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第 3 讲 点 、 直 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系 考 纲 要 求 考 情 风 向 标1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解四个公理及其推论，了解等角定理，并能以此作为推理的依据.平面的基本性质是研究立体几何的基础，是高考主要考点之一，考查内容有以平面基本性质、推论为基础的共线、共面问题，也有以平行、异面为主的两直线的位置关系，求异面直线所成的角是本节的重点. 1 平 面 基 本 性 质 即 三 条 公 理 的 “ 图 形 语 言 ” “ 文 字 语言 ” “ 符 号 语 言 ” 列 表 公理 1公理 2公理 3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 1公理 2公理 3符号语言（ 续 表 ）公理 2 的三条推论：推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面, ,A l B lA B l A，B，C不共线 A，B，C确定平面 P，P ,lP l 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2空 间 线 、 面 之 间 的 位 置 关 系异面 无数个没有 3异 面 直 线 所 成 的 角过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b.那么直线 a与 b所成的_，叫做异面直线 a 与 b所成的角(或夹角)，其范围是_锐角或直角(0，90 1(2013 年 安 徽 蚌 埠 二 模 )l1， l2， l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )BAl1 l2，l2 l3 l1 l3Bl1 l2，l2 l3 l1 l3Cl1 l2 l3 l1，l2，l3 共面Dl1，l2，l3 共点 l1，l2，l3 共面 2若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是)A“这两条直线没有公共点”的(A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，既与 AB 共面也与 CC1共面的棱的条数为( )CA3 条B4 条C5 条D6 条解 析 ： 如 图 D33，用 列 举 法 知 ， 符 合 要 求 的 棱 为 ： BC， CD，C1D1，BB1，AA1.故 选 C.图 D33 )D4若 A，B，Al，Bl，Pl，则(AP BP Cl DP 考 点 1 平 面 的 基 本 性 质 )例 1：若直线 l 不平行于平面，且 l ，则(A内的所有直线与 l 异面B内不存在与 l 平行的直线C内存在唯一的直线与 l 平行D内的直线与 l 都相交 解 析 ： 不 妨 设 直 线 lM，过 点 M 的 内 的 直 线 与 l 不 异面 ， 故 A 错 误 ； 假 设 存 在 与 l 平 行 的 直 线 m， 则 由 m l， 得 l ， 这 与 l M 矛 盾 ， 故 B 正 确 ； C显 然 错 误 ； 内 存 在 与l 异 面 的 直 线 ， 故 D 错 误 故 选 B.答 案 ： B 【 规 律 方 法 】 直 线 在 平 面 内 也 叫 平 面 经 过 直 线 ， 如 果 直 线不 在 平 面 内 ， 记 作 l ， 包 括 直 线 与 平 面 相 交 及 直 线 与 平 面 平 行两 种 情 形 .反 映 平 面 基 本 性 质 的 三 个 公 理 是 研 究 空 间 图 形 和 研究 点 、 线 、 面 位 置 关 系 的 基 础 ， 三 个 公 理 也 是 立 体 几 何 作 图 和逻 辑 推 理 的 依 据 .公 理 1 是 判 断 直 线 在 平 面 内 的 依 据 ； 公 理 2 的作 用 是 确 定 平 面 ， 这 是 把 立 体 几 何 转 化 成 平 面 几 何 的 依 据 ； 公理 3 是 证 明 三 (多 )点 共 线 或 三 线 共 点 的 依 据 . 【 互 动 探 究 】1下列推断中，错误的个数是( )AAl，A，Bl，B l ；A，B，C，A，B，C，且 A，B，C 不共线，重合；l ，Al A .A1 个C3 个B2 个D0 个 考 点 2 空 间 内 两 直 线 的 位 置 关 系例 2：如图 8-3-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分)别是 BC1，CD1 的中点，则下列判断错误的是(图 8-3-1AMN 与 CC 1 垂直CMN 与 BD 平行BMN 与 AC 垂直DMN 与 A1B1 平行 答 案 ： D 【 规 律 方 法 】 判 断 直 线 是 否 平 行 比 较 简 单 直 观 ， 可 以 利 用公 理 4； 判 断 直 线 是 否 异 面 则 比 较 困 难 ， 掌 握 异 面 直 线 的 两 种判 断 方 法 ： 反 证 法 ： 先 假 设 两 条 直 线 不 是 异 面 直 线 ， 即 两 条直 线 平 行 或 相 交 ， 再 由 假 设 的 条 件 出 发 ， 经 过 严 格 的 推 理 ， 导出 矛 盾 ， 从 而 否 定 假 设 ， 肯 定 两 条 直 线 异 面 ； 在 客 观 题 中 ，也 可 用 下 述 结 论 ： 过 平 面 外 一 点 和 平 面 内 一 点 的 直 线 ， 与 平 面内 不 过 该 点 的 直 线 是 异 面 直 线 . 【 互 动 探 究 】2如图 8-3-2 所示的是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_(填上所有正确答案的序号)图 8-3-2 3如图 8-3-3，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在 棱 的 中 点 ， 则 使 直 线 GH ， MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)图 8-3-3 解 析 ： 图 中 ， 直 线 GH MN；图 中 ， G， H， N 三 点 在三 棱 柱 的 侧 面 上，MG 与 这 个 侧 面 相 交 于 G， M 平 面 GHN，因 此 直 线 GH 与 MN 异 面 ； 图 中 ， 连 接 MG， GM HN， 因此 GH 与 MN 共 面 ； 图 中 ， G， M， N 共 面 ， 但 H 平 面 GMN，因 此 GH 与 MN 异 面 答 案 ： 考 点 3 异 面 直 线 所 成 的 角例 3：在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小；(2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1 与 EF 所成角的大小解 ： (1)如 图 8-3-4， 连 接 AB1， B1C.由 ABCD-A1B1C1D1是 正方 体 ， 易 知 A1D B1C， 从 而 B1C 与 AC 所 成 的 角 就 是 AC 与 A1D所 成 的 角 AB 1 AC B1C， B1CA 60 .即 A1D 与 AC 所 成 的 角 为 60 . 图 8-3-4图 8-3-5(2)如 图 8-3-5，连 接 AC， BD.在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， AC BD， AC A1C1. E， F 分 别 为 AB， AD 的 中 点 ， EF BD. EF AC. EF A1C1.即 A1C1 与 EF 所 成 的 角 为 90 . 【 规 律 方 法 】 求 异 面 直 线 所 成 角 的 基 本 方 法 就 是 平 移 ， 有时 候 平 移 两 条 直 线 ， 有 时 候 只 需 要 平 移 一 条 直 线 ， 直 到 得 到 两条 相 交 直 线 ， 最 后 在 三 角 形 或 四 边 形 中 解 决 问 题 . B 考 点 4 三 点 共 线 、 三 线 共 点 的 证 明例 4：如图 8-3-6，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点求证：(1)E，C，D1，F 四点共面；(2)CE，D1F，DA 三线共点图 8-3-6图 8-3-7 同 理 点 P 平 面 ADD1A1.又 平 面 ABCD平 面 ADD1A1 DA， 点 P 直 线 DA. CE， D1F， DA 三 线 共 点 【 规 律 方 法 】 要 证 明 M， N， K 三 点 共 线 ， 由 公 理 3 知 ，只 要 证 明 M， N， K 都 在 两 个 平 面 的 交 线 上 即 可 .,证 明 多 点 共 线问 题 ： 可 由 两 点 连 一 条 直 线 ， 再 验 证 其 他 各 点 均 在 这 条 直 线上 ； 可 直 接 验 证 这 些 点 都 在 同 一 条 特 定 的 直 线 上 相 交 两平 面 的 唯 一 交 线 ， 关 键 是 通 过 绘 出 图 形 ， 作 出 两 个 适 当 的 平 面或 辅 助 平 面 ， 证 明 这 些 点 是 这 两 个 平 面 的 公 共 点 . 【 互 动 探 究 】5在空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上分别取E，F，G，H 四点，若 EF 与 GH 交于点 M，则( )AA点 M 一定在 AC 上B点 M 一定在 BD 上C点 M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上D点 M 既不在 AC 上，也不在 BD 上解 析 ： 点 M 在 平 面 ABC 内 ， 又 在 平 面 ADC 内 ， 故 必 在 交线 AC 上
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