随机变量及其概率分布

第 二 章 本 章 用 定 量 的 方 法 ， 从 整 体 上 来 研 究随 机 现 象 。 随 机 变 量及 其 分 布 1 随 机 变 量 及 其 概 率 分 布 在 实 际 问 题 中 ， 随 机 试 验 的 结 果 可 以 用 数 量 来 表示 ， 由 此 就 产 生 了 随 机 变 量 的 概 念 .1、 有 些 试 验 结 果 本 身 与 数 值 有 关 (本 身 就 是 一 个 数 ).例 如 ， 掷 一 颗 色 子 面 上 出 现 的 点 数 ；八 月 份 杭 州 的最 高 温 度 ； 每 天 从 杭 州 下 火 车 的 人 数 ；昆 虫 的 产 卵 数 ； 一 、 随 机 变 量 的 概 念 和 例 2、 在 有 些 试 验 中 ， 试 验 结 果 看 来 与 数 值 无 关 ， 但 我们 可 以 引 进 一 个 变 量 来 表 示 它 的 各 种 结 果 .也 就 是 说 ，把 试 验 结 果 数 值 化 . 例 1 抛 一 枚 硬 币 ， 观 察 正 反 面 的 出 现 情 况 .我 们 引 入 记 号 ： ，若若 THXX ,0 ,1)(显 然 ， 该 试 验 有 两 个 可 能 的 结 果 ： TH ,于 是 我 们 就 可 以 用 1 X 表 示 出 现 的 是 正 面 ，而 用 0 X 表 示 出 现 的 是 反 面 。X就 是 一 个 随 机 变 量 。 定 义 设 随 机 试 验 E的 样 本 空 间 是 ， 若 对 于 每一 个 e , 有 一 个 实 数 X(e)与 之 对 应 , 即 X=X()是定 义 在 上 的 单 值 实 函 数 ， 称 它 为 随 机 变 量(random variable, 简 记 为 r.v.)。 X() R 这 种 实 值 函 数 与 在 高 等 数 学 中 大 家 接 触 到 的函 数 一 样 吗 ？. （ 1） 它 随 试 验 结 果 的 不 同 而 取 不 同 的 值 ， 因 而在 试 验 之 前 只 知 道 它 可 能 取 值 的 范 围 ， 而 不 能预 先 肯 定 它 将 取 哪 个 值 .（ 2） 由 于 试 验 结 果 的 出 现 具 有 一 定 的 概 率 ， 于是 这 种 实 值 函 数 取 每 个 值 和 每 个 确 定 范 围 内 的值 也 有 一 定 的 概 率 . 随 机 变 量 通 常 用 大 写 字 母 X,Y,Z或 希 腊 字 母 等 表 示 . ， 随 机 事 件 是 从 静 态 的 观 点 来 研 究 随 机 现 象 ， 而随 机 变 量 则 是 一 种 动 态 的 观 点 . 随 机 变 量 概 念 的 产 生 是 概 率 论 发 展 史 上 的 重 大事 件 . 引 入 随 机 变 量 后 ， 对 随 机 现 象 统 计 规 律 的 研究 ， 就 由 对 事 件 及 事 件 概 率 的 研 究 扩 大 为 对 随 机 变量 及 其 取 值 规 律 的 研 究 ， 并 可 以 用 数 学 分 析 的 方 法对 随 机 试 验 的 结 果 进 行 广 泛 深 入 的 研 究 和 讨 论 。分 类 ：实际中遇到的随机变量有两大类型连 续 型 随 机 变 量离 散 型 随 机 变 量 如 果 随 机 变 量 X只 取 有 限 或 可 列 无 穷 多 个 值 ，二 、 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 分 布则 称 X为 离 散 型 随 机 变 量 .对 于 离 散 型 随 机 变 量 ， 关 键 是 要 确 定 ：1） 所 有 可 能 的 取 值 是 什 么 ？2） 取 每 个 可 能 值 的 概 率 是 多 少 ？ 设 离 散 型 随 机 变 量 X的 可 能 取 值 为 , 21 xx ， 而 ,P kk pxX ,2,1k称 之 为 离 散 型 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 或 分 布 律 。 或 写 成 如 下 的 表 格 形 式 ： ,P kk pxX ,2,1kXP 1x 2x kx 1p 2p kp 显 然 ， 其 中 ip 必 须 满 足 以 下 两 个 条 件 ： (1) 非 负 性 0ip ； (2) 规 范 性 i ip 1。 袋 中 有 2只 蓝 球 3只 红 球 ， 非 还 原 抽 取 3只 ，记 X为 抽 得 的 蓝 球 数 ， 求 X的 分 布 律 。X可 能 取 的 值 是 0,1,2，0P X例 1解 3533CC ,1011P X 35 2312CCC ,106 2P X 35 1322CCC .103所 以 X的 分 布 律 为 XP 0 1 2101 106 103 或 表 示 为 ,CCCP 35332 kkkX .2,1,0k 设 一 汽 车 在 开 往 目 的 地 的 路 上 需 经 过 三 组 信 号灯 ， 每 组 信 号 灯 以 0.5的 概 率 允 许 或 禁 止 汽 车 通 过 。以 X表 示 该 汽 车 首 次 遇 到 红 灯 前 已 通 过 的 路 口 的 个数 (设 各 盏 信 号 灯 的 工 作 是 相 互 独 立 的 )， 求 X的 概 率分 布 .依 题 意 , X可 取 值 0, 1, 2, 3.设 Ai=第 i个 路 口 遇 红 灯 , i=1,2,3路 口 3路 口 2路 口 1例 2解 0P X )(P 1A .21 路 口 3路 口 2路 口 1 路 口 3路 口 2路 口 1 1P X )(P 21AA .412P X )(P 321 AAA .81 路 口 3路 口 2路 口 1不 难 看 出 .1)(P 30 i iX 3P X )P( 321 AAA .81所 以 X的 分 布 列 为 XP 0 1 221 41 81 381 在 下 列 情 形 下 ， 求 其 中 的 未 知 常 数 a， 已 知 随 机变 量 的 概 率 分 布 为 ： 例 3解 ;),2,1()1(P )1( nknn akkX .)1,0( P )2( 1 kakx k(1) 由 规 范 性 , nk kX1 P1 nk knn a 1)1(, 22 )1()1( annnn a . 2 a所 以(2) 1P0P1 XX 2 15a ，2aa )2 15( 舍 去a 三 、 随 机 变 量 的 分 布 函 数 为 了 对 各 类 随 机 变 量 作 统 一 研 究 ， 下 面 给 出既 适 合 于 离 散 型 随 机 变 量 又 适 合 于 连 续 型 随 机 变量 的 概 念 随 机 变 量 的 分 布 函 数 。 定 义 设 X为 随 机 变 量 ， 称 实 函 数 RxxXxF ,P)(为 X的 分 布 函 数 。 有对 任 意 实 数 ,)(, baba P bXa )()( aFbF PP aXbX xa xb 分 布 函 数 的 基 本 性 质 ： RxxF ,1)(0)1( ；是 单 调 不 减 函 数)()2( xF ；1)(,0)()3( FF (4) )(xF 是 右 连 续 的 ： )()(lim 00 xFxFxx . 设 X为 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 律 为 ,2,1,P kpxX kk RxxXxF ,P)( xx kk pxXxF P)( 则 例 4解 设 随 机 变 量 X的 分 布 律 为 : XP 0 13/1 26/1 2/1求 X的 分 布 函 数 F(x).,0时当 x ,10 时当 x ;0P)( xXxF,21 时当 x P)( xXxF ；310P X ,2时当 x ；2161311P0P)( XXxF .12P1P0P)( XXXxF 故下 面 我 们 从 图 形 上 来 看 一 下 . 2,1 21,2/1 10,3/1 0,0)( x xxxxF ,0时当 x ,10 时当 x;0)( xF,21 时当 x ；31)( xF,2时当 x ；21)( xF .1)( xF 2,1 21,2/1 10,3/1 0,0)( x xxxxF2161分 布 函 数 的 图 形 31 10 x1 )(xF 2一 般 ， 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 呈 阶 梯 形 . 四 、 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 定 义 如 果 对 于 随 机 变 量 X的 分 布 函 数 为 )(xF ， 存 在 非 负 可 积 函 数 )(xf ， 使 对 任 意 Rx ， 有 ， x ttfxF d)()(则 称 X为 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 中 f(x)称 为 X的 概 率 密度 函 数 ， 简 称 概 率 密 度 。 由 定 义 ， 根 据 高 等 数 学 变 限 积 分 的 知 识 知 ， 连续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 是 连 续 函 数 。 概 率 密 度 函 数 f(x)的 基 本 性 质 ： (1) 非 负 性 ： 0)( xf ， Rx . (2) 规 范 性 ： .1d)( xxf ， x ttfxF d)()( 这 两 条 性 质 是 判定 一 个 函 数 f(x)是 否 为 某 随 机 变量 的 概 率 密 度 的充 要 条 件 .1 0 x)(xf 概 率 密 度 函 数 f(x)的 其 它 性 质 ： ， x ttfxF d)()( (3) 对 于 任 意 实 数 ba ,有 .d)(P ba xxfbXa )()( aFbF (4) 若 )(xf 连 续 ,则 有 )()( xFxf . 密 度 函 数 )(xf 与 分 布 函 数 )(xF 的 关 系 ： ， x ttfxF d)()( .)()( xFxf (1) 连 续 型 随 机 变 量 取 任 何 一 个 指 定 值 的 概 率 为 0.即 , 对 于 任 意 常 数 c, 有 .0P cX(2) 若 X是 连 续 型 随 机 变 量 ,则说 明 ：而 X=c 并 非 不 可 能 事 件 ,称 A为 几 乎 不 可 能 事 件 ， B为 几 乎 必 然 事 件 .可 见 ， 由 P(A)=0, 不 能 推 出 ；A由 P(B)=1, 不 能 推 出 .B PP bXabXa .PP bXabXa 例 5解 已 知 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 函 数 为 其 它 ,0 10 ,)( xxAxf确 定 系 数 A， 并 求 X的 概 率 分 布 函 数 F(x). 10 dd)( xxAxxf ，12 A .21A;0d)()(,0 x ttfxFx 时当 ， x ttfxF d)()(ttxFx x d21)(,10 0 时当 ；x .1d21)(,1 10 ttxFx 时当 .11 10 00)( x xx xxF 0 x)(xF1 例 6 三 个 同 一 种 电 气 元 件 串 联 在 一 个 电 路 中 ， 元 件的 寿 命 是 随 机 变 量 (小 时 )， 假 设 其 概 率 密 度 为 ， 若 ， 若 100 0 100100)( 2 xxxxf且 三 个 元 件 的 工 作 状 态 相 互 独 立 试 求 ， (1) 该 电 路 在 使 用 了 150小 时 后 ， 三 个 元 件 仍 都 能 正常 工 作 的 概 率 ； (2) 该 电 路 在 使 用 了 300小 时 后 ， 至 少 有 一 个 元 件 损坏 的 概 率 解 ， 若 ， 若 100 0 100100)( 2 xxxxf(1) 设 kX 为 第 k个 元 件 的 寿 命 ， 则 150 kk XA (1) 该 电 路 在 使 用 了 150小 时 后 ， 三 个 元 件 仍 都 能 正常 工 作 的 概 率 ； 表 示 “ 在 使 用 了 150个 小 时 后 ， 第 k个 元 件仍 然 能 正 常 工 作 ” ： )3,2,1( k 150P)(P kk XA 150 2d100 xx 32)(P 321 AAA 278)(P 1 3A 解 ， 若 ， 若 100 0 100100)( 2 xxxxf(2) 该 电 路 在 使 用 了 300小 时 后 ， 至 少 有 一 个 元 件 损坏 的 概 率 (2) 设 )3,2,1( 300 kXB kk 表 示 第 k 个 元 件 的 寿 命 小 于 300小 时 ， 则 300P)(P ii XB 300100 2d100 xx)( 321 BBBP ,32 )()()(1 321 BPBPBP 27263)321(1 练 习 ：P67 习 题 二