高数微分方程

一 阶 线 性 微 分 方 程 第 四 节 第十二章 一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式: )()(dd xQyxPxy 若 Q(x) 0, 0)(dd yxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyy d)(d 两边积分得CxxPy lnd)(ln 故通解为xxPeCy d)(称为齐次方程 ; 对应齐次方程通解xxPeCy d)(齐次方程通解非齐次方程特解 xxPCe d)(2. 解非齐次方程)()(dd xQyxPxy 用常数变易法: ,)()( d)( xxPexuxy则 xxPeu d)( )(xP xxPeu d)( )(xQ故原方程的通解xexQe xxPxxP d)( d)(d)( CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(y即即作变换 xxPeuxP d)()( xxPexQxu d)()(dd CxexQu xxP d)( d)(两端积分得 .2.1 2的通解求例xxeyxy 22: xxeQxP 令解 xdxe 2 )21( 22 Cxe x 2xe )(: )()( CdxexQey dxxPdxxP通解)( 22 Cdxexe xdxx )( Cdxx 12. .xdy eydx x x 例求的解xeQxP x 1:令解 dxxey 1 )(1 Cdxex x )(1 Cex x )( 1 Cdxexe dxxx .ln.3的解求例xxyyx xyxy ln11: 解)ln1( 11 Cdxexey dxxdxx x )ln(ln Cxx )ln1( lnln Cdxexe xx )ln1( Cdxxx .1|,31: 12的特解求 xyxyxyex )3(: 121 Cdxexey dxxdxx 解)23( 2 Cxx 21Cxxy 2123 3 1 1xy 由，代入得 .0)2(.4 2的解求例 ydxdyyx yxydydx 2:解)(: 22 Cdyyeex dyydyy通解)(1 32 Cdyyy )41(1 42 Cyy 224 Cyy ).(),()(,)(.5 20 xfxfxdtttfxf x求满足方程连续设例)(: xxf解xxxfxf 2)()( 即)2()( Cdxxeexf xdxxdx )2( 22 22 Cdxxee xx )2( 22 22 Cee xx 222 xCe0)0( f 2C 22)( 22 xexf求导分析：等式两边对x )(2 xfx （一阶线性方程） 二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: )1,0()()(dd nyxQyxPxy nny以)()(dd 1 xQyxPxyy nn 令,1 nyz xyynxz n dd)1(dd 则)()1()()1(dd xQnzxPnxz 求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法: (线性方程) 例6. 求方程2)ln(dd yxaxyxy 的通解.解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxz lndd 其通解为ez 将1 yz 1)ln(2 2 xaCxy xx d1 exa )ln( xx d1 Cxd 2)ln(2 xaCx 代入, 得原方程通解: 内容小结1. 一阶线性方程)()(dd xQyxPxy 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式 CxexQey xxPxxP d)( d)(d)(,1 nyu 令化为线性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy )()(dd )1,0( n 思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyx dddd)1( )ln(lndd)2( xyyxyx 0d2d)()3( 3 yxxxy 0d)(d2)4( 3 yxyxy yxxyxy dd)2ln()5( 提示: xxyyy dd1 可分离 变量方程xyxyxy lndd 齐次方程221dd 2xyxxy 线性方程221dd 2yxyyx 线性方程2sin2dd yx xyxxy 伯努利方程 备用题1. 求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxf x d)(sin)( 0 提示:令txu uufxxf x d)(sin)( 0则有xxfxf cos)()( 0)0( f利用公式可求出)sin(cos21)( xexxxf 2. 设有微分方程,)(xfyy 其中)(xf 10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解: 1) 先解定解问题10,2 xyy 00 xy利用通解公式, 得 xey d 1d d2 Cxe x )2( 1Cee xx xeC 12利用00 xy得21 C故有)10(22 xey x 2) 再解定解问题1,0 xyy 11 22)1( eyy x此齐次线性方程的通解为)1(2 xeCy x利用衔接条件得)1(22 eC因此有)1()1(2 xeey x3) 原问题的解为y 10),1(2 xe x 1,)1(2 xee x ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705)瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术,上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史此外, 他对双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .