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第 三 章 三 角 函 数 与 解 三 角 形第 1 讲 弧 度 制 与 任 意 角 的 三 角 函 数 考 纲 要 求 考 情 风 向 标1.了 解 任 意 角 的 概 念 .2.了 解 弧 度 制 的 概 念 ， 能 进行 弧 度 与 角 度 的 互 化 .3.理 解 任 意 角 三 角 函 数 (正弦 、 余 弦 、 正 切 )的 定 义 . 从 近 几 年 的 高 考 试 题 看 ， 三 角 函数 定 义 及 符 号 判 定 是 高 考 的 热 点 这部 分 的 高 考 试 题 大 多 为 教 材 例 题 ， 习题 的 变 形 与 创 新 ， 因 此 学 习 中 要 立 足基 础 ， 抓 好 对 教 材 知 识 的 学 习 . 1 任 意 角 的 概 念角 可 以 看 成 平 面 内 一 条 射 线 绕 着 端 点 从 一 个 位 置 旋 转 到 另一 个 位 置 所 成 的 图 形 正 角 是 按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 ； 负 角是 按 _方 向 旋 转 形 成 的 ； 一 条 射 线 没 有 作 任 何 旋 转 ， 我们 称 它 为 零 角 顺 时 针2 终 边 相 同 的 角终 边 与 角 相 同 的 角 ,可 写 成 S | +k360 ,k Z 3 弧 度 制(1)长 度 等 于 半 径 长 的 弧 所 对 的 圆 心 角 叫 做 1 弧 度 的 角 (2)用 弧 度 作 为 单 位 来 度 量 角 的 单 位 制 叫 做 弧 度 制 (3)正 角 的 弧 度 数 为 正 数 ， 负 角 的 弧 度 数 为 负 数 ， 零 角 的 弧度 数 为 零 .角 的 弧 度 数 的 绝 对 值 | _(其 中 l 是 以 角 作 为圆 心 角 时 所 对 圆 弧 的 长 ， r 是 圆 的 半 径 )(4)弧 度 与 角 度 的 换 算 ： 180 rad；lr 4 弧 长 公 式 和 扇 形 面 积 公 式(1)在 弧 度 制 下 ， 弧 长 公 式 和 扇 形 面 积 公 式 分 别 为 l |r；(2)在 角 度 制 下 ， 弧 长 公 式 和 扇 形 面 积 公 式 分 别 为 l nr180；S _.nr23605 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义设 是 一 个 任 意 角 ,角 的 终 边 上 任 意 一 点 P(x， y)， 它 与 原点 的 距 离 是 r(r 0)， 那 么 yx6 三 角 函 数 值 在 各 象 限 的 符 号 1 下 列 各 命 题 正 确 的 是 ( )CA 终 边 相 同 的 角 一 定 相 等C 锐 角 都 是 第 一 象 限 角 B 第 一 象 限 角 都 是 锐 角 D 小 于 90 度 的 角 都 是 锐 角2 若 sin0， 则 是 ( )CA 第 一 象 限 角C 第 三 象 限 角 B 第 二 象 限 角D 第 四 象 限 角3 sin870 _._. 12 6 或 76 考 点 1 角 的 概 念例 1： (1)写 出 与 1840 终 边 相 同 的 角 的 集 合 M；(2)把 1840 的 角 写 成 k360 (0 360 )的 形 式 ；(3)若 角 M， 且 360 ， 360 ， 求 角 .解 ： (1)M | k360 1840 ， k Z(2) 1840 6 360 320 .(3)由 (1)(2)， 得 M | k360 320 ， k Z M， 且 360 360 ， 360 k360 320 360 . k Z， k 1， 或 k 0.故 40 或 320 .【 规 律 方 法 】 在 0 到 360 范 围 内 找 与 任 意 一 个 角 终 边 相同 的 角 时 ,可 根 据 实 数 的 带 余 除 法 进 行 .因 为 任 意 一 个 角 均 可 写成 k360 1(0 1 360 )的 形 式 ， 所 以 与 角 终 边 相 同的 角 的 集 合 也 可 写 成 | k360 1， k Z.如 本 题M | k360 320 ， k Z.由 此 确 定 360 ， 360 范 围 内 的 角 时 ， 只 需 令 k 1 和 0 即 可 . 【 互 动 探 究 】1 给 出 下 列 四 个 命 题 ： 75 是 第 四 象 限 角 ； 225 是 第 三 象 限 角 ； 475 是第 二 象 限 角 ； 315 是 第 一 象 限 角 其 中 正 确 的 命 题 有 ( )DA 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个解 析 ： 90 75 0 ， 180 225 270 ，360 90 475 360 180 ， 360 315 270 . 这 四 个 命 题 都 是 正 确 的 考 点 2 三 角 函 数 的 概 念例 2： 已 知 角 终 边 经 过 点 P(3t,4t)， t0， 求 角 的 正 弦 、余 弦 和 正 切 【 规 律 方 法 】 任 意 角 的 三 角 函 数 值 ， 只 与 角 的 终 边 位 置 有关 ， 而 与 角 的 终 边 上 点 的 位 置 无 关 当 角 的 终 边 上 的 点 的 坐 标以 参 数 形 式 给 出 时 ， 由 于 参 数 t 的 符 号 不 确 定 ， 故 用 分 类 讨 论的 思 想 ， 将 t 分 为 t 0 和 t 0 两 种 情 况 ， 这 是 解 决 本 题 的 关 键 【 互 动 探 究 】2 (2014 年 大 纲 )已 知 角 的 终 边 经 过 点 ( 4,3)， 则 cos( )D 考 点 3 三 角 函 数 的 符 号 图 3-1-1 答 案 ： A 【 互 动 探 究 】3 下 列 各 式 中 ， 计 算 结 果 为 正 数 的 是 ( ) 答 案 ： C 难 点 突 破 函 数 与 不 等 式 思 想 在 三 角 函 数 中 的 应 用例 题 ： (1)如 图 3-1-2， 一 扇 形 的 半 径 为 r， 扇 形 的 周 长 为 4.当 圆 心 角 为 多 少 弧 度 时 ， 扇 形 的 面 积 S 取 得 最 大 值 ？(2)若 一 扇 形 面 积 为 4， 则 当 它 的 中 心 角 为 何 值 时 ， 扇 形 周长 C 最 小 ？ 图 3-1-2
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