ( )ah t对 进 行 拉 氏 变 换 ， 得 到 结 论 ： 采 样 信 号 的 拉 氏 变 换 是 原 模 拟 信 号 的 拉 氏 变 换 在 S平 面 沿 虚轴 以 s=2/T为 周 期 进 行 的 周 期 延 拓 ； 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTa a ska a sk a sz e kH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( )sTa a ska a sk a sz e kH j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 将 s=j代 入 上 式 ， 得 ：(2) 模 拟 信 号 的 拉 氏 变 换 与 采 样 信 号 的 拉 氏 变 换 之 间 的 关 系 说 明 ： 采 用 脉 冲 响 应 不 变 法 将 AF变 换 为 数 字 DF时 Ha(s)沿 虚 轴 以 s=2/T为 周 期 进 行 周 期 延 拓 ; 再 经 过 Z=eST的 映 射 关 系 映 射 到 Z平 面 上 ， 从 而 得 到 H(z)()( sHzH aez sT 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) sT a a ska a sk a sz e k H j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT (3) 模 拟 信 号 的 拉 氏 变 换 与 序 列 的 Z变 换 之 间 的 映 射 关 系 1( ) ( )1( ) ( )1( ) ( ) sT a a ska a sk a sz e k H j H j jkTH s H s jkTH z H s jkT 设 ： S=j， z=rejw 频 率 域 的 坐 标 变 换 是 线 性 的 ，满 足 转 换 关 系 的 第 1个 要 求 。TjTTjj eeeer )(r= eT3、 分 析 因 果 稳 定模 仿 频 响 =T问 题 ： 转 换 是 否 满 足 对 转 换 关 系 提 出 的 2点 要 求 ？z = eST 0时 ， S平 面 的 左 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 单 位 圆 内 (r=|z|0时 ， S平 面 的 右 半 平 面 映 射 到 Z平 面 的 单 位 圆 外 (r=|z|1)结 论 ： 若 Ha(s)是 因 果 稳 定 的 ， 则 转 换 后 的 H(z)也 是 因 果 稳 定 的 。r= eT因 果 稳 定 的 分 析 j0-/T3/T -3/T/TS平 面 1 Re(z)jIm(z)0Z平 面 当 不 变 ， 角 频 率 变 化 2/T整 数 倍 ， 映 射 值 不 变 ， S平 面 上 每 一 条 宽 度 为 2/T的 水 平 横 带 都 重 迭 地 映 射 到 Z平 面 的 整 个 全 平 面 上 每 条 水 平 横 带 的 左 半 部 分 映 射 到 Z平 面 单 位 圆 内 ； 水 平 横 带 右 半 部 分 映 射 到 Z平 面 的 单 位 圆 外 ； j虚 轴 上 每 2/T段 都 对 应 着 单 位 圆 一 周j0-/T3/T -3/T/TS平 面 1 Re(z)jIm(z)0 Z平 面2( ) ,j M TsT T j T T Te e e e e M 由 于 z=esT是 周 期 函 数 4、 混 叠 失 真 )( jeH 0 T0T )( jHa 频 率 混 叠否 则 ， 设 计 出 来 的 DF在 w= 附 近 产 生 频 率 混 叠 。 使 设 计 出 来 的 DF不 能 很 好 地 重 现 AF的 频 响 ， 满 足 不 了 设 计 要 求 。1 2( )j akH e H j j kT T T 数 字 滤 波 器 的 频 响 与 模 拟 滤 波 器 的 频 响 的 关 系( ) 0,aH j T 1( ) ,j aH e H jT T 当 AF的 频 响 是 限 带 的 ， 且 带 限 于 折 叠 频 率 以 内 时 ， 即 :DF不 产 生 混 叠 失 真结 论 ： 脉 冲 响 应 不 变 法 只 适 合 设 计 带 限 滤 波 器 ， 如 ： 低 通 、 带 通 滤 波 器 的 设 计 ，不 适 合 高 通 、 带 阻 滤 波 器 的 设 计 。 1、 设 模 拟 滤 波 器 Ha(s)只 有 单 阶 极 点 ， 且 分 母 多 项 式 的 阶 次 高 于 分 子 多 项 式 的阶 次 ， 将 Ha(s)用 部 分 分 式 表 示 ： 1( ) N ia i iAH s s s si为 Ha(s)的 单 阶 极 点1( ) ( ) iN s nta iih t Ae u t1( ) ( )iN s n ta iih t A e t LT-1Ha(s) U(t)为 单 位 阶 跃 函 数 二 、 变 换 方 法 1( ) ( ) ( )iN s nTa iih n h nT Ae u nT 等 间 隔 采 样 ， 采 样 间 隔 为 T11( ) 1 iN is Ti AH z e z z变 换 11( ) 1 iN is Ti AH z e z 1( ) N ia i iAH s s s 结 论 :l S平 面 的 单 极 点 s=sk映 射 到 Z平 面 的 极 点 z=esiT。l Ha(s)部 分 分 式 的 系 数 与 H(z)部 分 分 式 的 系 数 相 同 。l 不 保 证 整 个 平 面 与 平 面 都 存 在 其 极 点 那 样 的 代 数 对 应 关 系 。l 若 所 有 s k在 s左 半 平 面 ， 则 所 有 zk在 单 位 圆 内 。 因 此 ， AF 稳 定 ， 则 DF稳 定 。 为 使 数 字 滤 波 器 的 增 益 不 受 采 样 间 隔 的 影 响 ， 故 作 以 下 修 正( ) ( )ah n Th nT 11( ) 1 kN ks Tk TAH z e z 2( ) , j a akH e H j j k H jT T T 1( ) ,j aH e H jT T （ 1） 确 定 数 字 滤 波 器 的 一 组 通 、 阻 带 截 止 频 率 ， 通 带 内 容 许 的 最 大 衰 减 为 ， 阻 带 内 容 许 的 最 小 衰 减 为 。（ 2） 采 用 变 换 公 式 把 数 字 滤 波 器 的 这 组 频 率 指 标 转 换 成 相 应 的 模 拟 滤 波 器 的 一 组 频 率 指 标 ， 而 、 不 变 。 （ 3） 根 据 模 拟 滤 波 器 的 技 术 要 求 ， 设 计 其 系 统 函 数 。 （ 4） 由 求 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 。 （ 5） 利 用 校 核 所 设 计 的 数 字 滤 波 器 是 否 满 足 技 术 指 标 要 求 。 kpa sakk T k k( ) aH s ( )H z( ) ( ) jj z eH e H z pa sa ()aH s 三 、 设 计 步 骤 注 意 ： 参 数 T可 任 选 s s sT s /T 注 ： s阻带截止频率 例 ： 已 知 模 拟 低 通 滤 波 器 的 系 统 函 数 为 ,用 脉 冲 响应 不 变 法 将 转 换 成 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 。2 3( ) 4 3aH s s s ( )aH s ( )H z3 1 1( ) 2 1 3aH s s s ( )aH s解 ： 首 先 将 展 为 部 分 分 式 的 形 式1 1s 2 3s 极 点 为 ： 1 31 1 3 1 3 2 433 2( ) 2 1 1 1 T TT T T T TTz e eT TH z z e z e z e e z e 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 为 ： 11 1 20.47714( ) 1 0.41767 0.018316zH z z z 设 T=1s， 得 ： 1 2 1 20.024603( ) 1 1.64566 0.67032zH z z z 设 T=0.1s， 得 ： 1( )jH e 2( )jH e ( )aH s将 三 者 的 幅 度 特 性 用 它 们 的 最 大 值 归 一 化 后 的幅 度 特 性 如 图 所 示 。 AF的 幅 度 特 性 DF的 幅 度 特 性 例 ： 用 脉 冲 响 应 不 变 法 设 计 巴 特 沃 思 数 字 低 通 滤 波 器 ， 要 求 在 频 率小 于 的 通 带 内 ， 幅 度 特 性 下 降 小 于 等 于 1dB； 在 频 率 到 之 间 的 阻 带 衰 减 大 于 等 于 15dB。0.2 rad 0.3 radrad 0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s srad a rad a 解 ： （ 1） 待 设 计 的 数 字 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 为 ：0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s sr d a rad a 0.2 , 1dB, 0.3 , 15dB p p s srad s a rad s a （ 2） 模 拟 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 为 （ 设 T=1s） ：0.3 1.50.2ssp p 0.1 1.50.1 0.110 1 10 1 10.87510 110 1spasp ak lg lg10.875 5.886lg lg1.5sp spkN 取 N=6 （ 3） 设 计 模 拟 butterworth低 通 滤 波 器 查 表 得 到 归 一 化 系 统 函 数 为 2 3 4 5 61( ) 1 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637aH p p p p p p p ( ) ( ) csa a pH s H p 66 5 2 4 3 3 4 2 5 62 2 23.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.86370.12090.3640 0.4945 0.9945 0.4945 1.3585 0.4945cc c c c c cs s s s s ss s s s s s 1 1 11 2 1 2 1 20.2871 0.4466 2.1428 1.1455 1.8557 0.6303( ) 1 1.2971 0.6949 1 1.0691 0.3699 1 0.9972 0.2570z z zH z z z z z z z 求 3dB截 止 频 率 1 10.10.1 2 2 60.2 0.7032 /10 110 1p pc a N rad s 去 归 一 化（ 4） 求 相 应 的 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 （ 5） 检 查 设 计 的 数 字 滤 波 器 是 否 满 足 给 定 的 指 标 要 求 四 、 脉 冲 响 应 不 变 法 的 优 缺 点优 点 ： 1、 频 率 变 换 是 线 性 关 系 ; w=T ， 数 字 滤 波 器 可 以 很 好 重 现 模 拟滤 波 器 的 频 响 特 性 ； 2、 数 字 滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应 完 全 模 仿 模 拟 滤 波 器 的 单 位 冲 激 响应 ， 时 域 特 性 逼 近 好 ；缺 点 ： 1. 有 频 谱 混 迭 失 真 现 象 ； (S平 面 到 Z平 面 有 多 值 映 射 关 系 ) 2. 由 于 频 谱 混 迭 ， 使 应 用 受 到 限 制 ， 只 适 合 于 用 来 设 计 限 带 的 滤波 器 ， 如 低 通 和 带 通 滤 波 器 。 脉 冲 响 应 不 变 法 的 缺 点 :产 生 频 率 谱 混 迭 现 象 。5.4 用 双 线 性 变 换 法 设 计 IIR数 字 低 通 滤 波 器 原 因 ： s平 面 到 z平 面 是 多 值 对 单 值 的 映 射 关 系 ， 模 拟 低 通 的 最高 频 率 超 过 了 折 叠 频 率 /T， 数 字 化 后 在 = 形 成 频 谱 混 叠 现 象 。 解 决 方 法 ： 采 用 非 线 性 压 缩 方 法 ， 将 整 个 频 率 轴 上 的 频 率 范 围压 缩 到 /T之 间 ， 而 后 再 用 z=eST转 换 到 z平 面 上 。 步 骤 ：l 首 先 把 整 个 s平 面 压 缩 变 换 到 某 一 中 介 的 s1平 面 的 一 条 从 到 ， 宽度 为 的 横 带 里 （ s1平 面 的 横 带 和 s平 面 是 单 值 对 应 关 系 ） ；l 再 通 过 标 准 变 换 关 系 ， 将 此 横 带 变 换 到 整 个 z平 面 上 去 ；/T / T2 /T 1s Tz e一 、 变 换 原 理s平 面 s1平 面 z平 面好 处 ：l s平 面 与 z平 面 成 为 一 一 对 应 的 单 值 映 射 关 系 ， 消 除 了 频 谱 混 叠 现 象 。 1、 非 线 性 压 缩 ： (S平 面 S1平 面 映 射 ) 0 /T-/T 112 1tan( )2 TT T： 时 域 采 样 间 隔 采 用 正 切 变 换 实 现 非 线 性 频 率 压 缩 ， 设 Ha(s)， s=j ， 经 过 非 线 性 频 率 压 缩后 用 Ha(s1)表 示 ， s1=j 1 ， 则 ：表 明 ： 当 1从 /T经 过 0变 化 到 -/T时 ， 则 由 经 过 0变 化 到 -， 这 样 ， 实 现 了 s平 面 上 整 个 虚 轴完 全 压 缩 到 s 1平 面 上 虚 轴 的 /T之 间 。 )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCeejjTjC TS TSTjTj TjTj 12 1tan( )2 TT )2(11)2tan(S 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj )2(11)t (j 12/2/ 1111 TSthCeeeeCjjjC TS TSTj Tj 12 1tan( )2 TT )2(11)2tjS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TSthCeeCee eeCjjT TS TSTjTj TjTj )2(11)2tan(S 12/ 2/1 1111 11 TSthCCeeCjjTjC Tjj Tjj 12 1tan( )2 TT )2(11)2tan(jS 12/2/ 2/2/1 1111 11 TStheeCee eeCjjTjC TS TSTjTj TjTj 3、 S平 面 到 Z平 面 的 映 射将 S1平 面 映 射 到 z平 面 上 ， 用 标 准 映 射 z=eS1T， 代 入 上 式 SC SCzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即 SC SCzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即12 1tan( )2 TT SC SzzzCeeCS TSezTS TS ,1111 11111 即12 1tan( )2 TT SC SCzzzeeCS TSezTS TS ,11 11111 即 112 1122 zs T zsTz sT 推 出 2、 S1平 面 与 S平 面 的 关 系 s到 z和 由 z到 s的 变 换 都 是 线 性 变 换 ， 所 以 称 为 双 线 性 变 换 二 、 逼 近 情 况 分 析1、 因 果 稳 定 性 分 析l 当 时 ， ， 说 明 s平 面 的 左 半 平 面 映 射 到 z平 面 的 单 位 圆 内 ；222 2s j js TTz s jT T 2 22 222Tz T 0 1z 0 1z 0 1z l 当 时 ， ， 说 明 s平 面 的 右 半 平 面 映 射 到 z平 面 的 单 位 圆 外 ；l 当 时 ， ， 说 明 s平 面 的 虚 轴 映 射 到 z平 面 的 单 位 圆 上 ； 结 论 ： 因 果 稳 定 的 模 拟 滤 波 器 经 双 线 性 变 换 后 所 得 到 的 数 字 滤 波 器 也 一 定 是 因 果 稳 定 的 。 2、 模 拟 频 率 和 数 字 频 率 之 间 的 关 系设 ： z=ej ， s=j， 带 入 左 式1121122 zs T zsTz sT - 0 W )2(2 wtgT2112 1tan2 jjej T eT )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTjS jwjwjwjw )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTS jwjwjwjw )2/cos(2 )2/sin(22112 2/ 2/ wwjeeTeeTjS jwjwjj )2/cos(2 )2/sin(22112 2/2/ wwjeeTeeTjS jjjwjw )2(2)2(2 wtgTwtgTj 2 11 1tan 2 jjej T e 说 明 ： s平 面 上 与 z平 面 的 是 非 线 性 正 切 关 系 ， 消 除 了 频率 混 叠 现 象 。代 价 ： 影 响 数 字 滤 波 器 频 响 逼 真 模 拟 滤 波 器 的 频 响 的 逼 真 度 ，存 在 幅 度 失 真 和 相 位 失 真 。 零 频 附 件 ， 和 接 近 线 性 关 系 ； 增 加 ， 和 存 在 严 重 的 非 线 性 关 系 ； 如 果 的 刻 度 是 均 匀 的 ， 通 过 非 线 性 正 切 关 系 ， 映 射 到 z平 面 的 刻 度 不 均 匀 ，随 增 加 越 来 越 密 ， 即 边 界 频 率 发 生 畸 变 。 一 线 性 相 位 的 模 拟 滤 波 器 ， 经 双 线 性 变 换 后 成 为 非 线 性 相 位 的 数 字 滤 波 器 ； 如 果 模 拟 滤 波 器 具 有 片 段 常 数 特 性 ， 则 转 换 到 z平 面 具 有 片 段 常 数 特 性 。 适 于片 段 常 系 数 滤 波 器 的 设 计 。幅 度 特 性 失 真 相 位 特 性 失 真3、 双 线 性 变 换 法 的 幅 度 失 真 和 相 位 失 真 对 边 缘 临 界 频 率 点 产 生 的 畸 变 ， 可 通 过 频 率 的 预 畸 变 加 以 校 正 。p p /Ts s /T4、 双 线 性 变 换 法 的 频 率 预 畸 变例 ： 数 字 低 通 滤 波 器 的 两 个 截 止 频 率 ： p和 s， 如 果 按 照 线 性 变 换 所 对 应 的 模拟 滤 波 器 的 截 止 频 率 分 别 为 ：即 通 过 非 线 性 的 频 率 变 换 公 式 ， 得 到 的 数 字 滤 波 器 的 截 止 频 率 就 不 等 于 原 频 率211 2 1tan2 jjej T eT 解 决 方 法 ： 数 字 频 率 转 换 成 模 拟 频 率 时 ， 先 进 行 预 畸 变 的 处 理 ： 2arctan(T/2) p=! p S=! S 1、 优 点 消 除 了 频 谱 混 迭 失 真 ； 频 率 映 射 s平 面 与 z平 面 是 一 一 对 应 的 单 值 映 射 关 系 ， 避 免 了 脉 冲 响 应 不变 法 的 频 谱 “ 混 迭 ” 现 象 。2、 缺 点 以 频 率 变 换 的 非 线 性 为 代 价 ， 模 拟 域 和 数 字 域 进 行 非 线 性 映 射 ，其 瞬 时 响 应 不 如 脉 冲 响 应 不 变 法 好 。 2112 1tan2 jjej T eT 5、 总 结 双 线 性 变 换 法 的 特 点 11211( ) ( ) za s T zH z H s ( ) ( ) jj z eH e H z 四 、 双 线 性 变 换 法 设 计 数 字 滤 波 器 的 步 骤 k（ 1） 确 定 数 字 滤 波 器 的 通 带 和 阻 带 截 止 频 率 ， 通 带 内 容 许 的 最 大 衰 减 P及 阻 带 内 容 许 的 最 小 衰 减 S 。 2tan 2 kk T k（ 2） 采 用 频 率 预 畸 变 的 方 法 把 数 字 滤 波 器 的 通 带 和 阻 带 截 止 频 率 变 换 成 相 应 的模 拟 滤 波 器 的 通 带 和 阻 带 截 止 频 率 ， 通 带 最 大 衰 减 及 阻 带 最 小 衰 减 不 变 。（ 3） 根 据 模 拟 滤 波 器 的 技 术 指 标 ， 设 计 其 系 统 函 数 Ha(s)（ 4） 求 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z)（ 5） 检 验 所 设 计 的 数 字 滤 波 器 是 否 满 足 技 术 指 标 要 求 。 例 ： 已 知 模 拟 滤 波 器 的 系 统 函 数 ， 试 用 双 线 性 变 换 法 将 转 换 成数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 。 1( ) 1aH s s ( )aH s( )H z 11 121 1 11 1( ) ( ) 2 1 1za s T z T zH z H s z T z 111( ) 3 zH z z 设 T=1s， 则 ：解 ： 数 字 滤 波 器 的 幅 频 特 性 模 拟 滤 波 器 的 幅 频 特 性 双 线 性 变 换 法 设 计 的 数 字 滤 波 器 的 频 响 限 制 在 0和 之 间 ， 不 存 在 频 率 响 应的 混 叠 现 象 。 例 ： 用 双 线 性 变 换 法 设 计 巴 特 沃 思 数 字 低 通 滤 波 器 ， 要 求 在 频 率 小 于 的通 带 内 ， 幅 度 特 性 下 降 小 于 等 于 1dB； 在 频 率 到 之 间 的 阻 带 衰减 大 于 等 于 15dB。 0.2 rad0.3 rad rad0.2 , 1dB, 0.3 , 15dBp p s srad a rad a 解 ： （ 1） 待 设 计 的 数 字 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 为 ：2 0.2tan 2tan 0.6498 , 1dB2 22 0.3tan 2tan 1.0191 , 15dB 2 2pp pss srad s aT rad s aT （ 2） 确 定 模 拟 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 ， 取 T=1。 1.0191 1.56830.6498ssp p 0.1 1.50.1 0.110 1 10 1 10.875110 110 1spasp ak lg lg10.875 5.3034lg lg1.5683spspkN 取 N=6 1 11.50.1 2 2 61.0191 0.7662 /10 110 1s sc a N rad s 2 2 21( ) 0.5176 1 1.4142 1 1.9319 1aH p p p p p p p ( ) ( ) csa a pH s H p 62 2 2 2 2 22 2 20.5176 1.4142 1.93190.20240.3966 0.5871 1.0836 0.5871 1.4802 0.5871cc c c c c cs s s s s ss s s s s s （ 3） 设 计 巴 特 沃 思 模 拟 低 通 滤 波 器 ： 11211( ) ( ) za s T zH z H s 64 11 2 1 2 1 27.378 10 11 1.2686 0.7051 1 1.0106 0.3583 1 0.9044 0.2155zz z z z z z 图 ： 用 双 线 性 变 换 法 设 计 出 的 数 字 滤 波 器 的 幅 度 特 性（ 4） 求 数 字 滤 波 器 的 系 统 函 数 ：（ 5） 校 核 所 设 计 的 数 字 滤 波 器 是 否 满 足 给 定 的 指 标 要 求 例 ： 用 双 线 性 变 换 法 设 计 数 字 低 通 滤 波 器 ， 要 求 在 频 率 小 于 等 于 100Hz的 通 带 内 ，幅 度 的 衰 减 特 性 不 大 于 2dB； 在 频 率 大 于 等 于 300Hz的 阻 带 内 ， 衰 减 不 小 于15dB ， 采 样 频 率 为 1000Hz， 采 用 巴 特 沃 思 型 滤 波 器 。2 2 100 0.001 0.2 p pf T rad 2 2 300 0.001 0.6s sfT rad 2dBpa 15dBsa 2 0.2tan 2tan 0.64982 2pp rad sT 2dBpa 2 0.6tan 2tan 2.75282 2 ss rad sT 15dBsa 采 样 频 率 为 1000Hz， 所 以 T=0.001s， 待 设 计 的 数 字 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 为 ：解 :（ 1） 确 定 待 设 计 的 数 字 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 ：（ 2） 确 定 模 拟 低 通 滤 波 器 的 技 术 指 标 ： 设 T=1s 2.7528 4.23640.6498ssp p 0.1 0.1150.1 0.1 210 1 10 1=7.235810 110 1spasp ak lg lg7.2358 1.3708lg lg4.2364spspkN 1 10.1 0.1 22 40.6498 0.7430 /(10 1)(10 1)p pc a N rad s 2 1( ) 2 1aH p p p 2 22 22 2 0.7430( ) ( ) 1.0508 0.74302c csa a p c cH s H p s ss s 1 11 121 121 1( ) ( ) ( )z za as sT z zH z H s H s 1 21 20.08296 0.16592 0.08296